Modul (valoarea modală)

Un magazin de încălțăminte a vândut, într-o lună, $30$ de perechi de pantofi sport. Patronul vrea să știe ce mărimi să comande data viitoare. Un angajat harnic calculează media mărimilor vândute și îi raportează: $40, 7$ . Patronul se uită lung la el, apoi îi pune singura întrebare care contează: și de unde comand eu pantofi mărimea $40, 7$ ?

Media, oricât de corect calculată, e inutilă aici. Mediana, care este $41$ , e deja mai bună. Dar răspunsul de care are nevoie patronul e altul: care mărime s-a vândut cel mai des? Din cele $30$ de perechi, $10$ au fost mărimea $41$ — mai multe decât oricare altă mărime. Aceasta este valoarea modală, pe scurt modul setului de date.

Modul e cel mai simplu dintre cei trei indicatori de „valoare tipică" studiați în acest capitol și, în anumite situații, singurul care are sens. E singurul care funcționează pe date calitative — nu poți calcula media culorilor preferate, dar poți spune care culoare a fost aleasă cel mai des. Și e singurul care răspunde la întrebări de tipul „ce comand?", „ce produc?", „ce pun pe raft?".

O precizare de vocabular. În algebră, modulul unui număr, notat $∣ x ∣$ , înseamnă cu totul altceva — distanța de la număr până la zero. Aici, în statistică, modul (fără $l$ final la articulare: modul, modurile) înseamnă valoarea cea mai frecventă. Sunt două noțiuni fără nicio legătură între ele; contextul le desparte de fiecare dată.

Ce vei învăța

Vei ști să determini modul unui set de date, din listă, din tabel de frecvențe sau dintr-o diagramă.
Vei ști să recunoști seturile unimodale, bimodale și multimodale și să scrii corect toate valorile modale.
Vei ști să identifici seturile care nu au mod și să explici de ce.
Vei ști să determini clasa modală pentru date grupate pe clase.
Vei ști să folosești modul pe date calitative, acolo unde media și mediana nu se pot calcula.
Vei ști să alegi între medie, mediană și mod în funcție de întrebarea la care trebuie să răspunzi.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția

Modul (sau valoarea modală) unui set de date este valoarea care apare cel mai des, adică valoarea cu frecvența absolută cea mai mare.

Cuvântul vine din franțuzescul mode, „modă" — valoarea „la modă" în setul respectiv. Îl notăm $M o$ .

Exemplu. Setul $3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10$ . Numărăm aparițiile: $3$ apare o dată, $5$ apare de două ori, $6$ o dată, $7$ de trei ori, iar $8$ , $9$ , $10$ câte o dată. Frecvența maximă este $3$ , atinsă de valoarea $7$ , deci

$M o = 7.$

Pentru comparație, media aceluiași set este $\frac{67}{10} = 6, 7$ , iar mediana este $7$ . Toți trei indicatorii sunt apropiați — semn că setul este destul de echilibrat.

Atenție la o confuzie clasică: modul este valoarea care se repetă cel mai des, nu de câte ori se repetă. În exemplul de mai sus, modul este $7$ , nu $3$ .

2. Modul dintr-un tabel de frecvențe

Când datele sunt organizate așa cum ai învățat la Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute, modul se citește dintr-o privire: este valoarea de deasupra celei mai mari frecvențe.

Exemplu — pantofii patronului.

Mărimea	$38$	$39$	$40$	$41$	$42$	$43$	Total
Perechi vândute	$2$	$4$	$6$	$10$	$5$	$3$	$30$

Frecvența maximă este $10$ , în dreptul mărimii $41$ , deci $M o = 41$ .

Ceilalți doi indicatori: media este $\frac{1221}{30} = 40, 7$ , iar mediana, obținută din frecvențele cumulate $2$ , $6$ , $12$ , $22$ , $27$ , $30$ pentru pozițiile $15$ și $16$ , este $41$ . Așadar $M o = Q_{2} = 41$ , iar $\overset{x}{ˉ} = 40, 7$ . Pentru decizia de aprovizionare, singurul indicator util rămâne modul: el spune ce mărime trebuie comandată în cea mai mare cantitate.

Pe o diagramă cu bare, modul este valoarea de sub bara cea mai înaltă — vezi lecția Diagrame cu bare.

✏️Ilustrație: diagramă cu bare cu 6 bare separate pentru mărimile 38, 39, 40, 41, 42, 43, de înălțimi 2, 4, 6, 10, 5, 3; bara de la 41 este colorată diferit și marcată cu o săgeată și eticheta „Mo = 41"

3. Seturi cu mai multe moduri

Nimic nu garantează că frecvența maximă e atinsă de o singură valoare.

Set unimodal: o singură valoare are frecvența maximă. Exemplele de mai sus.

Set bimodal: două valori împart frecvența maximă. De exemplu, $2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7$ : valorile $3$ și $5$ apar fiecare de două ori, restul o dată. Deci setul are două moduri, $M o \in {3, 5}$ , și le scriem pe amândouă.

Set multimodal: trei sau mai multe valori cu aceeași frecvență maximă. De exemplu, $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4$ are modurile $1$ , $2$ și $3$ .

Un set bimodal e adesea un semnal util: sugerează că datele provin din două grupuri diferite amestecate — la fel cum am văzut la poligonul cu două vârfuri, în lecția Poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate. Într-o astfel de situație, analiza corectă cere separarea grupurilor.

4. Seturi fără mod

Dacă toate valorile apar exact o dată, niciuna nu e mai frecventă decât celelalte, deci setul nu are mod.

Exemplu. $1, 2, 3, 4, 5, 6$ : fiecare valoare apare o singură dată, deci frecvența maximă este $1$ și este atinsă de toate. Prin convenție, spunem că setul nu are mod (nu că are șase moduri — o afirmație care n-ar aduce nicio informație).

Situația e frecventă la date continue măsurate precis: dacă măsori timpii a $30$ de elevi cu precizie de sutimi de secundă, aproape sigur toate valorile vor fi diferite. Tocmai de aceea, la date continue nu se caută modul valorilor brute, ci clasa modală.

5. Clasa modală, la date grupate

Pentru date grupate pe clase, așa cum am făcut la Gruparea datelor pe clase. Histograma, clasa modală este clasa cu frecvența cea mai mare — adică dreptunghiul cel mai înalt al histogramei.

Exemplu. Timpii de navetă ai celor $40$ de elevi:

Clasa (minute)	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$
Frecvența	$6$	$11$	$13$	$7$	$3$

Clasa modală este $[20, 30)$ , cu $13$ elevi.

Două observații care se cer la examen:

Clasa modală este un interval, nu un număr. Răspunsul corect este „ $[20, 30)$ ", nu „ $25$ ". Dacă se cere totuși o valoare unică, se poate indica centrul clasei modale, dar spunând explicit că este o aproximare.
Clasa modală depinde de felul în care ai ales clasele. Cu alte capete sau alte lățimi, ea se poate schimba — ceea ce nu se întâmplă niciodată cu mediana sau cu media datelor brute. Este prețul grupării.

6. Modul pe date calitative

Aici modul devine indispensabil, pentru că este singurul dintre cei trei indicatori care se poate calcula.

Exemplu. Cei $40$ de elevi au fost întrebați cum vin la școală:

Mijloc de transport	pe jos	autobuz	tramvai	mașină	Total
Număr de elevi	$12$	$15$	$8$	$5$	$40$

Modul este autobuzul, ales de $15$ elevi. Nu are absolut niciun sens să calculăm „media mijloacelor de transport" sau să întrebăm care e „mijlocul de transport median" — categoriile nu sunt numere și nici măcar nu au o ordine naturală. Modul, în schimb, răspunde perfect la întrebarea practică: pentru ce mijloc de transport trebuie negociat un abonament de grup?

7. Media, mediana sau modul? Ghidul de decizie

Indicator	Ce răspunde	Se calculează pentru	Punctul slab
Media $\overset{x}{ˉ}$	„Cât ar reveni fiecăruia, dacă am împărți egal?"	date numerice	sensibilă la valori extreme
Mediana $Q_{2}$	„Care e valoarea din mijloc, cazul obișnuit?"	date numerice sau ordonabile	ignoră mărimea valorilor extreme
Modul $M o$	„Care valoare apare cel mai des?"	orice fel de date, inclusiv calitative	poate lipsi, poate fi multiplu, e instabil

Trei situații de reținut:

Comandă de marfă, producție, planificare $\Rightarrow$ modul. Ce mărime, ce culoare, ce model se cere cel mai mult.
Salarii, prețuri, durate cu valori extreme $\Rightarrow$ mediana, alături de medie (vezi Mediana unui set de date).
Calcule în care contează totalul (buget, punctaj total, consum lunar) $\Rightarrow$ media, pentru că doar ea se leagă direct de sumă: $\sum x_{i} = n \overset{x}{ˉ}$ .

Iar recomandarea profesională: raportează-le pe toate trei. Împreună, ele descriu setul mult mai bine decât oricare singură. Le vom folosi împreună în lecția Compararea a două seturi de date.

8. Cu foaia de calcul

În Excel sau Google Sheets, =MODE(A2:A31) returnează modul (în versiunea românească a Excel, =MOD.SIMPLU sau =MODUL). Are însă două limite pe care trebuie să le știi: pentru un set fără mod returnează o eroare, iar pentru un set bimodal returnează doar prima valoare modală întâlnită. De aceea, cel mai sigur este să construiești tabelul de frecvențe cu =COUNTIF(A$2:A$31; D2) și să te uiți la coloana frecvențelor: acolo vezi imediat dacă frecvența maximă e atinsă o dată sau de mai multe ori.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Mod dintr-o listă

Determinați modul setului $3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10$ și comparați-l cu media și cu mediana.

Rezolvare. Frecvențele: $3 \to 1$ ; $5 \to 2$ ; $6 \to 1$ ; $7 \to 3$ ; $8 \to 1$ ; $9 \to 1$ ; $10 \to 1$ . Frecvența maximă este $3$ , atinsă de valoarea $7$ , deci $M o = 7$ .

Media: $\frac{67}{10} = 6, 7$ . Mediana ( $n = 10$ , pozițiile $5$ și $6$ , ambele cu valoarea $7$ ): $Q_{2} = 7$ .

Cei trei indicatori sunt foarte apropiați, deci setul este aproape simetric și oricare dintre ei îl descrie rezonabil.

Exemplul 2 — Set bimodal

Determinați modul setului $2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7$ .

Rezolvare. Frecvențele: $2 \to 1$ ; $3 \to 2$ ; $4 \to 1$ ; $5 \to 2$ ; $6 \to 1$ ; $7 \to 1$ . Frecvența maximă este $2$ și este atinsă de două valori, $3$ și $5$ . Setul este bimodal, cu modurile $3$ și $5$ .

Răspunsul corect scrie ambele valori. A alege doar una dintre ele, „pentru că e prima", este greșit.

Exemplul 3 — Set fără mod

Are setul $1, 2, 3, 4, 5, 6$ un mod? Justificați.

Rezolvare. Toate cele șase valori apar exact o dată, deci frecvența maximă este $1$ și este atinsă de toate valorile deodată. Prin convenție, spunem că setul nu are mod: nicio valoare nu se remarcă prin frecvență.

(Media și mediana există și sunt amândouă egale cu $3, 5$ — încă un exemplu de indicator care nu apare printre date.)

Exemplul 4 — Modul dintr-un tabel de frecvențe

Notele a $25$ de elevi: $4$ — $1$ elev, $5$ — $2$ , $6$ — $3$ , $7$ — $5$ , $8$ — $7$ , $9$ — $4$ , $10$ — $3$ . Determinați modul, mediana și media.

Rezolvare. Frecvența maximă este $7$ , în dreptul notei $8$ , deci $M o = 8$ .

Frecvențele cumulate: $1$ , $3$ , $6$ , $11$ , $18$ , $22$ , $25$ . Cum $n = 25$ , mediana este pe poziția $13$ ; deoarece $11 < 13 \leq 18$ , avem $Q_{2} = 8$ .

Media: suma produselor este $4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 8 \cdot 7 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 3 = 4 + 10 + 18 + 35 + 56 + 36 + 30 = 189$ , deci

$\overset{x}{ˉ} = \frac{189}{25} = 7, 56.$

Cum $\overset{x}{ˉ} < Q_{2} = M o$ , distribuția este ușor asimetrică la stânga: câțiva elevi cu note mici trag media sub notă modală.

Exemplul 5 — Clasa modală

Masele a $25$ de sportivi sunt grupate în clasele $[45, 50)$ , $[50, 55)$ , $[55, 60)$ , $[60, 65)$ , $[65, 70)$ , $[70, 75)$ , cu frecvențele $3$ , $4$ , $7$ , $6$ , $3$ , $2$ . Determinați clasa modală.

Rezolvare. Frecvența maximă este $7$ , corespunzătoare clasei $[55, 60)$ . Deci clasa modală este $[55, 60)$ .

Dacă se cere o valoare unică, se poate indica centrul clasei modale, $57, 5$ kg, precizând că este o aproximare — clasa modală rămâne un interval, nu un număr.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Tabelul de mai jos prezintă numărul de mesaje trimise într-o zi de cei $20$ de elevi ai unei clase.

Număr de mesaje	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Număr de elevi	$1$	$3$	$6$	$6$	$3$	$1$

a) Determinați modul setului. b) Determinați mediana. c) Determinați media.

Rezolvare. a) Frecvența maximă este $6$ și este atinsă de două valori, $2$ și $3$ . Setul este bimodal: $M o \in {2, 3}$ . b) Frecvențele cumulate: $1$ , $4$ , $10$ , $16$ , $19$ , $20$ . Verificare: ultima este $20 = n$ ✓. Cum $n = 20$ este par, pozițiile din mijloc sunt $10$ și $11$ : poziția $10$ corespunde valorii $2$ (frecvența cumulată ajunge exact la $10$ ), iar poziția $11$ valorii $3$ . Deci

$Q_{2} = \frac{2 + 3}{2} = 2, 5.$

c) Suma: $0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1 = 0 + 3 + 12 + 18 + 12 + 5 = 50$ , deci

$\overset{x}{ˉ} = \frac{50}{20} = 2, 5.$

Media și mediana coincid, iar cele două moduri sunt așezate simetric în jurul lor: distribuția este simetrică.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare set, scrie mai întâi frecvențele fiecărei valori și abia apoi răspunsul.

1. Determină modul setului $2, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 8$ .

2. Determină modul setului $3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10$ .

3. Determină modul (sau modurile) setului $2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7$ .

4. Are setul $1, 2, 3, 4, 5, 6$ un mod? Justifică.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un set de date are întotdeauna exact un mod."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Modul este singurul dintre indicatorii medie, mediană și mod care se poate determina pentru date calitative."

7. Într-un magazin s-au vândut într-o lună: mărimea $38$ — $2$ perechi, $39$ — $4$ , $40$ — $6$ , $41$ — $10$ , $42$ — $5$ , $43$ — $3$ . Determină modul și explică ce decizie practică se ia pe baza lui.

8. Pentru setul de la exercițiul $7$ , calculează media și mediana și explică de ce media nu ajută la comandarea mărfii.

9. Notele a $25$ de elevi: $4$ — $1$ , $5$ — $2$ , $6$ — $3$ , $7$ — $5$ , $8$ — $7$ , $9$ — $4$ , $10$ — $3$ . Determină modul și mediana.

10. Pentru setul de la exercițiul $9$ , calculează media și compar-o cu modul.

11. Timpii de navetă a $40$ de elevi sunt grupați în clasele $[0, 10)$ , $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ , $[40, 50)$ , cu frecvențele $6$ , $11$ , $13$ , $7$ , $3$ . Determină clasa modală.

12. Masele a $25$ de sportivi sunt grupate în clasele $[45, 50)$ , $[50, 55)$ , $[55, 60)$ , $[60, 65)$ , $[65, 70)$ , $[70, 75)$ , cu frecvențele $3$ , $4$ , $7$ , $6$ , $3$ , $2$ . Determină clasa modală și centrul ei.

13. (Problemă aplicată.) Cei $40$ de elevi ai unei clase vin la școală astfel: pe jos — $12$ , cu autobuzul — $15$ , cu tramvaiul — $8$ , cu mașina — $5$ . Care este modul? De ce nu are sens să calculăm media?

14. Determină modurile setului $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4$ și precizează cum se numește un astfel de set.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Numărul de mesaje trimise într-o zi de $20$ de elevi este dat de tabelul: $0$ mesaje — $1$ elev, $1$ — $3$ , $2$ — $6$ , $3$ — $6$ , $4$ — $3$ , $5$ — $1$ . Determinați modul și mediana setului.

16. (Problemă aplicată.) Un set de $10$ valori are modul $5$ . Se adaugă o valoare egală cu $9$ . Poate să se schimbe modul? În ce condiții?

17. Explică, în două-trei fraze, de ce clasa modală poate să se schimbe dacă alegi alte clase pentru aceleași date, în timp ce mediana datelor brute nu se schimbă niciodată.

18. (Provocare.) Construiește un set de $7$ numere naturale în care media, mediana și modul să fie trei valori diferite: media $5$ , mediana $4$ și modul $3$ . Verifică toate cele trei condiții.

Răspunsuri și explicații

1. Frecvențele: $2 \to 1$ , $4 \to 2$ , $5 \to 1$ , $6 \to 3$ , $8 \to 1$ . Frecvența maximă este $3$ , deci $M o = 6$ .

2. Frecvența maximă este $3$ , atinsă de valoarea $7$ , deci $M o = 7$ .

3. Valorile $3$ și $5$ apar de câte două ori, restul o dată. Setul este bimodal, cu modurile $3$ și $5$ ; ambele trebuie scrise.

4. Nu are mod: toate valorile apar exact o dată, deci nicio valoare nu se distinge prin frecvență. Prin convenție, spunem că setul nu are mod.

5. Fals. Un set poate avea un mod (unimodal), două (bimodal), mai multe (multimodal) sau niciunul, dacă toate valorile apar o singură dată. Exemplu de set bimodal: $2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7$ .

6. Adevărat. Media cere adunări și împărțiri, deci date numerice; mediana cere măcar o ordonare a valorilor. Modul cere doar numărarea aparițiilor, deci funcționează și pe categorii: culori, mijloace de transport, genuri muzicale.

7. Frecvența maximă este $10$ , la mărimea $41$ , deci $M o = 41$ . Decizia practică: mărimea $41$ trebuie comandată în cea mai mare cantitate, urmată de $40$ și $42$ .

8. Media: $\frac{1221}{30} = 40, 7$ ; mediana (pozițiile $15$ și $16$ , ambele în dreptul mărimii $41$ ): $Q_{2} = 41$ . Media nu ajută pentru că nu există mărimea $40, 7$ — indicatorul nu corespunde niciunui produs real. Modul, în schimb, indică exact ce se cumpără cel mai des.

9. Frecvența maximă este $7$ , la nota $8$ , deci $M o = 8$ . Frecvențele cumulate: $1$ , $3$ , $6$ , $11$ , $18$ , $22$ , $25$ ; poziția medianei este $13$ , iar $11 < 13 \leq 18$ , deci $Q_{2} = 8$ .

10. Suma produselor: $4 + 10 + 18 + 35 + 56 + 36 + 30 = 189$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{189}{25} = 7, 56$ . Media este mai mică decât modul ( $8$ ), pentru că notele mici ( $4$ , $5$ , $6$ ) o trag în jos, în timp ce modul nu se lasă influențat de ele.

11. Frecvența maximă este $13$ , deci clasa modală este $[20, 30)$ .

12. Frecvența maximă este $7$ , deci clasa modală este $[55, 60)$ , iar centrul ei este $\frac{55 + 60}{2} = 57, 5$ kg.

13. Modul este autobuzul, cu $15$ elevi. Media nu are sens pentru că datele sunt calitative: „pe jos", „autobuz", „tramvai" și „mașină" nu sunt numere, deci nu se pot aduna și împărți. Din același motiv nu se poate calcula nici mediana.

14. Valorile $1$ , $2$ și $3$ apar fiecare de două ori, iar $4$ o singură dată. Setul are trei moduri și se numește multimodal (mai precis, trimodal).

15. Frecvența maximă este $6$ și este atinsă de valorile $2$ și $3$ , deci setul este bimodal: $M o \in {2, 3}$ . Frecvențele cumulate: $1$ , $4$ , $10$ , $16$ , $19$ , $20$ ; cum $n = 20$ , pozițiile din mijloc sunt $10$ și $11$ , cu valorile $2$ și $3$ , deci $Q_{2} = \frac{2 + 3}{2} = 2, 5$ .

16. Da, se poate schimba, dar numai într-un caz: dacă valoarea $9$ apărea deja de exact atâtea ori cât $5$ minus unu, adăugarea o aduce la egalitate cu frecvența lui $5$ , iar setul devine bimodal, cu modurile $5$ și $9$ . Dacă $9$ apărea de mai puține ori, modul rămâne $5$ . O singură valoare adăugată nu poate face ca $9$ să depășească singură frecvența lui $5$ .

17. Clasa modală depinde de capetele și de lățimea claselor alese: mutând granițele cu câțiva pași, datele se redistribuie între intervale și un alt interval poate ajunge cel mai populat. Mediana datelor brute, în schimb, depinde doar de ordinea valorilor reale, care nu se schimbă niciodată — de aceea ea este un indicator stabil, iar clasa modală, unul convențional.

18. Un exemplu potrivit: $3, 3, 3, 4, 6, 7, 9$ . Modul: valoarea $3$ apare de trei ori, celelalte câte o dată, deci $M o = 3$ ✓. Mediana: $n = 7$ , poziția $\frac{7 + 1}{2} = 4$ , iar al patrulea termen al șirului ordonat este $4$ , deci $Q_{2} = 4$ ✓. Media: $3 + 3 + 3 + 4 + 6 + 7 + 9 = 35$ , deci $\overset{x}{ˉ} = \frac{35}{7} = 5$ ✓. Cum $M o < Q_{2} < \overset{x}{ˉ}$ , distribuția este asimetrică la dreapta — exact tiparul pe care îl dau câteva valori mari într-un set altfel concentrat la stânga.

De reținut

Modul ( $M o$ ) este valoarea cu frecvența absolută cea mai mare; se citește direct din tabelul de frecvențe sau de pe bara cea mai înaltă a diagramei.
Un set poate fi unimodal, bimodal, multimodal sau fără mod (când toate valorile apar o singură dată). Când sunt mai multe moduri, se scriu toate.
La date grupate se determină clasa modală — un interval, nu un număr; ea depinde de alegerea claselor.
Modul este singurul dintre cei trei indicatori care se poate determina pentru date calitative.
Alege indicatorul după întrebare: modul pentru „ce se cere cel mai des", mediana pentru „cazul obișnuit", media pentru calcule în care contează totalul.

Greșeli frecvente

Confundarea modului cu frecvența lui. În setul $3, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8$ , modul este $7$ (valoarea), nu $3$ (de câte ori apare). Întrebarea e „care valoare", nu „de câte ori".
Indicarea unui singur mod la un set bimodal. Dacă două valori au aceeași frecvență maximă, ambele sunt moduri și ambele trebuie scrise.
Afirmația «toate valorile sunt moduri» pentru un set fără repetări. Prin convenție, când toate valorile apar o singură dată, setul nu are mod — a spune că are șase moduri nu transmite nicio informație.
Confundarea clasei modale cu un număr. Răspunsul corect la date grupate este intervalul, de exemplu $[20, 30)$ . Centrul clasei se poate da suplimentar, ca aproximare, dar niciodată în locul intervalului.
Încercarea de a calcula media pe date calitative. „Media culorilor preferate" nu există. Pentru astfel de date, singurul indicator de valoare tipică este modul.

Aplică acasă

Ce se poartă în clasa ta. Notează culoarea ghiozdanului fiecărui coleg și construiește tabelul de frecvențe. Determină modul. Observă că nici media, nici mediana nu se pot calcula — și explică-i unui coleg de ce.
Raftul magazinului. Într-un magazin de lângă tine, notează mărimile disponibile la un produs (tricouri, adidași) și numărul de bucăți din fiecare. Determină mărimea modală a stocului și compar-o cu ce ai fi comandat tu. Dacă cele două nu coincid, gândește-te ce ar putea explica diferența.
Cei trei indicatori deodată. Ia notele tale de la o materie și calculează toți trei indicatorii: media, mediana și modul. Ordonează-i și interpretează rezultatul: dacă media e sub mediană și sub mod, ai avut probabil una-două note mici care trag media în jos.

Pentru părinți și profesori

Modul este cel mai simplu de calculat dintre cele trei mărimi caracteristice, dar cel mai bogat în discuții. Este singurul indicator care funcționează pe date calitative, singurul care poate lipsi și singurul care poate fi multiplu — trei situații care obligă elevul să înțeleagă definiția, nu să aplice o formulă. Programa îl cere explicit alături de medie, mediană, cuartile și amplitudine (X.CS.3.3), iar abordarea prin contexte practice este chiar recomandarea notei din programă.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie tabelul de frecvențe înainte de a răspunde; (2) indică valoarea, nu frecvența ei; (3) la seturile bimodale scrie ambele moduri; (4) la date grupate răspunde cu un interval, nu cu un număr; (5) recunoaște seturile fără mod. Întrebări bune de control: „Poate un set să aibă două moduri? Dar niciunul?"; „De ce nu putem calcula media culorilor preferate?"; „Ce indicator folosește un magazin când comandă marfă și de ce?".

La Bacalaureat, modul apare în general împreună cu media și mediana, într-un exercițiu bazat pe un tabel de frecvențe, cu cerințe scurte pentru fiecare indicator. Semne că elevul a înțeles: nu confundă modul cu frecvența, sesizează imediat un set bimodal și poate argumenta, într-o situație practică, ce indicator este cel potrivit.

Întrebări frecvente

Ce este modul unui set de date? Este valoarea care apare cel mai des, adică valoarea cu frecvența absolută cea mai mare. Se notează $M o$ și se citește direct din tabelul de frecvențe: e valoarea din dreptul celei mai mari frecvențe.

Poate un set de date să aibă mai multe moduri? Da. Dacă două valori au aceeași frecvență maximă, setul este bimodal și are două moduri; dacă sunt trei sau mai multe, este multimodal. Toate valorile modale trebuie scrise în răspuns.

Poate un set de date să nu aibă mod? Da, atunci când toate valorile apar exact o singură dată — de exemplu $1, 2, 3, 4, 5, 6$ . Prin convenție, spunem că setul nu are mod. Situația este frecventă la date continue măsurate precis; de aceea acolo se caută clasa modală.

Ce este clasa modală? Este clasa cu frecvența cea mai mare, la un set de date grupate pe intervale — adică dreptunghiul cel mai înalt al histogramei. Răspunsul se dă sub forma unui interval, de exemplu $[20, 30)$ , nu sub forma unui număr.

Se poate calcula modul pentru date calitative? Da, și este singurul dintre cei trei indicatori care se poate. Pentru mijloacele de transport ale unei clase, modul poate fi „autobuzul"; media și mediana nu au niciun sens, pentru că datele nu sunt numere.

Care e diferența dintre medie, mediană și mod? Media este valoarea de echilibru a tuturor datelor, mediana este valoarea din mijlocul șirului ordonat, iar modul este valoarea cea mai frecventă. Pot fi egale (la distribuții simetrice) sau foarte diferite. La mărimile de pantofi vândute, media a fost $40, 7$ , iar mediana și modul $41$ .

Când este modul indicatorul cel mai util? Când decizia se referă la ceva ce trebuie ales sau produs: ce mărime să comande un magazin, ce culoare să producă o fabrică, ce oră să fie programat un curs. În toate aceste cazuri contează ce apare cel mai des, nu media valorilor.