Tabelul de variație, cap-coadă (M2, științe ale naturii)

Până acum ai aflat, pe rând, câte un lucru despre o funcție: pe ce intervale crește, unde are extreme, pe unde „ține apa" și unde își schimbă curbura. Fiecare informație a venit dintr-un calcul separat, iar la sfârșit rămâneai cu o listă greu de ținut minte. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), toate se adună într-un singur tablou, cerut la Subiectul al III-lea al bacalaureatului M2 ori de câte ori cerința spune „studiați variația funcției".

Tabloul se numește tabel de variație și este, în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii, o unitate de conținut de sine stătătoare, nu doar o unealtă de lucru: se cere completat integral, cu limitele la capetele domeniului. Lecția de astăzi îți dă structura lui exactă, regula pentru fiecare tip de celulă și ordinea în care se completează.

Ce vei învăța

• Vei ști din câte rânduri și din câte coloane e alcătuit un tabel de variație și de ce numărul coloanelor nu e la alegere.
• Vei ști ce anume intră în fiecare tip de celulă — valoare, semn, săgeată, simbol de curbură sau marcaj de extrem.
• Vei ști să calculezi limitele la capetele domeniului și să le așezi în primul și în ultimul rând de pe axă.
• Vei ști ce se trece într-un punct care nu aparține domeniului și ce se trece într-un capăt închis.
• Vei ști să parcurgi rețeta în șase pași, în ordinea în care se redactează.
• Vei ști să traduci tabelul în cuvinte — „citirea tabelului" —, pentru că acolo se dau punctele, nu pe desen.

Hai să descoperim împreună

1. Ce adună tabelul de variație?

Pentru parabolă ai răspuns pe grafic, în clasa a IX-a, la monotonia și extremul parabolei, unde crește, unde scade și unde își atinge extremul. Ia acum funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-24x+30$ și scrie tot ce știi despre ea: crește pe $(-\infty ,-2]$, scade pe $[-2,4]$, crește pe $[4,+\infty )$; are maxim local $58$ și minim local $-50$; e concavă până în $1$ și convexă după; tinde la $-\infty$ la un capăt și la $+\infty$ la celălalt. Șase propoziții pentru o singură funcție.

Tabelul de variație al unei funcții este tabloul care strânge toate aceste informații pe un singur desen, așezând deasupra axa variabilei, dedesubt semnele derivatelor și, în ultimul rând, comportarea funcției. Avantajul nu e economia de hârtie, ci faptul că informațiile se verifică între ele: dacă săgeata urcă acolo unde ai scris minus la derivată, se vede imediat.

Cerințele de tipul „determinați intervalele de monotonie", „determinați punctele de extrem" sau „arătați că $f(x)\le k$" se rezolvă toate din el, așa că tabelul trebuie să fie complet. Trasarea propriu-zisă a graficului e o etapă separată, care nu intră în programa de bază a clasei.

2. Din câte rânduri și câte coloane e alcătuit?

Rândurile sunt patru, totdeauna în aceeași ordine: $x$ (antetul, adică axa), apoi $f^{\prime }(x)$, apoi $f^{\prime \prime }(x)$, apoi $f(x)$. Rândul lui $f^{\prime \prime }$ apare numai în tabelul complet; când cerința se oprește la monotonie, el se sare.

Coloanele alternează: o coloană-punct, o coloană-interval, o coloană-punct și așa mai departe, începând și sfârșind cu câte o coloană-punct — capetele domeniului. Coloanele-punct poartă în antet câte un număr (sau $-\infty$ și $+\infty$); coloanele-interval au antetul gol, fiindcă nu sunt un număr, ci tot ce se află între doi vecini.

De aici iese o regulă de numărare care merită verificată de fiecare dată: dacă marchezi $k$ puncte interioare, tabelul are $k+2$ coloane-punct, $k+1$ coloane-interval și o coloană de etichete, adică $2k+4$ coloane cu totul. Pentru funcția de mai sus punctele marcate sunt $-2$, $1$ și $4$, deci $k=3$ și tabelul are $10$ coloane. Dacă îți iese alt număr, ai uitat un punct sau ai lipit două intervale.

Ce puncte se marchează? Toate cele care taie axa: zerourile lui $f^{\prime }$, zerourile lui $f^{\prime \prime }$, punctele în care funcția nu e definită și capetele finite ale domeniului. Greșeala clasică este să se treacă numai zerourile derivatei întâi; atunci punctele de inflexiune rămân fără coloană și dispar din tabel.

3. Ce se scrie în fiecare celulă?

În coloanele-interval, rândurile derivatelor primesc semnul, $+$ sau $-$, obținut cu o probă interioară. Rândul funcției primește săgeata — $\nearrow$ pentru „strict crescătoare", $\searrow$ pentru „strict descrescătoare" — urmată, în tabelul complet, de simbolul curburii: $\cup$ pentru convexă („ține apa"), $\cap$ pentru concavă („varsă apa"). Se scriu împreună, ca în $\nearrow \cup$.

În coloanele-punct, rândurile derivatelor primesc valoarea exactă din acel punct — cel mai des $0$, dar nu întotdeauna —, iar rândul funcției primește valoarea $f(x_0)$, urmată de marcaj: $\text{M}$ la maxim local, $\text{m}$ la minim local, $\text{I}$ la punct de inflexiune. Un punct poate purta două marcaje deodată sau niciunul.

În coloanele lui $-\infty$ și $+\infty$, celulele derivatelor rămân goale, iar rândul funcției primește limita, calculată cu regulile din lecția despre limitele la $\pm \infty$. Aceasta e deosebirea care se uită cel mai des: la capătul infinit nu se scrie o valoare, ci o limită.

4. Cum se construiește, în șase pași?

1. Domeniul, scris ca reuniune de intervale.
2. Limitele la capete: la $\pm \infty$ și, dacă domeniul are capete finite excluse, limitele laterale acolo.
3. Derivata întâi, factorizată, cu zerourile ei.
4. Derivata a doua, factorizată, cu zerourile ei.
5. Valorile funcției în toate punctele marcate (și ale derivatelor, unde se cer în celulă).
6. Completarea tabelului, rând cu rând, și citirea lui în cuvinte, dedesubt.

Să o aplicăm pe $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-24x+30$. Domeniul e $\mathbb{R}$; limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$, după termenul dominant $x^3$. Apoi $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-24=3(x-4)(x+2)$, cu zerourile $-2$ și $4$, și $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$, cu zeroul $1$. Valorile: $f(-2)=-8-12+48+30=58$, $f(1)=1-3-24+30=4$, $f(4)=64-48-96+30=-50$; în plus $f^{\prime }(1)=3-6-24=-27$, $f^{\prime \prime }(-2)=-18$ și $f^{\prime \prime }(4)=18$.

Citirea tabelului: pe $(-\infty ,-2]$ funcția urcă, pe $[-2,4]$ coboară, iar pe $[4,+\infty )$ urcă din nou. Valoarea maximă locală este $58$, atinsă în punctul $-2$; cea minimă locală este $-50$, atinsă în punctul $4$. Curbura se schimbă o singură dată, în $1$, unde graficul trece de la a vărsa apa la a o ține, deci $(1,4)$ este punct de inflexiune.

5. Ce se scrie într-un punct care nu e în domeniu?

Când un număr $a$ nu aparține domeniului, dar se află între două bucăți ale lui, coloana lui există totuși — punctul e pe axă, chiar dacă funcția nu ajunge acolo. Rândurile derivatelor primesc bara $|$, iar rândul funcției primește cele două limite laterale, despărțite tot de o bară: de exemplu $-\infty |+\infty$. Se face un singur tabel, nu două, pentru că axa e una singură.

Când domeniul are un capăt finit inclus, regula se schimbă: acolo funcția are valoare, deci se scrie valoarea, cu marcajul ei dacă e cazul. Dacă în acel capăt funcția nu este derivabilă — cum se întâmplă la funcțiile cu radical —, în rândurile derivatelor se pune bara $|$, iar proza spune o dată că graficul are acolo semitangentă verticală.

Și o regulă de aur: bara $|$ spune „aici lipsește ceva" — funcția sau derivata —, iar celula goală spune „aici nu e un punct". Rândul lui $f$ lămurește care: limitele laterale, la un punct scos din domeniu; valoarea, la un capăt inclus.

6. Cum se citește tabelul în cuvinte?

Tabelul nu e răspunsul; răspunsul e propoziția scoasă din el. „Citirea tabelului" se scrie dedesubt, în două-trei propoziții, în aceeași ordine: monotonia pe fiecare interval, extremele cu valorile lor, curbura, punctele de inflexiune.

Două capcane de redactare, amândouă des întâlnite. Prima: monotonia nu se scrie pe o reuniune de intervale. La funcția din paragraful 4, derivata are semnul plus pe două intervale despărțite, însă între ele graficul coboară; concluzia se dă separat, pe fiecare. A doua: abscisa nu se confundă cu valoarea. În exemplul acela, punctul de maxim e $-2$, iar valoarea maximă e $58$; formularea „maximul funcției este $x=-2$" e greșită, oricât de des se aude.

Merită observat și la ce nu se oprește tabelul: din el se citește și mulțimea valorilor funcției, dar aceea e tema lecției despre imaginea unei funcții.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un punct critic care nu este extrem

Întocmiți tabelul de variație complet al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-4x^3+16x$.

Rezolvare. Domeniul este $\mathbb{R}$, iar limitele la ambele capete sunt $+\infty$, pentru că termenul dominant este $x^4$.

Derivata întâi: $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+16=4(x+1)(x-2{)}^2$, cu zerourile $-1$ și $2$ (a doua, dublă). Derivata a doua: $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$, cu zerourile $0$ și $2$. Punctele de marcat sunt deci $-1$, $0$ și $2$, adică $k=3$ și $10$ coloane.

Valorile: $f(-1)=1+4-16=-11$, $f(0)=0$, $f(2)=16-32+32=16$; în plus $f^{\prime }(0)=16$, $f^{\prime \prime }(-1)=36$.

Citirea tabelului: valorile coboară până în $-1$ și urcă apoi neîntrerupt; cea mai mică dintre ele, atât local cât și pe tot domeniul, este $-11$. Graficul ține apa pe $(-\infty ,0]$, varsă apa pe $[0,2]$ și ține apa iarăși pe $[2,+\infty )$, cu două puncte de inflexiune: $(0,0)$ și $(2,16)$.

Merită privită coloana lui $2$: derivata întâi se anulează acolo, dar rămâne pozitivă de amândouă părțile, din pricina pătratului. Punctul $2$ este deci punct critic fără să fie de extrem — de aceea celula lui nu poartă niciun marcaj $\text{M}$ sau $\text{m}$ —, în schimb este punct de inflexiune, fiindcă $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul.

Exemplul 2 — Un capăt închis al domeniului

Întocmiți tabelul de variație al funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-4\sqrt{x}$.

Rezolvare. Domeniul e dat: $[0,+\infty )$, cu capătul $0$ inclus. La $+\infty$ limita este $+\infty$, pentru că $x$ crește mai repede decât $4\sqrt{x}$.

Derivatele: $f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{\sqrt{x}}$, definită pentru $x>0$, și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x\sqrt{x}}$. Ecuația $f^{\prime }(x)=0$ dă $\sqrt{x}=2$, adică $x=4$, cu $f(4)=4-8=-4$ și $f^{\prime \prime }(4)=\frac{1}{8}$; derivata a doua e strict pozitivă pe $(0,+\infty )$, deci nu are zerouri.

În capătul $0$ funcția are valoarea $f(0)=0$, dar nu e derivabilă acolo: graficul pornește cu semitangentă verticală. În rândurile derivatelor se pune deci bara $|$, iar valoarea de pe rândul lui $f$ spune că punctul e în domeniu.

Citirea tabelului: pe $[0,4]$ valorile coboară de la $0$ la $-4$, apoi urcă nemărginit; cea mai mică valoare este $-4$, atinsă în punctul $4$. Graficul ține apa peste tot, deci nu apare nicio schimbare de curbură.

Exemplul 3 — Un gol în domeniu

Întocmiți tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-5}{x-1}$.

Rezolvare. Domeniul este $(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$. La $\pm \infty$ raportul tinde la $1$; în $1$ numărătorul tinde la $-4$ și numitorul la $0$, deci limita la stânga e $+\infty$ și cea la dreapta $-\infty$.

Derivatele, prin regula câtului: $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)-(x-5)}{(x-1{)}^2}=\frac{4}{(x-1{)}^2}$ și $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{8}{(x-1{)}^3}$. Derivata întâi este strict pozitivă peste tot, deci nu se anulează nicăieri; derivata a doua își schimbă semnul în $1$, dar $1$ nu e în domeniu. Singurul punct de marcat este deci $1$, adică $k=1$ și $6$ coloane.

Citirea tabelului: pe fiecare dintre cele două ramuri valorile urcă, dar cele două propoziții nu se pot lipi într-una singură; puncte de extrem nu există. Prima ramură ține apa, a doua varsă apa, fără nicio inflexiune, fiindcă $1$ a fost scos din domeniu.

Exemplul 4 — Un model din chimie

Concentrația unui medicament în sânge, la $t$ ore de la administrare, este $C(t)=12t{e}^{-t/2}$ miligrame pe litru, $t\ge 0$. Întocmiți tabelul de variație al funcției $C$ și spuneți când este concentrația maximă și când începe scăderea să se domolească.

Rezolvare. Domeniul modelului este $[0,+\infty )$. La $+\infty$, exponențiala coboară mai repede decât crește factorul $12t$, deci limita este $0$: medicamentul se elimină.

Derivatele, cu regula produsului: $C^{\prime }(t)=12e^{-t/2}-6t{e}^{-t/2}=(12-6t)e^{-t/2}$, care se anulează în $t=2$, și $C^{\prime \prime }(t)=-6e^{-t/2}-(12-6t)\cdot \frac{1}{2}{e}^{-t/2}=(3t-12)e^{-t/2}$, care se anulează în $t=4$. Valorile: $C(0)=0$, $C(2)=24e^{-1}$, $C(4)=48e^{-2}$; în capăt, $C^{\prime }(0)=12$ și $C^{\prime \prime }(0)=-12$, iar $C^{\prime }(4)=-12e^{-2}$ și $C^{\prime \prime }(2)=-6e^{-1}$. Etichetele rândurilor poartă numele mărimii, nu litera $f$.

Citirea tabelului: concentrația crește în primele două ore, până la maximul $24e^{-1}\approx 8,83$ miligrame pe litru, apoi scade continuu spre zero. Punctul de inflexiune de la $t=4$ ore spune că din acel moment scăderea se domolește: până acolo concentrația cade tot mai repede, după aceea tot mai încet.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev întocmește tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^3+6x^2-5$, și scrie: „limita la $-\infty$ este $-\infty$, limita la $+\infty$ este $+\infty$; punctele critice sunt $0$ și $4$; maximul funcției este $x=0$". Găsiți cele două greșeli și întocmiți tabelul corect.

Rezolvare. Prima greșeală este la limite. Coeficientul dominant este $-1$, deci semnele se inversează față de obișnuință: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$. Elevul a copiat regula funcției $x^3$ fără să se uite la semnul din față.

A doua greșeală este de redactare, dar costă la fel: „maximul funcției este $x=0$" amestecă punctul cu valoarea. În plus, $0$ nici măcar nu e punct de maxim: $f^{\prime }(x)=-3x^2+12x=-3x(x-4)$ este negativă pentru $x<0$ și pozitivă pentru $0<x<4$, deci în $0$ funcția are minim local. Punctul de maxim este $4$, iar valoarea maximă este $f(4)=-64+96-5=27$.

Cu $f^{\prime \prime }(x)=-6x+12$, care se anulează în $2$, și cu $f(0)=-5$, $f(2)=-8+24-5=11$, $f^{\prime }(2)=12$, $f^{\prime \prime }(0)=12$, $f^{\prime \prime }(4)=-12$, tabelul corect este:

Citirea tabelului: valorile coboară până în $0$, urcă până în $4$ și coboară apoi nemărginit; cea mai mică valoare locală este $-5$, cea mai mare este $27$. Graficul ține apa pe $(-\infty ,2]$ și varsă apa pe $[2,+\infty )$, cu $(2,11)$ punct de inflexiune.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x^2+45x-34$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=3(x-3)(x-5)$, $x\in \mathbb{R}$. b) Întocmiți tabelul de variație al funcției $f$. c) Arătați că $f(x)\le 20$, pentru orice $x\in (-\infty ,6]$.

Rezolvare.

a) $f^{\prime }(x)=3x^2-24x+45=3\left(x^2-8x+15\right)=3(x-3)(x-5)$.

b) Limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$. Zerourile derivatei întâi sunt $3$ și $5$; $f^{\prime \prime }(x)=6x-24$ are zeroul $4$. Valorile: $f(3)=27-108+135-34=20$, $f(4)=64-192+180-34=18$, $f(5)=125-300+225-34=16$; în plus $f^{\prime }(4)=-3$, $f^{\prime \prime }(3)=-6$, $f^{\prime \prime }(5)=6$.

c) Pe $(-\infty ,3]$ funcția crește, deci $f(x)\le f(3)=20$. Pe $[3,5]$ scade, deci $f(x)\le f(3)=20$. Pe $[5,6]$ crește, deci $f(x)\le f(6)$, iar $f(6)=216-432+270-34=20$. Cele trei bucăți acoperă tot intervalul $(-\infty ,6]$ și pe fiecare valorile nu depășesc $20$, deci $f(x)\le 20$ pe tot intervalul, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Structura celor trei cerințe e cea din modelul oficial al probei M_șt-nat: o formulă de derivată de verificat, o etapă de studiu și o inegalitate de demonstrat. Punctul c) s-a rezolvat nu prin calcule cu $x$, ci prin citirea tabelului, bucată cu bucată: tabelul e instrumentul de lucru al ultimului subpunct, nu o figură decorativă.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, ordinea e aceeași: domeniul, limitele la capete, $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$, valorile, tabelul, citirea lui.

1. Câte coloane are tabelul de variație al unei funcții cu două zerouri ale lui $f^{\prime }$ și un zerou al lui $f^{\prime \prime }$, toate diferite, pe un domeniu egal cu $\mathbb{R}$?

2. Întocmește tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-9x^2-48x+48$.

3. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-10x+7$, întocmește tabelul și explică de ce rândul lui $f^{\prime \prime }$ nu are nicio coloană-punct.

4. Întocmește tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^2+1$, știind că $f^{\prime }(x)=4x\left(x^2-1\right)$.

5. Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{x-2}$. Scrie ce se trece în coloana lui $2$, pe fiecare dintre cele trei rânduri.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă derivata unei funcții este pozitivă pe două intervale ale domeniului, atunci funcția este crescătoare pe reuniunea lor."

7. Întocmește tabelul de variație al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^3+3x^2+45x-1$.

8. Pentru $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+2x^2+7x$, spune câte coloane are tabelul de variație și ce se scrie, pe fiecare rând, în coloanele capetelor $0$ și $3$.

9. Citește tabelul de mai jos și scrie, în trei propoziții, tot ce spune el despre funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-18x^2+60x+72$.

10. Determină limitele la capetele domeniului pentru $f:\mathbb{R}\setminus \{-4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x+4}$, și spune ce se scrie în rândul $f(x)$, în coloana lui $-4$.

11. (Problemă aplicată.) Înălțimea unei plante, la $t$ săptămâni de la răsărire, este $h(t)=-t^3+9t^2+5t$ centimetri, pentru $t\in [0,6]$. Întocmește tabelul de variație pe acest interval și citește din el cu câți centimetri a crescut planta în cele șase săptămâni și în ce săptămână creșterea a fost cea mai rapidă.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-9x+7$. Determină intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției $f$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-27x^2+48x+5$. Arată că $f^{\prime }(x)=6(x-1)(x-8)$, $x\in \mathbb{R}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+32$. Arată că $f(x)\ge 0$, pentru orice $x\in [0,+\infty )$.

15. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ o funcție de două ori derivabilă, cu $f^{\prime }(3)=0$ și $f^{\prime \prime }(3)=-4$. Ce marcaj primește coloana lui $3$ în rândul $f(x)$ și de ce?

16. Scrie tabelul de variație al funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-8\ln x$, știind că $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=+\infty$ și că la $+\infty$ limita este tot $+\infty$.

17. Într-un tabel de variație, coloana punctului $7$ poartă marcajul $\text{I}$ și are, pe rândul derivatei a doua, valoarea $f^{\prime \prime }(7)=15$, iar cele două coloane-interval vecine au, pe rândul $f(x)$, simbolurile $\searrow \cup$ și, respectiv, $\nearrow \cup$. Arată că marcajul este greșit și spune care ar fi cel corect.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, cu $a$, $b$, $c$ numere reale, o funcție care are două puncte de extrem. Arată că punctul de inflexiune se află exact la mijlocul distanței dintre ele.

Răspunsuri și explicații

1. Sunt $k=3$ puncte interioare, deci $2\cdot 3+4=10$ coloane, dintre care $5$ coloane-punct (cele $3$ plus cele două capete infinite) și $4$ coloane-interval.

2. $f^{\prime }(x)=3x^2-18x-48=3(x-8)(x+2)$, cu zerourile $-2$ și $8$; $f^{\prime \prime }(x)=6x-18$, cu zeroul $3$. Valorile: $f(-2)=100$, $f(3)=-150$, $f(8)=-400$; limitele sunt $-\infty$ și $+\infty$. Funcția urcă pe $(-\infty ,-2]$, coboară pe $[-2,8]$ și urcă pe $[8,+\infty )$; maxim local $100$, minim local $-400$, punct de inflexiune $(3,-150)$.

3. $f^{\prime }(x)=2x-10$, cu zeroul $5$, și $f^{\prime \prime }(x)=2$, o constantă. Rândul lui $f^{\prime \prime }$ nu are nicio coloană-punct proprie pentru că derivata a doua nu se anulează niciodată; în toate coloanele-interval se scrie $+$, iar în coloana lui $5$ se scrie valoarea $2$. Funcția este convexă pe tot $\mathbb{R}$, cu minimul $f(5)=-18$.

4. Zerourile lui $f^{\prime }$ sunt $-1$, $0$ și $1$; $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-4$, cu zerourile $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ și $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Valorile: $f(-1)=0$, $f(0)=1$, $f(1)=0$; limitele sunt $+\infty$ la ambele capete. Funcția are minime în $-1$ și $1$ și maxim local în $0$; tabelul are cinci puncte interioare, deci $14$ coloane.

5. În coloana lui $2$: pe rândul $f^{\prime }(x)$ se scrie $|$, pe rândul $f^{\prime \prime }(x)$ se scrie tot $|$, iar pe rândul $f(x)$ se scriu cele două limite laterale, $-\infty |+\infty$. Punctul e pe axă, dar funcția nu e definită acolo.

6. Fals. Concluziile de monotonie se dau pe câte un interval. Contraexemplu: la $f(x)=\frac{x-5}{x-1}$ derivata este pozitivă și pe $(-\infty ,1)$, și pe $(1,+\infty )$, dar funcția nu crește pe reuniunea lor — între cele două ramuri valorile sar de la $+\infty$ la $-\infty$.

7. $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+45=-3(x-5)(x+3)$, cu zerourile $-3$ și $5$; $f^{\prime \prime }(x)=-6x+6$, cu zeroul $1$. Limitele sunt $+\infty$ la $-\infty$ și $-\infty$ la $+\infty$. Valorile: $f(-3)=-82$, $f(1)=46$, $f(5)=174$. Funcția scade, crește, apoi scade; minim local $-82$, maxim local $174$, punct de inflexiune $(1,46)$.

8. $f^{\prime }(x)=3x^2+4x+7$ are discriminantul $16-84<0$, deci nu se anulează, iar $f^{\prime \prime }(x)=6x+4$ are zeroul $-\frac{2}{3}$, în afara intervalului: $k=0$, deci tabelul are $2\cdot 0+4=4$ coloane. În coloana lui $0$: $f^{\prime }(0)=7$, $f^{\prime \prime }(0)=4$, $f(0)=0$; în coloana lui $3$: $f^{\prime }(3)=46$, $f^{\prime \prime }(3)=22$, $f(3)=66$. Nicio bară și nicio celulă goală — capetele aparțin domeniului, iar funcția e derivabilă în ele —, iar marcaj nu primesc, fiindcă săgeata nu-și schimbă sensul.

9. Funcția crește pe $(-\infty ,2]$, scade pe $[2,10]$ și crește pe $[10,+\infty )$; are maximul local $f(2)=128$ și minimul local $f(10)=-128$; este concavă pe $(-\infty ,6]$ și convexă pe $[6,+\infty )$, cu punctul de inflexiune $(6,0)$.

10. La $\pm \infty$ raportul tinde la $2$. În $-4$, numărătorul tinde la $-7$ și numitorul la $0$, deci limita la stânga este $+\infty$ și cea la dreapta $-\infty$. În coloana lui $-4$, rândul $f(x)$ conține $+\infty |-\infty$.

11. $h^{\prime }(t)=-3t^2+18t+5$ este strict pozitivă pe $[0,6]$ (rădăcinile trinomului cad în afara intervalului), deci planta crește neîntrerupt; nu există niciun punct de extrem interior. Derivata a doua, $h^{\prime \prime }(t)=-6t+18$, se anulează în $t=3$, cu semnul plus înainte și minus după: tabelul are o singură coloană-punct interioară, marcată $\text{I}$. Valorile: $h(0)=0$, $h(3)=-27+81+15=69$, $h(6)=-216+324+30=138$. Planta a crescut deci $138$ de centimetri în șase săptămâni, iar creșterea cea mai rapidă a fost în săptămâna a treia, unde viteza atinge $h^{\prime }(3)=-27+54+5=32$ de centimetri pe săptămână.

12. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$, cu zerourile $-1$ și $3$. Funcția crește pe $(-\infty ,-1]$, scade pe $[-1,3]$ și crește pe $[3,+\infty )$; punctul $-1$ este punct de maxim local, cu $f(-1)=12$, iar $3$ este punct de minim local, cu $f(3)=-20$.

13. $f^{\prime }(x)=6x^2-54x+48=6\left(x^2-9x+8\right)=6(x-1)(x-8)$.

14. $f^{\prime }(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$, deci pe $[0,4]$ funcția coboară, iar pe $[4,+\infty )$ urcă. Valoarea cea mai mică pe $[0,+\infty )$ este așadar $f(4)=64-96+32=0$, deci $f(x)\ge 0$ pe tot intervalul.

15. Primește marcajul $\text{M}$: derivata întâi se anulează, deci $3$ este punct critic, iar derivata a doua e negativă acolo, deci graficul „varsă apa" în jurul punctului, adică avem vârf de deal. În rândul $f^{\prime }$ se scrie $0$, în rândul $f^{\prime \prime }$ se scrie $-4$.

16. $f^{\prime }(x)=2x-\frac{8}{x}=\frac{2\left(x^2-4\right)}{x}$, cu singurul zerou din domeniu $2$; $f^{\prime \prime }(x)=2+\frac{8}{x^2}$, strict pozitivă. Tabelul are capătul $0$ exclus (bară pe rândurile derivatelor, limita $+\infty$ pe rândul funcției), punctul $2$ cu valoarea $f(2)=4-8\ln 2$ și marcajul $\text{m}$, apoi $+\infty$. Funcția scade pe $(0,2]$, crește pe $[2,+\infty )$ și e convexă pe tot domeniul.

17. Marcajul $\text{I}$ cere ca derivata a doua să-și schimbe semnul acolo, adică simbolul de curbură să fie diferit de cele două părți. Aici este $\cup$ și la stânga, și la dreapta, iar $f^{\prime \prime }(7)=15$ nici măcar nu e nulă: funcția rămâne convexă, deci punctul nu este de inflexiune. În schimb săgețile trec din $\searrow$ în $\nearrow$, ceea ce înseamnă că derivata întâi își schimbă semnul din minus în plus: marcajul corect este $\text{m}$, punct de minim local.

18. Punctele de extrem sunt rădăcinile $x_1$ și $x_2$ ale ecuației $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b=0$, iar suma lor este $x_1+x_2=-\frac{2a}{3}$, deci mijlocul segmentului este $\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{a}{3}$. Pe de altă parte $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$ se anulează tot în $-\frac{a}{3}$, iar acolo își schimbă semnul. Punctul de inflexiune coincide deci cu mijlocul, oricare ar fi $a$, $b$ și $c$.

De reținut

• Tabelul de variație are patru rânduri — $x$, $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$, $f(x)$ — și $2k+4$ coloane, unde $k$ este numărul punctelor interioare marcate; numărul coloanelor e prima probă că nu ai uitat un punct.
• Pe axă se trec toate punctele care o taie: zerourile lui $f^{\prime }$, zerourile lui $f^{\prime \prime }$, punctele în care funcția nu e definită și capetele finite ale domeniului.
• La $\pm \infty$ celulele derivatelor rămân goale, iar rândul funcției primește limita; la un punct care nu e în domeniu, derivatele primesc bara $|$, iar funcția primește cele două limite laterale.
• Simbolurile sunt fixe: $\nearrow$ și $\searrow$ pentru monotonie, $\cup$ („ține apa") și $\cap$ („varsă apa") pentru curbură, $\text{M}$, $\text{m}$ și $\text{I}$ pentru maxim, minim și inflexiune.
• Sub tabel se scrie totdeauna citirea lui, pe câte un interval, cu punctul deosebit de valoare: punctul de maxim este $x_0$, valoarea maximă este $f(x_0)$.

Greșeli frecvente

• Uiți capetele finite ale domeniului. La $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$ axa tabelului începe în $0$, nu la $-\infty$; fără acea coloană, tabelul descrie altă funcție decât cea din enunț și pierde chiar valoarea care se cere cel mai des.
• Lași goală celula derivatei la un capăt finit al domeniului. Goale rămân numai coloanele lui $\pm \infty$; la un capăt finit se pune valoarea derivatei, iar dacă funcția nu e derivabilă acolo — bara $|$.
• Scrii valoarea funcției în coloana lui $+\infty$. Acolo nu există niciun punct în care funcția să aibă valoare; se scrie limita, calculată separat.
• Completezi semnele „alternând", fără probă. La $f^{\prime }(x)=4(x+1)(x-2{)}^2$ semnul nu alternează: rămâne pozitiv și înainte, și după $2$, din cauza pătratului. Fiecare coloană-interval cere o probă interioară.
• Desenezi două tabele la o funcție cu un gol în domeniu. Axa e una singură, deci și tabelul e unul singur; punctul lipsă primește o coloană cu bare, nu o ruptură a tabloului.

Aplică acasă

1. Tabelul unui drum. Privește, într-o aplicație de navigație, profilul de altitudine al unui traseu montan și desenează sub el un tabel cu trei rânduri: distanța, sensul (urcă sau coboară) și forma (se înclină tot mai tare sau tot mai lin). Marchează vârfurile cu $\text{M}$, șeile cu $\text{m}$ și locurile unde panta își schimbă tendința cu $\text{I}$.

2. Numărătoarea coloanelor. Scrie cinci funcții polinomiale la întâmplare, de grade între $2$ și $4$, și pentru fiecare numără câte zerouri are $f^{\prime }$, câte are $f^{\prime \prime }$ și câte coloane trebuie să aibă tabelul. Abia apoi construiește unul dintre tabele și verifică numărul prezis.

3. Tabelul rupt. Scrie tabelul complet al unei funcții de gradul al treilea, apoi acoperă rândul lui $f^{\prime }$ și dă foaia unui coleg. Poate reface rândul acoperit numai din săgețile și marcajele de pe rândul $f(x)$? Discutați apoi ce informație din tabel se repetă și ce informație apare o singură dată.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.4, unde conținutul este numit exact așa: „Tabelul de variație: sinteza proprietăților funcției; determinarea imaginii funcției pe un interval", cu nota că informațiile din tabel vor fi coroborate cu reprezentările grafice realizate prin mijloace digitale. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; acolo programa de examen (OMEN 4430/2014) nu numește tabelul de variație ca temă separată, ci îl cuprinde în capitolul „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor" — „rolul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate" — și în „Reprezentarea grafică a funcțiilor". Cu alte cuvinte, pentru generația de azi tabelul este etapa de lucru, iar pentru generația de la 2030 este și conținut cerut pe nume. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția verifică patru lucruri: (1) numărarea coloanelor înainte de completare, ca probă că toate punctele au fost marcate; (2) calculul limitelor la capete, nu doar al valorilor; (3) regula barei la punctele din afara domeniului și a valorii la capetele incluse; (4) citirea tabelului în cuvinte, pe câte un interval. Patru întrebări de control: „Câte coloane are tabelul tău și de ce atâtea?"; „Ce se scrie în coloana lui $+\infty$, pe rândul derivatei?"; „Care e diferența dintre bară și celulă goală?"; „Spune-mi tabelul acesta în trei propoziții, fără să te uiți la formulă". Semn că elevul a înțeles: începe cu domeniul și limitele, nu cu derivata, și nu formulează niciodată monotonia pe o reuniune de intervale. Continuarea firească este imaginea unei funcții, care se citește din același tablou.

Întrebări frecvente

Când scriu tabelul cu trei rânduri și când cu patru? Cu trei rânduri — $x$, $f^{\prime }(x)$, $f(x)$ — atunci când cerința se oprește la monotonie, la puncte de extrem sau la imaginea funcției, pentru că niciuna dintre ele nu are nevoie de curbură. Cu patru rânduri, adăugând $f^{\prime \prime }(x)$, atunci când se cere tabelul complet, convexitatea sau punctele de inflexiune. Rândurile păstrează întotdeauna aceeași ordine.

Ce diferență este între tabelul de variație la M2 și la mate-info (M1)? Structura și simbolurile sunt identice, dar lista de funcții e mai scurtă la profilul științe ale naturii. În punctele în care derivata nu există — colțuri, puncte de întoarcere, capete cu semitangentă verticală — la M2 se pune bara $|$ și atât, pe când versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții le marchează cu $\nexists$ și calculează derivatele laterale, temă din afara programei de științe ale naturii.

La ce subiect apare tabelul de variație la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, prima problemă, dedicată studiului unei funcții cu ajutorul derivatelor. Programa de examen nu îl numește ca temă separată, ci îl cuprinde în „rolul derivatelor de ordin I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor"; practic, el este forma în care se redactează răspunsul la cerințe de monotonie, de extreme sau de inegalitate.

Pot să sar peste coloana unui punct în care $f^{\prime \prime }$ se anulează? Nu, dacă întocmești tabelul complet: fără coloana lui, schimbarea de curbură nu mai are unde să apară, iar tabelul descrie o funcție mai simplă decât cea dată. Numărul total de coloane, $2k+4$ pentru $k$ puncte interioare, este proba cea mai rapidă că nu ai sărit niciunul.

Ce scriu în tabel acolo unde funcția nu este definită? Rândurile derivatelor primesc bara $|$, iar rândul funcției primește cele două limite laterale, despărțite tot de o bară, de exemplu $-\infty |+\infty$. Se face un singur tabel, nu două: axa este una singură, iar punctul există pe ea chiar dacă funcția nu ajunge acolo.

De unde știu dacă un punct primește marcajul M, m sau I? Din rândurile de deasupra. Marcajul $\text{M}$ se pune acolo unde $f^{\prime }$ trece de la plus la minus, $\text{m}$ acolo unde trece de la minus la plus, iar $\text{I}$ acolo unde $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul. Un punct poate purta două marcaje deodată sau niciunul — de exemplu, un punct critic cu $f^{\prime }$ de același semn de ambele părți nu e extrem.