Cuartile și amplitudine (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

În carnetul de sănătate al unui copil, medicul notează uneori ceva de felul „masa pe percentila $75$ ”. Nu e o notă și nici un diagnostic: înseamnă că aproximativ trei sferturi dintre copiii de aceeași vârstă și același sex, din populația de referință, cântăresc mai puțin. Curbele de creștere din acele carnete sunt construite exact din valorile care taie o populație în sferturi — cuartilele — și din alte tăieturi asemănătoare. Lecția aceasta, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), îți arată cum afli cele trei cuartile ale unui set de date și amplitudinea lui, adică lățimea întregului interval al datelor, și cum le folosești ca să spui cât de împrăștiate sunt niște măsurători. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă cere „parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie”, dar nu numește cuartilele și nici amplitudinea.

Ai nevoie de un singur instrument din lecțiile anterioare: mediana unui set de date. Cuartilele sunt, de fapt, trei mediane: a întregului set și ale celor două jumătăți ale lui. Media și modul, din lecțiile despre media aritmetică și despre modul unui set de date, spun unde e centrul datelor; indicatorii de azi spun cât de departe se întind datele în jurul lui.

Ce vei învăța

Vei putea măsura amplitudinea unor măsurători și să recunoști când ea e dominată de o singură valoare.
Vei ști să afli cuartilele $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ pentru orice $n$ , folosind convenția cu jumătăți în care, la $n$ impar, mediana nu intră în nicio jumătate.
Vei ști să prevezi, din restul împărțirii lui $n$ la $4$ , dacă cuartilele vor fi valori din set sau medii a câte două valori.
Vei folosi abaterea intercuartilică $Q_{3} - Q_{1}$ și să explici de ce rezistă la o valoare extremă mai bine decât amplitudinea.
Vei ști să citești cuartilele dintr-un tabel de frecvențe sau de pe o diagramă cu bare, fără să desfășori toate datele.
Vei ști să interpretezi cuartilele în procente, ca „percentilele $25$ , $50$ și $75$ ” din rapoartele de laborator și din medicină.

Hai să descoperim împreună

1. Ce măsoară amplitudinea?

Amplitudinea unui set de date este lungimea intervalului acoperit de date, maximul minus minimul: $A = x_{m a x} - x_{m i n}$ . Are aceeași unitate de măsură ca datele.

Ai întâlnit cuvântul la geografie: amplitudinea termică diurnă este diferența dintre temperatura maximă și cea minimă dintr-o zi. Dacă într-o zi de octombrie minimul a fost $3$ °C și maximul $17$ °C, amplitudinea termică a fost $17 - 3 = 14$ °C. Statistica folosește aceeași idee pentru orice set de date: cât de lat este intervalul în care se încadrează toate observațiile.

2. De ce nu ajunge amplitudinea?

Debitul unui canal de drenaj de la marginea unui câmp, măsurat în litri pe minut timp de opt zile, a fost $12, 13, 11, 14, 12, 13, 15, 41$ ; ultima măsurătoare a fost făcută după o ploaie torențială. Amplitudinea este $41 - 11 = 30$ L/min. Fără ziua ploioasă, ar fi fost $15 - 11 = 4$ L/min.

O singură zi a făcut amplitudinea de peste șapte ori mai mare. Asta e natura ei: folosește doar două valori, iar dacă una dintre ele e neobișnuită, rezultatul descrie ziua neobișnuită, nu canalul. Avem nevoie și de o măsură a împrăștierii care să se uite la „miezul” datelor și să ignore capetele — iar pentru ea avem nevoie de cuartile.

3. Ce sunt cuartilele?

Cuartilele sunt trei tăieturi ale șirului ordonat, $Q_{1} \leq Q_{2} \leq Q_{3}$ , după care fiecare dintre cele patru bucăți conține, cât se poate de egal, un sfert din date: $Q_{2}$ este mediana întregului set, $Q_{1}$ este mediana jumătății inferioare, iar $Q_{3}$ este mediana jumătății superioare. Aproximativ $25%$ dintre date sunt sub $Q_{1}$ , $50%$ sub $Q_{2}$ și $75%$ sub $Q_{3}$ — de aici numele de percentilele $25$ , $50$ și $75$ .

Există mai multe convenții de calcul pentru cuartile; la valori mari ele dau rezultate apropiate, la seturi mici pot diferi puțin. În toate lecțiile și testele acestui traseu folosim una singură, în patru pași:

ordonezi datele crescător;
afli mediana $Q_{2}$ ;
împarți șirul în jumătatea inferioară și jumătatea superioară; când $n$ este impar, termenul median nu intră în niciuna dintre ele;
$Q_{1}$ este mediana jumătății inferioare, $Q_{3}$ este mediana jumătății superioare.

4. Cum lucrezi când numărul de date este impar?

Un elev măsoară lungimea corpului a $11$ lăcuste prinse pe o pajiște, în milimetri: $34, 41, 29, 38, 45, 31, 36, 50, 27, 43, 39$ . Ordonăm:

$27, 29, 31, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 45, 50.$

Cu $n = 11$ , mediana este termenul de rang $6$ : $Q_{2} = 38$ mm. Îl lăsăm deoparte; rămân jumătatea inferioară $27, 29, 31, 34, 36$ și jumătatea superioară $39, 41, 43, 45, 50$ , fiecare cu cinci termeni. Mediana fiecăreia este termenul al treilea: $Q_{1} = 31$ mm și $Q_{3} = 43$ mm.

Lungimile a 11 lăcuste: cuartilele 31, 38 și 43 mm taie șirul în patru părți de câte două valori.

Figura arată ce înseamnă „patru părți egale”: sub $Q_{1}$ sunt două valori, între $Q_{1}$ și $Q_{2}$ două, între $Q_{2}$ și $Q_{3}$ două, peste $Q_{3}$ două. Cele trei tăieturi sunt chiar valori din set. Părțile au același număr de date, nu aceeași lățime: intervalul de la $43$ la $50$ are $7$ mm, cel de la $38$ la $43$ doar $5$ mm.

5. Ce se schimbă când numărul de date este par?

Un laborator de analize alimentare a măsurat cofeina din opt căni de ceai verde, preparate din mărci diferite, în miligrame pe cană: $42, 35, 48, 39, 51, 44, 37, 46$ . Șirul ordonat este $35, 37, 39, 42, 44, 46, 48, 51$ . Cu $n = 8$ , mediana este media termenilor al patrulea și al cincilea:

$Q_{2} = \frac{42 + 44}{2} = 43.$

Aici nu avem niciun termen de lăsat deoparte: jumătatea inferioară are primii patru termeni, $35, 37, 39, 42$ , iar cea superioară pe ultimii patru, $44, 46, 48, 51$ . Medianele lor sunt medii a câte doi termeni:

$Q_{1} = \frac{37 + 39}{2} = 38, Q_{3} = \frac{46 + 48}{2} = 47.$

Toate trei cuartilele sunt tăieturi între două valori și niciuna nu apare printre date.

6. Când sunt cuartilele valori din set?

Răspunsul depinde doar de restul împărțirii lui $n$ la $4$ . Scriem $n = 4 k + r$ , cu $r \in {0, 1, 2, 3}$ :

$n$	$Q_{2}$	fiecare jumătate are	$Q_{1}$ și $Q_{3}$
$4 k$	medie a doi termeni	$2 k$ termeni	medii a câte doi termeni
$4 k + 1$	termen din set	$2 k$ termeni	medii a câte doi termeni
$4 k + 2$	medie a doi termeni	$2 k + 1$ termeni	termeni din set
$4 k + 3$	termen din set	$2 k + 1$ termeni	termeni din set

Verificare pe cazurile de mai sus: $n = 11 = 4 \cdot 2 + 3$ , deci toate cuartilele sunt termeni din set; $n = 8 = 4 \cdot 2$ , deci niciuna nu este. Tabelul îți spune dinainte câte medii de câte doi termeni vei avea de calculat. Rangurile se află ușor: la $n = 4 k + 3$ , de exemplu, $Q_{1}$ are rangul $k + 1$ , $Q_{2}$ rangul $2 k + 2$ , iar $Q_{3}$ rangul $3 k + 3$ .

7. De ce e abaterea intercuartilică mai rezistentă decât amplitudinea?

Abaterea intercuartilică este diferența $Q_{3} - Q_{1}$ (în multe cărți notată IQR). Ea este lățimea intervalului $[Q_{1}, Q_{3}]$ , în care se află aproximativ jumătatea din mijloc a datelor.

Revenim la canalul de drenaj din secțiunea 2. Cu toate cele opt zile, șirul ordonat $11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 41$ dă jumătățile $11, 12, 12, 13$ și $13, 14, 15, 41$ , deci $Q_{1} = 12$ și $Q_{3} = \frac{14 + 15}{2} = 14, 5$ , iar $Q_{3} - Q_{1} = 2, 5$ L/min. Fără ziua ploioasă, cele șapte valori $11, 12, 12, 13, 13, 14, 15$ au $Q_{1} = 12$ , $Q_{3} = 14$ și $Q_{3} - Q_{1} = 2$ L/min. Amplitudinea a trecut de la $4$ la $30$ , abaterea intercuartilică de la $2$ la $2, 5$ . Valoarea extremă intră în calculul lui $Q_{3}$ numai prin rangul ei, nu prin mărimea ei: dacă în locul lui $41$ ar fi fost $410$ , $Q_{3}$ ar fi rămas $14, 5$ .

Concluzia practică: amplitudinea spune „cât de departe au ajuns extremele”, abaterea intercuartilică spune „cât de strânse sunt măsurătorile obișnuite”. Un raport bun le dă pe amândouă.

8. Cum afli cuartilele dintr-un tabel de frecvențe?

Nu trebuie să desfășori datele: lucrezi cu ranguri și cu frecvențe cumulate, exact ca la mediană, dar de trei ori. Fie un set de $20$ de date cu valorile $1, 2, 3, 4, 5$ și frecvențele $4, 6, 5, 3, 2$ ; frecvențele cumulate sunt $4, 10, 15, 18, 20$ .

$Q_{2}$ : rangurile $10$ și $11$ au valorile $2$ și $3$ , deci $Q_{2} = 2, 5$ .
Jumătatea inferioară sunt rangurile $1$ – $10$ ; mediana ei ia termenii de ranguri $5$ și $6$ , amândoi egali cu $2$ , deci $Q_{1} = 2$ .
Jumătatea superioară sunt rangurile $11$ – $20$ ; mediana ei ia termenii de ranguri $15$ și $16$ , adică $3$ și $4$ , deci $Q_{3} = 3, 5$ .

Regula: afli întâi rangurile de care ai nevoie, apoi, pentru fiecare, prima frecvență cumulată care îl atinge.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Inima dafniei, $n$ impar

La un experiment de biologie, s-a numărat de $13$ ori ritmul cardiac al unei dafnii (un mic crustaceu transparent), în bătăi pe minut: $228, 245, 212, 260, 238, 219, 251, 233, 242, 207, 266, 224, 236$ . Determinați cuartilele, amplitudinea și abaterea intercuartilică.

Rezolvare. Șirul ordonat:

$207, 212, 219, 224, 228, 233, 236, 238, 242, 245, 251, 260, 266.$

Cu $n = 13 = 4 \cdot 3 + 1$ , mediana este un termen din set, iar $Q_{1}$ și $Q_{3}$ vor fi medii. Rangul $7$ dă $Q_{2} = 236$ . Jumătățile, de câte șase termeni: $207, 212, 219, 224, 228, 233$ și $238, 242, 245, 251, 260, 266$ . Atunci

$Q_{1} = \frac{219 + 224}{2} = 221, 5, Q_{3} = \frac{245 + 251}{2} = 248.$

$A = 266 - 207 = 59$ de bătăi pe minut, iar $Q_{3} - Q_{1} = 248 - 221, 5 = 26, 5$ bătăi pe minut: jumătatea din mijloc a numărătorilor se încadrează într-un interval de sub $27$ de bătăi.

Exemplul 2 — Gheața de pe lac, $n$ par

Doisprezece elevi au măsurat, de pe podețul unui lac înghețat, prin găuri făcute cu burghiul, grosimea gheții în tot atâtea puncte de lângă podeț, în centimetri: $6, 4; 5, 9; 7, 1; 6, 8; 6, 2; 5, 6; 7, 4; 6, 6; 6, 0; 6, 9; 6, 3; 7, 0$ . Determinați cele trei cuartile și amplitudinea.

Rezolvare. Șirul ordonat: $5, 6; 5, 9; 6, 0; 6, 2; 6, 3; 6, 4; 6, 6; 6, 8; 6, 9; 7, 0; 7, 1; 7, 4$ . Cu $n = 12 = 4 \cdot 3$ , toate cuartilele sunt medii a câte doi termeni:

$Q_{2} = \frac{6 , 4 + 6 , 6}{2} = 6, 5, Q_{1} = \frac{6 , 0 + 6 , 2}{2} = 6, 1, Q_{3} = \frac{6 , 9 + 7 , 0}{2} = 6, 95.$

Amplitudinea este $A = 7, 4 - 5, 6 = 1, 8$ cm. Cum $Q_{1} = 6, 1$ cm și $Q_{3} = 6, 95$ cm, jumătatea din mijloc a punctelor are gheața între $6, 1$ și $6, 95$ cm. Chiar și cea mai groasă valoare, $7, 4$ cm, e prea mică pentru ca un om să calce pe gheață, de aceea măsurătorile s-au făcut de pe podeț.

Exemplul 3 — Citește diagrama: frunzele plantulelor

Diagrama arată câte frunze aveau $40$ de plantule de ridiche după zece zile de la semănat. Determinați cuartilele și amplitudinea.

Numărul de frunze al celor 40 de plantule de ridiche.

Rezolvare. Frecvențele citite sunt $3, 8, 12, 9, 5, 3$ , cu suma $40$ ; frecvențele cumulate: $3, 11, 23, 32, 37, 40$ .

$Q_{2}$ : rangurile $20$ și $21$ sunt amândouă între $12$ și $23$ , adică la valoarea $4$ , deci $Q_{2} = 4$ frunze.
$Q_{1}$ : jumătatea inferioară are rangurile $1$ – $20$ , cu mijlocul la rangurile $10$ și $11$ , amândouă la valoarea $3$ (rangurile $4$ – $11$ ), deci $Q_{1} = 3$ frunze.
$Q_{3}$ : jumătatea superioară are rangurile $21$ – $40$ , cu mijlocul la rangurile $30$ și $31$ , amândouă la valoarea $5$ (rangurile $24$ – $32$ ), deci $Q_{3} = 5$ frunze.

Amplitudinea este $A = 7 - 2 = 5$ frunze, iar $Q_{3} - Q_{1} = 2$ frunze.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Opt elevi au pus câte o linguriță de sare de bucătărie într-un pahar cu apă rece și au cronometrat, amestecând, în secunde, cât a durat până nu s-a mai văzut niciun cristal: $95, 62, 110, 78, 70, 124, 85, 66$ . Un coleg a scris: „Amplitudinea este $95 - 66 = 29$ s, adică prima valoare minus ultima. Jumătatea de jos este $95, 62, 110, 78$ , cu mediana $\frac{62 + 110}{2} = 86$ , deci $Q_{1} = 86$ s.” Găsiți greșelile și dați rezultatele corecte.

Rezolvare. Ambele greșeli au aceeași rădăcină: colegul a lucrat pe lista în ordinea notării. Amplitudinea este diferența dintre maxim și minim, nu dintre prima și ultima valoare scrisă, iar jumătățile se iau din șirul ordonat. Șirul ordonat este

$62, 66, 70, 78, 85, 95, 110, 124.$

Atunci $A = 124 - 62 = 62$ s. Jumătatea inferioară este $62, 66, 70, 78$ , deci $Q_{1} = \frac{66 + 70}{2} = 68$ s; jumătatea superioară $85, 95, 110, 124$ dă $Q_{3} = \frac{95 + 110}{2} = 102, 5$ s, iar $Q_{2} = \frac{78 + 85}{2} = 81, 5$ s. Controlul $Q_{1} \leq Q_{2} \leq Q_{3}$ ar fi semnalat singur greșeala: valoarea $86$ găsită de coleg era mai mare decât mediana corectă.

Exemplul 5 — Furtuna de praf

Un senzor de calitate a aerului montat pe acoperișul unei școli a înregistrat, timp de $12$ zile, concentrația medie zilnică de particule PM10, în micrograme pe metru cub: $18, 22, 25, 19, 27, 31, 24, 21, 26, 23, 20, 143$ ; ultima zi a fost o zi cu furtună de praf. a) Calculați amplitudinea și abaterea intercuartilică pentru toate cele $12$ zile. b) Refaceți calculul fără ziua cu furtună. c) Ce indicator descrie mai bine variația obișnuită a aerului?

Rezolvare. a) Șirul ordonat: $18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 31, 143$ . Cu $n = 12$ , jumătățile au câte șase termeni: $Q_{1} = \frac{20 + 21}{2} = 20, 5$ și $Q_{3} = \frac{26 + 27}{2} = 26, 5$ . Deci $A = 143 - 18 = 125$ µg/m³ și $Q_{3} - Q_{1} = 6$ µg/m³.

b) Rămân $11$ zile: $18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 31$ . Mediana este $23$ , jumătățile $18, 19, 20, 21, 22$ și $24, 25, 26, 27, 31$ , deci $Q_{1} = 20$ și $Q_{3} = 26$ . Atunci $A = 31 - 18 = 13$ µg/m³, iar $Q_{3} - Q_{1} = 6$ µg/m³.

c) Amplitudinea a scăzut de aproape zece ori când am scos o singură zi, iar abaterea intercuartilică nu s-a schimbat. Variația obișnuită a aerului o descrie abaterea intercuartilică; amplitudinea semnalează că a existat un episod extrem. Pentru comparație, valoarea-limită zilnică pentru PM10 stabilită în Uniunea Europeană (Directiva 2008/50/CE) este $50$ µg/m³ — depășită doar în ziua cu furtună.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2 (MAT_P2 2030)

Se consideră setul de date $14, 3, 9, 21, 6, 17, 11, 8, 25$ . a) Determinați amplitudinea setului de date. b) Determinați cuartilele $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ .

Rezolvare. a) Cea mai mică valoare este $3$ , cea mai mare $25$ , deci $A = 25 - 3 = 22$ .

b) Șirul ordonat: $3, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 21, 25$ . Cu $n = 9$ , mediana este termenul de rang $5$ : $Q_{2} = 11$ . Fără el, jumătățile sunt $3, 6, 8, 9$ și $14, 17, 21, 25$ , deci

$Q_{1} = \frac{6 + 8}{2} = 7, Q_{3} = \frac{17 + 21}{2} = 19.$

Cuartilele și amplitudinea sunt în programa probei MAT_P2 din 2030; pentru bacalaureatul M2 din 2027–2029, un astfel de exemplu este exersare, nu o temă a programei de examen.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie șirul ordonat, apoi $Q_{2}$ , jumătățile (spunând dacă termenul median intră sau nu în ele) și abia la final $Q_{1}$ , $Q_{3}$ și ce se mai cere.

1. Determină amplitudinea setului $23, 8, 41, 17, 35$ .

2. Determină $Q_{1}$ , $Q_{2}$ și $Q_{3}$ pentru setul $2, 5, 6, 9, 12, 14, 16$ .

3. Pentru setul $4, 11, 7, 15, 9, 21, 14, 6$ , determină cuartilele, amplitudinea și abaterea intercuartilică.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă adunăm $3$ la fiecare valoare a unui set de date, abaterea intercuartilică crește cu $3$ .”

5. Un set are $23$ de date ordonate. Ce ranguri au termenii din care se obțin $Q_{1}$ , $Q_{2}$ și $Q_{3}$ ? Răspunde la aceeași întrebare pentru un set cu $26$ de date.

6. Un set de date este format din valorile $1, 2, 3, 4, 5$ cu frecvențele $2, 7, 6, 4, 3$ . Determină cuartilele și amplitudinea.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determinați amplitudinea setului de date $- 4, 7, 2, - 9, 5$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determinați cuartilele $Q_{1}$ și $Q_{3}$ ale setului de date $10, 13, 15, 18, 21, 25, 27, 31$ .

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determinați prima cuartilă a setului format din numerele naturale impare mai mici decât $30$ .

10. (Problemă aplicată.) Pentru copiii de un an dintr-un eșantion, un medic are cuartilele masei corporale $Q_{1} = 8, 9$ kg și $Q_{3} = 10, 2$ kg (valori ilustrative, nu date oficiale). Un copil de un an cântărește $9, 6$ kg. a) Aproximativ ce procent dintre copiii eșantionului cântăresc mai puțin de $8, 9$ kg? b) Se află copilul în jumătatea din mijloc a eșantionului? c) Cât este abaterea intercuartilică?

11. Pentru lungimile, în milimetri, ale unor samare de arțar (fructele cu aripioară), s-au obținut: minimul $12$ , $Q_{1} = 18$ , $Q_{2} = 23$ , $Q_{3} = 31$ , maximul $47$ . Calculează amplitudinea și abaterea intercuartilică și spune aproximativ ce procent dintre samare au lungimea între $18$ și $31$ mm.

12. Setul ordonat $2, 4, a, 9, 11, 15, 18, 20$ are $Q_{1} = 5$ . Determină numărul real $a$ și verifică ordonarea.

13. Lungimile a $10$ semințe, măsurate în milimetri, au $Q_{1} = 42$ , $Q_{3} = 57$ și amplitudinea $31$ . Scrie aceleași mărimi în centimetri și calculează abaterea intercuartilică în centimetri.

14. Diametrele, în centimetri, a $10$ ciuperci culese dintr-o poiană sunt $3, 1; 2, 4; 4, 0; 2, 9; 3, 6; 2, 2; 3, 3; 4, 5; 2, 7; 3, 8$ . Scrie, în ordine, minimul, cele trei cuartile și maximul.

15. Poate prima cuartilă să fie egală cu mediana? Justifică cu setul $5, 5, 5, 5, 8, 9$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Determinați abaterea intercuartilică $Q_{3} - Q_{1}$ a setului de date $7, 1, 4, 10, 13, 6, 9$ .

17. Un set de $15$ date distincte are $Q_{1} = 20$ , $Q_{2} = 26$ și $Q_{3} = 31$ . Câte date sunt cel mult egale cu $20$ ? Câte date sunt strict cuprinse între $20$ și $31$ ?

18. (Provocare.) Cinci numere naturale distincte au $Q_{1} = 3$ și $Q_{3} = 9$ . Care este cea mai mică amplitudine posibilă a setului? Dă un exemplu de set care o atinge.

Răspunsuri și explicații

1. Minimul este $8$ , maximul $41$ , deci $A = 41 - 8 = 33$ .

2. Setul este ordonat, $n = 7$ , deci $Q_{2} = 9$ (rangul $4$ ). Fără el, jumătățile sunt $2, 5, 6$ și $12, 14, 16$ , deci $Q_{1} = 5$ și $Q_{3} = 14$ .

3. Șirul ordonat: $4, 6, 7, 9, 11, 14, 15, 21$ . Cu $n = 8$ : $Q_{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10$ , jumătățile $4, 6, 7, 9$ și $11, 14, 15, 21$ , deci $Q_{1} = \frac{6 + 7}{2} = 6, 5$ și $Q_{3} = \frac{14 + 15}{2} = 14, 5$ . Amplitudinea: $21 - 4 = 17$ . Abaterea intercuartilică: $14, 5 - 6, 5 = 8$ .

4. Fals. Dacă adunăm $3$ la fiecare valoare, ordinea nu se schimbă, iar fiecare cuartilă crește cu $3$ . Diferența lor rămâne aceeași: $(Q_{3} + 3) - (Q_{1} + 3) = Q_{3} - Q_{1}$ . Adunarea unei constante mută datele, dar nu le împrăștie.

5. Pentru $n = 23$ : $Q_{2}$ este termenul de rang $12$ ; jumătatea inferioară are rangurile $1$ – $11$ , deci $Q_{1}$ este termenul de rang $6$ ; jumătatea superioară are rangurile $13$ – $23$ , deci $Q_{3}$ este termenul de rang $18$ . Pentru $n = 26$ : $Q_{2}$ este media termenilor de ranguri $13$ și $14$ ; jumătățile au rangurile $1$ – $13$ și $14$ – $26$ , deci $Q_{1}$ este termenul de rang $7$ , iar $Q_{3}$ termenul de rang $20$ .

6. Setul are $n = 22$ de date; frecvențele cumulate sunt $2, 9, 15, 19, 22$ . $Q_{2}$ : rangurile $11$ și $12$ , amândouă la valoarea $3$ , deci $Q_{2} = 3$ . Jumătatea inferioară (rangurile $1$ – $11$ ) are mijlocul la rangul $6$ , cu valoarea $2$ , deci $Q_{1} = 2$ . Jumătatea superioară (rangurile $12$ – $22$ ) are mijlocul la rangul $17$ , cu valoarea $4$ , deci $Q_{3} = 4$ . Amplitudinea: $5 - 1 = 4$ .

7. Minimul este $- 9$ , maximul $7$ , deci $A = 7 - (- 9) = 16$ .

8. Setul are $n = 8$ date ordonate; jumătățile sunt $10, 13, 15, 18$ și $21, 25, 27, 31$ . Deci $Q_{1} = \frac{13 + 15}{2} = 14$ și $Q_{3} = \frac{25 + 27}{2} = 26$ .

9. Numerele sunt $1, 3, 5, \dots, 29$ , adică $n = 15$ termeni. Mediana este termenul de rang $8$ , adică $15$ . Jumătatea inferioară este $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13$ , cu mediana pe rangul $4$ , deci $Q_{1} = 7$ .

10. a) Aproximativ $25%$ , fiindcă $8, 9$ kg este prima cuartilă. b) Da: $8, 9 \leq 9, 6 \leq 10, 2$ , deci copilul se află în intervalul $[Q_{1}, Q_{3}]$ , unde se găsește aproximativ jumătatea din mijloc a eșantionului. c) $Q_{3} - Q_{1} = 10, 2 - 8, 9 = 1, 3$ kg.

11. $A = 47 - 12 = 35$ mm și $Q_{3} - Q_{1} = 31 - 18 = 13$ mm. Între $Q_{1} = 18$ și $Q_{3} = 31$ mm se află aproximativ $50%$ dintre samare.

12. Cu $n = 8$ , jumătatea inferioară este $2, 4, a, 9$ , iar $Q_{1}$ este media termenilor ei din mijloc: $\frac{4 + a}{2} = 5$ , deci $a = 6$ . Ordonarea se păstrează: $4 \leq 6 \leq 9$ .

13. Împărțirea la $10$ păstrează ordinea, deci toate mărimile se împart la $10$ : $Q_{1} = 4, 2$ cm, $Q_{3} = 5, 7$ cm, amplitudinea $3, 1$ cm, iar $Q_{3} - Q_{1} = 5, 7 - 4, 2 = 1, 5$ cm.

14. Șirul ordonat: $2, 2; 2, 4; 2, 7; 2, 9; 3, 1; 3, 3; 3, 6; 3, 8; 4, 0; 4, 5$ . Cu $n = 10$ : $Q_{2} = \frac{3 , 1 + 3 , 3}{2} = 3, 2$ ; jumătățile au câte cinci termeni, deci $Q_{1} = 2, 7$ și $Q_{3} = 3, 8$ . În ordine: $2, 2$ ; $2, 7$ ; $3, 2$ ; $3, 8$ ; $4, 5$ cm.

15. Da. Pentru $5, 5, 5, 5, 8, 9$ ( $n = 6$ ): $Q_{2} = \frac{5 + 5}{2} = 5$ ; jumătatea inferioară $5, 5, 5$ are mediana $5$ , deci $Q_{1} = 5 = Q_{2}$ . Se întâmplă când o valoare se repetă de multe ori; inegalitățile dintre cuartile nu sunt stricte.

16. Șirul ordonat: $1, 4, 6, 7, 9, 10, 13$ ; $n = 7$ , deci $Q_{2} = 7$ , iar jumătățile sunt $1, 4, 6$ și $9, 10, 13$ . Atunci $Q_{1} = 4$ , $Q_{3} = 10$ și $Q_{3} - Q_{1} = 6$ .

17. Cu $n = 15 = 4 \cdot 3 + 3$ , cuartilele sunt termeni din set: $Q_{1}$ este termenul de rang $4$ , $Q_{2}$ de rang $8$ , $Q_{3}$ de rang $12$ . Datele fiind distincte, cel mult egale cu $20$ sunt exact termenii de ranguri $1$ – $4$ , adică $4$ date. Strict între $20$ și $31$ sunt termenii de ranguri $5$ – $11$ , adică $7$ date.

18. Fie $a < b < c < d < e$ numerele ordonate. Cu $n = 5$ , $Q_{2} = c$ , jumătățile sunt $a, b$ și $d, e$ , deci $a + b = 6$ și $d + e = 18$ . Amplitudinea $e - a$ e cea mai mică atunci când $a$ e cât mai mare și $e$ cât mai mic. Din $a < b$ și $a + b = 6$ rezultă $a \leq 2$ ; din $d < e$ și $d + e = 18$ rezultă $e \geq 10$ . Deci $A \geq 10 - 2 = 8$ , iar valoarea $8$ se atinge, de exemplu, pentru $2, 4, 5, 8, 10$ : $Q_{1} = 3$ , $Q_{3} = 9$ , $A = 8$ .

De reținut

Amplitudinea $A = x_{m a x} - x_{m i n}$ se calculează din minim și maxim (nu din prima și ultima valoare notată) și poate fi dominată de o singură măsurătoare.
Cuartilele sunt trei mediane: $Q_{2}$ a întregului set, $Q_{1}$ și $Q_{3}$ ale jumătăților; la $n$ impar, termenul median nu intră în nicio jumătate.
Restul lui $n$ la $4$ spune dinainte dacă $Q_{1}$ și $Q_{3}$ sunt termeni din set ( $n = 4 k + 2$ sau $4 k + 3$ ) sau medii a câte doi termeni ( $n = 4 k$ sau $4 k + 1$ ).
Abaterea intercuartilică $Q_{3} - Q_{1}$ măsoară jumătatea din mijloc a datelor și aproape nu reacționează la o valoare extremă; amplitudinea reacționează puternic.
Cuartilele se interpretează aproximativ ca percentilele $25$ , $50$ și $75$ ; dintr-un tabel se află cu ranguri și frecvențe cumulate.

Greșeli frecvente

Jumătățile alese după medie, nu după rang. Elevul pune în jumătatea de jos toate valorile mai mici decât media; jumătățile se aleg însă după ranguri, câte $\frac{n}{2}$ termeni (sau $\frac{n - 1}{2}$ la $n$ impar), indiferent unde cade media.
Cuartilele scrise ca ranguri. Elevul află că $Q_{1}$ este termenul de rang $6$ și scrie „ $Q_{1} = 6$ ”, în loc să scrie valoarea aflată pe acel rang.
Temperaturile negative scăzute greșit. La un minim de $- 6$ °C și un maxim de $4$ °C, unii scriu amplitudinea $4 - 6 = - 2$ sau $6 - 4 = 2$ °C, uitând semnul minus al minimului; corect este $4 - (- 6) = 10$ °C.
Procentele luate ca exacte la seturi mici. Cu $9$ sau $11$ date nu poți avea exact un sfert din date sub $Q_{1}$ ; procentele $25%$ , $50%$ , $75%$ sunt aproximări, cu atât mai bune cu cât setul e mai mare.
Amplitudinea „corectată” prin ștergerea valorii extreme, fără motiv. Dacă măsurătoarea extremă este reală (ca ziua cu furtună de praf), ea rămâne în date; o descrii separat și folosești abaterea intercuartilică pentru variația obișnuită.

Aplică acasă

Amplitudinea termică a săptămânii. Notează timp de o săptămână temperatura minimă și maximă din fiecare zi (dintr-o aplicație meteo sau de pe un termometru de exterior). Calculează amplitudinea termică a fiecărei zile, apoi cuartilele acestor șapte amplitudini.
Așteptarea la semafor. Cronometrează, timp de $14$ zile, cât aștepți la același semafor în drum spre școală. Înainte de orice calcul, prezice din tabelul secțiunii 6 ( $14 = 4 \cdot 3 + 2$ ) care cuartile vor fi valori din set și care vor fi medii a doi termeni; apoi calculează-le și verifică-ți predicția.
Percentila din carnet. Cere-le părinților carnetul tău de sănătate sau fișa de la medicul de familie și caută dacă masa sau înălțimea au fost notate pe o curbă de creștere. Explică în două fraze, cu cuvintele lecției, ce înseamnă poziția ta pe curbă.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă cuartilele de percentilele pe care părinții le întâlnesc în carnetul de sănătate al copilului și de rapoartele de laborator, apoi le construiește cu o singură convenție (jumătăți, cu termenul median exclus la $n$ impar), aceeași folosită în testul unității și în diagrama boxplot din lecția următoare. Secțiunea 6 arată, pe restul lui $n$ la $4$ , când cuartilele sunt valori din set; exemplul 5 (particulele PM10) arată, pe date plauzibile, de ce abaterea intercuartilică descrie variația obișnuită mai bine decât amplitudinea. Ce verificați în caiet: șirul ordonat, lanțul $x_{m i n} \leq Q_{1} \leq Q_{2} \leq Q_{3} \leq x_{m a x}$ ca autocontrol, unitatea de măsură la fiecare rezultat.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică matematică” numește explicit cuartilele și amplitudinea printre mărimile caracteristice ale seturilor de date, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare” al clasei a X-a, „interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie”, dar nu numește cuartilele și nici amplitudinea. De aceea exercițiile marcate aici poartă mențiunea „MAT_P2 2030”: ele pregătesc proba din 2030, iar pentru bacalaureatul M2 din 2027–2029 sunt doar exersare, nu o temă a programei de examen. Nota capitolului „Matematici financiare”, care cere aplicații din domeniul financiar, privește temele numite acolo; cuartilele nu sunt printre ele, așa că exercițiile de aici nu au contexte financiare. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I nu conține nicio cerință de statistică, iar singura cerință din familia statistică–probabilități este una de probabilități; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Verifică-te cu testul de statistică al unității, apoi treci la diagrama boxplot, care desenează cele cinci numere pe care le-ai calculat în exercițiul 14.

Întrebări frecvente

Ce are în plus lecția pentru științe ale naturii față de cea de la mate-info (M1)? Algoritmul cuartilelor e același. Aici îl lucrezi pe măsurători de laborator și de mediu, îl legi de percentilele din medicină, afli cuartilele direct din tabele de frecvențe și prevezi din restul lui $n$ la $4$ forma rezultatului. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: cuartile și amplitudine, mate-info (M1).

La ce subiect al bacalaureatului M2 pot apărea cuartilele sau amplitudinea? În modelul publicat pentru 2026, Subiectul I are șase cerințe scurte, iar cea din familia statistică–probabilități este o probabilitate. Programa de examen pentru 2027–2029 nu numește cuartilele și nici amplitudinea, deci nu le tratăm ca temă de bacalaureat M2; ele sunt în programa probei MAT_P2 din 2030, domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”.

Ce înseamnă „percentila 90” dacă știu doar cuartilele? Percentila $90$ este valoarea sub care se află aproximativ $90%$ dintre date. Cuartilele sunt trei cazuri particulare: percentilele $25$ , $50$ și $75$ . Percentila $90$ se află în ultimul sfert, între $Q_{3}$ și maxim, iar calculul ei exact nu face parte din programa clasei a X-a.

Cum aflu cuartilele unor date grupate pe clase? Valorile individuale s-au pierdut, deci cuartilele exacte nu se mai pot calcula. Poți afla, ca la mediană, clasa în care cade rangul fiecărei cuartile, cu ajutorul frecvențelor cumulate. O valoare aproximativă se citește apoi pe poligonul frecvențelor cumulate, prin interpolare, și se raportează ca estimare, cu semnul $\approx$ .

Când prefer abaterea intercuartilică amplitudinii? Când te interesează variația obișnuită și datele pot conține episoade extreme reale sau erori: poluarea într-o lună cu o furtună, debitul unui canal de drenaj după o ploaie, timpii de reacție cu o neatenție. Amplitudinea rămâne utilă ca să știi cât de departe au ajuns extremele.

Pot două seturi să aibă aceeași amplitudine, dar abateri intercuartilice foarte diferite? Da. Amplitudinea depinde numai de minim și maxim, abaterea intercuartilică de felul în care se strâng valorile din interior. Un set cu datele înghesuite la mijloc și două valori depărtate are abaterea intercuartilică mică; unul cu datele întinse uniform, mare, chiar dacă extremele sunt aceleași.