Mediana unui set de date (M2, științe ale naturii)

O echipă de voluntari filtrează apa unui râu în nouă puncte și numără particulele de microplastic dintr-un litru: $3$, $5$, $4$, $7$, $6$, $5$, $8$, $4$ și $61$. Ultima probă a fost luată chiar sub gura de evacuare a unei stații de epurare. Media celor nouă numere iese aproape $11,4$ particule pe litru, adică mai mult decât în opt dintre cele nouă puncte; ca descriere a râului, e o cifră care nu seamănă cu niciun loc de pe mal. Numărul care spune ce găsești într-un punct obișnuit este mediana, iar aici ea este $5$. Lecția aceasta, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), te învață s-o afli corect și să știi când s-o preferi. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține tema în capitolul despre interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție, unde mediana nu este numită separat.

Media ai calculat-o în lecția despre media aritmetică și media ponderată; acolo ai văzut că o singură valoare foarte mare o poate trage departe de restul datelor. Mediana e răspunsul la această slăbiciune: ea nu se uită la cât de mare este o valoare, ci doar la locul ei în șirul ordonat. Ordonarea numerelor reale, cu toate regulile ei, ai lucrat-o în clasa a IX-a, la ordonarea numerelor reale și aproximări — aici o folosești ca prim pas al unui calcul.

Ce vei învăța

• Vei ști să ordonezi un set de măsurători și să explici de ce fără acest pas „valoarea din mijloc” nu înseamnă nimic.
• Vei ști să afli poziția medianei direct din numărul de date, fără să scrii tot șirul, și să calculezi mediana pentru $n$ par și pentru $n$ impar.
• Vei ști să citești mediana dintr-un tabel de frecvențe sau de pe o diagramă cu bare, cu ajutorul frecvențelor cumulate.
• Vei ști să numești clasa mediană atunci când datele sunt grupate pe intervale.
• Vei ști să decizi, într-un context din laborator, dacă raportezi media sau mediana, și să argumentezi cu datele.
• Vei ști să folosești mediana și pentru date ordinale, de tipul „rar – uneori – des”, unde media nu are sens.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este mediana unui set de date?

Mediana este valoarea care, într-un set de $n$ date numerice (sau ordonabile) așezate crescător, are tot atâtea date înaintea ei câte are după ea: dacă $n$ este impar, este termenul din mijloc al șirului ordonat; dacă $n$ este par, este media aritmetică a celor doi termeni din mijloc. O notăm $Q_2$.

Un elev lasă o picătură de colorant alimentar într-un pahar cu apă și cronometrează, în șapte încercări, timpul până când firul colorat atinge fundul: $48$, $52$, $45$, $50$, $47$, $55$, $49$ de secunde. Scriem întâi șirul ordonat:

$$45,47,48,49,50,52,55.$$

Cu $n=7$, termenul din mijloc este al patrulea, deci $Q_2=49$ de secunde. Trei încercări au durat mai puțin, trei mai mult. Mediana are aceeași unitate de măsură ca datele, iar în raport se scrie cu ea.

2. De ce se ordonează datele înainte de orice?

În caietul de laborator, cele șapte durate au fost scrise în ordinea încercărilor. Dacă iei termenul din mijlocul listei așa cum a fost notată, adică al patrulea, obții $50$ de secunde, nu $49$. Altă ordine a încercărilor ar fi dat alt „mijloc”, deși picătura, apa și paharul au rămas aceleași. Un indicator care se schimbă după cum ai numerotat încercările nu descrie fenomenul, ci caietul.

De aceea ordonarea nu e o formalitate: ea transformă o listă de observații într-un șir în care pozițiile au sens. Primul lucru scris pe foaie, la orice cerință despre mediană, este șirul ordonat — chiar și atunci când datele par deja ordonate, pentru că verificarea durează câteva secunde.

3. Ce se întâmplă când numărul de date este par?

Un elev a strâns, într-un vas curat pus pe pervaz, apa a șase ploi și i-a măsurat pH-ul: $5,6$; $4,9$; $5,2$; $6,1$; $5,0$; $5,4$. Șirul ordonat este

$$4,9;5,0;5,2;5,4;5,6;6,1.$$

Cu șase termeni nu există unul singur la mijloc, ci doi: al treilea și al patrulea. Definiția spune că mediana este media lor:

$$Q_2=\frac{5,2+5,4}{2}=5,3.$$

Nicio ploaie n-a avut exact pH-ul $5,3$, și asta e corect: mediana e o tăietură între două jumătăți, nu neapărat o observație. Trei ploi au fost mai acide decât ea, trei mai puțin acide.

4. Cum afli poziția medianei fără să scrii tot șirul?

La seturi mari, nu mai scrii toate valorile ca să vezi mijlocul; îl calculezi din $n$.

• Dacă $n$ este impar, mediana este termenul de rang $\frac{n+1}{2}$: $Q_2=x_{\frac{n+1}{2}}$.
• Dacă $n$ este par, mediana este media termenilor de ranguri $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2}+1$.

Aici $x_1\le x_2\le \dots \le x_n$ sunt datele ordonate. Câteva cazuri: pentru $n=15$ mediana este al $8$-lea termen; pentru $n=16$, media termenilor al $8$-lea și al $9$-lea; pentru $n=101$, al $51$-lea termen; pentru $n=250$, media termenilor al $125$-lea și al $126$-lea. Atenție: numărul $\frac{n+1}{2}$ este un rang, nu valoarea medianei.

5. Cum citești mediana dintr-un tabel de frecvențe?

Când o valoare se repetă de multe ori, datele vin într-un tabel. Un elev a numărat lăstarii laterali de pe $27$ de plante de mentă crescute în același jardinier:

Rândul al treilea l-ai construit în lecția despre frecvențele cumulate: el spune până la ce rang ajunge fiecare valoare în șirul ordonat. Cu $n=27$, mediana este termenul de rang $14$. Plantele cu cel mult $3$ lăstari ocupă rangurile $1$–$10$, iar cele cu $4$ lăstari rangurile $11$–$19$; rangul $14$ cade în al doilea grup, deci mediana este $4$ lăstari. Drumul este mereu același: rangul (sau rangurile) din mijloc, apoi prima frecvență cumulată care îl atinge.

6. De ce nu se clintește mediana când un aparat greșește?

Un senzor de oxigen dizolvat dintr-un acvariu transmite opt citiri, în miligrame pe litru: $7,8$; $8,1$; $7,9$; $8,3$; $0$; $8,0$; $7,7$; $8,2$. Valoarea $0$ nu e reală — peștii ar fi murit —, ci o eroare de transmisie. Media celor opt citiri este

$$\frac{56}{8}=7,$$

sub oricare dintre cele șapte citiri corecte. Ordonăm: $0;7,7;7,8;7,9;8,0;8,1;8,2;8,3$, iar mediana este media termenilor al patrulea și al cincilea:

$$Q_2=\frac{7,9+8,0}{2}=7,95.$$

Dacă ștergem citirea greșită, rămân șapte valori, cu mediana $8$ și media tot $8$. Media a sărit cu un miligram întreg, mediana cu cinci sutimi. Explicația e în definiție: citirea eronată a mutat doar marginea din stânga a șirului, iar mediana depinde de ce se află la mijloc, nu de cât de departe este marginea. De aici o regulă de lucru pentru laborator: când datele pot conține o eroare de aparat sau un caz extrem, raportezi mediana sau, și mai bine, amândouă valorile.

Comparația celor două spune ceva și despre forma datelor. Când media stă mult sub mediană, câteva valori mici trag spre stânga, ca aici; când stă mult peste, câteva valori mari trag spre dreapta, ca la microplasticul din deschidere.

7. Ce poți spune când datele au fost grupate pe intervale?

La o grupare pe clase, valorile individuale se pierd, deci mediana exactă nu mai poate fi calculată. Se poate însă afla clasa mediană: intervalul în care cad rangurile din mijloc. Diametrele a $50$ de ghinde, măsurate cu șublerul, au fost grupate astfel: $[14,16)$ mm — $6$ ghinde, $[16,18)$ — $13$, $[18,20)$ — $17$, $[20,22)$ — $10$, $[22,24)$ — $4$. Frecvențele cumulate sunt $6$, $19$, $36$, $46$, $50$. Rangurile din mijloc, $25$ și $26$, depășesc $19$ și nu depășesc $36$, deci ambele cad în clasa $[18,20)$ mm.

Răspunsul e un interval, nu un număr. Poligonul frecvențelor cumulate, din lecția despre poligonul frecvențelor, permite doar o estimare grafică a medianei, pe care o prezinți ca estimare.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Timpul de reacție, număr impar de date

Unsprezece elevi apasă un buton imediat ce se aprinde un bec. Timpii de reacție, în milisecunde, sunt $312,268,295,341,257,288,306,279,324,293,301$. Determinați mediana.

Rezolvare. Ordonăm crescător:

$$257,268,279,288,293,295,301,306,312,324,341.$$

Avem $n=11$, impar, deci mediana este termenul de rang $\frac{11+1}{2}=6$:

$$Q_2=295\text{ ms}.$$

Control: cinci timpi sunt mai mici ($257$ … $293$), cinci mai mari ($301$ … $341$). Mediana spune că cel puțin jumătate dintre elevi au reacționat în cel mult $295$ de milisecunde.

Exemplul 2 — Căpșunile, număr par de date

Masele, în grame, a zece căpșuni culese dintr-un solar sunt $11,2;10,6;12,1;9,8;11,7;10,9;12,4;11,0;10,3;11,5$. Determinați mediana și precizați dacă este masa uneia dintre căpșuni.

Rezolvare. Ordonăm:

$$9,8;10,3;10,6;10,9;11,0;11,2;11,5;11,7;12,1;12,4.$$

Cu $n=10$, par, rangurile din mijloc sunt $5$ și $6$, cu valorile $11,0$ și $11,2$:

$$Q_2=\frac{11,0+11,2}{2}=11,1\text{ g}.$$

Nicio căpșună nu cântărește $11,1$ g; mediana separă cele cinci căpșuni mai ușoare de cele cinci mai grele.

Exemplul 3 — Citește diagrama: bulele de oxigen

O ramură de ciuma-apelor (elodea), pusă într-o eprubetă cu apă sub o lampă, eliberează bule de oxigen în timpul fotosintezei. Diagrama arată câte bule s-au numărat în fiecare dintre $30$ de minute consecutive. Determinați mediana numărului de bule pe minut.

Rezolvare. Citim frecvențele de pe bare: $2$, $6$, $7$, $9$, $4$, $2$; suma lor este $30$, cât numărul minutelor. Frecvențele cumulate sunt $2$, $8$, $15$, $24$, $28$, $30$.

Cu $n=30$, par, căutăm rangurile $15$ și $16$. Minutele cu cel mult $5$ bule ocupă rangurile $1$–$15$, deci termenul de rang $15$ este $5$; termenul de rang $16$ este deja în grupul minutelor cu $6$ bule. Prin urmare

$$Q_2=\frac{5+6}{2}=5,5\text{ bule pe minut}.$$

Observă că bara cea mai înaltă (la $6$ bule) nu dă mediana: înălțimea barei spune cât de des apare o valoare, iar mediana cere ranguri.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev a numărat afidele (păduchii de frunză) de pe $12$ frunze ale aceluiași trandafir: $34,41,28,37,45,30,39,33,42,36,29,44$. El a scris: „$n=12$, deci mediana e între termenii al șaselea și al șaptelea, adică între $30$ și $39$: $Q_2=34,5$ afide.” Găsiți greșeala și corectați rezultatul.

Rezolvare. Rangurile $6$ și $7$ sunt alese corect pentru $n=12$. Greșeala e că elevul le-a căutat în lista așa cum a fost dictată, nu în șirul ordonat. Ordonăm:

$$28,29,30,33,34,36,37,39,41,42,44,45.$$

Termenii de rang $6$ și $7$ sunt $36$ și $37$, deci

$$Q_2=\frac{36+37}{2}=36,5\text{ afide}.$$

Rezultatul elevului, $34,5$, lasă sub el doar cinci frunze din douăsprezece — nu poate fi o mediană.

Exemplul 5 — Ce valoare păstrează mediana?

Pentru a afla perioada unui pendul, un elev cronometrează de nouă ori durata a $10$ oscilații: $14,2;14,6;13,9;14,4;14,1;14,8;14,3;14,0;14,5$ secunde. Apoi mai face o măsurătoare, cu rezultatul $t$ secunde. a) Care este mediana primelor nouă măsurători? b) Pentru ce valori ale lui $t$ mediana celor zece măsurători este $14,35$ s?

Rezolvare. a) Șirul ordonat este $13,9;14,0;14,1;14,2;14,3;14,4;14,5;14,6;14,8$, cu $n=9$, deci mediana este termenul de rang $5$: $Q_2=14,3$ s.

b) Cu zece măsurători, mediana este media termenilor de ranguri $5$ și $6$. Analizăm unde se așază $t$:

• dacă $t\le 14,2$, noua valoare intră în primele cinci, iar rangurile $5$ și $6$ sunt ocupate de $14,2$ și $14,3$: mediana este $14,25$ s;
• dacă $14,2\le t\le 14,4$, termenii din mijloc sunt $t$ și $14,3$, iar mediana e între $14,25$ și $14,35$;
• dacă $t\ge 14,4$, rangurile $5$ și $6$ sunt ocupate de $14,3$ și $14,4$: mediana este $\frac{14,3+14,4}{2}=14,35$ s.

În cazul din mijloc, mediana ajunge la $14,35$ doar pentru $t=14,4$. Deci mediana este $14,35$ s exact când $t\ge 14,4$. Oricât de mare ar fi $t$ — chiar o cronometrare ratată de $20$ de secunde —, mediana nu trece de $14,35$ s.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră setul de date dat prin tabelul de frecvențe:

a) Determinați mediana setului de date. b) Determinați media setului de date și comparați-o cu mediana.

Rezolvare. a) Frecvențele cumulate sunt $3$, $8$, $12$, $18$, $23$, $25$; ultima este $n=25$. Cum $n$ este impar, mediana este termenul de rang $13$. Valorile cel mult egale cu $6$ ocupă rangurile $1$–$12$, iar valoarea $7$ rangurile $13$–$18$, deci

$$Q_2=7.$$

b) Suma tuturor datelor este $4\cdot 3+5\cdot 5+6\cdot 4+7\cdot 6+8\cdot 5+9\cdot 2=161$, deci media este

$$\frac{161}{25}=6,44.$$

Media este mai mică decât mediana: valorile mici, $4$ și $5$, o trag în jos, iar mediana nu se lasă mișcată de ele. Rangul $13$ cade chiar pe prima apariție a lui $7$, un loc unde merită să verifici de două ori frecvențele cumulate. Datele sunt pur numerice, ca într-o cerință scurtă de Subiectul I.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie întâi șirul ordonat (sau frecvențele cumulate) și rangul medianei, apoi valoarea, cu unitatea de măsură când datele o au.

1. Determină mediana setului $38,12,27,45,19$.

2. Determină mediana setului $6,15,9,21,4,13$ și spune dacă ea aparține setului.

3. Ce ranguri trebuie citite în șirul ordonat pentru a afla mediana, dacă setul are $21$ de date? Dar $34$? Dar $99$?

4. Temperatura apei unui izvor termal, măsurată șapte zile la rând, a fost $36,4;37,1;36,8;36,2;37,5;36,9;36,6$ grade Celsius. Determină mediana.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă la un set de date adăugăm două valori noi, una mai mică decât toate datele și una mai mare decât toate datele, mediana nu se schimbă.”

6. Setul ordonat $3,5,x,11,14,20$ are mediana $9$. Determină numărul real $x$ și verifică ordonarea.

7. Lampa cu senzor de mișcare din curtea școlii s-a aprins, în fiecare dintre $30$ de nopți, de următorul număr de ori: valorile $0,1,2,3,4$ cu frecvențele $6,11,8,3,2$. Determină mediana.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați mediana setului de date $2,9,4,7,12,5,10,3$.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un set de date este format din valorile $10,20,30,40$ cu frecvențele $3,5,4,2$. Determinați mediana setului.

10. La întrebarea „Cât de des vii pe jos la școală?”, $21$ de elevi au răspuns: niciodată — $3$, rar — $5$, uneori — $6$, des — $4$, zilnic — $3$. Determină răspunsul median și explică de ce aici are sens mediana, dar nu media.

11. (Problemă aplicată.) Un lot de comprimate este acceptat dacă timpul median de dezagregare în apă este sub $15$ minute. Timpii, în minute, pentru $10$ comprimate testate sunt $12,4;16,8;13,1;14,9;11,7;15,6;14,2;13,8;18,3;12,9$. Este lotul acceptat? Câte comprimate au depășit totuși $15$ minute?

12. Vârstele, în ani, a $80$ de copaci dintr-o parcelă au fost grupate: $[10,30)$ — $12$ copaci, $[30,50)$ — $19$, $[50,70)$ — $25$, $[70,90)$ — $16$, $[90,110)$ — $8$. Află clasa mediană. Câți copaci au sub $50$ de ani și câți au cel puțin $70$ de ani?

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați mediana setului format din numerele naturale pare din intervalul $[11,29]$.

14. Nouă elevi aleargă $100$ m, iar mediana timpilor lor este $12,5$ s. Pentru fiecare elev se calculează viteza medie, $v=\frac{100}{t}$ m/s. Care este mediana celor nouă viteze? De ce poți răspunde fără să cunoști timpii?

15. Două grupe au făcut câte $5$ măsurători ale aceleiași mărimi; medianele lor sunt $10$ și $20$. Poate mediana celor $10$ măsurători puse împreună să fie $25$? Justifică.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determinați mediana setului format din primele opt numere prime.

17. La nouă plante de cartof, numărul mediu de gândaci de Colorado pe plantă este $4$, iar mediana este $2$. Ce spune diferența dintre cele două valori despre date? Dă un exemplu de nouă numere naturale care au exact această medie și această mediană.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $n$ numere naturale consecutive, mediana este egală cu media aritmetică.

Răspunsuri și explicații

1. Șirul ordonat: $12,19,27,38,45$; $n=5$, rangul $3$, deci $Q_2=27$.

2. Șirul ordonat: $4,6,9,13,15,21$; $n=6$, rangurile $3$ și $4$: $Q_2=\frac{9+13}{2}=11$. Valoarea $11$ nu aparține setului.

3. Pentru $n=21$: rangul $\frac{21+1}{2}=11$. Pentru $n=34$: rangurile $17$ și $18$, iar mediana este media termenilor de pe ele. Pentru $n=99$: rangul $50$.

4. Șirul ordonat: $36,2;36,4;36,6;36,8;36,9;37,1;37,5$; $n=7$, rangul $4$: $Q_2=36,8$ °C.

5. Adevărat. Valoarea mică se așază pe primul loc, cea mare pe ultimul, iar toate datele vechi se mută cu un rang la dreapta. Setul nou are $n+2$ date, deci rangul (sau rangurile) din mijloc crește tot cu $1$: la $n$ impar, $\frac{n+3}{2}=\frac{n+1}{2}+1$. Astfel, în mijloc ajung exact aceiași termeni vechi, iar mediana rămâne aceeași.

6. Cu $n=6$, mediana este media termenilor al treilea și al patrulea: $\frac{x+11}{2}=9$, deci $x+11=18$ și $x=7$. Ordonarea se păstrează: $5\le 7\le 11$.

7. Frecvențele cumulate: $6,17,25,28,30$. Cu $n=30$, rangurile din mijloc sunt $15$ și $16$; ambele sunt între $7$ și $17$, adică în grupul nopților cu o singură aprindere. Deci $Q_2=1$ aprindere pe noapte.

8. Șirul ordonat: $2,3,4,5,7,9,10,12$; $n=8$, rangurile $4$ și $5$: $Q_2=\frac{5+7}{2}=6$.

9. Setul are $n=3+5+4+2=14$ date, cu frecvențele cumulate $3,8,12,14$. Rangurile $7$ și $8$ cad amândouă în grupul valorii $20$ (rangurile $4$–$8$), deci $Q_2=20$.

10. Răspunsurile au o ordine naturală, de la „niciodată” la „zilnic”. Frecvențele cumulate: $3,8,14,18,21$. Cu $n=21$, rangul din mijloc este $11$, care cade între $9$ și $14$, adică la „uneori”. Răspunsul median este „uneori”. Media ar cere să aduni și să împarți răspunsuri care nu sunt numere, ceea ce nu are sens; mediana cere doar ordinea lor.

11. Șirul ordonat: $11,7;12,4;12,9;13,1;13,8;14,2;14,9;15,6;16,8;18,3$. Cu $n=10$: $Q_2=\frac{13,8+14,2}{2}=14$ minute, sub pragul de $15$ minute, deci lotul este acceptat. Totuși $3$ comprimate ($15,6$, $16,8$ și $18,3$ minute) au depășit pragul: criteriul median garantează doar că cel puțin jumătate dintre comprimate se dezagregă în cel mult $14$ minute.

12. Frecvențele cumulate: $12,31,56,72,80$. Cu $n=80$, rangurile din mijloc sunt $40$ și $41$; ambele sunt între $32$ și $56$, deci clasa mediană este $[50,70)$ ani. Sub $50$ de ani sunt $31$ de copaci (cumulata clasei $[30,50)$), iar cel puțin $70$ de ani au $16+8=24$ de copaci.

13. Numerele sunt $12,14,16,18,20,22,24,26,28$, deja ordonate; $n=9$, rangul $5$: $Q_2=20$.

14. Funcția $v=\frac{100}{t}$ inversează ordinea: cel mai rapid elev are timpul cel mai mic și viteza cea mai mare. Cu $n=9$, elevul aflat pe rangul $5$ după timp rămâne pe rangul $5$ și după viteză (numărând de la celălalt capăt), deci mediana vitezelor este viteza lui: $\frac{100}{12,5}=8$ m/s. La un număr par de date, raționamentul nu mai merge exact, fiindcă media a două viteze nu este viteza corespunzătoare mediei timpilor.

15. Nu. Mediana $10$ a primei grupe înseamnă că cel puțin $3$ dintre măsurătorile ei sunt cel mult $10$; mediana $20$ a celei de-a doua înseamnă că cel puțin $3$ dintre măsurătorile ei sunt cel mult $20$. Împreună, cel puțin $6$ măsurători sunt cel mult $20$, deci termenii de ranguri $5$ și $6$ ai setului comun sunt cel mult $20$, iar mediana lor nu poate fi $25$. Același raționament arată că ea nu poate coborî sub $10$.

16. Primele opt numere prime sunt $2,3,5,7,11,13,17,19$; $n=8$, rangurile $4$ și $5$: $Q_2=\frac{7+11}{2}=9$.

17. Suma celor nouă numere este $9\cdot 4=36$ de gândaci. Cu mediana $2$, primele cinci plante din șirul ordonat au fiecare cel mult $2$ gândaci, deci împreună cel mult $10$; celelalte patru au cel puțin $26$, așa că cel puțin una dintre ele are $7$ gândaci sau mai mulți. Câteva plante mult mai infestate decât restul trag media în sus. Un exemplu: $0,1,1,2,2,2,3,4,21$, cu termenul de rang $5$ egal cu $2$ și suma $36$. Orice set ordonat cu al cincilea termen $2$ și suma $36$ este un răspuns corect.

18. Fie numerele $a,a+1,\dots ,a+n-1$, deja ordonate. Suma lor este $na+\frac{(n-1)n}{2}$, deci media este $a+\frac{n-1}{2}$. Dacă $n$ este impar, termenul de rang $\frac{n+1}{2}$ este $a+\frac{n-1}{2}$. Dacă $n$ este par, termenii de ranguri $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2}+1$ sunt $a+\frac{n}{2}-1$ și $a+\frac{n}{2}$, cu media tot $a+\frac{n-1}{2}$. În ambele cazuri mediana este egală cu media.

De reținut

• La orice cerință despre mediană, primul rând scris este șirul ordonat; mijlocul listei dictate nu are nicio semnificație.
• Rangul medianei vine din $n$: $\frac{n+1}{2}$ la $n$ impar, $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2}+1$ la $n$ par (atunci se face media celor doi termeni); rangul nu este valoarea.
• Dintr-un tabel sau de pe o diagramă cu bare, mediana se citește pe frecvențele cumulate, nu pe bara cea mai înaltă.
• La date grupate pe intervale se dă clasa mediană, un interval; orice valoare citită de pe grafic e o estimare.
• O măsurătoare aberantă mișcă mult media și foarte puțin mediana; în raportul de laborator, cu date suspecte, se dă mediana (ideal, amândouă).

Greșeli frecvente

• Mediana confundată cu valoarea cea mai des întâlnită. Pe o diagramă cu bare, elevul arată bara cea mai înaltă. Aceea dă valoarea care apare cel mai des; mediana cere ranguri și frecvențe cumulate.
• Unitatea de măsură uitată sau schimbată. Mediana timpilor în milisecunde este tot în milisecunde; elevii o scriu fără unitate sau o transformă din greșeală, ca și cum ar fi un număr fără legătură cu datele.
• Frecvențele cumulate citite greșit la granița unui grup. Când rangul căutat este exact ultima frecvență cumulată a unei valori (de exemplu rangul $15$ cu cumulata $15$), el aparține încă acelei valori, nu celei următoare.
• Ștergerea automată a valorii extreme. Mediana se calculează pe toate datele; o valoare se scoate numai când ai un motiv de laborator (aparat defect, probă contaminată), iar asta se spune în raport.
• Valorile din tabel luate o singură dată. Din tabelul cu lăstari, unii elevi ordonează doar valorile distincte $2,3,4,5,6$ și aleg mijlocul lor, uitând că fiecare valoare apare de atâtea ori cât arată frecvența ei.

Aplică acasă

1. Timpul de fierbere. Pune de cinci ori aceeași cantitate de apă la fiert și cronometrează până la primele bule mari. Calculează mediana și media; apoi adaugă o încercare în care ai lăsat capacul deschis și observă care dintre ele se schimbă mai mult.
2. Sondajul ordinal. Întreabă $15$ colegi cât de des mănâncă fructe (niciodată, rar, uneori, des, zilnic) și află răspunsul median. Explică într-o frază de ce nu poți calcula „media răspunsurilor”.
3. Jocul valorii noi. Cronometrează de nouă ori cât îți ia să bați de $30$ de ori din palme și află mediana. Înainte de a zecea încercare, calculează între ce limite poate ajunge noua mediană, apoi fă încercarea și verifică-ți predicția.

Pentru părinți și profesori

Lecția pune accent pe trei lucruri care apar des în munca de laborator a unui elev de științe: ordonarea ca prim pas, citirea medianei din frecvențe cumulate și decizia argumentată între medie și mediană atunci când datele conțin o eroare de aparat sau un caz extrem. Exemplul 5 (pendulul) este unul de analiză, nu de calcul: elevul trebuie să vadă că o singură măsurătoare nouă mișcă mediana doar între două limite, oricât de mare ar fi. Exercițiul 10 introduce mediana pentru răspunsuri ordonate, pe care programa o sugerează prin sondajele din clasă. Ce verificați în caiet: șirul ordonat scris explicit, paritatea lui $n$ spusă înainte de formulă, unitatea de măsură la rezultat.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică matematică” numește explicit mediana printre mărimile caracteristice ale seturilor de date, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare” al clasei a X-a, „interpretarea datelor statistice prin parametri de poziție: medii, dispersia, abateri de la medie”, fără să numească separat mediana, care este un parametru de poziție; nota capitolului cere ca aplicațiile să fie din domeniul financiar. De aceea exercițiile scurte de calcul al medianei sunt marcate „tip Bacalaureat M2”, după capitolul din care fac parte, și au date pur numerice. În modelul oficial publicat pentru 2026, Subiectul I nu conține nicio cerință de statistică, iar singura cerință din familia statistică–probabilități este una de probabilități; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Verifică-te cu testul de statistică al unității, apoi continuă cu lecția despre modul unui set de date, unde contează nu locul unei valori, ci de câte ori apare.

Întrebări frecvente

Ce aduce în plus lecția aceasta față de varianta de la mate-info (M1)? Formula medianei e aceeași la ambele profiluri. Aici accentul cade pe datele de laborator: măsurători cu o eroare de aparat, analiza unei măsurători noi care păstrează mediana, date ordinale din sondaje și criterii de acceptare bazate pe mediană. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: mediana unui set de date, mate-info (M1).

La ce subiect al bacalaureatului M2 poate apărea mediana? În modelul publicat pentru 2026, Subiectul I are șase cerințe scurte, iar cea din familia statistică–probabilități este o probabilitate, nu o mediană. Programa de examen pentru 2027–2029 conține totuși parametrii de poziție ai datelor statistice, deci mediana e materie de examen, chiar dacă modelul nu o cere; programa nu împarte temele pe subiecte.

Ce fac dacă o măsurătoare mi se pare greșită? Întâi verifici dacă ai un motiv concret: aparat defect, probă contaminată, citire imposibilă fizic. Dacă da, o elimini și spui în raport de ce. Dacă nu, o păstrezi și raportezi mediana alături de medie; mediana îți arată ce se întâmplă de obicei, iar diferența dintre ele semnalează valoarea neobișnuită.

Pot calcula mediana pentru răspunsuri care nu sunt numere? Da, dacă răspunsurile au o ordine firească, cum ar fi „niciodată – rar – uneori – des – zilnic” sau „slab – moderat – puternic”. Le ordonezi, afli rangul din mijloc și citești răspunsul aflat acolo. Pentru categorii fără ordine, cum ar fi speciile de păsări, mediana nu are sens.

De ce, la un număr par de date, mediana poate să nu fie una dintre valori? Pentru că la $n$ par mijlocul șirului cade între doi termeni, iar mediana este media lor. Dacă cei doi termeni sunt diferiți, media lor poate fi un număr pe care nu l-a dat nicio măsurătoare. Ea rămâne corectă, fiindcă desparte datele în două jumătăți cu același număr de valori.

Ce înseamnă „doza letală mediană” dintr-un manual de biologie sau de toxicologie? Este doza la care, într-un experiment, mor jumătate dintre organismele testate; se notează DL50. Fiecare organism are propriul prag de sensibilitate, iar DL50 este mediana acestor praguri: jumătate dintre organisme sunt mai sensibile, jumătate mai rezistente. Câteva organisme foarte rezistente ar muta mult media, dar nu și mediana.