Mediana unui set de date

Când Institutul Național de Statistică publică date despre venituri, titlurile din presă vorbesc despre „salariul median", nu despre „salariul mediu". Diferența nu e un moft de vocabular. Am văzut în lecția Media aritmetică și media ponderată a unui set de date o echipă de zece oameni în care media salariilor era $5700$ de lei, deși nouă din zece angajați câștigau sub $4400$ . Un singur salariu foarte mare a fost de ajuns ca media să nu mai descrie pe nimeni.

Există însă un indicator care nu se lasă păcălit de valorile extreme: mediana — valoarea din mijlocul șirului, atunci când datele sunt așezate în ordine crescătoare. La aceeași echipă, mediana este $3700$ de lei, iar dacă îl înlocuim pe patron cu un angajat obișnuit, mediana rămâne tot $3700$ . Nu se clintește, pentru că nu-i pasă cât de mare e cea mai mare valoare, ci doar câte valori sunt de o parte și de alta. Lecția de azi te învață să o calculezi corect în ambele situații posibile — număr impar și număr par de date — și, mai important, să știi când o folosești în locul mediei.

Ce vei învăța

Vei ști să ordonezi datele crescător, pasul obligatoriu fără de care mediana nu are sens.
Vei ști să calculezi mediana când numărul de date este impar, folosind formula poziției.
Vei ști să calculezi mediana când numărul de date este par, ca medie a celor două valori din mijloc.
Vei ști să determini mediana dintr-un tabel de frecvențe, cu ajutorul frecvențelor cumulate.
Vei ști să identifici clasa mediană la un set de date grupate pe clase.
Vei ști să alegi între medie și mediană în funcție de forma setului de date și să justifici alegerea.

Hai să descoperim împreună

1. Pasul zero: ordonarea

Mediana unui set de date este valoarea care împarte setul ordonat crescător în două părți cu același număr de valori: jumătate dintre date sunt mai mici sau egale cu ea, jumătate sunt mai mari sau egale.

Cuvântul „ordonat" este partea cea mai importantă a definiției și, totodată, sursa greșelii numărul unu. Dacă primești datele $12, 7, 15, 9, 4, 11, 8$ și iei pur și simplu valoarea din mijlocul listei, obții $9$ — corect, dar din întâmplare. Dacă datele ar fi fost date în altă ordine, ai fi obținut alt răspuns, ceea ce e absurd: mediana unui set nu poate depinde de ordinea în care ți s-au dictat numerele.

Așadar, întotdeauna, întâi scrii șirul ordonat:

$4, 7, 8, 9, 11, 12, 15.$

Notăm valorile ordonate cu $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ , iar mediana cu $Q_{2}$ — notație care va deveni limpede în lecția Cuartile și amplitudine, unde mediana se dovedește a fi a doua dintre trei valori care taie setul în sferturi.

2. Cazul $n$ impar: mediana este o valoare din set

Dacă numărul de date este impar, șirul ordonat are un termen exact la mijloc, iar acela este mediana:

$Q_{2} = x_{\frac{n + 1}{2}} .$

Exemplu. Pentru $4, 7, 8, 9, 11, 12, 15$ avem $n = 7$ , deci poziția medianei este $\frac{7 + 1}{2} = 4$ . Al patrulea termen este $9$ , deci $Q_{2} = 9$ .

Verificarea vizuală e imediată: la stânga lui $9$ sunt trei valori ( $4, 7, 8$ ), la dreapta tot trei ( $11, 12, 15$ ) ✓.

Al doilea exemplu, cu ordonare. Înălțimile, în centimetri, a nouă elevi: $160, 174, 155, 167, 152, 170, 158, 163, 161$ . Ordonăm:

$152, 155, 158, 160, 161, 163, 167, 170, 174.$

Aici $n = 9$ , poziția medianei este $\frac{9 + 1}{2} = 5$ , deci $Q_{2} = 161$ cm. Patru elevi sunt mai scunzi, patru mai înalți.

✏️Ilustrație: un șir de nouă cartonașe cu numerele 152, 155, 158, 160, 161, 163, 167, 170, 174 așezate în linie; cartonașul din mijloc, 161, este evidențiat cu galben, iar sub el scrie „4 valori la stânga · MEDIANA · 4 valori la dreapta"

3. Cazul $n$ par: mediana poate să nu fie în set

Dacă numărul de date este par, nu există un termen la mijloc — există doi, pe pozițiile $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2} + 1$ . Mediana este media lor aritmetică:

$Q_{2} = \frac{x _{\frac{n}{2}} + x _{\frac{n}{2} + 1}}{2} .$

Exemplu. Datele $21, 15, 30, 18, 24, 12$ . Ordonăm:

$12, 15, 18, 21, 24, 30.$

Aici $n = 6$ , deci pozițiile din mijloc sunt a treia și a patra, cu valorile $18$ și $21$ :

$Q_{2} = \frac{18 + 21}{2} = \frac{39}{2} = 19, 5.$

Observă că $19, 5$ nu apare în setul de date, și e perfect corect să fie așa: mediana este un indicator, nu obligatoriu o valoare observată.

Al doilea exemplu. Adăugăm un al zecelea elev, de $179$ cm, la înălțimile de mai sus:

$152, 155, 158, 160, 161, 163, 167, 170, 174, 179.$

Acum $n = 10$ , pozițiile din mijloc sunt a cincea și a șasea:

$Q_{2} = \frac{161 + 163}{2} = 162 cm .$

Tabel de sinteză, de reținut:

$n$	Pozițiile din mijloc	Mediana
impar	una singură, $\frac{n + 1}{2}$	$Q_{2} = x_{\frac{n + 1}{2}}$
par	două, $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2} + 1$	$Q_{2} = \frac{x _{\frac{n}{2}} + x _{\frac{n}{2} + 1}}{2}$

Pentru $n = 7$ : poziția $4$ . Pentru $n = 8$ : pozițiile $4$ și $5$ . Pentru $n = 25$ : poziția $13$ . Pentru $n = 40$ : pozițiile $20$ și $21$ .

4. Mediana dintr-un tabel de frecvențe

Când datele vin într-un tabel, nu le mai desfășurăm: folosim frecvențele cumulate de la Frecvențe cumulate, care ne spun exact până la ce poziție ajunge fiecare valoare.

Exemplu. Notele la teză într-o clasă de $25$ de elevi:

Nota	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
Frecvența	$1$	$2$	$3$	$5$	$7$	$4$	$3$
Frecvența cumulată	$1$	$3$	$6$	$11$	$18$	$22$	$25$

Avem $n = 25$ , număr impar, deci mediana este pe poziția $\frac{25 + 1}{2} = 13$ . Citim pe rândul frecvențelor cumulate: până la nota $7$ am acoperit $11$ elevi, până la nota $8$ am acoperit $18$ . Prin urmare, elevii de pe pozițiile $12$ – $18$ au toți nota $8$ , deci și cel de pe poziția $13$ :

$Q_{2} = 8.$

Al doilea exemplu, cu $n$ par. Într-o clasă de $20$ de elevi: nota $5$ — $2$ elevi, $6$ — $4$ , $7$ — $6$ , $8$ — $5$ , $9$ — $2$ , $10$ — $1$ . Frecvențele cumulate: $2$ , $6$ , $12$ , $17$ , $19$ , $20$ . Pozițiile din mijloc sunt $10$ și $11$ ; ambele cad în intervalul de poziții $7$ – $12$ , care corespunde notei $7$ . Deci

$Q_{2} = \frac{7 + 7}{2} = 7.$

5. Clasa mediană, la date grupate

Dacă datele au fost grupate pe clase, valorile individuale nu se mai cunosc, deci mediana exactă nu se mai poate calcula. Ceea ce putem determina este clasa mediană: clasa în dreptul căreia frecvența cumulată depășește pentru prima oară jumătate din efectiv.

Exemplu. Punctajele a $50$ de elevi, grupate: $[0, 20)$ — $4$ ; $[20, 40)$ — $9$ ; $[40, 60)$ — $17$ ; $[60, 80)$ — $14$ ; $[80, 100)$ — $6$ . Frecvențele cumulate: $4$ , $13$ , $30$ , $44$ , $50$ . Jumătatea efectivului este $25$ ; frecvența cumulată depășește $25$ pentru prima oară la clasa $[40, 60)$ , unde ajunge la $30$ . Deci clasa mediană este $[40, 60)$ .

Mai departe, o valoare aproximativă se poate citi de pe poligonul frecvențelor cumulate, așa cum am făcut în lecția Poligonul frecvențelor și al frecvențelor cumulate — dar rămâne o estimare grafică. Valoarea exactă cere lista de date brute, ordonată.

Un exemplu care arată diferența: pentru cei $40$ de elevi cu timpii de navetă, șirul ordonat are pozițiile $20$ și $21$ ocupate de valorile $21$ și $22$ , deci

$Q_{2} = \frac{21 + 22}{2} = 21, 5 minute,$

în timp ce citirea de pe poligonul cumulat dăduse aproximativ $22$ de minute. Diferența e mică, dar reală, și arată exact ce se pierde prin grupare.

6. Media sau mediana? Cum alegi

Sunt doi indicatori diferiți ai aceluiași lucru — „valoarea tipică" a unui set — și fiecare are punctul lui slab.

	Media $\overset{x}{ˉ}$	Mediana $Q_{2}$
Ce folosește	toate valorile	doar poziția valorilor
La valori extreme	se deplasează mult	rămâne aproape neschimbată
Se poate calcula pentru	date numerice	date numerice sau ordonabile
Când e potrivită	date simetrice, fără valori aberante	date asimetrice, cu valori extreme

Exemplul care lămurește tot. Prețurile, în lei, a opt produse dintr-un raft: $12, 14, 15, 18, 19, 22, 25, 40$ .

Media: $\overset{x}{ˉ} = \frac{165}{8} = 20, 625$ lei. Mediana: $Q_{2} = \frac{18 + 19}{2} = 18, 5$ lei.

Media este mai mare decât șase dintre cele opt prețuri, pentru că produsul de $40$ de lei o trage în sus. Mediana, $18, 5$ lei, descrie mult mai onest „prețul obișnuit de pe raft".

Regula de citire a relației dintre ele:

$\overset{x}{ˉ} \approx Q_{2}$ $\Rightarrow$ distribuție aproximativ simetrică;
$\overset{x}{ˉ} > Q_{2}$ $\Rightarrow$ distribuție asimetrică la dreapta, cu câteva valori mari (salarii, prețuri de locuințe);
$\overset{x}{ˉ} < Q_{2}$ $\Rightarrow$ distribuție asimetrică la stânga, cu câteva valori mici.

În practică, cel mai bun răspuns e să le raportezi pe amândouă — exact ce vom face sistematic în lecția Compararea a două seturi de date.

7. Cu foaia de calcul

În Excel sau Google Sheets, mediana se obține cu =MEDIAN(A2:A41) (în versiunea românească a Excel, =MEDIANA(A2:A41)). Funcția ordonează singură datele, deci nu trebuie să le sortezi înainte — dar merită să le sortezi oricum, cu =SORT(A2:A41), ca să poți verifica manual pozițiile din mijloc. Un obicei bun: calculează pe aceleași date și AVERAGE, și MEDIAN, și uită-te la diferența dintre ele. Ea îți spune, dintr-o privire, dacă setul are valori extreme.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Număr impar de date

Determinați mediana setului $23, 17, 31, 12, 28, 19, 35, 21, 26$ .

Rezolvare. Ordonăm crescător:

$12, 17, 19, 21, 23, 26, 28, 31, 35.$

Avem $n = 9$ , impar, deci poziția medianei este $\frac{9 + 1}{2} = 5$ . Al cincilea termen este $23$ , deci $Q_{2} = 23$ . Control: patru valori la stânga, patru la dreapta ✓.

Exemplul 2 — Număr par de date

Determinați mediana setului $9, 21, 15, 12, 30, 14, 18, 16, 11, 24, 19, 15$ .

Rezolvare. Ordonăm:

$9, 11, 12, 14, 15, 15, 16, 18, 19, 21, 24, 30.$

Avem $n = 12$ , par, deci pozițiile din mijloc sunt $\frac{12}{2} = 6$ și $7$ , cu valorile $15$ și $16$ :

$Q_{2} = \frac{15 + 16}{2} = 15, 5.$

Control: șase valori sunt $\leq 15, 5$ și șase sunt $\geq 15, 5$ ✓. Pentru comparație, media aceluiași set este $\frac{204}{12} = 17$ — mai mare decât mediana, semn că valoarea $30$ trage media în sus.

Exemplul 3 — Mediana dintr-un tabel de frecvențe

Notele a $25$ de elevi sunt date în tabelul: nota $4$ — $1$ elev, $5$ — $2$ , $6$ — $3$ , $7$ — $5$ , $8$ — $7$ , $9$ — $4$ , $10$ — $3$ . Determinați mediana.

Rezolvare. Frecvențele cumulate: $1$ , $3$ , $6$ , $11$ , $18$ , $22$ , $25$ . Verificare: ultima este $25 = n$ ✓.

Cum $n = 25$ este impar, mediana este pe poziția $\frac{25 + 1}{2} = 13$ . Frecvența cumulată $11$ (la nota $7$ ) este mai mică decât $13$ , iar $18$ (la nota $8$ ) o depășește. Prin urmare, elevul de pe poziția $13$ are nota $8$ :

$Q_{2} = 8.$

Exemplul 4 — Media și mediana, față în față

Salariile a zece angajați sunt $3000$ , $3200$ , $3400$ , $3500$ , $3600$ , $3800$ , $4000$ , $4200$ , $4300$ , $24000$ de lei. Calculați media și mediana. Recalculați-le înlocuind salariul de $24000$ cu $4500$ de lei.

Rezolvare. Datele sunt deja ordonate, $n = 10$ , deci mediana se obține din pozițiile $5$ și $6$ :

$Q_{2} = \frac{3600 + 3800}{2} = 3700 lei, \overset{x}{ˉ} = \frac{57 000}{10} = 5700 lei .$

Cu $4500$ în locul lui $24000$ : valorile de pe pozițiile $5$ și $6$ nu se schimbă, deci $Q_{2} = 3700$ de lei, în timp ce media devine $\frac{37 500}{10} = 3750$ de lei.

Concluzie. Mediana a rămas identică, media a scăzut cu $1950$ de lei. Mediana este robustă la valori extreme, pentru că depinde doar de pozițiile din mijloc, nu de cât de mare este cea mai mare valoare.

Exemplul 5 — O ecuație cu mediana

Setul ordonat $4, 7, x, 12, 15$ are mediana $10$ . Determinați $x$ și verificați condiția de ordonare.

Rezolvare. Avem $n = 5$ , impar, deci mediana este termenul de pe poziția $\frac{5 + 1}{2} = 3$ , adică chiar $x$ . Din $Q_{2} = 10$ rezultă

$x = 10.$

Verificarea ordonării: $4 \leq 7 \leq 10 \leq 12 \leq 15$ ✓, deci valoarea găsită este admisibilă. (Dacă am fi obținut, de pildă, $x = 20$ , răspunsul ar fi fost imposibil, pentru că șirul n-ar mai fi fost ordonat.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Se consideră setul de date $2$ , $5$ , $5$ , $7$ , $9$ , $11$ , $12$ , $15$ . a) Determinați mediana setului. b) Determinați media aritmetică. c) Precizați, comparând cele două valori, dacă distribuția este simetrică sau nu.

Rezolvare. a) Datele sunt deja ordonate crescător, iar $n = 8$ este par. Pozițiile din mijloc sunt $4$ și $5$ , cu valorile $7$ și $9$ :

$Q_{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8.$

b) Suma datelor: $2 + 5 + 5 + 7 + 9 + 11 + 12 + 15 = 66$ , deci

$\overset{x}{ˉ} = \frac{66}{8} = 8, 25.$

c) Cum $\overset{x}{ˉ} = 8, 25 > 8 = Q_{2}$ , distribuția este ușor asimetrică la dreapta: valorile mari ( $12$ și $15$ ) trag media puțin peste mediană. Diferența e mică, deci asimetria e slabă.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie întâi șirul ordonat și abia apoi calculează.

1. Determină mediana setului $3, 8, 12, 15, 20$ .

2. Determină mediana setului $2, 5, 9, 11, 14, 20$ .

3. Determină mediana setului $12, 7, 15, 9, 4, 11, 8$ .

4. Determină mediana setului $21, 15, 30, 18, 24, 12$ .

5. Pe ce poziție se află mediana dacă $n = 7$ ? Dar dacă $n = 25$ ? Dar dacă $n = 40$ ?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mediana este întotdeauna una dintre valorile setului de date."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru a calcula mediana, datele trebuie ordonate crescător."

8. Înălțimile a nouă elevi sunt $160, 174, 155, 167, 152, 170, 158, 163, 161$ cm. Determină mediana.

9. La setul precedent se adaugă un elev de $179$ cm. Determină noua mediană.

10. Notele a $25$ de elevi: $4$ — $1$ elev, $5$ — $2$ , $6$ — $3$ , $7$ — $5$ , $8$ — $7$ , $9$ — $4$ , $10$ — $3$ . Determină mediana folosind frecvențele cumulate.

11. Notele a $20$ de elevi: $5$ — $2$ elevi, $6$ — $4$ , $7$ — $6$ , $8$ — $5$ , $9$ — $2$ , $10$ — $1$ . Determină mediana.

12. (Problemă aplicată.) Prețurile a opt produse sunt $12, 14, 15, 18, 19, 22, 25, 40$ lei. Calculează media și mediana și explică, în două fraze, care dintre ele descrie mai bine „prețul obișnuit".

13. Setul ordonat $4, 7, x, 12, 15$ are mediana $10$ . Determină $x$ .

14. (Problemă aplicată.) Salariile a zece angajați sunt $3000$ , $3200$ , $3400$ , $3500$ , $3600$ , $3800$ , $4000$ , $4200$ , $4300$ , $24000$ de lei. Calculează mediana. Ce se întâmplă cu ea dacă ultimul salariu devine $4500$ de lei? Dar cu media?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Determinați mediana setului de date $2$ , $5$ , $5$ , $7$ , $9$ , $11$ , $12$ , $15$ și comparați-o cu media aritmetică a acestuia.

16. Punctajele a $50$ de elevi sunt grupate în clasele $[0, 20)$ , $[20, 40)$ , $[40, 60)$ , $[60, 80)$ , $[80, 100)$ , cu frecvențele $4$ , $9$ , $17$ , $14$ , $6$ . Determină clasa mediană și explică de ce nu poți da valoarea exactă a medianei.

17. (Problemă aplicată.) Într-o foaie de calcul, datele sunt în A2:A41. Scrie formulele care calculează media și mediana și explică ce îți spune diferența dintre rezultatele lor.

18. (Provocare.) Un set are $n = 11$ date, cu mediana $20$ . Adăugăm o a douăsprezecea valoare, egală cu $100$ . Arată că noua mediană este media dintre $20$ și valoarea imediat următoare din șirul ordonat, deci nu poate scădea. Ce se întâmplă, în schimb, cu media?

Răspunsuri și explicații

1. Șirul este deja ordonat, $n = 5$ impar, poziția $\frac{5 + 1}{2} = 3$ : $Q_{2} = 12$ .

2. Șirul e ordonat, $n = 6$ par, pozițiile $3$ și $4$ : $Q_{2} = \frac{9 + 11}{2} = 10$ .

3. Ordonat: $4, 7, 8, 9, 11, 12, 15$ . Cum $n = 7$ , poziția este $4$ , deci $Q_{2} = 9$ .

4. Ordonat: $12, 15, 18, 21, 24, 30$ . Cum $n = 6$ , pozițiile sunt $3$ și $4$ : $Q_{2} = \frac{18 + 21}{2} = 19, 5$ .

5. Pentru $n = 7$ : poziția $\frac{7 + 1}{2} = 4$ . Pentru $n = 25$ : poziția $\frac{25 + 1}{2} = 13$ . Pentru $n = 40$ (par): pozițiile $\frac{40}{2} = 20$ și $21$ , iar mediana este media valorilor de pe aceste poziții.

6. Fals. Când $n$ este par, mediana este media celor două valori din mijloc și poate să nu apară în set: pentru $12, 15, 18, 21, 24, 30$ mediana este $19, 5$ , valoare care nu se află printre date. Când $n$ este impar, mediana este însă întotdeauna o valoare din set.

7. Adevărat. Definiția medianei se referă la poziția din mijloc a șirului ordonat. Fără ordonare, „valoarea din mijlocul listei" ar depinde de ordinea în care au fost scrise datele, ceea ce ar fi absurd pentru un indicator statistic.

8. Ordonat: $152, 155, 158, 160, 161, 163, 167, 170, 174$ . Cum $n = 9$ , poziția este $5$ , deci $Q_{2} = 161$ cm.

9. Noul șir are $n = 10$ : $152, 155, 158, 160, 161, 163, 167, 170, 174, 179$ . Pozițiile din mijloc sunt $5$ și $6$ : $Q_{2} = \frac{161 + 163}{2} = 162$ cm.

10. Frecvențele cumulate: $1$ , $3$ , $6$ , $11$ , $18$ , $22$ , $25$ . Poziția medianei: $13$ . Cum $11 < 13 \leq 18$ , elevul de pe poziția $13$ are nota $8$ , deci $Q_{2} = 8$ .

11. Frecvențele cumulate: $2$ , $6$ , $12$ , $17$ , $19$ , $20$ . Cum $n = 20$ , pozițiile din mijloc sunt $10$ și $11$ ; ambele se află în intervalul de poziții $7$ – $12$ , care corespunde notei $7$ . Deci $Q_{2} = \frac{7 + 7}{2} = 7$ .

12. Media: $\frac{165}{8} = 20, 625$ lei. Mediana: $\frac{18 + 19}{2} = 18, 5$ lei. Mediana descrie mai bine prețul obișnuit, pentru că media este trasă în sus de produsul de $40$ de lei și ajunge să fie mai mare decât șase dintre cele opt prețuri.

13. Cum $n = 5$ este impar, mediana este chiar termenul de pe poziția a treia, adică $x$ . Deci $x = 10$ , valoare care respectă și ordonarea: $4 \leq 7 \leq 10 \leq 12 \leq 15$ ✓.

14. Cum $n = 10$ , mediana este $\frac{3600 + 3800}{2} = 3700$ de lei. Dacă ultimul salariu devine $4500$ de lei, valorile de pe pozițiile $5$ și $6$ rămân aceleași, deci mediana rămâne $3700$ de lei. Media, în schimb, scade de la $5700$ la $3750$ de lei. Mediana e robustă, media nu.

15. Datele sunt ordonate, $n = 8$ par, pozițiile $4$ și $5$ : $Q_{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8$ . Media: $\frac{66}{8} = 8, 25$ . Cum $\overset{x}{ˉ} > Q_{2}$ , distribuția este ușor asimetrică la dreapta.

16. Frecvențele cumulate: $4$ , $13$ , $30$ , $44$ , $50$ . Jumătatea efectivului este $25$ , iar frecvența cumulată o depășește pentru prima oară la clasa $[40, 60)$ — aceasta este clasa mediană. Valoarea exactă nu se poate da pentru că, după grupare, nu mai știm punctajele individuale; de pe poligonul cumulat se poate citi doar o estimare.

17. =AVERAGE(A2:A41) și =MEDIAN(A2:A41). Dacă cele două rezultate sunt apropiate, distribuția e aproximativ simetrică. Dacă media e sensibil mai mare decât mediana, setul conține câteva valori mari care o trag în sus (asimetrie la dreapta); dacă e sensibil mai mică, există câteva valori mici.

18. Cu $n = 11$ , mediana este valoarea de pe poziția $6$ , adică $20$ . După adăugarea unei valori mai mari decât toate celelalte, avem $n = 12$ , iar mediana devine media valorilor de pe pozițiile $6$ și $7$ . Valoarea de pe poziția $6$ rămâne $20$ (numărul $100$ se așază la coadă și nu deranjează primele poziții), iar cea de pe poziția $7$ este cel puțin egală cu $20$ , fiind mai la dreapta în șirul ordonat. Prin urmare noua mediană este $\frac{20 + x _{7}}{2} \geq 20$ . Media, dimpotrivă, crește cu $\frac{100 - x ˉ}{12}$ , adică vizibil, oricât de mare ar fi valoarea adăugată.

De reținut

Mediana se calculează numai după ordonarea crescătoare a datelor; ordinea inițială nu contează.
Dacă $n$ este impar, $Q_{2} = x_{\frac{n + 1}{2}}$ — o valoare din set. Dacă $n$ este par, $Q_{2} = \frac{x _{\frac{n}{2}} + x _{\frac{n}{2} + 1}}{2}$ — poate să nu fie o valoare din set.
Dintr-un tabel de frecvențe, mediana se găsește citind pozițiile din mijloc pe rândul frecvențelor cumulate.
La date grupate pe clase se determină doar clasa mediană, cea în dreptul căreia frecvența cumulată depășește prima oară $\frac{n}{2}$ ; valoarea exactă cere datele brute.
Mediana este robustă la valori extreme, media nu; compararea lor arată forma distribuției ( $\overset{x}{ˉ} > Q_{2}$ înseamnă asimetrie la dreapta).

Greșeli frecvente

Neordonarea datelor. Cea mai frecventă greșeală din tot capitolul. „Valoarea din mijlocul listei" nu are nimic de-a face cu mediana dacă lista nu e ordonată crescător.
Confundarea poziției cu valoarea. Pentru $n = 25$ , mediana este pe poziția $13$ , nu este egală cu $13$ . Formula $\frac{n + 1}{2}$ dă un număr de ordine, nu un rezultat.
Alegerea unei singure valori la $n$ par. Când numărul de date este par, mediana este media celor două valori din mijloc, nu una dintre ele aleasă la întâmplare.
Aplicarea formulei pentru $n$ impar la un set par (și invers). Verifică întotdeauna paritatea lui $n$ înainte de a scrie formula; e un pas de o secundă care evită o greșeală întreagă.
Calcularea unei mediane „exacte" din date grupate. După grupare, valorile individuale nu mai există. Se indică doar clasa mediană sau o estimare grafică, spusă ca atare.

Aplică acasă

Cheltuielile tale. Notează, timp de zece zile, cât ai cheltuit în fiecare zi. Ordonează valorile, calculează mediana și media. Dacă într-o zi ai avut o cheltuială neobișnuit de mare, vei vedea imediat cum media se îndepărtează de mediană, iar mediana rămâne pe loc.
Salariul median. Caută pe internet ultimul comunicat despre „câștigul salarial mediu" și, dacă găsești, despre cel median în România. Notează cele două valori și scrie două fraze care explică de ce medianul e mai mic și de ce el descrie mai bine situația unui angajat obișnuit.
Verificare încrucișată în foaia de calcul. Introdu într-o foaie de calcul $15$ valori inventate, calculează mediana cu =MEDIAN(...), apoi sortează-le cu =SORT(...) și verifică manual că a opta valoare din șirul sortat este chiar rezultatul afișat de funcție.

Pentru părinți și profesori

Mediana este primul indicator din capitol care cere elevului nu doar un calcul, ci o procedură cu pași obligatorii: ordonare, determinarea parității lui $n$ , identificarea poziției (sau a celor două poziții), calculul. Programa cere explicit compararea mărimilor caracteristice, iar mediana este locul unde această comparație devine cu adevărat instructivă: elevul vede că doi indicatori corecți pot spune lucruri diferite despre același set.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie întotdeauna șirul ordonat, chiar dacă datele par deja ordonate; (2) precizează dacă $n$ este par sau impar înainte de a alege formula; (3) la $n$ par calculează media celor două valori din mijloc; (4) la tabele de frecvențe folosește frecvențele cumulate, nu desfășoară toate valorile. Întrebări bune de control: „De ce trebuie ordonate datele?"; „Poate mediana să nu fie o valoare din set?"; „Ce se întâmplă cu mediana dacă cel mai mare număr devine de zece ori mai mare?"; „De ce se publică salariul median și nu cel mediu?".

La Bacalaureat, mediana apare frecvent la subiectul I, într-o formulare de tip „determinați mediana setului de date …", și în probleme scurte care cer compararea ei cu media. Semne că elevul a înțeles: nu confundă poziția cu valoarea, sesizează instantaneu paritatea lui $n$ și poate explica în cuvinte de ce mediana nu se clintește când apare o valoare extremă.

Întrebări frecvente

Ce este mediana unui set de date? Este valoarea care împarte setul ordonat crescător în două părți egale ca număr de valori: jumătate dintre date sunt mai mici sau egale cu ea, jumătate mai mari sau egale. Se notează $Q_{2}$ , pentru că este a doua dintre cele trei cuartile.

Cum calculez mediana pentru un număr impar de date? Ordonezi datele crescător și iei valoarea de pe poziția $\frac{n + 1}{2}$ . Pentru $n = 9$ , mediana este a cincea valoare; pentru $n = 25$ , a treisprezecea. La $n$ impar, mediana este întotdeauna o valoare din set.

Cum calculez mediana pentru un număr par de date? Ordonezi datele și faci media aritmetică a valorilor de pe pozițiile $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2} + 1$ . Pentru $n = 6$ , mediana este media dintre a treia și a patra valoare; de exemplu, pentru $12, 15, 18, 21, 24, 30$ obții $\frac{18 + 21}{2} = 19, 5$ .

De ce trebuie ordonate datele înainte de a calcula mediana? Pentru că definiția se referă la poziția din mijlocul șirului ordonat. Fără ordonare, rezultatul ar depinde de ordinea în care au fost notate datele, deci același set ar avea mediane diferite — ceea ce e imposibil pentru un indicator statistic.

Care e diferența dintre medie și mediană? Media folosește mărimea tuturor valorilor, deci se deplasează când apare o valoare extremă. Mediana folosește doar pozițiile, deci rămâne stabilă. La zece salarii dintre care unul de $24000$ de lei, media este $5700$ de lei, iar mediana $3700$ de lei.

Când este mai bine să folosesc mediana în locul mediei? Când setul conține valori mult diferite de restul sau este vizibil asimetric: salarii, prețuri de locuințe, timpi de așteptare, durate de reparație. În aceste situații mediana descrie mai onest „cazul obișnuit". Ideal, se raportează ambele valori.

Cum aflu mediana dintr-un tabel de frecvențe? Calculezi frecvențele cumulate, determini poziția (sau pozițiile) din mijloc și citești valoarea în dreptul căreia frecvența cumulată depășește prima oară acea poziție. Pentru $25$ de elevi, cauți poziția $13$ : dacă frecvența cumulată trece de la $11$ la $18$ la nota $8$ , atunci mediana este $8$ .