Modul (valoarea modală) (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un laborator de genetică, un elev sortează sub lupă $200$ de musculițe de oțet (Drosophila) după culoarea ochilor: $118$ au ochi roșii, $42$ ochi albi și $40$ ochi de culoarea sepia. Care este „valoarea tipică” a acestei caracteristici? Nu poți aduna culori ca să le faci media și nu le poți așeza într-o ordine firească ca să cauți mijlocul. Poți însă spune care culoare apare cel mai des: roșu, la $59%$ dintre musculițe. Acest indicator se numește modul setului de date. Lecția aceasta, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), îți arată cum îl afli din liste, tabele și diagrame, ce faci când nu există unul singur și ce înseamnă când datele au două vârfuri. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema în capitolul despre interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție, unde modul nu este numit separat.

Ai văzut în lecția despre mediana unui set de date un indicator care depinde de locul valorilor în șirul ordonat. Modul depinde de altceva: de frecvența fiecărei valori, pe care ai învățat s-o numeri în lecția despre tabelele de frecvențe absolute. Un avertisment de vocabular: în clasa a IX-a ai lucrat cu modulul unui număr real, $∣ x ∣$ , adică distanța până la zero. Cuvintele seamănă, noțiunile nu au nicio legătură.

Ce vei învăța

Vei ști să afli modul dintr-o listă, dintr-un tabel de frecvențe sau de pe o diagramă cu bare și să nu-l confunzi cu frecvența lui.
Vei ști să recunoști datele nominale, la care modul este singurul indicator de valoare tipică, și datele ordinale, la care există și mediana.
Vei ști să scrii corect răspunsul pentru un set bimodal, multimodal sau fără mod.
Vei ști să citești un set cu două vârfuri ca pe un semnal că datele provin din două populații amestecate.
Vei ști să afli clasa modală a unor date grupate și să explici de ce ea se schimbă odată cu grila de clase.
Vei ști să decizi ce indicator — media, mediana sau modul — răspunde la întrebarea pusă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este modul unui set de date?

Modul (sau valoarea modală) al unui set de date este valoarea — numerică sau categorie — care are cea mai mare frecvență absolută, adică apare de cele mai multe ori. Îl notăm $M o$ . Răspunsul este valoarea, nu numărul de apariții.

La ora de biologie s-au numărat foliolele a $15$ frunze de trifoi culese de pe aceeași pajiște: $3, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 3, 3, 5, 3, 4, 3, 2, 2$ . Numărăm aparițiile: $2$ apare de $3$ ori, $3$ de $8$ ori, $4$ de $3$ ori, $5$ o dată. Frecvența cea mai mare este $8$ , atinsă de valoarea $3$ , deci $M o = 3$ foliole — trifoiul cu patru foliole e rar, cum știe oricine l-a căutat. Propoziția corectă este „modul este $3$ , cu frecvența $8$ ”, nu „modul este $8$ ”.

2. De ce este modul singurul indicator pentru unele date?

Timp de $20$ de zile, un elev a notat tipul de nor dominant la ora $12$ : cumulus în $9$ zile, stratus în $5$ , cirrus în $4$ , cumulonimbus în $2$ . Valorile sunt nominale: nume de categorii, fără ordine. Media ar cere să aduni „cumulus” cu „stratus”, iar mediana ar cere o ordine care nu există. Singurul lucru pe care îl poți spune despre valoarea tipică este că tipul modal de nor a fost cumulusul.

Altfel stau lucrurile la datele ordinale, cum ar fi intensitatea unei ploi notată „slabă – moderată – puternică”. Categoriile au o ordine, deci se poate afla și mediana, ca în lecția precedentă. Media rămâne și aici fără sens: nimeni nu știe cât face „moderată plus puternică”. Pe scurt, la date nominale ai doar modul, la date ordinale ai modul și mediana, la date numerice le ai pe toate trei.

3. Cum citești modul pe o diagramă cu bare?

Pe diagrama cu bare a unui set, modul se citește sub coloana care urcă cel mai sus. Diagrama de mai jos arată numărul de pete de pe elitrele a $25$ de buburuze prinse într-o grădină. Speciile diferă prin numărul de pete, iar diagrama le separă fără să le numească.

Petele de pe elitrele a 25 de buburuze: bara cea mai înaltă este la 7 pete.

Bara cea mai înaltă, de $11$ , stă deasupra valorii $7$ , deci modul este $7$ pete — semn că cea mai răspândită în grădină este buburuza cu șapte puncte. Numerele de pe axa orizontală sunt numerice, dar aici ele funcționează aproape ca etichete de specie: o medie de $7, 6$ pete ar descrie o buburuză care nu există.

4. Poate un set să aibă mai multe moduri sau niciunul?

Da, în ambele sensuri. Când frecvența maximă e împărțită de două valori, vorbim de un set bimodal, iar răspunsul le conține pe amândouă; cu trei sau mai multe, setul este multimodal. Se scriu toate valorile, sub forma $M o \in {a, b}$ , nu una dintre ele aleasă după gust.

Dacă toate valorile apar exact o dată, frecvența maximă, $1$ , este atinsă de toate, iar convenția este să declarăm că setul nu are mod. Se întâmplă des la măsurători precise: cântărind semințe la miligram sau cronometrând la sutimi de secundă, aproape niciodată două valori nu coincid. Acolo modul valorilor brute nu spune nimic, iar informația utilă se obține abia după grupare, ca în secțiunea următoare.

5. Ce arată o histogramă cu două vârfuri?

Un entomolog a măsurat lungimea aripii la $32$ de țânțari colectați într-o seară lângă un iaz, cu un aspirator entomologic, și a grupat datele în clase de câte $0, 2$ mm. Clasa modală este intervalul care conține cele mai multe date; pe o histogramă cu clase egale, lui îi corespunde cel mai înalt dreptunghi.

Lungimea aripii la 32 de țânțari: două clase modale, semn a două grupuri.

Aici două clase, $[2, 6; 2, 8)$ și $[3, 2; 3, 4)$ mm, au aceeași frecvență maximă, $9$ : datele sunt bimodale. Un biolog nu se oprește la constatare. Două vârfuri separate de o „vale” înseamnă, aproape sigur, două grupuri amestecate — la țânțari, masculii au aripa mai scurtă decât femelele. Media celor $32$ de lungimi ar cădea în vale, într-o zonă cu puțini țânțari, și n-ar descrie niciunul dintre grupuri. Analiza corectă separă întâi grupurile și le descrie pe fiecare.

6. De ce depinde clasa modală de felul în care grupezi datele?

Lungimile, în milimetri, a $16$ boabe de orez sunt $5, 1; 5, 3; 5, 4; 5, 6; 5, 8; 5, 9; 6, 0; 6, 1; 6, 1; 6, 2; 6, 6; 6, 7; 6, 8; 6, 9; 7, 0; 7, 2$ . Singura valoare repetată este $6, 1$ , care apare de două ori, deci modul valorilor brute este $6, 1$ mm — un rezultat fragil, dat de o singură coincidență.

Grupăm în clase de lățime $1$ mm, pornind de la $5$ : $[5, 6)$ are $6$ boabe, $[6, 7)$ are $8$ , $[7, 8)$ are $2$ ; clasa modală este $[6, 7)$ . Grupăm acum aceleași date tot în clase de $1$ mm, dar pornind de la $4, 5$ : $[4, 5; 5, 5)$ are $3$ boabe, $[5, 5; 6, 5)$ are $7$ , $[6, 5; 7, 5)$ are $6$ ; clasa modală devine $[5, 5; 6, 5)$ . Aceleași date, două răspunsuri diferite. Clasa modală nu e o proprietate a boabelor, ci a boabelor împreună cu grila aleasă. De aceea un raport serios spune și cum au fost alese clasele.

7. Medie, mediană sau mod: cum alegi?

Alegerea nu se face după indicator, ci după întrebare.

„Ce apare cel mai des?” — de exemplu, ce specie domină o probă, ce fenotip e cel mai frecvent, la ce oră sosesc cele mai multe probe la laborator. Răspunde modul.
„Cum arată un caz obișnuit, dacă există valori extreme?” — timpi de recuperare, concentrații lângă o sursă de poluare. Răspunde mediana.
„Cât ar reveni fiecăruia dacă totalul s-ar împărți egal?” — consumul mediu de apă al unui lot de plante, masa medie a unei recolte. Răspunde media, singura legată direct de sumă.

Modul are și un preț: e instabil. Într-un set bimodal, o singură observație în plus poate decide care dintre cele două valori rămâne mod, pe când mediana se mută cel mult cu un pas. Când decizia depinde de mod, merită să te uiți și la diferența dintre frecvența lui și frecvența valorii de pe locul al doilea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Lobii frunzelor de stejar

Un elev a numărat lobii de pe marginea a $14$ frunze de stejar: $7, 5, 6, 7, 8, 6, 7, 9, 5, 7, 6, 8, 7, 7$ . Determinați modul și mediana setului.

Rezolvare. Frecvențele: $5$ apare de $2$ ori, $6$ de $3$ ori, $7$ de $6$ ori, $8$ de $2$ ori, $9$ o dată; suma lor este $14$ . Frecvența maximă, $6$ , este atinsă numai de valoarea $7$ , deci

$M o = 7 lobi .$

Pentru mediană ordonăm: $5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9$ . Cu $n = 14$ , rangurile din mijloc sunt $7$ și $8$ , ocupate amândouă de $7$ , deci $Q_{2} = 7$ lobi.

Exemplul 2 — Citește diagrama: tiparele amprentelor

Diagrama arată tiparul amprentei degetului arătător drept la cei $34$ de elevi ai unei clase: buclă, vârtej sau arc. a) Determinați tiparul modal și procentul lui din total. b) Explicați de ce pentru aceste date nu se poate calcula mediana.

Tiparul amprentei arătătorului drept la cei 34 de elevi ai unei clase.

Rezolvare. a) Totalul observațiilor este $20 + 10 + 4 = 34$ . Bara cea mai înaltă este cea a buclei, cu $20$ de elevi, deci tiparul modal este bucla. Procentul ei este

$\frac{20}{34} \approx 0, 5882, adic \overset{a}{˘} aproximativ 58, 82%.$

b) Tiparele sunt date nominale: nu există o ordine firească între buclă, vârtej și arc. Ordinea barelor din diagramă a fost aleasă de autor și, schimbată, ar da alt „mijloc”. Fără ordine nu există rang, deci nu există mediană.

Exemplul 3 — Peștii din iaz: un set bimodal

Lungimile, în centimetri, a $24$ de pești prinși și eliberați dintr-un iaz sunt date în tabel:

lungimea (cm)	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$
număr de pești	$2$	$6$	$3$	$2$	$3$	$6$	$2$

a) Determinați modul. b) Determinați mediana. c) Interpretați rezultatele.

Rezolvare. a) Frecvența maximă, $6$ , este atinsă de două valori, deci setul este bimodal: $M o \in {13, 17}$ cm.

b) Frecvențele cumulate sunt $2, 8, 11, 13, 16, 22, 24$ . Cu $n = 24$ , rangurile din mijloc sunt $12$ și $13$ ; ambele cad în grupul peștilor de $15$ cm (rangurile $12$ – $13$ ), deci $Q_{2} = 15$ cm.

c) Cele două moduri indică două generații de pești, una de puiet din anul trecut și una mai veche. Mediana, $15$ cm, cade tocmai în „vale”: doar doi pești din $24$ au această lungime. Un singur indicator de centru ascunde structura; descrierea cinstită spune că în iaz sunt două grupe, cu lungimile tipice $13$ și $17$ cm.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Într-un parc cu mai multe specii de pini, s-au numărat acele din $30$ de mănunchiuri: $13$ mănunchiuri aveau câte $2$ ace, $4$ aveau câte $3$ ace și $13$ aveau câte $5$ ace. Un elev a scris: „Setul nu are mod, fiindcă valorile $2$ și $5$ apar de același număr de ori. Mediana este $3$ , pentru că $3$ este la mijloc între $2$ și $5$ .” Analizați cele două afirmații.

Rezolvare. Prima afirmație confundă un set bimodal cu un set fără mod. Frecvența maximă, $13$ , este atinsă de două valori, deci setul are două moduri: $M o \in {2, 5}$ ace. Egalitatea a două frecvențe maxime nu înseamnă lipsa modului; aici valoarea $3$ apare de numai $4$ ori, iar $2$ și $5$ se detașează clar.

A doua afirmație are rezultatul corect, dar argumentul greșit. Mediana nu e mijlocul listei valorilor distincte, ci se află din ranguri. Frecvențele cumulate sunt $13, 17, 30$ ; cu $n = 30$ , rangurile $15$ și $16$ cad în grupul mănunchiurilor cu $3$ ace (rangurile $14$ – $17$ ), deci $Q_{2} = 3$ ace. Dacă ar fi fost $16$ mănunchiuri cu câte $2$ ace, $3$ cu câte $3$ și tot $11$ cu câte $5$ , argumentul elevului ar fi dat tot $3$ , dar mediana corectă ar fi fost $2$ . Un argument bun nu depinde de noroc.

Exemplul 5 — Prima cifră și legea lui Benford

Un elev a notat prima cifră a suprafețelor, în hectare, ale celor $300$ de arii protejate dintr-un inventar. Frecvențele sunt date în tabel:

prima cifră	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
frecvența	$92$	$54$	$37$	$29$	$23$	$20$	$17$	$15$	$13$

a) Care este cifra modală? b) Ce fracție dintre valori începe cu cifra modală? Comparați-o cu fracția $0, 301$ , prezisă de legea lui Benford pentru prima cifră $1$ .

Rezolvare. a) Totalul este $92 + 54 + 37 + 29 + 23 + 20 + 17 + 15 + 13 = 300$ . Frecvența maximă, $92$ , aparține cifrei $1$ , care este cifra modală. Aici întrebarea nu este cât de mare e prima cifră, ci care cifră apare cel mai des.

b) Frecvența relativă a cifrei modale este

$\frac{92}{300} \approx 0, 3067,$

față de $0, 301$ . Diferența, sub o sutime, e mică pentru $300$ de valori. Legea lui Benford spune că la multe mărimi măsurate care se întind pe mai multe ordine de mărime (suprafețe, debite, populații) prima cifră este $1$ în aproximativ $30%$ din cazuri, nu în $\frac{1}{9} \approx 11%$ , cât ar da nouă cifre la fel de frecvente. Aici modul nu e doar un rezumat: el confirmă un model.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră setul de date dat prin tabelul de frecvențe:

valoarea	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
frecvența	$3$	$7$	$11$	$5$	$3$	$1$

a) Determinați modul setului de date. b) Determinați mediana setului de date.

Rezolvare. a) Frecvența maximă este $11$ , atinsă numai de valoarea $4$ , deci $M o = 4$ .

b) Frecvențele cumulate sunt $3, 10, 21, 26, 29, 30$ ; ultima este $n = 30$ . Rangurile din mijloc sunt $15$ și $16$ , amândouă în grupul valorii $4$ (rangurile $11$ – $21$ ), deci

$Q_{2} = \frac{4 + 4}{2} = 4.$

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi frecvența fiecărei valori (sau citește-o din tabel) și abia apoi răspunsul; la seturile bimodale scrie ambele valori.

1. Determină modul setului $4, 7, 7, 2, 9, 7, 4, 1$ .

2. Determină modul (sau modurile) setului $12, 15, 12, 18, 15, 11, 19$ .

3. Setul $A$ are un singur mod, $5$ , iar setul $B$ are un singur mod, $8$ . Poate setul obținut punând laolaltă datele lui $A$ și ale lui $B$ să aibă un singur mod, egal cu $6$ ? Justifică printr-un exemplu.

4. Într-un parc s-au inventariat arborii de lângă alee: $18$ tei, $11$ arțari, $7$ castani și $11$ mesteceni. Determină specia modală și spune ce tip de date sunt acestea.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un set de date are un singur mod, atunci modul este egal cu mediana.”

6. Un set de date este format din valorile $0, 1, 2, 3, 4$ cu frecvențele $7, 12, 12, 5, 1$ . Determină modul.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați modul setului de date $3, 8, 5, 8, 3, 8, 6$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați modul și mediana setului de date $6, 11, 4, 6, 1, 9, 6, 4$ .

9. Masele a $40$ de alune au fost grupate: $[1, 6; 2, 0)$ g — $5$ alune, $[2, 0; 2, 4)$ — $11$ , $[2, 4; 2, 8)$ — $14$ , $[2, 8; 3, 2)$ — $8$ , $[3, 2; 3, 6)$ — $2$ . Determină clasa modală și dă o valoare aproximativă a modului, precizând că este o aproximare.

10. La $25$ de plante s-a notat starea frunzelor: sănătoase — $6$ plante, cu pete ușoare — $9$ , cu pete multe — $7$ , uscate — $3$ . Determină modul și mediana acestor date ordinale.

11. (Problemă aplicată.) Un laborator de analize a înregistrat ora la care au sosit probele de sânge într-o dimineață: între $7$ și $8$ — $12$ probe, între $8$ și $9$ — $31$ , între $9$ și $10$ — $27$ , între $10$ și $11$ — $18$ , între $11$ și $12$ — $9$ , între $12$ și $13$ — $5$ . Care este intervalul orar modal? Ce procent din probe sosesc în acest interval? Câte probe sosesc înainte de ora $9$ și ce procent reprezintă ele?

12. Setul $5, 8, 8, 11, x, 14, 14$ trebuie să aibă un singur mod. Ce valori poate lua numărul real $x$ ?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați modul setului format din resturile împărțirii la $3$ ale numerelor naturale $10, 11, 12, \dots, 20$ .

14. Modul unui set de $50$ de date are frecvența relativă $0, 34$ . De câte ori apare modul în set?

15. Setul $2, 3, 3, 5, 6, 6, 7$ este bimodal. Ce valoare trebuie adăugată pentru ca setul să aibă un singur mod, egal cu $6$ ? Cum se schimbă mediana?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un set de date este format din valorile $1, 2, 3, 4$ cu frecvențele $3, 9, 6, 7$ . Determinați modul și mediana setului.

17. Masele, în grame, a opt măsline sunt $4, 6$ ; $5, 2$ ; $4, 8$ ; $5, 4$ ; $4, 4$ ; $5, 1$ ; $4, 9$ ; $5, 6$ . Are setul un mod? Rotunjește masele la gram și află modul valorilor rotunjite. Ce ai câștigat și ce ai pierdut prin rotunjire?

18. (Provocare.) Un set de $10$ numere are un singur mod, iar frecvența acestuia este $3$ . Care este numărul maxim de valori distincte pe care le poate avea setul? Dar dacă frecvența modului este $2$ ?

Răspunsuri și explicații

1. Frecvențele: $1$ și $2$ — câte o dată, $4$ — de două ori, $7$ — de trei ori, $9$ — o dată. Deci $M o = 7$ .

2. Valorile $12$ și $15$ apar câte de două ori, celelalte o dată. Setul este bimodal: $M o \in {12, 15}$ .

3. Da. De exemplu, $A$ : $5, 5, 5, 6, 6$ (modul $5$ ) și $B$ : $6, 6, 8, 8, 8$ (modul $8$ ). Împreună, $6$ apare de patru ori, iar $5$ și $8$ de câte trei ori, deci singurul mod al setului reunit este $6$ , o valoare care nu era mod în niciuna dintre părți. Modul nu se deduce din modurile părților, fiindcă depinde de frecvențele adunate.

4. Frecvența maximă este $18$ , deci specia modală este teiul. Datele sunt nominale (nume de specii, fără ordine); arțarii și mestecenii, cu câte $11$ exemplare, sunt la egalitate pe locul al doilea, dar nu schimbă modul.

5. Fals. Un contraexemplu: setul $1, 1, 5, 8, 9$ are un singur mod, $M o = 1$ , dar mediana este termenul de rang $3$ , adică $Q_{2} = 5$ . Modul depinde de frecvențe, mediana de ranguri; ele coincid doar în anumite seturi.

6. Valorile $1$ și $2$ au amândouă frecvența maximă, $12$ : setul are două moduri, $M o \in {1, 2}$ .

7. Valoarea $8$ apare de trei ori, $3$ de două ori, $5$ și $6$ câte o dată, deci $M o = 8$ .

8. Valoarea $6$ apare de trei ori, $4$ de două ori, restul o dată, deci $M o = 6$ . Șirul ordonat: $1, 4, 4, 6, 6, 6, 9, 11$ ; cu $n = 8$ , rangurile $4$ și $5$ : $Q_{2} = \frac{6 + 6}{2} = 6$ .

9. Frecvența maximă, $14$ , aparține clasei $[2, 4; 2, 8)$ g, care este clasa modală. O valoare aproximativă a modului este centrul clasei, $\frac{2 , 4 + 2 , 8}{2} = 2, 6$ g — aproximare, pentru că masele individuale nu se mai cunosc.

10. Frecvența maximă, $9$ , aparține categoriei „cu pete ușoare”, care este modul. Pentru mediană, categoriile au ordine (de la sănătoase la uscate); frecvențele cumulate sunt $6, 15, 22, 25$ , iar rangul din mijloc, $13$ , cade între $7$ și $15$ , deci și mediana este „cu pete ușoare”.

11. Totalul este $12 + 31 + 27 + 18 + 9 + 5 = 102$ probe. Frecvența maximă, $31$ , aparține intervalului $8$ – $9$ , care este intervalul orar modal. Procentul: $\frac{31}{102} \approx 0, 3039$ , adică aproximativ $30, 39%$ . Înainte de ora $9$ sosesc $12 + 31 = 43$ de probe, adică $\frac{43}{102} \approx 0, 4216$ , aproximativ $42, 16%$ .

12. Fără $x$ , valorile $8$ și $14$ apar câte de două ori. Dacă $x = 8$ , valoarea $8$ apare de trei ori și este singurul mod; la fel, dacă $x = 14$ , singurul mod este $14$ . Dacă $x = 5$ sau $x = 11$ , apar trei valori cu frecvența $2$ ; pentru orice altă valoare, setul rămâne bimodal. Deci $x \in {8, 14}$ .

13. Resturile sunt $1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2$ : restul $0$ apare de trei ori, iar resturile $1$ și $2$ de câte patru ori. Setul este bimodal: $M o \in {1, 2}$ .

14. Frecvența absolută este $0, 34 \cdot 50 = 17$ , deci modul apare de $17$ ori.

15. Se adaugă valoarea $6$ : acum $6$ apare de trei ori, iar $3$ de două ori, deci $M o = 6$ . Mediana veche: $n = 7$ , rangul $4$ , $Q_{2} = 5$ . Șirul nou $2, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 7$ are $n = 8$ , deci $Q_{2} = \frac{5 + 6}{2} = 5, 5$ .

16. Frecvența maximă, $9$ , este atinsă de valoarea $2$ , deci $M o = 2$ . Setul are $n = 25$ de date, cu frecvențele cumulate $3, 12, 18, 25$ ; rangul din mijloc, $13$ , cade în grupul valorii $3$ (rangurile $13$ – $18$ ), deci $Q_{2} = 3$ . Aici modul și mediana diferă.

17. Toate cele opt mase sunt diferite, deci setul nu are mod. Rotunjite la gram, ele devin $5, 5, 5, 5, 4, 5, 5, 6$ : valoarea $5$ apare de șase ori, deci $M o = 5$ g. Ai câștigat un indicator care spune ceva: trei sferturi dintre măsline au în jur de $5$ g. Ai pierdut diferențele de zecimi de gram dintre ele, pe care rotunjirea le-a șters.

18. Modul apare de $3$ ori; ca să avem cât mai multe valori distincte, celelalte $7$ date trebuie să fie toate diferite între ele și diferite de mod. Asta e permis: ele apar câte o dată, sub frecvența modului. Deci maximul este $1 + 7 = 8$ valori distincte. Dacă frecvența modului este $2$ , celelalte $8$ date trebuie să apară fiecare o singură dată (altfel ar exista un al doilea mod), deci maximul este $1 + 8 = 9$ valori distincte.

De reținut

Modul este valoarea (sau categoria) cu frecvența cea mai mare; răspunsul este valoarea, însoțită dacă vrei de frecvența ei, niciodată doar frecvența.
La date nominale modul este singurul indicator de valoare tipică; la date ordinale există și mediana; media cere date numerice.
Un set poate avea un mod, mai multe (se scriu toate) sau niciunul (când toate valorile apar o dată).
Două vârfuri într-o histogramă sau într-un tabel sunt un semnal că datele vin din două populații amestecate, care trebuie descrise separat.
Clasa modală este un interval și depinde de alegerea claselor; centrul ei se dă doar ca aproximare, spusă ca atare.

Greșeli frecvente

Ordinea barelor dintr-o diagramă cu categorii folosită ca ordine a datelor. Elevul „calculează mediana” speciilor citind bara din mijlocul desenului; la date nominale ordinea barelor e aleasă de autor și nu permite nicio mediană.
Modul valorilor brute raportat la măsurători foarte precise. O singură repetiție întâmplătoare, ca $6, 1$ mm la boabele de orez, este prezentată ca „valoarea tipică”; la date măsurate precis, modul brut nu are greutate statistică.
Un vârf al histogramei ignorat pentru că e puțin mai jos. Când două vârfuri sunt separate de o vale, a spune că datele au „un singur mod” pierde informația despre cele două grupuri, chiar dacă frecvențele vârfurilor diferă cu una-două unități.
Clasa modală comparată între două grupări diferite. Elevul compară clasa modală a unui set grupat din $0, 5$ în $0, 5$ cu a altuia grupat din unitate în unitate și trage concluzii; comparația cere aceeași grilă de clase.
Frecvența relativă a modului confundată cu procentul unei alte categorii. Când totalul nu e scris, elevul împarte frecvența modului la numărul de categorii, nu la numărul de observații.

Aplică acasă

Litera care domină. Deschide la întâmplare trei pagini ale unei cărți și notează, pe fiecare, prima literă a primelor $20$ de cuvinte. Află litera modală în fiecare eșantion, apoi pe toate cele $60$ de cuvinte laolaltă. Rămâne aceeași literă? Scrie ce îți spune rezultatul despre un mod calculat pe puține date.
Două vârfuri în familie. Adună înălțimile tuturor membrilor familiei extinse (copii și adulți) și grupează-le în clase de câte $10$ cm. Uită-te dacă apar două vârfuri și încearcă să explici ce grupuri se amestecă în date.
Grila care schimbă răspunsul. Măsoară lungimea a $20$ de frunze din același copac, grupează valorile în două feluri (pornind de la capete diferite) și verifică dacă clasa modală rămâne aceeași.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează modul ca pe indicatorul datelor nominale și ca pe o unealtă de diagnostic: două vârfuri într-o distribuție sunt adesea primul semn că datele amestecă două populații (sexe, generații, specii). Exemplul 5 leagă modul de un model teoretic, legea lui Benford pentru prima cifră a mărimilor măsurate. Secțiunea 6 arată numeric că clasa modală depinde de grilă, lucru pe care elevii îl acceptă abia când îl văd pe aceleași date. Ce verificați în caiet: tabelul frecvențelor scris înainte de răspuns, ambele valori la un set bimodal, intervalul (nu un număr) la date grupate.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică matematică” numește modul printre mărimile caracteristice ale seturilor de date, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare” al clasei a X-a, „interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie”, fără să numească separat modul, care este un parametru de poziție; nota capitolului cere ca aplicațiile să fie din domeniul financiar. De aceea exercițiile scurte de aflare a modului sunt marcate „tip Bacalaureat M2”, după capitolul din care fac parte, și au date pur numerice. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I nu conține nicio cerință de statistică, iar singura cerință din familia statistică–probabilități este una de probabilități; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Verifică-te cu testul de statistică al unității, apoi treci la lecția despre cuartile și amplitudine, unde afli cât de împrăștiate sunt datele.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă lecția de la științe ale naturii de cea de la mate-info (M1)? Definiția modului este aceeași. Aici lucrezi mai ales cu date din laborator și de teren: tipuri de date (nominale, ordinale, numerice), histograme cu două vârfuri citite ca amestec de populații, dependența clasei modale de grilă și un model teoretic verificat prin mod. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: modul (valoarea modală), mate-info (M1).

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea modul? În modelul publicat pentru 2026, Subiectul I are șase cerințe scurte, iar cea din familia statistică–probabilități este o probabilitate, nu un mod. Programa de examen conține parametrii de poziție ai datelor statistice, deci aflarea modului dintr-o listă sau dintr-un tabel este o cerință scurtă posibilă, eventual alături de mediană.

De ce programa scrie o dată „modul” și o dată „modulul”? În lista de conținuturi a clasei a X-a apare „modul”, iar în sugestiile metodologice ale aceleiași programe apare „modulul”, cu sensul de valoare modală. În lecții folosim „modul” (sau „valoarea modală”), ca să nu fie confundat cu modulul unui număr real, $∣ x ∣$ , care înseamnă altceva.

Ce legătură are modul cu alegerea la întâmplare a unei observații? Dacă alegi la întâmplare una dintre observațiile unui set, valoarea modală este cea pe care o obții cel mai des, iar frecvența ei relativă îți spune cât de des: dintre cele $200$ de musculițe din deschidere, una aleasă la întâmplare are ochi roșii în aproximativ $59%$ din cazuri. De aceea modul este cea mai bună ghicire unică atunci când vrei să nimerești cât mai des.

Pot avea date ordinale și mod, și mediană? Da. La categorii ordonate, cum ar fi „sănătoasă – pete ușoare – pete multe – uscată”, modul este categoria cea mai frecventă, iar mediana este categoria aflată pe rangul din mijloc; le afli separat, fiecare după regula ei. Media nu se poate calcula, pentru că distanțele dintre categorii nu sunt numere.

Poate modul valorilor brute să cadă în afara clasei modale? Da. În setul $1, 0; 1, 0; 2, 1; 2, 4; 2, 8$ , grupat în clasele $[1, 2)$ și $[2, 3)$ , modul valorilor brute este $1, 0$ , singura valoare repetată, dar clasa modală este $[2, 3)$ , cu trei date. Modul brut numără coincidențe exacte, iar clasa modală numără date apropiate; la măsurători fine, a doua spune mai mult. Când cele două răspunsuri diferă, în raport se dau amândouă, împreună cu clasele folosite.