Eșantionare: sondaj aleator simplu și sondaj stratificat (M2, științe ale naturii)

Laboratorul unei fabrici de apă îmbuteliată nu are timp să analizeze fiecare dintre zecile de mii de sticle umplute într-o zi. Analizează câteva zeci. Tot rostul controlului stă în felul în care sunt alese aceste sticle: dacă le iei mereu de la începutul schimbului de dimineață, nu afli nimic despre schimbul de noapte. Lecția de față, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), arată două metode prin care alegi eșantionul astfel încât concluzia să poată fi extinsă la toată populația. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține prelucrarea datelor statistice, dispersia și abaterile de la medie, dar nu numește metodele de eșantionare.

În lecția despre etapele unui sondaj ai văzut unde intră alegerea eșantionului în proiect. Aici afli cum se face această alegere și ce se întâmplă cu abaterea standard atunci când o calculezi pe o parte în loc de întreg.

Ce vei învăța

• Vei putea spune când un eșantion este reprezentativ și de ce îți trebuie lista completă a populației.
• Vei ști să extragi un eșantion aleator simplu, inclusiv cu un tabel de cifre aleatoare.
• Vei calcula cotele unui eșantion stratificat proporțional și vei rotunji cotele care nu ies întregi.
• Vei ști să calculezi o estimare ponderată pe straturi și să recunoști estimarea greșită dată de o alocare neproporțională.
• Vei ști să deosebești erorile întâmplătoare, care scad când crește eșantionul, de cele sistematice, care nu scad.
• Vei verifica prin calcul că împrăștierea măsurată pe o parte a populației nu coincide, în general, cu a întregului.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă un eșantion reprezentativ?

Un eșantion reprezentativ este o parte a populației care reproduce, în proporții apropiate, grupele ei importante pentru studiu: grupele de vârstă, zonele, tipurile de producție. Reprezentativitatea nu vine din mărime, ci din metoda de alegere. Mărimea micșorează împrăștierea rezultatelor de la un eșantion la altul; metoda decide dacă aceste rezultate se strâng în jurul valorii adevărate sau în jurul unei valori greșite.

2. De unde alegi? Cadrul de eșantionare

Ca să alegi la întâmplare, ai nevoie de o listă a tuturor membrilor populației, numită cadru de eșantionare: registrul angajaților, catalogul elevilor, inventarul stâlpilor de iluminat ai unui oraș. Orice metodă alege numai din listă. Dacă lista e incompletă, cei care lipsesc au șansa zero de a fi aleși, oricât de corect ai extrage. De pildă, stâlpii montați după ultima inventariere nu vor apărea niciodată în eșantion, iar dacă tocmai ei au alt tip de lampă, rezultatul va descrie doar rețeaua veche.

3. Cum se face un sondaj aleator simplu?

Un sondaj aleator simplu de volum $n$ este o alegere din cadrul de eșantionare făcută astfel încât orice grup de $n$ membri distincți ai populației să aibă aceeași șansă de a fi eșantionul. În particular, fiecare membru are aceeași șansă de a fi ales.

Practic, procedura are trei pași:

1. Numerotezi membrii populației de la $1$ la $N$, cu același număr de cifre (de pildă $001$, $002$, …).
2. Generezi numere la întâmplare: cu un generator dintr-o foaie de calcul, cu bilețele trase dintr-o urnă sau cu un tabel de cifre aleatoare, citit în grupe cu atâtea cifre câte are $N$. Sari peste numerele mai mari decât $N$ și peste cele repetate.
3. Observi exact membrii extrași. Un membru absent se caută din nou; nu îl înlocuiești cu cel mai apropiat, altfel întâmplarea e înlocuită de comoditate.

Raportul $\frac{n}{N}$ este fracția de sondaj din lecția despre populație, eșantion și caracteristică: partea din populație care ajunge în eșantion.

4. Ce faci când populația are grupe clar diferite?

Dacă populația se împarte în grupe care diferă tocmai după caracteristica studiată, un eșantion aleator simplu mic poate ieși, din întâmplare, dezechilibrat. Remediul este sondajul stratificat. Populația se împarte în straturi: grupe care nu au membri comuni și care, împreună, acoperă toată populația, adică o partiție a mulțimii, ca în lecția despre mulțimi și operații cu mulțimi. Din fiecare strat se extrage apoi un eșantion aleator simplu.

La alocarea proporțională, fiecare strat primește în eșantion o cotă proporțională cu mărimea lui. Dacă stratul $i$ are $N_i$ membri, cota lui este

$$n_i=\frac{N_i}{N}\cdot n.$$

Echivalent, fiecare strat contribuie cu aceeași fracție de sondaj $\frac{n}{N}$ din efectivul său. Controlul obligatoriu este suma cotelor, care trebuie să dea exact $n$.

5. Ce faci dacă cotele nu ies numere întregi?

Formula dă adesea cote cu zecimale, iar un eșantion nu poate conține jumătăți de lot. Regula folosită aici se numește metoda resturilor celor mai mari: păstrezi întâi partea întreagă a fiecărei cote, calculezi câte locuri mai lipsesc până la $n$ și le dai, câte unul, straturilor cu cele mai mari părți fracționare. Rotunjirea fiecărei cote la cel mai apropiat întreg merge de multe ori, dar poate da o sumă cu unu mai mare sau mai mică decât $n$; metoda resturilor garantează suma exactă.

6. Care erori scad când crește eșantionul?

Diferența dintre rezultatul unui eșantion și valoarea din populație are două componente.

Eroarea întâmplătoare apare fiindcă eșantionul conține doar o parte din populație; dacă repeți extragerea, fiecare eșantion corect ales dă alt rezultat, dar rezultatele se strâng în jurul valorii adevărate. Ea scade când crește $n$.

Erorile sistematice deplasează rezultatul mereu în aceeași direcție: cadrul incomplet, eșantionul de conveniență, non-răspunsul, alocarea neproporțională neurmată de ponderare. Ele nu scad când crește $n$; un eșantion mai mare le reproduce doar mai convingător.

7. De ce diferă împrăștierea măsurată pe o parte de cea a întregului?

Formula abaterii standard o cunoști din lecția despre abaterea standard: media pătratelor abaterilor față de medie, sub radical. Aplicată pe un eșantion, ea descrie împrăștierea valorilor din eșantion, care depinde de valorile care au ajuns acolo.

Ia populația mică $3,5,9,11$. Media ei este $7$, abaterile sunt $-4,-2,2,4$, iar $\sigma =\sqrt{\frac{16+4+4+16}{4}}=\sqrt{10}\approx 3,16$. Eșantionul $5,9$, format din valorile din mijloc, are media $7$ și $\sigma =2$. Eșantionul $3,11$, format din valorile extreme, are aceeași medie, dar $\sigma =4$. Aceeași populație, aceeași medie, trei abateri standard diferite.

Concluzia pe care o cere programa: valoarea obținută pe eșantion doar aproximează abaterea standard a populației și poate ieși mai mică sau mai mare decât ea. În lecțiile M2 calculezi abaterea standard împărțind la numărul de valori, și pe populație, și pe eșantion; unele foi de calcul au și o funcție care împarte la $n-1$, folosită doar când enunțul o cere explicit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Extragerea cu un tabel de cifre aleatoare

Cele $480$ de panouri ale unui parc fotovoltaic sunt numerotate de la $001$ la $480$. Pentru verificarea randamentului pe un eșantion aleator simplu de $5$ panouri se citește, de la stânga la dreapta, rândul de cifre aleatoare: $527093314481093206775048162$. Care panouri intră în eșantion și care este fracția de sondaj?

Rezolvare. Numerele au trei cifre, deci citim grupe de câte trei și le comparăm cu $480$:

Eșantionul este format din panourile $93$, $314$, $206$, $48$ și $162$. Fracția de sondaj este $\frac{5}{480}=\frac{1}{96}$. Observă că $481$ se sare, deși e foarte aproape de $480$: nu există panoul cu acest număr.

Exemplul 2 — Alocare proporțională pe trei straturi

O fabrică de lapte are trei schimburi, care umplu într-o zi $2400$, $1800$ și, respectiv, $1200$ de sticle. Laboratorul analizează $90$ de sticle pe zi, alese stratificat după schimb, cu alocare proporțională. Câte sticle se iau din fiecare schimb?

Rezolvare. Populația are $N=2400+1800+1200=5400$ de sticle, deci fracția de sondaj este $\frac{90}{5400}=\frac{1}{60}$. Cotele:

$$n_1=\frac{2400}{60}=40,n_2=\frac{1800}{60}=30,n_3=\frac{1200}{60}=20.$$

Verificare: $40+30+20=90$. Din fiecare schimb, sticlele se aleg la întâmplare, de pildă după ora umplerii, extrasă aleator.

Exemplul 3 — Cote care nu ies întregi

Un institut agricol are $1000$ de loturi experimentale, pe patru tipuri de sol: $370$ pe cernoziom, $290$ pe sol aluvial, $220$ pe sol argilos și $120$ pe sol nisipos. Se analizează producția pe un eșantion stratificat proporțional de $60$ de loturi. Determină cotele.

Rezolvare. Fracția de sondaj este $\frac{60}{1000}=0,06$. Cotele exacte:

$$0,06\cdot 370=22,2,0,06\cdot 290=17,4,0,06\cdot 220=13,2,0,06\cdot 120=7,2.$$

Părțile întregi sunt $22$, $17$, $13$ și $7$, cu suma $59$: lipsește un loc. Resturile sunt $0,2$; $0,4$; $0,2$; $0,2$, cel mai mare fiind la solul aluvial. Cotele finale: $22$, $18$, $13$, $7$, cu suma $60$.

Rotunjirea fiecărei cote la cel mai apropiat întreg ar fi dat $22$, $17$, $13$, $7$, adică tot $59$; de aceea e nevoie de regula resturilor.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: alocarea egală pe straturi inegale

O comună are $900$ de gospodării la câmpie și $300$ pe deal. Un elev vrea să afle ce procent din gospodării colectează apa de ploaie pentru grădină. Alege câte $30$ de gospodării din fiecare zonă și găsește $6$ care colectează apa la câmpie și $18$ pe deal. El scrie: „$\frac{6+18}{60}=40\%$ dintre gospodăriile comunei.” Unde greșește și care este estimarea corectă?

Rezolvare. Alocarea nu este proporțională: câmpia are de trei ori mai multe gospodării decât dealul, dar a primit același număr de locuri în eșantion. Dealul, unde colectarea e mai răspândită, apare supradimensionat, iar procentul comun e deplasat în sus.

Estimarea corectă se face pe fiecare strat, apoi se ponderează cu mărimea straturilor:

• câmpia: $\frac{6}{30}=0,2$, deci aproximativ $0,2\cdot 900=180$ de gospodării;
• dealul: $\frac{18}{30}=0,6$, deci aproximativ $0,6\cdot 300=180$ de gospodării.

Pe toată comuna: $\frac{180+180}{1200}=\frac{360}{1200}=0,3=30\%$, nu $40\%$.

Exemplul 5 — Abaterea standard a două eșantioane

Cele $8$ plăntuțe de ovăz dintr-un ghiveci au înălțimile, în centimetri: $12,14,15,17,18,20,21,27$. Calculează abaterea standard a populației, apoi pe cea a eșantioanelor $E_1$: $15,17,18,20$ și $E_2$: $12,14,21,27$.

Rezolvare. Populația: suma este $144$, media $\frac{144}{8}=18$ cm. Abaterile: $-6,-4,-3,-1,0,2,3,9$, cu suma pătratelor $36+16+9+1+0+4+9+81=156$. Deci $\sigma =\sqrt{\frac{156}{8}}=\sqrt{19,5}\approx 4,42$ cm.

$E_1$: media $\frac{70}{4}=17,5$ cm, abaterile $-2,5;-0,5;0,5;2,5$, suma pătratelor $13$, deci ${\sigma }_{E_1}=\sqrt{\frac{13}{4}}=\sqrt{3,25}\approx 1,80$ cm.

$E_2$: media $\frac{74}{4}=18,5$ cm, abaterile $-6,5;-4,5;2,5;8,5$, suma pătratelor $141$, deci ${\sigma }_{E_2}=\sqrt{\frac{141}{4}}=\sqrt{35,25}\approx 5,94$ cm.

$E_1$, cu valori din mijloc, subestimează împrăștierea populației; $E_2$, care conține ambele extreme, o supraestimează.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

O fermă are $1800$ de găini ouătoare în hala $A$ și $1200$ în hala $B$. Medicul veterinar examinează un eșantion stratificat proporțional de $150$ de găini.

a) Calculează fracția de sondaj și câte găini se examinează din fiecare hală. b) Printre găinile examinate, $9$ din hala $A$ și $12$ din hala $B$ au paraziți. Estimează numărul găinilor cu paraziți din fermă. c) În care hală sunt, proporțional, mai multe găini cu paraziți?

Rezolvare.

a) $N=3000$, deci fracția de sondaj este $\frac{150}{3000}=\frac{1}{20}=5\%$. Cotele: $\frac{1800}{20}=90$ din hala $A$ și $\frac{1200}{20}=60$ din hala $B$; $90+60=150$.

b) Hala $A$: $\frac{9}{90}\cdot 1800=180$; hala $B$: $\frac{12}{60}\cdot 1200=240$. Estimarea: aproximativ $180+240=420$ de găini cu paraziți.

c) În eșantion, hala $A$ are $\frac{9}{90}=10\%$ găini cu paraziți, iar hala $B$ are $\frac{12}{60}=20\%$. Proporțional, paraziții sunt de două ori mai răspândiți în hala $B$, deși estimările absolute, $180$ și $240$ de găini, par apropiate.

Partea a), alocarea pe straturi, ține de programa nouă (MAT_P2 2030); părțile b) și c) sunt prelucrare de date, ca la bacalaureatul M2 din 2027–2029.

Să exersăm

La fiecare alocare, verifică suma cotelor. La abaterea standard, împarte la numărul de valori, dacă enunțul nu cere altfel.

1. O bancă de semințe are $720$ de plicuri numerotate și vrea un eșantion aleator simplu de $45$ de plicuri pentru un test de germinare. Calculează fracția de sondaj și descrie procedura.

2. Populația are $250$ de membri, numerotați de la $001$ la $250$. Citește grupe de trei cifre din rândul $418072250911072135006247$ și scrie primii $4$ membri ai unui eșantion aleator simplu.

3. Un acvariu public are $640$ de pești de apă dulce și $320$ de pești marini. Pentru un control veterinar se alege un eșantion stratificat proporțional de $48$ de pești. Determină cotele.

4. O asociație de apicultori are $2000$ de colonii de albine: $900$ la câmpie, $600$ la deal și $500$ la munte. Determină cotele unui eșantion stratificat proporțional de $100$ de colonii.

5. Un cabinet medical are înscriși $535$ de adulți sub $65$ de ani, $305$ copii și $160$ de vârstnici. Determină cotele unui eșantion stratificat proporțional de $45$ de persoane, rotunjind cu metoda resturilor celor mai mari.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „După rotunjirea cotelor unei alocări proporționale, fiecare membru al populației are exact aceeași șansă de a fi ales.” Folosește datele de la exercițiul 5.

7. Pentru fiecare situație, alege între sondajul aleator simplu și cel stratificat și justifică: a) timpul de reacție al angajaților unei fabrici, unde lucrătorii tineri și cei apropiați de pensie pot diferi mult; b) masa unor pastile fabricate pe aceeași linie, în aceleași condiții.

8. Un ornitolog vrea să estimeze densitatea unei specii de pițigoi într-o pădure și numără păsările doar de-a lungul drumului forestier, pe unde se circulă ușor. Ce fel de eroare introduce și cum ar trebui aleasă zona de observație?

9. Clasifică drept întâmplătoare sau sistematice: a) două eșantioane aleatoare din aceeași populație dau $41\%$ și $44\%$; b) lista folosită nu conține locuitorii mutați în ultimul an; c) răspund doar cei care au timp liber; d) un eșantion stratificat e analizat fără ponderare, deși alocarea nu a fost proporțională.

10. Un sondaj despre obiceiurile adolescenților folosește drept cadru de eșantionare lista numerelor de telefon fix din oraș. Ce problemă are acest cadru?

11. Un cartier are $1600$ de apartamente la bloc și $400$ de case. Un eșantion stratificat proporțional de $50$ de locuințe găsește centrală termică proprie în $12$ apartamente și în $9$ case. Calculează cotele, estimarea ponderată a procentului de locuințe cu centrală proprie și procentul calculat direct pe eșantion. Ce observi?

12. Cele $6$ larve de salamandră dintr-un acvariu de laborator au lungimile, în milimetri: $18,20,23,25,27,31$. Calculează media și abaterea standard a acestei populații.

13. Din populația de la exercițiul 12 se pot forma $15$ eșantioane de câte două larve. Câte dintre ele au abaterea standard mai mică decât cea a populației?

14. Trei ferme au $600$, $300$ și $100$ de vaci de lapte. Din fiecare fermă s-au ales la întâmplare câte $10$ vaci, cu producția medie zilnică de $24$, $18$ și $12$ litri. Estimează producția medie zilnică pe vacă a celor trei ferme la un loc și explică de ce media celor $30$ de vaci alese nu e o estimare bună.

15. (Problemă aplicată.) O fabrică produce într-o zi $12000$ de fiole pe trei linii: $6000$, $4000$ și $2000$. Controlul verifică un eșantion stratificat proporțional de $240$ de fiole și găsește $3$, $4$ și $1$ fiole defecte pe cele trei linii. Estimează numărul de fiole defecte produse în acea zi.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Abaterea standard a masei celor $400$ de gutui dintr-o ladă este $12$ g. Un eșantion de $5$ gutui are masele $158,161,162,170,174$ g. Calculează media și abaterea standard a eșantionului și compar-o cu cea a populației.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Un depozit are $3200$ de saci de îngrășământ, livrați de trei fabrici: $1400$, $1000$ și $800$. Pentru un test de umiditate se alege un eșantion stratificat proporțional de $80$ de saci. Calculează fracția de sondaj și cotele și verifică suma lor.

18. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Într-un oraș sunt $40$ de firme de taxi. O asociație a consumatorilor alege la întâmplare $5$ dintre ele și notează prețul unei curse de $5$ km: $17,19,21,24,29$ lei. a) Calculează fracția de sondaj. b) Calculează prețul mediu și abaterea standard a prețurilor din eșantion.

Răspunsuri și explicații

1. Fracția de sondaj este $\frac{45}{720}=\frac{1}{16}=0,0625=6,25\%$. Procedura: cu generatorul unei foi de calcul se obțin $45$ de numere diferite între $1$ și $720$, iar germinarea se testează pe plicurile care poartă aceste numere.

2. $418$ este peste $250$, deci se sare; $072$ se alege; $250$ se alege, fiindcă membrul $250$ există; $911$ se sare; $072$ e repetat, deci se sare; $135$ și $006$ se aleg. Primii patru membri sunt $72$, $250$, $135$ și $6$.

3. $N=960$, fracția de sondaj $\frac{48}{960}=\frac{1}{20}$. Cotele: $\frac{640}{20}=32$ de pești de apă dulce și $\frac{320}{20}=16$ pești marini; $32+16=48$.

4. Fracția de sondaj este $\frac{100}{2000}=\frac{1}{20}$. Cotele: $\frac{900}{20}=45$, $\frac{600}{20}=30$, $\frac{500}{20}=25$; $45+30+25=100$.

5. Fracția este $\frac{45}{1000}=0,045$. Cotele exacte: $0,045\cdot 535=24,075$, $0,045\cdot 305=13,725$, $0,045\cdot 160=7,2$. Părțile întregi $24$, $13$, $7$ au suma $44$; locul lipsă merge la restul cel mai mare, $0,725$. Cotele: $24$ adulți, $14$ copii, $7$ vârstnici; $24+14+7=45$.

6. Fals. Un membru al unui strat are șansa $\frac{n_i}{N_i}$ de a fi ales. La exercițiul 5: $\frac{24}{535}\approx 0,0449$ pentru adulți, $\frac{14}{305}\approx 0,0459$ pentru copii și $\frac{7}{160}\approx 0,0438$ pentru vârstnici. Șansele sunt egale doar când cotele exacte ies întregi; după rotunjire diferă puțin, fără să strice metoda.

7. a) Stratificat, pe grupe de vârstă: caracteristica depinde de vârstă, iar fiecare grupă trebuie reprezentată în proporția ei. b) Aleator simplu: pastilele provin din aceleași condiții, deci nu există grupe care să merite straturi separate.

8. Este o eroare sistematică, de tip eșantion de conveniență: marginea drumului are altă lumină, alt zgomot și altă vegetație decât interiorul pădurii, deci densitatea măsurată acolo nu o reprezintă pe cea din toată pădurea. Corect: se împarte pădurea într-o rețea de pătrate numerotate și se aleg la întâmplare pătratele de observație.

9. a) întâmplătoare; b) sistematică (cadru incomplet); c) sistematică (autoselecție); d) sistematică (straturile sunt reprezentate în alte proporții decât în populație).

10. Cadrul este incomplet tocmai pentru populația studiată: multe familii nu mai au telefon fix, iar adolescenții folosesc aproape numai telefoane mobile. Cei care lipsesc din listă nu pot fi aleși, oricât de mare ar fi eșantionul.

11. Fracția de sondaj este $\frac{50}{2000}=\frac{1}{40}$, deci cotele sunt $40$ de apartamente și $10$ case. Estimarea ponderată: $\frac{12}{40}\cdot 1600=480$ și $\frac{9}{10}\cdot 400=360$, adică $\frac{840}{2000}=0,42=42\%$. Direct pe eșantion: $\frac{21}{50}=0,42$, același rezultat. La alocarea proporțională, procentul din eșantion coincide cu estimarea ponderată; doar alocarea neproporțională cere ponderare.

12. Suma este $144$, media $\frac{144}{6}=24$ mm. Abaterile: $-6,-4,-1,1,3,7$, cu suma pătratelor $36+16+1+1+9+49=112$. Deci $\sigma =\sqrt{\frac{112}{6}}\approx 4,32$ mm.

13. Pentru două valori $a<b$, media este $\frac{a+b}{2}$, iar abaterile sunt $\pm \frac{b-a}{2}$, deci abaterea standard este $\frac{b-a}{2}$. Ea e mai mică decât $\sigma \approx 4,32$ mm exact când $b-a<8,64$, adică, pentru lungimi întregi, când $b-a\le 8$. Diferențele celor $15$ perechi sunt $2,5,7,9,13$ (perechile cu $18$), $3,5,7,11$ (cu $20$), $2,4,8$ (cu $23$), $2,6$ (cu $25$) și $4$ (perechea $27,31$). Trec de $8$ numai $9$, $13$ și $11$, deci $12$ eșantioane din $15$ au abaterea standard mai mică decât populația.

14. Fiecare medie se ponderează cu mărimea fermei: $\frac{600\cdot 24+300\cdot 18+100\cdot 12}{1000}=\frac{14400+5400+1200}{1000}=21$ de litri pe vacă. Media celor $30$ de vaci alese este $\frac{10\cdot 24+10\cdot 18+10\cdot 12}{30}=18$ litri, prea mică: ferma mică, cu vaci mai puțin productive, a primit tot atâtea locuri ca ferma mare, deși are de șase ori mai puține animale.

15. Fracția de sondaj: $\frac{240}{12000}=\frac{1}{50}$, cotele $120$, $80$ și $40$. Estimări pe linii: $\frac{3}{120}\cdot 6000=150$, $\frac{4}{80}\cdot 4000=200$, $\frac{1}{40}\cdot 2000=50$. În total, aproximativ $400$ de fiole defecte. Verificare: $\frac{8}{240}\cdot 12000=400$, cum era de așteptat la alocarea proporțională.

16. Media: $\frac{825}{5}=165$ g. Abaterile: $-7,-4,-3,5,9$, cu suma pătratelor $49+16+9+25+81=180$. Deci $\sigma =\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6$ g, de două ori mai mică decât cea a populației, de $12$ g: cele cinci gutui nu conțin nicio valoare extremă a lăzii.

17. Fracția de sondaj: $\frac{80}{3200}=\frac{1}{40}$. Cotele: $\frac{1400}{40}=35$, $\frac{1000}{40}=25$, $\frac{800}{40}=20$. Verificare: $35+25+20=80$.

18. a) $\frac{5}{40}=\frac{1}{8}=12,5\%$. b) Media este $\frac{110}{5}=22$ de lei; abaterile $-5,-3,-1,2,7$ au suma pătratelor $25+9+1+4+49=88$, deci $\sigma =\sqrt{\frac{88}{5}}=\sqrt{17,6}\approx 4,20$ lei. Valoarea descrie cele cinci firme alese; pentru toate cele $40$ este doar o aproximare.

De reținut

• Un eșantion este reprezentativ dacă îi seamănă populației după caracteristicile care contează; reprezentativitatea vine din metodă și dintr-un cadru de eșantionare complet.
• În sondajul aleator simplu, orice grup de $n$ membri are aceeași șansă; practic, numerotezi, extragi numere la întâmplare și sari peste cele prea mari sau repetate.
• În sondajul stratificat proporțional, $n_i=\frac{N_i}{N}\cdot n$, cu $\sum n_i=n$; cotele neîntregi se completează după resturile cele mai mari.
• La alocarea neproporțională, estimarea se face pe straturi și se ponderează cu mărimile lor; erorile sistematice nu scad când crește eșantionul, cele întâmplătoare scad.
• Abaterea standard a unui eșantion este o estimare a celei din populație și poate ieși mai mică sau mai mare, chiar când mediile coincid.

Greșeli frecvente

• Citirea tabelului de cifre aleatoare cu grupe de lungime greșită. Pentru o populație de $480$ se citesc grupe de trei cifre; grupele de două cifre ar da numai membrii $0$–$99$, deci restul populației n-ar putea fi ales niciodată.
• Păstrarea numerelor care depășesc populația „prin rotunjire”. Grupa $481$ nu se transformă în $480$; se sare, altfel ultimul membru ar avea o șansă mai mare decât ceilalți.
• Rotunjirea separată a cotelor fără verificarea sumei. Fiecare cotă rotunjită corect poate da, împreună, un eșantion cu un membru în plus sau în minus.
• Adunarea directă a rezultatelor unor straturi cu alocare egală. Când straturile au mărimi diferite, procentul calculat direct pe eșantion este deplasat spre stratul supradimensionat; e nevoie de ponderare.
• Concluzia că media egală înseamnă și împrăștiere egală. Două eșantioane cu media populației pot avea abateri standard foarte diferite.

Aplică acasă

1. Rândul tău de cifre aleatoare. Folosește generatorul de numere aleatoare al unui calculator sau al unei foi de calcul pentru a scrie un rând de $30$ de cifre. Numerotează cărțile dintr-un raft și extrage cu el un eșantion de $4$ cărți, notând ce grupe ai sărit.
2. Straturile din casă. Numără borcanele din cămară pe categorii (dulcețuri, murături, conserve de legume) și calculează cotele unui eșantion stratificat proporțional de $10$ borcane, cu metoda resturilor celor mai mari.
3. Împrăștierea eșantioanelor. Măsoară lungimea a $8$ frunze de pe aceeași plantă, calculează abaterea standard a celor opt valori, apoi a trei eșantioane de câte trei frunze. Notează care eșantion a subestimat și care a supraestimat împrăștierea.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă rândul din programa clasei a X-a care leagă eșantionarea de abaterea standard: „limitări și erori de eșantionare (sondaj aleator simplu/sondaj stratificat); abatere standard: formulă, interpretare”, cu precizarea explicită că valoarea calculată pe eșantion poate fi alta decât cea a populației. Accentul cade pe trei deprinderi verificabile: extragerea corectă cu un tabel de cifre aleatoare, alocarea proporțională cu suma exactă și citirea critică a unei estimări calculate pe straturi. Convenția profilului se păstrează: abaterea standard se calculează cu împărțire la numărul de valori, și pe eșantion, și pe populație.

Întrebări bune de control: „Ce grupe citești din tabel și de ce?”; „Suma cotelor dă volumul eșantionului?”; „De ce procentul calculat direct e greșit când alocarea nu e proporțională?”. Pasul următor este lecția despre experiment aleator și evenimente, în care întâmplarea folosită aici la extragere devine obiect de studiu. Exercițiile de recapitulare sunt în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: sondaj aleator simplu și stratificat, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul de statistică numește „sondaj aleator simplu/sondaj stratificat” și abaterea standard a unui eșantion, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține „culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice” și „interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie”, dar nu numește metodele de eșantionare. De aceea marcăm „tip Bacalaureat M2” exercițiile cu procente, estimări și abateri standard, iar pe cel care cere doar alocarea stratificată „MAT_P2 2030”; Exemplul 6 își ia titlul după cerințele lui principale, de prelucrare. Nota capitolului „Matematici financiare” din programa din 2014 cere ca aplicațiile să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget): exercițiul 18 are context financiar (prețul curselor de taxi), iar exercițiul 16 și Exemplul 6 au contexte de livadă și de fermă. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține nicio cerință de statistică; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce este un cadru de eșantionare? Este lista completă a membrilor populației din care se face extragerea: catalogul elevilor, registrul unei ferme, inventarul unui parc fotovoltaic. Orice metodă alege numai din listă, așa că membrii care lipsesc din ea au șansa zero de a fi aleși. De aceea calitatea listei contează la fel de mult ca metoda de extragere.

Cum folosesc un tabel de cifre aleatoare? Numerotezi populația cu același număr de cifre, apoi citești tabelul în grupe de atâtea cifre câte are cel mai mare număr. Păstrezi grupele care corespund unui membru existent și sari peste cele prea mari sau deja alese, până strângi volumul dorit al eșantionului.

Când e mai bun sondajul stratificat decât cel aleator simplu? Când populația are grupe clar diferite tocmai după caracteristica studiată, de exemplu vârste, zone sau linii de producție. Stratificarea garantează că fiecare grupă e reprezentată în proporția ei. La o populație fără grupe distincte, stratificarea complică lucrul fără niciun folos, iar alegerea aleatoare simplă ajunge.

Pot afla exact abaterea standard a populației dintr-un singur eșantion? Nu. Calculul pe eșantion descrie doar valorile care au ajuns în el: un eșantion cu valori din mijloc arată o împrăștiere mai mică, unul cu valori extreme o arată mai mare. Rezultatul este o aproximare, iar două eșantioane diferite din aceeași populație dau, de obicei, două valori diferite.

Ce diferă față de lecția de mate-info (M1) despre eșantionare? Lecția M2 calculează abaterea standard a eșantionului tot cu împărțire la numărul de valori, convenția profilului, și adaugă tabelul de cifre aleatoare, rotunjirea cotelor după resturile cele mai mari și estimarea ponderată pe straturi. Lecția M1 folosește pentru eșantioane formula cu împărțire la $n-1$.

La ce subiect apare eșantionarea la bacalaureatul M2? Programa de examen 2027–2029 nu numește eșantionarea, dar conține prelucrarea datelor statistice, dispersia și abaterile de la medie. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are nicio cerință de statistică la Subiectul I. Pentru proba MAT_P2 din 2030, tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”.