Aria triunghiului cu formula sinusului: pe scurt

Când nu ai o înălțime la îndemână, dar cunoști două laturi și unghiul dintre ele, aria triunghiului se calculează într-o singură linie: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B$. Nu ai nevoie de nicio construcție suplimentară pe teren.

Formula funcționează neschimbat și la unghiuri obtuze, pentru că $\sin (180^{\circ }-C)=\sin C$; pentru $C=90^{\circ }$ regăsești semiprodusul catetelor, $\mathcal{S}=\frac{ab}{2}$. Pentru unghiuri care nu sunt $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ sau $60^{\circ }$, sinusul se citește din tabel sau de la un instrument digital, setat pe grade.

O rudă directă: aria paralelogramului cu laturile $x$, $y$ și unghiul $\theta$ dintre ele este $xy\sin \theta$ — dublul ariei triunghiului corespunzător, fără factorul $\frac{1}{2}$.

Formula se citește și invers: $h_a=\frac{2\mathcal{S}}{a}$ dă o înălțime, iar $\sin C=\frac{2\mathcal{S}}{ab}$ dă unghiul, dar cu două soluții posibile (unghiul și suplementul lui). Cu două laturi fixate, aria este maximă la unghi drept, cu valoarea $\frac{ab}{2}$. Greșelile frecvente: unghiul luat greșit (trebuie să fie cel dintre laturile folosite, nu opus vreuneia), uitarea lui $\frac{1}{2}$ și calculatorul lăsat pe radiani.

Exerciții din această mini-lecție

1. Formula ariei triunghiului cu două laturi și unghiul dintre ele este:

   • a) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$
   • b) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}(a+b)\sin C$
   • c) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\cos C$
   • d) $\mathcal{S}=ab\sin C$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$

   Jumătate din produsul celor două laturi, înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.

2. Aria paralelogramului cu laturile $x$, $y$ și unghiul $\theta$ dintre ele este:

   • a) $xy\cos \theta$
   • b) $xy\sin \theta$
   • c) $\frac{1}{2}xy\sin \theta$
   • d) $2xy\sin \theta$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $xy\sin \theta$

   Paralelogramul se compune din două triunghiuri congruente de arie $\frac{1}{2}xy\sin \theta$ fiecare, deci aria totală este $xy\sin \theta$, fără $\frac{1}{2}$.

3. Pentru două laturi $a$ și $b$ fixate, aria triunghiului dintre ele este maximă atunci când unghiul este:

   • a) $30^{\circ }$
   • b) $180^{\circ }$
   • c) $90^{\circ }$
   • d) $60^{\circ }$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $90^{\circ }$

   $\sin C$ este maxim ($=1$) la $C=90^{\circ }$, deci aria maximă este $\frac{ab}{2}$.