Gruparea datelor pe clase. Histograma

Diriginta clasei a X-a B a rugat toți cei $40$ de elevi să noteze, timp de o săptămână, câte minute fac de acasă până la școală, și să raporteze media lor. A primit înapoi $40$ de numere: $23$, $8$, $41$, $15$, $27$, $12$, $30$ și așa mai departe. Vrea să afle un lucru simplu — cât de mult pierd elevii ei pe drum și dacă merită să ceară mutarea primei ore mai târziu. Așa că face ce ai învățat la Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute: un tabel de frecvențe. Rezultatul e dezamăgitor. Aproape fiecare valoare apare o dată sau de două ori, tabelul are peste treizeci de rânduri și nu se vede absolut nimic.

Problema nu e la diriginta, ci la datele în sine. Timpul este o mărime continuă: între $22$ și $23$ de minute încap o infinitate de valori, iar dacă elevii ar fi măsurat cu secunde, probabil că toate cele $40$ de numere ar fi fost diferite. Pentru astfel de date există o soluție veche și foarte eficientă: nu numărăm câți elevi au exact $23$ de minute, ci câți elevi au între $20$ și $30$ de minute. Adică grupăm datele pe intervale, numite clase, iar reprezentarea grafică a rezultatului se numește histogramă. E cea mai folosită diagramă din statistica reală — o vezi în rapoartele Institutului Național de Statistică, în studiile medicale și în orice raport de salarii. Hai să învățăm să o construim și, mai ales, să nu o confundăm cu diagrama cu bare.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști când trebuie grupate datele pe clase și când nu e nevoie.
• Vei ști să alegi numărul de clase și lățimea unei clase, pornind de la amplitudinea setului de date.
• Vei ști să scrii corect intervalele de clasă, folosind convenția semideschisă $[a,b)$, care elimină orice ambiguitate.
• Vei ști să completezi un tabel de frecvențe pe clase cu frecvențe absolute, relative și cumulate și să calculezi centrul fiecărei clase.
• Vei ști să construiești o histogramă corectă și să citești din ea clasa modală și forma distribuției.
• Vei ști să explici diferența dintre histogramă și diagrama cu bare și de ce nu sunt interschimbabile.

Hai să descoperim împreună

1. Date discrete și date continue

Prima întrebare, înainte de orice diagramă, este: ce fel de date am?

Date calitative (categoriale): culoarea preferată, mijlocul de transport, județul de proveniență. Nu sunt numere, doar categorii.

Date cantitative discrete: valorile posibile sunt izolate, de obicei numere întregi, și se pot enumera. Numărul de frați, nota la teză, numărul de mesaje trimise într-o zi. Între $7$ și $8$ nu există nicio notă.

Date cantitative continue: valorile pot fi orice număr dintr-un interval, iar precizia depinde doar de instrumentul de măsură. Înălțimea, masa, timpul, temperatura, distanța.

Regula practică pe care o vom folosi tot restul capitolului:

Date calitative sau discrete cu puține valori $\Rightarrow$ tabel de frecvențe obișnuit și diagramă cu bare. Date continue (sau discrete, dar cu foarte multe valori diferite) $\Rightarrow$ grupare pe clase și histogramă.

Setul dirigintei conține timpi, deci date continue. Îl vom folosi ca fir roșu în această lecție și în următoarele. Iată-l ordonat crescător, ca să-l putem citi:

$$5,7,8,8,9,9,10,11,12,12,14,15,15,16,17,18,19,20,20,21,$$ $$22,22,23,24,25,25,26,27,28,29,30,30,31,33,34,35,38,41,43,48.$$

2. Câte clase și cât de late?

Nu există o rețetă unică, dar există trei pași care dau aproape întotdeauna un rezultat bun.

Pasul 1 — amplitudinea. Se calculează diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare:

$$A=x_{\max }-x_{\min }=48-5=43\text{ minute}.$$

Pasul 2 — numărul de clase. O orientare folosită frecvent este $\sqrt{n}$, rotunjit. Aici $\sqrt{40}\approx 6,32$, deci ne-am aștepta la $5$–$7$ clase. Regula generală: între $5$ și $10$ clase. Mai puține de $5$ ascund forma datelor, mai multe de $10$ readuc haosul de la care am plecat.

Pasul 3 — lățimea clasei. Împărțim amplitudinea la numărul de clase și rotunjim în sus la un număr comod:

$$\frac{43}{6}\approx 7,2\Rightarrow \text{alegem la˘țimea }10.$$

Cu lățimea $10$ și pornind de la $0$, obținem exact $5$ clase: $[0,10)$, $[10,20)$, $[20,30)$, $[30,40)$, $[40,50)$. Ele acoperă toate datele, sunt de aceeași lățime și au capete rotunde — trei condiții pe care le vrem mereu.

3. De ce scriem intervalele ca $[a,b)$

Dacă am scrie clasele ca $[0,10]$, $[10,20]$, $[20,30]$, elevul cu exact $10$ minute ar aparține la două clase deodată, iar suma frecvențelor ar depăși $40$. De aceea, convenția statistică este cea a intervalelor semideschise la dreapta:

$$[a,b)=\{x\mid a\le x<b\}.$$

Capătul din stânga aparține clasei, cel din dreapta nu. Elevul cu $10$ minute intră în $[10,20)$, cel cu $20$ de minute intră în $[20,30)$. Singura excepție este ultima clasă, care poate fi închisă la ambele capete dacă valoarea maximă cade fix pe capăt.

Notațiile pe care le vom folosi pentru o clasă $[a,b)$:

• lățimea clasei: $h=b-a$;
• centrul clasei (sau mijlocul clasei): $c=\frac{a+b}{2}$ — reprezentantul clasei, folosit la calculul mediei pe date grupate;
• frecvența absolută a clasei: $n_i$ = câte date cad în intervalul respectiv.

4. Tabelul de frecvențe pe clase

Numărăm datele din fiecare interval, cu răbdare, pe lista ordonată. Așa cum ai învățat la Frecvențe relative și procente și la Frecvențe cumulate, adăugăm și coloanele derivate.

Verificarea obligatorie: suma frecvențelor absolute trebuie să dea numărul total de date, $6+11+13+7+3=40$ ✓, iar suma frecvențelor relative trebuie să dea $1$, adică $100\%$ ✓. Ultima frecvență cumulată este tot $40$ ✓. Dacă vreuna dintre aceste trei verificări nu iese, ai numărat greșit sau ai clase care se suprapun.

Tabelul spune deja povestea: aproape o treime dintre elevi, $32,5\%$, fac între $20$ și $30$ de minute, iar $75\%$ dintre ei ajung la școală în cel mult $30$ de minute (frecvența cumulată $30$ din $40$).

5. Histograma: construcția pas cu pas

Histograma este diagrama în care fiecare clasă e reprezentată printr-un dreptunghi așezat pe intervalul ei, cu înălțimea egală cu frecvența clasei. Pași:

1. Pe axa orizontală notezi valorile caracteristicii și marchezi capetele claselor: $0,10,20,30,40,50$. Axa are unitate de măsură reală și scară uniformă.
2. Pe axa verticală notezi frecvențele, de la $0$ până puțin peste cea mai mare frecvență (aici $13$).
3. Deasupra fiecărui interval desenezi un dreptunghi cu înălțimea egală cu frecvența clasei.
4. Dreptunghiurile se ating: nu lași spații între ele, pentru că nici între clase nu există „găuri" — intervalele sunt lipite cap la cap.
5. Adaugi titlul, numele axelor și unitățile de măsură.

Atenție la o subtilitate importantă: într-o histogramă, informația este dată de aria dreptunghiului, nu doar de înălțimea lui. Când toate clasele au aceeași lățime — cazul nostru și singurul cerut la clasa a X-a — ariile sunt proporționale cu înălțimile, deci putem citi direct înălțimile. Dacă însă clasele ar avea lățimi diferite, ar trebui să ajustăm înălțimile ca ariile să rămână proporționale cu frecvențele. De aceea recomandarea este fermă: folosește clase de lățimi egale.

6. Histogramă sau diagramă cu bare? Deosebirea esențială

E confuzia numărul unu din tot capitolul, și cade la teze. Cele două diagrame arată asemănător — dreptunghiuri verticale — dar reprezintă lucruri diferite.

Testul care rezolvă orice ezitare: întreabă-te dacă are sens să schimbi două bare între ele. La un grafic cu mijloacele de transport, poți muta „autobuz" înaintea lui „pe jos" fără nicio pierdere — deci e o diagramă cu bare, iar barele stau separate. La graficul timpilor de navetă, nu poți pune intervalul $[30,40)$ înaintea lui $[10,20)$ fără să distrugi graficul — deci e o histogramă, iar dreptunghiurile stau lipite.

Un al doilea test, la fel de bun: între două bare vecine se poate afla o valoare? Între „autobuz" și „tramvai" nu există nimic; între $19$ și $20$ de minute există o infinitate de valori. Continuitatea axei e ceea ce lipește dreptunghiurile.

Despre construcția barelor găsești mai mult în lecția Diagrame cu bare, iar despre împărțirea unui întreg în părți, în Diagrame circulare.

7. Ce citim dintr-o histogramă

Clasa modală este clasa cu frecvența cea mai mare, adică dreptunghiul cel mai înalt. La noi este $[20,30)$, cu $13$ elevi. Ea joacă, pentru date grupate, rolul pe care îl are modul pentru date negrupate — vezi lecția Modul (valoarea modală).

Forma distribuției. Histograma noastră urcă până la $[20,30)$ și apoi coboară mai lent decât a urcat: coada din dreapta e mai lungă. Spunem că distribuția este asimetrică la dreapta. Practic, asta înseamnă că există câțiva elevi cu navetă foarte lungă, care „trag" media în sus — un fenomen pe care îl vom studia atent la Media aritmetică și media ponderată a unui set de date. O distribuție simetrică ar avea dreptunghiuri aproximativ oglindite față de mijloc.

Ce se pierde prin grupare. Datele individuale nu se mai văd: din histogramă nu mai putem afla că un elev face exact $48$ de minute, ci doar că trei elevi fac între $40$ și $50$. Gruparea e un schimb echitabil — pierdem detaliul, câștigăm forma — motiv pentru care tabelul cu datele brute se păstrează întotdeauna.

8. Cu foaia de calcul

Programa recomandă explicit folosirea instrumentelor digitale, iar în practică nimeni nu numără $40$ de valori cu creionul. În Excel sau Google Sheets:

• scrii datele într-o coloană, de exemplu A2:A41;
• numeri datele dintr-o clasă cu =COUNTIFS(A2:A41; ">=20"; A2:A41; "<30"), care returnează exact $13$;
• pentru toate clasele deodată există funcția FREQUENCY (în varianta românească, FRECVENȚĂ);
• inserezi o diagramă cu coloane și reduci la zero spațiul dintre coloane (gap width) — acesta e pasul care transformă o diagramă cu bare într-o histogramă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Alegerea claselor

Masele, în kilograme, ale $25$ de sportivi sunt: $46,48,49,51,52,52,54,55,55,56,57,58,58,59,60,61,62,62,63,64,65,66,68,70,72$. Grupați datele pe clase.

Rezolvare. Amplitudinea: $A=72-46=26$ kg. Numărul orientativ de clase: $\sqrt{25}=5$. Lățimea: $26:5=5,2$, deci rotunjim la $5$. Pornim de la $45$, un capăt rotund aflat sub valoarea minimă, și obținem clasele $[45,50)$, $[50,55)$, $[55,60)$, $[60,65)$, $[65,70)$, $[70,75)$ — șase clase de lățime $5$.

Verificare: $3+4+7+6+3+2=25$ ✓. Clasa modală este $[55,60)$.

Exemplul 2 — Grănița dintre clase

În setul de mai sus, în ce clasă intră sportivul de $55$ kg? Dar cel de $60$ kg?

Rezolvare. Cu convenția $[a,b)$, capătul stâng aparține clasei. Sportivul de $55$ kg intră în $[55,60)$, nu în $[50,55)$. Sportivul de $60$ kg intră în $[60,65)$. Dacă am fi folosit intervale închise, fiecare dintre ei ar fi fost numărat de două ori, iar totalul ar fi ieșit $27$ în loc de $25$ — o eroare pe care verificarea sumei o prinde imediat.

Exemplul 3 — Frecvențe relative și cumulate

Pentru setul de timpi de navetă, ce procent dintre elevi fac cel mult $20$ de minute? Dar peste $30$?

Rezolvare. „Cel mult $20$ de minute" înseamnă clasele $[0,10)$ și $[10,20)$, deci frecvența cumulată $6+11=17$ elevi:

$$\frac{17}{40}=0,425=42,5\%.$$

„Peste $30$ de minute" înseamnă clasele $[30,40)$ și $[40,50)$, adică $7+3=10$ elevi, adică $\frac{10}{40}=25\%$. Control: $42,5\%+32,5\%+25\%=100\%$ ✓, unde $32,5\%$ este procentul clasei $[20,30)$.

Exemplul 4 — De la histogramă înapoi la tabel

O histogramă are pe axa orizontală capetele $0,5,10,15,20$ și dreptunghiurile de înălțimi $4,9,6,3$. Câte date are setul? Care e clasa modală? Ce procent din date se află sub $10$?

Rezolvare. Clasele sunt $[0,5)$, $[5,10)$, $[10,15)$, $[15,20)$, toate de lățime $5$. Numărul total de date: $4+9+6+3=22$. Clasa modală este $[5,10)$, cu frecvența $9$. Sub $10$ se află $4+9=13$ date, adică

$$\frac{13}{22}\approx 0,591=59,1\%.$$

Exemplul 5 — Care diagramă se potrivește?

Pentru fiecare situație, precizați dacă se folosește diagrama cu bare sau histograma: (a) numărul de elevi din fiecare dintre cele $5$ clase a X-a ale liceului; (b) timpul, în secunde, în care $30$ de elevi aleargă $100$ m; (c) nota obținută la teză de $28$ de elevi, notele fiind numere întregi de la $4$ la $10$; (d) suprafața, în metri pătrați, a $50$ de apartamente scoase la vânzare.

Rezolvare. (a) Date calitative (categoriile sunt „X A", „X B", …): diagramă cu bare separate. (b) Date continue (timpul): grupare pe clase și histogramă. (c) Date discrete cu puține valori (doar $7$ note posibile): tabel de frecvențe obișnuit și bare separate; gruparea pe clase ar pierde informație fără niciun câștig. (d) Date continue (suprafața): histogramă, cu clase de tipul $[30,45)$, $[45,60)$ etc.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Tabelul de mai jos prezintă distribuția pe clase a duratelor, în minute, a $50$ de convorbiri telefonice.

a) Verificați că tabelul este complet. b) Determinați lățimea și centrul fiecărei clase. c) Calculați ce procent dintre convorbiri au durat cel puțin $8$ minute. d) Precizați clasa modală.

Rezolvare. a) $12+18+11+6+3=50$ ✓, deci tabelul cuprinde toate convorbirile. b) Toate clasele au lățimea $h=4$ minute. Centrele sunt $2,6,10,14,18$ minute. c) „Cel puțin $8$ minute" înseamnă ultimele trei clase: $11+6+3=20$ de convorbiri, adică

$$\frac{20}{50}=0,4=40\%.$$

d) Clasa modală este $[4,8)$, cu frecvența $18$ — cel mai înalt dreptunghi al histogramei.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă cu grupare, verifică întâi dacă suma frecvențelor dă numărul total de date.

1. Precizează dacă datele sunt calitative, discrete sau continue: (a) numărul de frați ai fiecărui elev; (b) masa unui nou-născut; (c) genul literar preferat; (d) durata unui film.

2. Un set de date are $x_{\min }=12$ și $x_{\max }=87$. Calculează amplitudinea și propune o lățime comodă de clasă dacă vrei aproximativ $8$ clase.

3. Scrie clasele de lățime $10$ care acoperă valorile de la $12$ la $87$, folosind convenția $[a,b)$ și capete rotunde.

4. În ce clasă intră valoarea $30$, dacă lucrăm cu clasele $[10,20)$, $[20,30)$, $[30,40)$?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o histogramă, dreptunghiurile trebuie desenate cu spații între ele, ca să se distingă clasele."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Diagrama cu bare se folosește pentru date calitative sau discrete, iar histograma pentru date continue grupate pe clase."

7. Masele a $25$ de sportivi sunt cele din Exemplul 1. Câți sportivi au masa în intervalul $[55,65)$? Ce procent din total reprezintă?

8. Pentru setul din Exemplul 1, calculează frecvențele relative ale tuturor celor șase clase și verifică faptul că suma lor este $1$.

9. Pentru setul de timpi de navetă din lecție, câți elevi fac cel mult $30$ de minute? Ce procent reprezintă?

10. (Problemă aplicată.) O histogramă are clasele $[0,5)$, $[5,10)$, $[10,15)$, $[15,20)$, $[20,25)$ și înălțimile $2,8,12,5,3$. Determină numărul total de date, clasa modală și procentul datelor din clasa modală.

11. Pentru histograma de la exercițiul precedent, calculează centrele celor cinci clase.

12. Notele la o teză, pentru $28$ de elevi, sunt numere întregi de la $4$ la $10$. Ce reprezentare grafică alegi și de ce?

13. (Problemă aplicată.) Un magazin înregistrează valorile, în lei, a $60$ de bonuri fiscale, cele mai mici de $18$ lei și cele mai mari de $296$ lei. Propune un sistem de clase și justifică alegerea.

14. Explică, în două-trei fraze, de ce nu are sens să schimbi între ele două dreptunghiuri ale unei histograme, deși poți schimba două bare ale unei diagrame cu bare.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Într-un tabel, duratele a $50$ de convorbiri sunt grupate pe clasele $[0,4)$, $[4,8)$, $[8,12)$, $[12,16)$, $[16,20)$, cu frecvențele $12,18,11,6,3$. Determinați procentul convorbirilor care au durat sub $8$ minute și precizați clasa modală.

16. Un set de $36$ de date este grupat în $6$ clase de lățime $5$, prima clasă fiind $[20,25)$. Care este ultima clasă? Care este cea mai mare valoare posibilă din set?

17. (Problemă aplicată.) Într-o foaie de calcul, datele sunt în celulele A2:A41. Scrie formula care numără câte valori se află în clasa $[30,40)$ și explică fiecare parte a ei.

18. (Provocare.) Un set de date este grupat în clasele $[0,10)$, $[10,20)$, $[20,40)$, cu frecvențele $10$, $20$ și $20$. Un elev desenează trei dreptunghiuri de înălțimi $10$, $20$ și $20$ și spune că ultimele două clase sunt „la fel de dese". Explică de ce reprezentarea lui induce în eroare și cum ar trebui desenat corect ultimul dreptunghi.

Răspunsuri și explicații

1. (a) discrete — numărul de frați e un întreg, între $2$ și $3$ nu există nimic; (b) continue — masa se poate măsura oricât de precis; (c) calitative — sunt categorii, nu numere; (d) continue — durata e o mărime de timp.

2. Amplitudinea: $87-12=75$. Împărțind la $8$: $75:8=9,375$, deci lățimea comodă este $10$. Cu ea vom avea $8$ clase, ceea ce se încadrează perfect în intervalul recomandat $5$–$10$.

3. $[10,20)$, $[20,30)$, $[30,40)$, $[40,50)$, $[50,60)$, $[60,70)$, $[70,80)$, $[80,90)$ — opt clase, care acoperă tot setul, de la $12$ la $87$.

4. În clasa $[30,40)$. Convenția $[a,b)$ include capătul din stânga și exclude capătul din dreapta, deci $30$ nu aparține lui $[20,30)$.

5. Fals. Într-o histogramă dreptunghiurile sunt lipite, tocmai pentru că intervalele de clasă sunt lipite cap la cap pe axa numerică și nu există valori „între" clase. Spațiile sunt specifice diagramei cu bare, unde axa orizontală conține categorii, nu numere.

6. Adevărat. Este chiar criteriul de alegere între cele două diagrame. Suplimentar, la histogramă axa orizontală are scară numerică reală, iar lățimea dreptunghiului are semnificație (lățimea clasei).

7. Clasele $[55,60)$ și $[60,65)$ au frecvențele $7$ și $6$, deci $7+6=13$ sportivi. Procentul: $\frac{13}{25}=0,52=52\%$.

8. $\frac{3}{25}=0,12$; $\frac{4}{25}=0,16$; $\frac{7}{25}=0,28$; $\frac{6}{25}=0,24$; $\frac{3}{25}=0,12$; $\frac{2}{25}=0,08$. Suma: $0,12+0,16+0,28+0,24+0,12+0,08=1$ ✓.

9. Frecvența cumulată până la $30$ este $6+11+13=30$ de elevi, adică $\frac{30}{40}=0,75=75\%$.

10. Total: $2+8+12+5+3=30$ de date. Clasa modală: $[10,15)$, cu frecvența $12$. Procentul: $\frac{12}{30}=0,4=40\%$.

11. Centrele sunt mijloacele intervalelor: $2,5$; $7,5$; $12,5$; $17,5$; $22,5$.

12. Diagramă cu bare separate, pe baza unui tabel de frecvențe obișnuit. Notele sunt date discrete și au doar $7$ valori posibile ($4,5,\dots ,10$), deci fiecare valoare poate avea bara ei. Gruparea pe clase ar ascunde informație fără niciun câștig de claritate.

13. Amplitudinea: $296-18=278$ lei. Pentru $6$ clase, lățimea ar fi aproximativ $46$; alegem lățimea rotundă $50$ și pornim de la $0$: $[0,50)$, $[50,100)$, …, $[250,300)$ — șase clase care acoperă tot setul.

14. Pentru că axa orizontală a histogramei este o axă numerică: pozițiile dreptunghiurilor sunt date de ordinea naturală a numerelor, iar mutarea unuia ar însemna să susții că $[30,40)$ se află înaintea lui $[10,20)$. La diagrama cu bare, axa conține doar etichete, între care nu există ordine impusă.

15. Sub $8$ minute: $12+18=30$ de convorbiri, adică $\frac{30}{50}=0,6=60\%$. Clasa modală: $[4,8)$, cu frecvența maximă $18$.

16. Cele $6$ clase de lățime $5$ pornind de la $20$ sunt $[20,25)$, $[25,30)$, $[30,35)$, $[35,40)$, $[40,45)$, $[45,50)$; ultima este $[45,50)$. Cea mai mare valoare posibilă este orice număr strict mai mic decât $50$ — de exemplu $49$, dacă datele sunt întregi.

17. =COUNTIFS(A2:A41; ">=30"; A2:A41; "<40"). Funcția numără celulele din zona A2:A41 care îndeplinesc simultan ambele condiții: sunt mai mari sau egale cu $30$ și strict mai mici decât $40$ — exact definiția intervalului $[30,40)$. Perechea de condiții (zonă, criteriu) se repetă pentru fiecare restricție.

18. Clasele nu au aceeași lățime: primele două au lățimea $10$, ultima $20$. Într-o histogramă informația e dată de arie, nu de înălțime: dreptunghiul lui are aria $20\cdot 20=400$, dublul celui de-al doilea ($10\cdot 20=200$), deși frecvențele sunt egale. Corect ar fi înălțimea $10$ pentru ultimul dreptunghi, ca aria să rămână $20\cdot 10=200$. Cel mai simplu, însă: alege de la început clase de lățimi egale.

De reținut

• Datele continue se grupează pe clase; datele calitative sau discrete cu puține valori se lasă negrupate.
• Clasele se scriu semideschis, $[a,b)$, ca fiecare dată să intre în exact o clasă; lățimea $h=b-a$ se ia aceeași pentru toate clasele, iar centrul clasei este $c=\frac{a+b}{2}$.
• Numărul de clase se alege între $5$ și $10$ (orientativ $\sqrt{n}$), iar lățimea se obține împărțind amplitudinea $A=x_{\max }-x_{\min }$ la numărul de clase și rotunjind în sus la un număr comod.
• Histograma are dreptunghiuri lipite, așezate pe intervalele de clasă ale unei axe numerice; diagrama cu bare are bare separate, așezate deasupra unor categorii.
• Verificarea obligatorie a oricărui tabel de frecvențe pe clase: suma frecvențelor absolute $=n$, suma frecvențelor relative $=1$ ($100\%$), ultima frecvență cumulată $=n$.

Greșeli frecvente

• Clase care se suprapun. Scrierea $[10,20]$, $[20,30]$ face ca valoarea $20$ să fie numărată de două ori, iar suma frecvențelor să depășească $n$. Corect: $[10,20)$, $[20,30)$, cu capătul din dreapta exclus.
• Desenarea histogramei cu spații între dreptunghiuri. Este cea mai frecventă greșeală de reprezentare și transformă histograma într-o diagramă cu bare. Dreptunghiurile se ating, pentru că intervalele se ating.
• Gruparea datelor discrete cu puține valori. Notele de la $4$ la $10$ nu se grupează pe clase: sunt doar șapte valori, fiecare merită bara ei. Gruparea are rost doar când numărul de valori distincte devine incomod de mare.
• Clase de lățimi diferite, comparate prin înălțime. Dacă o clasă e de două ori mai lată, dreptunghiul ei pare de două ori mai „important" la aceeași frecvență, pentru că aria se dublează. Folosește clase de lățimi egale.
• Uitarea verificării sumei. Un tabel de frecvențe pe clase în care suma nu dă $n$ este sigur greșit. Verificarea durează cinci secunde și prinde aproape toate erorile de numărare.

Aplică acasă

1. Naveta clasei tale. Întreabă $20$ de colegi câte minute fac de acasă până la școală. Calculează amplitudinea, alege lățimea clasei, construiește tabelul de frecvențe pe clase și desenează histograma pe hârtie milimetrică. Compară forma obținută cu cea din lecție și scrie două fraze despre ce arată ea.

2. Histograma din foaia de calcul. Introdu aceleași date într-o foaie de calcul (Excel sau Google Sheets), numără frecvențele cu COUNTIFS, inserează o diagramă cu coloane și apoi pune spațiul dintre coloane la $0\%$. Fă o captură de ecran înainte și după — ai obținut chiar diferența vizuală dintre diagrama cu bare și histogramă.

3. Vânătoare de histograme. Caută pe site-ul Institutului Național de Statistică sau într-un articol de presă o histogramă reală (de exemplu, distribuția salariilor sau a vârstelor). Notează clasele folosite, lățimea lor și clasa modală, apoi verifică dacă autorul a respectat regula dreptunghiurilor lipite.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima tehnică de prelucrare a datelor, nu doar de organizare: gruparea pe clase. Este momentul în care statistica trece de la numărat la modelat, iar competența vizată (X.CS.2.3) cere explicit alegerea unei modalități adecvate de reprezentare. Programa recomandă abordarea prin contexte practice și folosirea foilor de calcul, motiv pentru care lecția include formule de Excel și Google Sheets.

Ce verificați în caietul elevului: (1) intervalele sunt scrise semideschis, $[a,b)$, și au toate aceeași lățime; (2) suma frecvențelor absolute este verificată explicit; (3) histograma are dreptunghiurile lipite, axele etichetate și unități de măsură; (4) elevul justifică de ce a ales histograma și nu diagrama cu bare. Întrebări bune de control: „Unde intră valoarea aflată fix pe granița dintre două clase?"; „De ce sunt dreptunghiurile lipite?"; „Ce informație se pierde când grupăm datele?".

La Bacalaureat, statistica apare la subiectul I și la subiectul al II-lea, sub forma unui tabel de frecvențe (deseori deja grupat pe clase) însoțit de întrebări scurte: totalul datelor, un procent, clasa modală, o frecvență cumulată. Punctajul se ia integral doar dacă elevul citește corect intervalele și scrie explicit calculul. Semne că a înțeles: verifică singur suma frecvențelor, folosește corect convenția $[a,b)$ și nu confundă cele două diagrame.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre histogramă și diagrama cu bare? Histograma reprezintă date cantitative continue, grupate pe intervale de clasă, are axa orizontală numerică, iar dreptunghiurile sunt lipite. Diagrama cu bare reprezintă date calitative sau discrete, are pe axa orizontală categorii, iar barele sunt separate prin spații. Testul rapid: dacă poți schimba două bare între ele fără să pierzi informație, e diagramă cu bare.

Câte clase trebuie să aibă o grupare de date? Între $5$ și $10$, în majoritatea situațiilor. O orientare des folosită este $\sqrt{n}$, unde $n$ este numărul de date: pentru $40$ de date, $\sqrt{40}\approx 6,3$, deci $5$–$7$ clase. Sub $5$ clase forma datelor se pierde, peste $10$ apare din nou dezordinea.

Cum aleg lățimea unei clase? Împarți amplitudinea (diferența dintre valoarea maximă și cea minimă) la numărul dorit de clase și rotunjești în sus la un număr comod: $5$, $10$, $20$, $50$, $100$. Pentru timpii de navetă, $43:6\approx 7,2$, deci lățimea aleasă a fost $10$.

În ce clasă intră o valoare aflată exact pe graniță? În clasa care o are ca capăt din stânga. Cu convenția $[a,b)$, valoarea $20$ intră în $[20,30)$, nu în $[10,20)$. Așa fiecare dată aparține exact unei clase, iar suma frecvențelor dă numărul total.

De ce sunt dreptunghiurile histogramei lipite unul de altul? Pentru că intervalele de clasă se succedă fără întreruperi pe axa numerică: între $19,9$ și $20$ există valori posibile, deci nu există niciun „gol" pe care să-l reprezinte un spațiu alb. Spațiile ar sugera, fals, că anumite valori nu pot apărea.

Ce este clasa modală? Clasa cu frecvența cea mai mare, adică dreptunghiul cel mai înalt al histogramei (atunci când toate clasele au aceeași lățime). Pentru timpii de navetă, clasa modală este $[20,30)$, cu $13$ elevi din $40$.

Ce informație se pierde prin gruparea pe clase? Valorile individuale: din histogramă afli doar câți elevi se află în fiecare interval, nu cât face exact fiecare. Câștigul e forma distribuției — unde se concentrează datele și cât sunt de împrăștiate. De aceea datele brute se păstrează alături de tabelul grupat.

Cum construiesc o histogramă într-o foaie de calcul? Numeri frecvențele cu COUNTIFS sau cu FREQUENCY, inserezi o diagramă cu coloane și setezi spațiul dintre coloane (gap width) la $0\%$. Fără acest ultim pas obții o diagramă cu bare, nu o histogramă.