Forma algebrică a unui număr complex (M2, științe ale naturii)

Într-un tabel de optică, indicele de refracție al siliciului pentru lumina roșie a unui laser apare scris $3,88+0,02i$. Cele două numere reale din această scriere spun lucruri diferite: primul descrie refracția luminii în material, al doilea cât de repede se stinge lumina pe drum. Tabelul le păstrează împreună, într-un singur număr, dar fără să le amestece. Același rol îl are scrierea $a+bi$ a numerelor complexe, subiectul acestei lecții de clasa a X-a, la științe ale naturii (M2). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține numerele complexe sub formă algebrică la clasa a X-a; în varianta-model pentru 2026, prima cerință a lucrării pornește de la două numere complexe scrise chiar în această formă.

În lecția despre nevoia de numere complexe la M2 ai folosit unitatea imaginară $i$, cu $i^2=-1$, ca să rezolvi ecuații de forma $x^2=-k$. Soluțiile acelea erau numere de forma $bi$. Acum vei vedea cum arată un număr complex oarecare, cum i se citesc cele două părți și cum se clasifică.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii un număr complex sub forma $a+bi$ și să citești partea reală și partea imaginară, cu semnul lor.
• Vei ști să recunoști numerele reale, numerele pur imaginare și pe cele nereale, pornind de la cele două părți.
• Vei ști să așezi mulțimea $\mathbb{C}$ la capătul lanțului de mulțimi de numere pe care le cunoști.
• Vei ști să aduci la forma $a+bi$ expresii care conțin $i^2$, radicali din numere negative sau un numitor real.
• Vei ști să traduci cerințe de tipul „numărul este real” sau „numărul este pur imaginar” în ecuații pentru un parametru real.
• Vei ști să citești partea reală și partea imaginară într-o mărime din optică.

Hai să descoperim împreună

1. Cum arată un număr complex?

Numărul complex este un număr care se scrie sub forma $z=a+bi$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, iar $i$ este unitatea imaginară, cu $i^2=-1$. Scrierea $a+bi$ se numește forma algebrică a numărului $z$, iar mulțimea tuturor numerelor complexe se notează $\mathbb{C}$. Câteva numere scrise astfel: $-13+2i$, $\frac{1}{3}-5i$, $12$ și $-i\sqrt{7}$. Ultimele două par incomplete, dar se încadrează în formă: $12=12+0i$, iar $-i\sqrt{7}=0+\left(-\sqrt{7}\right)i$.

În forma algebrică, numărul fără $i$ se scrie întâi, iar coeficientul lui $i$ după el. Ordinea este o convenție de scriere, nu o regulă de calcul: $5i+2$ și $2+5i$ sunt același număr. Convenția ajută însă la citire, pentru că fiecare parte are locul ei.

2. Două numere reale într-o singură scriere

Pentru $z=a+bi$, cu $a$ și $b$ reale, numărul $a$ se numește partea reală a lui $z$, notată $\mathrm{Re}(z)$, iar numărul $b$ se numește partea imaginară, notată $\mathrm{Im}(z)$. Amândouă sunt numere reale: partea imaginară este coeficientul lui $i$, fără $i$.

Să urmărim citirea pe un număr care nu mai apare în lecție, $z=-\frac{7}{2}-11i$. Scriem numărul ca $-\frac{7}{2}+(-11)i$, ca să se vadă coeficientul lui $i$ cu semnul lui. Atunci $\mathrm{Re}(z)=-\frac{7}{2}$ și $\mathrm{Im}(z)=-11$. Semnul din fața lui $11i$ aparține părții imaginare.

Când $i$ apare înaintea părții reale, ca în $z=4i-9$, rearanjezi întâi termenii: $z=-9+4i$, deci $\mathrm{Re}(z)=-9$ și $\mathrm{Im}(z)=4$. Primul număr din scriere nu este neapărat partea reală; partea reală este termenul fără $i$.

3. Ce tipuri de numere complexe au nume proprii?

După valorile celor două părți, numerele complexe se împart astfel:

• un număr cu $\mathrm{Im}(z)=0$ este real: $z=a+0i=a$;
• un număr cu $\mathrm{Re}(z)=0$ și $\mathrm{Im}(z)\ne 0$ este pur imaginar: $z=bi$, cu $b\ne 0$;
• un număr cu $\mathrm{Im}(z)\ne 0$ este nereal; numerele pur imaginare sunt, deci, și ele nereale.

Numărul $0=0+0i$ are ambele părți nule și intră în prima categorie: este real, nu pur imaginar. De aceea condiția pentru „pur imaginar” are două bucăți: o parte reală nulă și un coeficient al lui $i$ nenul. Soluțiile ecuațiilor $x^2=-k$ din lecția precedentă, de tipul $\pm i\sqrt{k}$ cu $k>0$, sunt toate numere pur imaginare. Categoriile se stabilesc numai după forma algebrică finală: o scriere lungă, cu $i$ în mai multe locuri, poate ascunde un număr real, iar una scurtă poate fi un număr nereal.

4. Unde se așază ℝ în ℂ?

Orice număr real $a$ se scrie $a+0i$, deci este și număr complex. Prin urmare mulțimea numerelor reale este inclusă în mulțimea numerelor complexe, iar lanțul mulțimilor de numere devine

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}.$$

Incluziunea ultimă este strictă: numărul $i=0+1i$ nu este real. Figura A arată lanțul ca un șir de chenare incluse unul în altul, cu câte un exemplu în fiecare inel. Pentru un număr dat, întrebarea utilă este „care este cea mai mică mulțime din lanț care îl conține?”: pentru $-5$ răspunsul este $\mathbb{Z}$, pentru $\frac{2}{9}$ este $\mathbb{Q}$, pentru $\sqrt{11}$ este $\mathbb{R}$, iar pentru $3-i$ este $\mathbb{C}$. Numerele complexe se pot reprezenta și ca puncte; o vei face în lecția M2 despre planul complex.

5. Cum ajungi la forma a + bi când scrierea o ascunde?

Multe numere complexe apar într-o scriere care nu este încă forma algebrică. Până la lecțiile despre operații ai trei unelte:

1. înlocuiești $i^2$ cu $-1$;
2. scrii $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$ pentru $k>0$;
3. dacă numărul are un numitor real, împarți la el și partea reală, și partea imaginară.

Apoi grupezi termenii fără $i$ într-o parte și termenii cu $i$ în cealaltă. De exemplu, $10+2i^2-3i=10-2-3i=8-3i$, iar $\frac{-9+\sqrt{-4}}{2}=\frac{-9+2i}{2}=-\frac{9}{2}+i$.

De ce se împart amândouă părțile la numitor? Pentru că o fracție cu numitor real înseamnă înmulțirea întregului număr cu inversul numitorului, iar această înmulțire acționează asupra fiecărui termen, exact ca la o fracție cu numitor comun din clasa a VIII-a. O verificare rapidă: înmulțește rezultatul înapoi cu numitorul și trebuie să regăsești numărătorul de la care ai pornit.

Un număr scris ca fracție cu $i$ la numitor, de pildă $\frac{4+i}{2i}$, nu este în formă algebrică, iar din el nu se pot citi direct cele două părți. Asemenea numere se aduc la forma $a+bi$ după ce vei învăța împărțirea numerelor complexe.

6. Cum se traduce o cerință cu parametru?

Când partea reală și partea imaginară depind de un număr real $m$, cerințele despre tipul numărului devin ecuații pentru $m$:

• „$z$ este real” devine $\mathrm{Im}(z)=0$, o singură ecuație;
• „$z$ este pur imaginar” devine $\mathrm{Re}(z)=0$ și $\mathrm{Im}(z)\ne 0$: rezolvi ecuația, apoi elimini valorile pentru care partea imaginară se anulează.

După ce găsești valorile, înlocuiește-le în $z$ și scrie numărul obținut. Așa vezi imediat dacă ai respectat cerința. Cerințele de felul „partea reală este egală cu $5$” sau „partea reală este egală cu partea imaginară” se traduc la fel, printr-o ecuație între expresii reale. Cerința „$z$ este nereal” se traduce printr-o condiție de tip „diferit de”, $\mathrm{Im}(z)\ne 0$, iar răspunsul ei este format din toate numerele reale, mai puțin valorile care anulează partea imaginară.

Un obicei bun: scrie condițiile pe rânduri separate, cu cuvântul „și” între ele când trebuie îndeplinite amândouă. Greșelile la aceste cerințe vin rar din calcul și des din condiții scrise pe jumătate.

7. Ce spune partea imaginară într-un tabel de optică?

Indicele de refracție al unui material se scrie, în optică, sub forma $n+i\kappa$: partea reală $n$ descrie refracția luminii la intrarea în material, iar partea imaginară $\kappa$, numită coeficient de extincție, descrie cât de repede este absorbită. Pentru sticla obișnuită, în lumină vizibilă, $\kappa$ este atât de mic încât tabelele scriu doar partea reală, aproximativ $1,52$: în scrierea rotunjită, numărul este real. Pentru aur, în lumină roșie, tabelele dau în jur de $0,2+3,4i$, cu partea imaginară mult mai mare decât cea reală: un strat de aur gros de o zecime de micrometru oprește aproape toată lumina roșie care pătrunde în el, iar o mare parte din lumină este reflectată chiar de la suprafață.

Valorile sunt rotunjite și diferă puțin de la un tabel la altul, după lungimea de undă și după felul în care a fost pregătită proba. Pentru matematică contează lectura: două numere reale, fiecare cu rolul lui, ținute împreună de forma algebrică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Patru numere, opt părți

Scrieți, pentru fiecare număr, partea reală și partea imaginară: $z_1=7-13i$, $z_2=-\sqrt{2}+i$, $z_3=-15$ și $z_4=\frac{-10+4i}{8}$.

Rezolvare. $z_1=7+(-13)i$, deci $\mathrm{Re}(z_1)=7$ și $\mathrm{Im}(z_1)=-13$. Pentru $z_2$, coeficientul lui $i$ este $1$: $\mathrm{Re}(z_2)=-\sqrt{2}$ și $\mathrm{Im}(z_2)=1$. Numărul $z_3=-15+0i$ are $\mathrm{Re}(z_3)=-15$ și $\mathrm{Im}(z_3)=0$. Pe $z_4$ îl aducem întâi la forma algebrică, împărțind ambele părți la $8$: $z_4=-\frac{10}{8}+\frac{4}{8}i=-\frac{5}{4}+\frac{1}{2}i$, deci $\mathrm{Re}(z_4)=-\frac{5}{4}$ și $\mathrm{Im}(z_4)=\frac{1}{2}$. Semnele se păstrează: partea reală rămâne negativă, iar partea imaginară pozitivă, ca în numărătorul inițial.

Exemplul 2 — Trei scrieri care ascund forma a + bi

Aduceți la forma $a+bi$ numerele: a) $6-5i^2+2i$; b) $\sqrt{-49}-3$; c) $\frac{9+\sqrt{-32}}{3}$.

Rezolvare. a) $-5i^2=-5\cdot (-1)=5$, deci $6-5i^2+2i=11+2i$.

b) $\sqrt{-49}=7i$, iar termenul fără $i$ se scrie primul: $\sqrt{-49}-3=-3+7i$.

c) $\sqrt{-32}=i\sqrt{32}=4i\sqrt{2}$, deci $\frac{9+4i\sqrt{2}}{3}=3+\frac{4\sqrt{2}}{3}i$. Partea reală este $3$, partea imaginară $\frac{4\sqrt{2}}{3}$.

Exemplul 3 — Numere construite după proprietăți

Scrieți în formă algebrică un număr complex $z$ care: a) este pur imaginar și are partea imaginară $-\sqrt{2}$; b) este real și egal cu partea reală a lui $-7+10i$; c) este nereal și are partea reală egală cu partea imaginară, ambele egale cu $-3$; d) are partea reală egală cu partea imaginară a lui $5-12i$ și partea imaginară egală cu partea reală a aceluiași număr.

Rezolvare. a) Partea reală este $0$, deci $z=-i\sqrt{2}$. b) $\mathrm{Re}(-7+10i)=-7$, deci $z=-7$. c) $z=-3-3i$; el este nereal pentru că partea imaginară, $-3$, nu este zero. d) $\mathrm{Im}(5-12i)=-12$ și $\mathrm{Re}(5-12i)=5$, deci $z=-12+5i$. Observă că la d) cele două părți și-au schimbat locurile, iar numărul obținut este altul decât cel de la care am pornit. La a) și la c) mai sunt și alte răspunsuri posibile? La a) nu: un număr pur imaginar cu partea imaginară dată este unic. La c) tot nu, pentru că ambele părți sunt fixate.

Exemplul 4 — Un tabel pentru un parametru

Pentru $z=(m+3)+(m^2-5m)i$, cu $m$ real, completați un tabel cu numărul $z$ și tipul lui pentru $m\in \{-3,0,1,5\}$. Determinați apoi toate valorile lui $m$ pentru care $z$ este real și pe cele pentru care este pur imaginar.

Rezolvare. Înlocuim pe rând:

Tabelul sugerează răspunsul, dar nu îl dovedește, pentru că am încercat doar patru valori. $z$ este real când $m^2-5m=0$, adică $m(m-5)=0$, deci $m\in \{0,5\}$: exact valorile din tabel. $z$ este pur imaginar când $m+3=0$ și $m^2-5m\ne 0$; din egalitate rezultă $m=-3$, valoare la care partea imaginară este $9+15=24\ne 0$; așadar $m=-3$ convine și $z=24i$.

Exemplul 5 — Trei materiale, trei numere

Un tabel de optică dă, pentru lumina roșie a unui laser, indicii de refracție: sticlă $1,52$, siliciu $3,88+0,02i$, aur $0,2+3,4i$ (valori rotunjite). a) Scrieți partea reală și partea imaginară pentru fiecare. b) Care dintre numere este real în scrierea din tabel? c) Care material absoarbe cel mai puternic lumina?

Rezolvare. a) Sticlă: $\mathrm{Re}=1,52$, $\mathrm{Im}=0$. Siliciu: $\mathrm{Re}=3,88$, $\mathrm{Im}=0,02$. Aur: $\mathrm{Re}=0,2$, $\mathrm{Im}=3,4$.

b) Numai indicele sticlei, $1,52=1,52+0i$, are partea imaginară nulă în tabel. Absorbția sticlei există, dar este atât de mică încât dispare la rotunjire.

c) Absorbția este descrisă de partea imaginară. Comparăm numerele reale $0$, $0,02$ și $3,4$: cel mai mare este $3,4$, deci aurul absoarbe cel mai puternic. Comparăm părțile imaginare, care sunt numere reale, nu numerele complexe întregi.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pentru un parametru real $m$ se definește numărul $z=(m^2-1)+(m^2+m-2)i$. a) Aflați valorile lui $m$ pentru care $z$ este număr real și scrieți numărul $z$ obținut. b) Aflați valorile lui $m$ pentru care $z$ este pur imaginar.

Rezolvare. a) Cerem $m^2+m-2=0$, adică $(m-1)(m+2)=0$, deci $m=1$ sau $m=-2$. Pentru $m=1$ se obține $z=0$, iar pentru $m=-2$ se obține $z=4-1=3$. Ambele valori sunt bune, fiindcă numerele obținute sunt reale.

b) Scriem condițiile $m^2-1=0$ și $m^2+m-2\ne 0$. Din egalitate rezultă $m=1$ sau $m=-1$. Pentru $m=1$ partea imaginară este $0$, deci valoarea se elimină. Pentru $m=-1$ partea imaginară este $1-1-2=-2\ne 0$, iar $z=-2i$. Răspunsul este $m=-1$. Merită observat că valoarea $1$ a parametrului apare la ambele puncte: la a) este acceptată, pentru că $z=0$ este real, iar la b) este respinsă din același motiv. Cerința a fost scrisă pentru exersare; subiectele reale pot combina altfel cele două condiții.

Să exersăm

Adu întâi fiecare număr la forma $a+bi$, cu $a$ și $b$ reale, și abia apoi citește părțile sau stabilește tipul.

1. Scrie partea reală și partea imaginară pentru: $11-14i$; $-\frac{4}{5}i$; $\sqrt{5}-i$; $0,6$; $-2+\frac{1}{3}i$.

2. Scrie sub forma $a+bi$: a) $8+3i^2-i$; b) $-i^2+\sqrt{-121}$; c) $\frac{12-9i}{3}$.

3. Împarte numerele următoare în trei grupe — reale, pur imaginare, nereale fără a fi pur imaginare: $-9$; $5i^2$; $0$; $3i$; $1-i$; $-0,5i$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numărul ${\left(i\sqrt{5}\right)}^2+5i$ se află printre numerele pur imaginare.

5. Determină numărul real $m$ pentru care $z=(2m+1)+(m^2-7m+12)i$ este real și scrie numărul $z$ în fiecare caz.

6. Determină numărul real $m$ pentru care $z=(m^2-2m)+(m-2)i$ este pur imaginar.

7. (Problemă aplicată.) Pentru apă, tabelele de optică dau indicele de refracție aproximativ $1,33$ în lumină vizibilă (partea imaginară este sub $10^{-8}$ și se scrie $0$) și aproximativ $1,37+0,27i$ în infraroșu, la lungimea de undă de $3$ micrometri. a) Scrie partea reală și partea imaginară în fiecare caz. b) În care caz numărul din tabel este real? c) Ce spune partea imaginară despre un strat subțire de apă pus în calea radiației de $3$ micrometri, față de lumina vizibilă?

8. Determină numerele reale $x$ pentru care numărul $z=(x^2-5x)+3i$ are partea reală egală cu $-6$.

9. Determină numărul real $m$ pentru care $z=(3m-2)+(m+6)i$ are partea reală egală cu partea imaginară și scrie numărul obținut.

10. Scrie în formă algebrică numărul complex nereal a cărui parte reală este de trei ori mai mare decât partea imaginară și a cărui sumă a părților este $-20$.

11. Pentru fiecare număr, scrie cea mai mică mulțime din lanțul $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ care îl conține: $-12$; $\frac{3}{7}$; $\sqrt{5}$; $2-i$; $-i\sqrt{3}$; $0$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Arătați că numărul $z=6i^2+6+7i$ este pur imaginar.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați partea imaginară a numărului $z=\frac{6-\sqrt{-16}}{2}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Aflați valoarea reală a lui $m$ pentru care numărul $z=(m-7)+(3m+2)i$ are partea reală egală cu $5$.

15. Ordonează crescător, după partea imaginară, numerele $7-4i$, $-i$, $4$ și $1+0,5i$.

16. Determină numerele reale $a$ pentru care numărul $z=a+a^{2}i$ are partea reală mai mare decât partea imaginară.

17. Se formează numere $z=a+bi$ cu $a$ și $b$ alese, fiecare, din mulțimea $\{-1,0,2\}$. Câte numere se pot forma? Câte dintre ele sunt reale, câte pur imaginare și câte nereale?

18. (Provocare.) Arată că numărul $z=(t^2-6t+10)+(t-3)i$ nu este pur imaginar pentru niciun număr real $t$ și determină valoarea lui $t$ pentru care $z$ este real.

Răspunsuri și explicații

1. $11-14i$: $\mathrm{Re}=11$, $\mathrm{Im}=-14$. $-\frac{4}{5}i$: $\mathrm{Re}=0$, $\mathrm{Im}=-\frac{4}{5}$. $\sqrt{5}-i$: $\mathrm{Re}=\sqrt{5}$, $\mathrm{Im}=-1$. $0,6$: $\mathrm{Re}=0,6$, $\mathrm{Im}=0$. $-2+\frac{1}{3}i$: $\mathrm{Re}=-2$, $\mathrm{Im}=\frac{1}{3}$.

2. a) $3i^2=-3$, deci $8+3i^2-i=5-i$. b) $-i^2=1$ și $\sqrt{-121}=11i$, deci numărul este $1+11i$. c) Împărțim ambele părți la $3$: $\frac{12-9i}{3}=4-3i$.

3. Reale: $-9$, $5i^2=-5$ și $0$. Pur imaginare: $3i$ și $-0,5i$. Nereal fără a fi pur imaginar: $1-i$.

4. Fals. ${\left(i\sqrt{5}\right)}^2=5i^2=-5$, deci numărul este $-5+5i$, cu partea reală $-5\ne 0$. El este nereal, dar nu pur imaginar.

5. $z$ este real când $m^2-7m+12=0$, adică $(m-3)(m-4)=0$, deci $m=3$ sau $m=4$. Pentru $m=3$, $z=7$; pentru $m=4$, $z=9$.

6. Condițiile sunt $m^2-2m=0$ și $m-2\ne 0$. Prima dă $m(m-2)=0$, deci $m=0$ sau $m=2$; valoarea $m=2$ anulează partea imaginară și se elimină. Rămâne $m=0$, cu $z=-2i$.

7. a) Vizibil: $\mathrm{Re}=1,33$, $\mathrm{Im}=0$. Infraroșu la $3$ micrometri: $\mathrm{Re}=1,37$, $\mathrm{Im}=0,27$. b) În scrierea din tabel, numărul este real pentru lumina vizibilă. c) Partea imaginară, $0,27$, este de peste zece milioane de ori mai mare decât cea din vizibil, deci apa absoarbe puternic radiația de $3$ micrometri: un strat de apă gros de câțiva micrometri, transparent pentru ochi, o absoarbe aproape în întregime.

8. $x^2-5x=-6$, adică $x^2-5x+6=0$, sau $(x-2)(x-3)=0$. Deci $x=2$ sau $x=3$; în ambele cazuri $z=-6+3i$.

9. $3m-2=m+6$, deci $2m=8$ și $m=4$, iar $z=10+10i$. Verificare: partea reală, $3\cdot 4-2=10$, și partea imaginară, $4+6=10$, sunt egale.

10. Cu $z=a+bi$: $a=3b$ și $a+b=-20$, deci $4b=-20$, $b=-5$ și $a=-15$. Numărul este $z=-15-5i$; el este nereal, pentru că partea imaginară, $-5$, nu este zero.

11. $-12\in \mathbb{Z}$; $\frac{3}{7}\in \mathbb{Q}$; $\sqrt{5}\in \mathbb{R}$; $2-i\in \mathbb{C}$; $-i\sqrt{3}\in \mathbb{C}$; $0\in \mathbb{N}$.

12. $6i^2=-6$, deci $z=-6+6+7i=7i$. Partea reală este $0$, iar partea imaginară este $7\ne 0$, deci $z$ este pur imaginar.

13. $\sqrt{-16}=4i$, deci $z=\frac{6-4i}{2}=3-2i$, iar $\mathrm{Im}(z)=-2$. Semnul minus din fața radicalului trece la partea imaginară, iar împărțirea la $2$ se face pentru ambele părți.

14. $m-7=5$, deci $m=12$, iar $z=5+38i$.

15. Părțile imaginare sunt $-4$, $-1$, $0$ și $0,5$. Ordinea este $7-4i$, $-i$, $4$, $1+0,5i$. Am ordonat numere reale, părțile imaginare, nu numerele complexe.

16. Cerem $a>a^2$, adică $a^2-a<0$, sau $a(a-1)<0$. Produsul este negativ când factorii au semne diferite, deci $0<a<1$.

17. Sunt $3\cdot 3=9$ numere. Reale ($b=0$): $-1$, $0$, $2$, adică $3$. Pur imaginare ($a=0$, $b\ne 0$): $-i$ și $2i$, adică $2$. Nereale ($b\ne 0$): $3\cdot 2=6$, dintre care $2$ sunt cele pur imaginare.

18. Partea reală se scrie $t^2-6t+10=(t-3{)}^2+1\ge 1$, deci nu se anulează niciodată, iar $z$ nu poate fi pur imaginar. $z$ este real când $t-3=0$, adică $t=3$, și atunci $z=1$.

De reținut

• Un număr complex are forma algebrică $z=a+bi$, cu $a,b\in \mathbb{R}$; $\mathrm{Re}(z)=a$ și $\mathrm{Im}(z)=b$ sunt numere reale.
• $z$ este real când $\mathrm{Im}(z)=0$; $z$ este pur imaginar când $\mathrm{Re}(z)=0$ și $\mathrm{Im}(z)\ne 0$; numărul $0$ este real.
• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$, pentru că fiecare număr real $a$ se scrie $a+0i$.
• Pentru a aduce o expresie la forma $a+bi$: $i^2=-1$, $\sqrt{-k}=i\sqrt{k}$ pentru $k>0$, împărțirea fiecărei părți la un numitor real, apoi gruparea termenilor.
• La o cerință cu parametru, o traduci în condiții asupra celor două părți, rezolvi și scrii numărul obținut pentru fiecare valoare găsită.

Greșeli frecvente

• Citești partea reală din primul termen scris. În $z=2i-5$ partea reală este $-5$, nu $2$; rearanjează termenii înainte de citire.
• Lași un radical dintr-un număr negativ în partea reală. În $5+\sqrt{-9}$, radicalul este $3i$ și merge în partea imaginară: numărul este $5+3i$, nu un număr real.
• Numești „pur imaginar” orice număr care conține $i$. Numărul $2+3i$ este nereal, dar nu pur imaginar, pentru că partea lui reală nu este zero.
• Citești părțile dintr-o fracție cu $i$ la numitor. O asemenea fracție nu este încă în formă algebrică; părțile ei se află după împărțire.
• Uiți că rotunjirea poate schimba tipul numărului. Un indice de refracție $3,88+0,02i$ rotunjit la o zecimală devine $3,9$, adică real; tipul numărului se stabilește din valoarea pe care o folosești efectiv.

Aplică acasă

1. Caută, într-un tabel de optică sau pe un site de date științifice, indicele de refracție complex al două materiale la aceeași lungime de undă, de exemplu un metal și un material transparent. Scrie fiecare valoare sub forma $a+bi$, precizează părțile și explică, într-o frază, care dintre materiale absoarbe mai puternic.
2. Jucați în doi „ghicește numărul”: unul alege în gând un număr complex cu partea reală și partea imaginară numere întregi între $-5$ și $5$, celălalt pune întrebări la care se răspunde doar cu da sau nu, de pildă „este real?”, „este pur imaginar?”, „partea reală este pozitivă?”. Notați câte întrebări au fost necesare și discutați care întrebări au eliminat cele mai multe numere.
3. Desenează pe o foaie mare chenarele lanțului $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$. Scrie pe bilețele zece numere întâlnite la fizică, chimie sau în lecțiile de matematică și lipește fiecare bilețel în cel mai mic chenar care îl conține.

Pentru părinți și profesori

Lecția fixează vocabularul cu care se lucrează în tot capitolul: forma algebrică, partea reală, partea imaginară, numerele reale și cele pur imaginare. Operațiile nu sunt încă predate, așa că aducerea la forma algebrică se face doar cu $i^2=-1$, cu radicalii din numere negative și cu împărțirea la un număr real. De urmărit: citirea părții imaginare fără $i$ și cu semn, rearanjarea termenilor când $i$ stă în față și scrierea celor două condiții pentru „pur imaginar”. Un elev care, după ce găsește parametrul, scrie singur numărul obținut și verifică tipul lui a înțeles metoda.

Lecția are și un rol de legătură cu clasa a IX-a: condițiile cu parametru duc la ecuații de gradul întâi sau la ecuații de gradul al doilea care se rezolvă prin descompunere în factori, iar ultimul exercițiu folosește forma canonică pentru a arăta că o expresie nu se anulează. Pentru elevii care au lacune acolo, merită reluat pe scurt produsul nul și scrierea unui trinom ca pătrat plus o constantă. Reprezentarea numerelor complexe ca puncte are lecție proprie mai târziu în unitate.

Exemplele din optică arată că o pereche de numere reale cu roluri diferite se poate păstra într-un singur număr complex; nu se cer cunoștințe de fizică peste nivelul clasei. Întrebări bune de control: „Cât este $\mathrm{Im}(4i-9)$?”; „De ce $0$ nu este pur imaginar?”; „Ce condiții scrii pentru ca $z(m)$ să fie pur imaginar?”; „De ce nu poți citi părțile lui $\frac{4+i}{2i}$?”.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară de matematică pentru științe ale naturii (Anexa 28 la OMEC 6930/2025), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028: capitolul X.4 conține „Numere complexe sub forma algebrică”, iar competențele cer recunoașterea unui număr complex în forma algebrică, identificarea părții reale și a părții imaginare și condițiile ca un număr complex să fie real sau pur imaginar. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII urmează programa veche și dau bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029, după programa de examen din OMEN 4430/2014, care numește la clasa a X-a „Numere complexe sub formă algebrică”; de aici marcajul „(Exercițiu tip Bacalaureat M2.)”. În varianta-model pentru 2026, prima cerință a lucrării pornește de la două numere complexe date în formă algebrică.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: forma algebrică, varianta mate-info (M1). Lecția precedentă a traseului este nevoia de numere complexe la M2, iar cea următoare, egalitatea a două numere complexe la M2; calculele încep cu adunarea și scăderea numerelor complexe la M2. Pentru lanțul mulțimilor de numere reale revezi ordonarea numerelor reale la M2. Recapitularea unității se face cu testul M2 despre numere complexe.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă această lecție M2 de varianta M1 despre forma algebrică?

Varianta de mate-info demonstrează unicitatea scrierii și construiește numerele complexe ca perechi de numere reale cu operații definite. Varianta M2 folosește forma algebrică direct, cum cere programa de științe, insistă pe citirea părților și pe condițiile cu parametru și leagă cele două părți de o mărime reală din optică, indicele de refracție complex.

Apare forma algebrică la bacalaureatul M2?

Da, programa pentru 2027–2029 numește numerele complexe sub formă algebrică la clasa a X-a, iar în varianta-model pentru 2026 prima cerință a lucrării pornește de la două numere complexe date în această formă. Ce anume se cere într-o sesiune nu se poate ști dinainte. Pentru MAT_P2 din 2030, tema aparține domeniului „Algebră”.

De ce se numește „imaginară” o parte care este număr real?

Numele vine din istorie: numerele de forma $bi$ au fost numite imaginare în secolul al XVII-lea, când erau privite cu neîncredere. Denumirea a rămas pentru coeficientul lui $i$, deși acesta este un număr real obișnuit. Adjectivul arată doar poziția numărului în scriere, lângă $i$, nu natura lui.

Pot avea părțile unui număr complex valori iraționale?

Da. Definiția cere doar ca $a$ și $b$ să fie numere reale, deci pot fi fracții, radicali sau alte numere iraționale, ca în $-\sqrt{2}+i$ sau $3+\frac{4\sqrt{2}}{3}i$. Părțile întregi apar des în exerciții doar pentru că fac calculul mai ușor de urmărit. Când o parte conține un radical, păstrează-l exact și nu îl înlocui cu o zecimală rotunjită.

Cum se citește indicele de refracție complex?

Partea reală ține de refracție: pentru un material transparent, ea arată de câte ori este mai mică viteza luminii în material decât în vid. Partea imaginară arată cât de repede este absorbită lumina. Un material transparent are partea imaginară foarte mică, iar un metal o are mare. Valorile depind de lungimea de undă, de aceea un tabel de optică le dă pentru culori precise.

Cum aleg între „pur imaginar” și „nereal” într-o grilă?

Orice număr pur imaginar este și nereal, deci pentru un număr ca $-4i$ ambele cuvinte sunt corecte, iar într-o grilă alegi categoria cea mai precisă. Verifică întâi partea imaginară: dacă este zero, numărul e real. Dacă nu este zero, uită-te la partea reală: zero înseamnă pur imaginar, altfel numărul e doar nereal.