Tabele de frecvențe absolute (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

La ora de ecologie, clasa a așezat pe o pajiște $30$ de rame pătrate de câte un metru pătrat, numite cadrate, și a numărat în fiecare plantele de păpădie. Rezultatul este un șir de treizeci de numere, notate în ordinea în care au fost citite. Din șirul acesta nu se vede nimic: nici ce număr apare cel mai des, nici dacă există cadrate goale, nici cât de departe merg valorile. Tabelul de frecvențe absolute, tema lecției de față din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), face ordinea în câteva minute și are un control încorporat. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa numește explicit tabelele de frecvențe. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține clasificarea și prelucrarea datelor statistice, în capitolul de matematici financiare; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică.

În lecția despre populație, eșantion și caracteristică ai învățat să recunoști unitatea statistică și tipul caracteristicii. Acum numărăm: pentru fiecare valoare, câte unități o au.

Cele 30 de cadrate de pe pajiște și numărul de plante de păpădie din fiecare, în ordinea citirii.

Ce vei învăța

Vei afla ce înseamnă frecvența absolută $n_{i}$ a unei valori.
Vei putea transforma o listă de date într-un tabel de frecvențe absolute care conține toate valorile posibile, chiar și pe cele cu frecvența $0$ .
Vei ști să verifici tabelul prin egalitatea $\sum n_{i} = n$ și să recunoști ce cauze are o sumă greșită.
Vei ști să construiești tabelul pentru o caracteristică calitativă și pentru una calitativă ordonată, în ordinea potrivită.
Vei ști să construiești și să verifici un tabel cu două caracteristici, cu totaluri pe rânduri și pe coloane.
Vei putea uni tabelele a două echipe și vei ști ce rămâne nespus într-un tabel față de lista inițială.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este frecvența absolută?

Fie o caracteristică ale cărei valori posibile sunt $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}$ . Frecvența absolută a valorii $v_{i}$ este numărul $n_{i}$ al unităților statistice care au valoarea $v_{i}$ . Tabelul care pune fiecare valoare alături de frecvența ei se numește tabel de frecvențe absolute.

Pentru o caracteristică cantitativă, valorile se scriu în ordine crescătoare. Numărul total de unități statistice îl notăm, ca până acum, cu $n$ .

2. Cum treci de la listă la tabel?

Pasul cel mai important se face înainte de a număra: scrii pe o coloană toate valorile posibile dintre cea mai mică și cea mai mare valoare întâlnită, fără să sari peste niciuna. Abia apoi parcurgi lista și numeri. La păpădiile din cadrate, cea mai mică valoare este $0$ , cea mai mare $6$ , iar tabelul este:

Plante în cadrat $v_{i}$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	Total
Cadrate $n_{i}$	$3$	$5$	$8$	$6$	$5$	$0$	$3$	$30$

Valoarea $5$ are frecvența $0$ : niciun cadrat nu a avut exact cinci plante. Rândul ei rămâne în tabel, fiindcă spune ceva adevărat despre pajiște, iar o diagramă desenată mai târziu din acest tabel trebuie să arate golul, nu să lipească valoarea $4$ de valoarea $6$ . Într-o foaie de calcul, fiecare frecvență se obține cu o funcție care numără celulele egale cu o valoare dată, iar lista valorilor posibile o scrii tot tu.

3. De ce suma frecvențelor este egală cu $n$ ?

Orice unitate statistică primește o singură valoare, așa că stă pe un singur rând al tabelului. Adunând frecvențele, numeri fiecare unitate o singură dată:

$i = 1 \sum k n_{i} = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k} = n .$

Egalitatea cere două lucruri de la rândurile tabelului: să nu aibă unități comune și să acopere toate unitățile. De aceea, la categorii, apare adesea un rând „altele” sau „neidentificat”.

Pentru păpădii: $3 + 5 + 8 + 6 + 5 + 0 + 3 = 30$ , exact numărul de cadrate.

4. Tabelul unei caracteristici calitative

La un laborator de chimie, $24$ de probe de săruri necunoscute au fost trecute prin flacără, iar pentru fiecare s-a notat culoarea flăcării:

Culoarea flăcării	galbenă	violetă	roșu-cărămiziu	verde	neidentificată	Total
Probe $n_{i}$	$9$	$4$	$6$	$3$	$2$	$24$

Categoriile nu au o ordine naturală, deci rândurile se pot scrie în orice ordine. Rândul „neidentificată” este obligatoriu: cele două probe cu o culoare nesigură există, iar fără ele suma ar fi $22$ , nu $24$ .

La o caracteristică calitativă ordonată (un grad de atac, un stadiu de dezvoltare) regula se schimbă: rândurile urmează ordinea scalei, de la treapta cea mai mică la cea mai mare, chiar dacă unele trepte au frecvența $0$ .

5. Cum arată un tabel cu două caracteristici?

Uneori se notează, la fiecare unitate, două caracteristici calitative, iar întrebarea privește legătura dintre ele. Într-o seră, $72$ de răsaduri au fost împărțite: $40$ au primit un îngrășământ, $32$ nu (lotul martor). După o lună s-a notat care au înflorit:

	au înflorit	nu au înflorit	Total
cu îngrășământ	$28$	$12$	$40$
martor	$14$	$18$	$32$
Total	$42$	$30$	$72$

Fiecare răsad stă într-o singură celulă a tabelului. De aici vine verificarea dublă: totalurile rândurilor, $40 + 32$ , și totalurile coloanelor, $42 + 30$ , trebuie să dea amândouă $72$ . Ultima coloană este chiar tabelul de frecvențe al caracteristicii „tratament”, iar ultimul rând este tabelul caracteristicii „înflorire”.

6. Ce se pierde când treci la tabel?

Tabelul spune câte unități au fiecare valoare, dar uită ordinea în care au fost culese datele. Un senzor care a numărat zilnic, timp de zece zile, albinele venite la o adăpătoare a dat $3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9$ : valorile cresc de la o zi la alta, semn că adăpătoarea a fost descoperită treptat. Tabelul acestor numere arată doar că $4$ , $6$ și $8$ apar de câte două ori; creșterea nu se mai vede. De aceea datele brute se păstrează, iar când ordinea în timp contează, se studiază și ea, separat.

La fel, un tabel pe valori individuale nu ajută la o caracteristică continuă, unde aproape toate valorile sunt diferite; acolo datele se grupează pe intervale, ca în lecția despre gruparea datelor pe clase și histogramă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Petalele florilor de piciorul-cocoșului

S-au numărat petalele a $25$ de flori de piciorul-cocoșului: $5, 6, 5, 5, 7, 5, 6, 5, 5, 8, 5, 7, 6, 5, 5, 6, 5, 7, 5, 5, 6, 5, 7, 6, 5$ . a) Construiește tabelul de frecvențe absolute și verifică-l. b) Câte flori au mai mult de cinci petale?

Rezolvare. a) Valorile merg de la $5$ la $8$ , fără goluri. Numărând:

Petale $v_{i}$	$5$	$6$	$7$	$8$	Total
Flori $n_{i}$	$14$	$6$	$4$	$1$	$25$

Verificare: $14 + 6 + 4 + 1 = 25$ , cât flori au fost numărate.

b) Mai mult de cinci petale înseamnă rândurile $6$ , $7$ și $8$ : $6 + 4 + 1 = 11$ flori. Același rezultat iese din totalul fără rândul valorii $5$ : $25 - 14 = 11$ .

Exemplul 2 — Probele de litieră din pădure și de pe pajiște

Din probe de litieră trecute printr-o pâlnie Berlese s-au separat nevertebrate din două habitate. Completează tabelul și verifică-l.

	acarieni	colembole	furnici	Total
pădure	$18$	?	$25$	$55$
pajiște	?	$9$	$31$	?
Total	$30$	$21$	$56$	$107$

Rezolvare. Pe rândul pădurii: colembolele sunt $55 - 18 - 25 = 12$ . Pe coloana acarienilor: pe pajiște sunt $30 - 18 = 12$ . Totalul pajiștii: $12 + 9 + 31 = 52$ .

Verificare pe coloana colembolelor: $12 + 9 = 21$ . Verificare dublă: rândurile dau $55 + 52 = 107$ , coloanele $30 + 21 + 56 = 107$ . Tabelul e complet și coerent.

Exemplul 3 — Scala atacului pe frunze

Un elev a examinat $26$ de frunze de viță-de-vie și a notat atacul unei ciuperci pe scala $0$ (fără pete), $1$ (pete rare), $2$ (pete dese), $3$ (frunză uscată). El a scris tabelul în ordinea descrescătoare a frecvențelor: treapta $1$ — $12$ frunze, treapta $0$ — $9$ frunze, treapta $2$ — $5$ frunze. a) Verifică tabelul. b) Rescrie-l corect și spune ce lipsea.

Rezolvare. a) Suma este $12 + 9 + 5 = 26$ , egală cu numărul de frunze.

b) Caracteristica este calitativă ordonată, deci rândurile urmează scala, iar treapta $3$ trebuie să apară, cu frecvența $0$ :

Treapta	$0$	$1$	$2$	$3$	Total
Frunze $n_{i}$	$9$	$12$	$5$	$0$	$26$

Suma nu se schimbă, dar tabelul spune acum un lucru pe care cel vechi îl ascundea: nicio frunză nu a ajuns la treapta cea mai gravă.

Exemplul 4 — Unirea tabelelor a două echipe

Două echipe au numărat semințele din păstăi de salcâm. Echipa A: $4$ semințe — $2$ păstăi, $5$ — $5$ , $6$ — $9$ , $7$ — $7$ , $8$ — $3$ , $9$ — $1$ . Echipa B: $5$ — $3$ , $6$ — $6$ , $7$ — $10$ , $8$ — $6$ , $9$ — $2$ , $10$ — $1$ . Construiește tabelul comun.

Rezolvare. Scriem toate valorile care apar la cel puțin o echipă, de la $4$ la $10$ , și adunăm frecvențele valoare cu valoare; o valoare care lipsește la o echipă are acolo frecvența $0$ .

Semințe $v_{i}$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	Total
Echipa A	$2$	$5$	$9$	$7$	$3$	$1$	$0$	$27$
Echipa B	$0$	$3$	$6$	$10$	$6$	$2$	$1$	$28$
Împreună	$2$	$8$	$15$	$17$	$9$	$3$	$1$	$55$

Verificare: $2 + 8 + 15 + 17 + 9 + 3 + 1 = 55 = 27 + 28$ . Unirea se face pe frecvențe absolute, adunând numărători; tabelul comun are $55$ de păstăi.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: fișele introduse de două ori

Un elev a introdus într-o aplicație fișele a $32$ de probe de apă, testate cu un indicator care se colorează galben, verde sau albastru. Tabelul obținut este: galben — $14$ , verde — $12$ , albastru — $10$ . Ce s-a întâmplat? Colegul lui observă că fișele P17–P20, toate cu indicatorul verde, apar de două ori. Corectează tabelul.

Rezolvare. Suma este $14 + 12 + 10 = 36$ , cu $36 - 32 = 4$ mai mult decât numărul probelor. O sumă prea mare arată că unele unități au fost numărate de două ori. Cele patru fișe duble sunt toate „verde”, deci frecvența corectă a verdelui este $12 - 4 = 8$ :

Culoarea	galben	verde	albastru	Total
Probe $n_{i}$	$14$	$8$	$10$	$32$

Verificare: $14 + 8 + 10 = 32$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Tariful unei analize de sânge, în lei, a fost notat la mai multe clinici private:

Tariful (lei)	$40$	$45$	$50$	$55$	$60$
Număr de clinici	$3$	$x$	$10$	$4$	$2$

a) Determinați $x$ , știind că numărul clinicilor cu tariful de $45$ de lei este egal cu numărul clinicilor cu tariful mai mare de $50$ de lei. b) Determinați numărul clinicilor din studiu.

Rezolvare. a) Tarifele mai mari de $50$ de lei sunt $55$ și $60$ de lei: $4 + 2 = 6$ clinici. Deci $x = 6$ .

b) Numărul clinicilor este suma frecvențelor:

$3 + 6 + 10 + 4 + 2 = 25.$

Cerința are forma scurtă a unui calcul de bacalaureat și contextul financiar pe care programa de examen 2014 îl indică pentru statistică; modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică, iar pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

La fiecare tabel, scrie întâi toate valorile posibile, apoi frecvențele, apoi verificarea sumei.

1. Numărul de frunze ale unor răsaduri de ardei a fost: $6, 5, 7, 6, 6, 4, 5, 7, 6, 8, 5, 6, 7, 6, 5$ . Construiește tabelul de frecvențe absolute și verifică-l.

2. În fiecare dintre cele $20$ de godeuri ale unei tăvi s-au pus câte $5$ semințe, iar după o săptămână s-au numărat semințele încolțite: $3, 5, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 5, 0, 4, 3, 5, 4, 2, 4, 5, 3, 4, 5$ . Construiește tabelul cu toate valorile posibile, de la $0$ la $5$ .

3. Culoarea precipitatului obținut în $20$ de eprubete a fost: alb, galben, alb, brun, alb, alb, galben, brun, alb, galben, alb, brun, alb, alb, galben, alb, brun, alb, galben, alb. Construiește tabelul și verifică-l.

4. La $16$ pești-guppy dintr-un acvariu s-au notat sexul (M sau F) și coada (P — pătată, U — uniformă): MP, FU, FP, MP, MU, FP, FP, MU, MP, FU, FP, MP, FU, MU, FP, MP. Construiește tabelul cu două caracteristici, cu totaluri, și verifică-l în ambele direcții.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Când unești tabelele a două echipe, valoarea cu frecvența cea mai mare în tabelul comun este valoarea cu frecvența cea mai mare la cel puțin una dintre echipe.”

6. O fișă de teren spune că s-au verificat $25$ de căsuțe de cuibărit dintr-o pădure, iar tabelul puilor găsiți, pe specii de păsări, are suma frecvențelor $31$ . Un coleg spune că tabelul e greșit, fiindcă suma trebuia să fie $25$ . Are dreptate? Explică.

7. Completează tabelul și verifică-l.

	au încolțit	nu au încolțit	Total
semințe tratate	$46$	?	$50$
semințe netratate	?	$13$	?
Total	$83$	?	$100$

8. Două echipe au notat defolierea stejarilor dintr-o pădure, dar au folosit scale inversate. Echipa A (treapta $1$ = defoliere foarte puternică, …, treapta $4$ = fără defoliere) a găsit: treapta $1$ — $3$ arbori, $2$ — $5$ , $3$ — $8$ , $4$ — $6$ . Echipa B (treapta $1$ = fără defoliere, …, treapta $4$ = defoliere foarte puternică) a găsit: $1$ — $3$ arbori, $2$ — $8$ , $3$ — $6$ , $4$ — $2$ . Construiește tabelul comun pe scala echipei B și verifică-l.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Numărul de produse cumpărate de fiecare dintre cei $30$ de clienți ai unei farmacii, într-o oră, este dat în tabel. Determinați $x$ și numărul clienților care au cumpărat un număr impar de produse.

Produse cumpărate	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Număr de clienți	$x$	$8$	$7$	$5$	$4$

10. (Problemă aplicată.) La un centru de colectare au sosit într-o zi $45$ de saci din două cartiere, sortați astfel: plastic — $19$ , hârtie — $12$ , sticlă — $8$ , metal — $4$ , altele — $2$ . Din cartierul A au venit $24$ de saci: plastic $10$ , hârtie $7$ , sticlă $4$ , metal $2$ , iar restul „altele”. a) Construiește tabelul cu două caracteristici, materialul și cartierul, cu totaluri. b) Câți saci „altele” au venit din cartierul B?

11. Atacul unui dăunător pe $28$ de pomi a fost notat pe scala $0$ – $3$ : treapta $0$ — $9$ pomi, $1$ — $12$ , $2$ — $5$ , $3$ — $2$ . Construiește tabelul cu două categorii: „ușor” (treptele $0$ și $1$ ) și „grav” (treptele $2$ și $3$ ). Ce informație se pierde?

12. În lucrarea sa din 1866, Gregor Mendel a raportat, pentru a doua generație a unei încrucișări de mazăre, $315$ semințe netede și galbene, $108$ netede și verzi, $101$ zbârcite și galbene și $32$ zbârcite și verzi. Construiește tabelul cu două caracteristici (forma și culoarea seminței), cu totaluri, și scrie tabelul de frecvențe al culorii.

13. Câte liste diferite de $5$ date au tabelul de frecvențe $3 \to 2$ , $4 \to 3$ ? Folosește combinările.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Prețul unei pâini de același gramaj a fost notat în $24$ de magazine: $5$ lei în $a$ magazine, $6$ lei în $2 a$ magazine, $7$ lei în $9$ magazine și $8$ lei în $3$ magazine. Determinați $a$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Dintre cei $60$ de clienți ai unui magazin, într-o dimineață, $25$ sunt bărbați. Dintre bărbați, $16$ au plătit cu cardul, iar dintre femei, $22$ au plătit cu cardul. Determinați numărul clienților care au plătit numerar.

16. Pe trei parcele de pădure s-au numărat arborii pe specii: parcela 1 — frasin $14$ , paltin $6$ ; parcela 2 — frasin $9$ , ulm $7$ , paltin $4$ ; parcela 3 — ulm $12$ , tei $3$ . Construiește tabelul de frecvențe pentru toate parcelele împreună și verifică-l.

17. Un elev a notat, pentru $58$ de pietre întoarse în grădina școlii și în parc, dacă sub piatră erau melci. Totalurile tabelului lui nu se potrivesc. Găsește celula greșită și corectează tabelul.

	cu melci	fără melci	Total
grădina școlii	$21$	$9$	$30$
parcul	$17$	$11$	$30$
Total	$38$	$20$	$60$

18. (Provocare.) Un set de date are patru valori distincte, iar frecvențele lor absolute, în ordinea valorilor, sunt patru numere naturale consecutive. Setul are $50$ de date. Determină frecvențele.

Răspunsuri și explicații

1. Valorile merg de la $4$ la $8$ : $4 \to 1$ , $5 \to 4$ , $6 \to 6$ , $7 \to 3$ , $8 \to 1$ . Verificare: $1 + 4 + 6 + 3 + 1 = 15$ .

2. $0 \to 1$ , $1 \to 0$ , $2 \to 2$ , $3 \to 4$ , $4 \to 7$ , $5 \to 6$ . Verificare: $1 + 0 + 2 + 4 + 7 + 6 = 20$ . Rândul valorii $1$ rămâne în tabel, cu frecvența $0$ .

3. alb $\to 11$ , galben $\to 5$ , brun $\to 4$ . Verificare: $11 + 5 + 4 = 20$ .

4. Masculi: coadă pătată $5$ , uniformă $3$ , total $8$ . Femele: coadă pătată $5$ , uniformă $3$ , total $8$ . Pe coloane: pătată $5 + 5 = 10$ , uniformă $3 + 3 = 6$ . Verificare: $8 + 8 = 16$ și $10 + 6 = 16$ .

5. Fals. Contraexemplu: echipa A are $4 \to 3$ , $5 \to 2$ , $6 \to 0$ , iar echipa B are $4 \to 0$ , $5 \to 2$ , $6 \to 3$ . Tabelul comun este $4 \to 3$ , $5 \to 4$ , $6 \to 3$ , deci în el cea mai mare frecvență o are valoarea $5$ , deși la fiecare echipă valoarea $5$ are o frecvență mai mică decât altă valoare. Unirea adună frecvențele, iar o valoare de mijloc la ambele echipe poate ajunge prima la sumă.

6. Nu are dreptate. În tabelul pe specii unitatea statistică este puiul găsit, nu căsuța, deci suma trebuie să fie numărul puilor, $31$ . Numărul căsuțelor ar fi suma într-un tabel cu un rând pe căsuță, de exemplu tabelul „câți pui are fiecare căsuță”, unde căsuțele goale au rândul lor, cu valoarea $0$ .

7. Tratate, neîncolțite: $50 - 46 = 4$ . Netratate, încolțite: $83 - 46 = 37$ . Totalul netratatelor: $37 + 13 = 50$ . Totalul neîncolțitelor: $4 + 13 = 17$ . Verificare: $50 + 50 = 100$ și $83 + 17 = 100$ .

8. Treapta $k$ a echipei B corespunde treptei $5 - k$ a echipei A. Pe scala lui B: treapta $1$ (fără defoliere) are $6 + 3 = 9$ arbori, treapta $2$ are $8 + 8 = 16$ , treapta $3$ are $5 + 6 = 11$ , treapta $4$ (foarte puternică) are $3 + 2 = 5$ . Verificare: $9 + 16 + 11 + 5 = 41 = 22 + 19$ , cât arbori au notat împreună cele două echipe.

9. Din $x + 8 + 7 + 5 + 4 = 30$ rezultă $x + 24 = 30$ , deci $x = 6$ . Un număr impar de produse înseamnă $1$ , $3$ sau $5$ : $6 + 7 + 4 = 17$ clienți.

10. a) Cartierul A: „altele” $= 24 - (10 + 7 + 4 + 2) = 1$ . Cartierul B are $45 - 24 = 21$ de saci: plastic $19 - 10 = 9$ , hârtie $12 - 7 = 5$ , sticlă $8 - 4 = 4$ , metal $4 - 2 = 2$ , altele $2 - 1 = 1$ . Verificare pe rândul lui B: $9 + 5 + 4 + 2 + 1 = 21$ ; pe coloane: $19 + 12 + 8 + 4 + 2 = 45 = 24 + 21$ . b) Din cartierul B a venit $1$ sac „altele”.

11. Ușor: $9 + 12 = 21$ de pomi; grav: $5 + 2 = 7$ pomi. Verificare: $21 + 7 = 28$ . Se pierde deosebirea dintre trepte: nu mai știi câți pomi aveau atac sever ( $3$ ) și câți moderat ( $2$ ).

12. Netede: galbene $315$ , verzi $108$ , total $315 + 108 = 423$ . Zbârcite: galbene $101$ , verzi $32$ , total $101 + 32 = 133$ . Culoarea: galbene $315 + 101 = 416$ , verzi $108 + 32 = 140$ . Verificare: $423 + 133 = 556$ și $416 + 140 = 556$ .

13. O listă este determinată de pozițiile pe care stau cei doi de $3$ , alese dintre cele $5$ ; pe celelalte trei poziții stă $4$ . Sunt $C_{5}^{2} = 10$ liste, de la $3, 3, 4, 4, 4$ la $4, 4, 4, 3, 3$ , toate cu același tabel.

14. Din $a + 2 a + 9 + 3 = 24$ rezultă $3 a + 12 = 24$ , deci $3 a = 12$ și $a = 4$ . Verificare: $4 + 8 + 9 + 3 = 24$ .

15. Femeile sunt $60 - 25 = 35$ . Au plătit cu cardul $16 + 22 = 38$ de clienți, deci numerar au plătit $60 - 38 = 22$ de clienți.

16. frasin $14 + 9 = 23$ , paltin $6 + 4 = 10$ , ulm $7 + 12 = 19$ , tei $3$ . Verificare: $23 + 10 + 19 + 3 = 55$ , iar parcelele au $20 + 20 + 15 = 55$ de arbori.

17. Pe coloane: $21 + 17 = 38$ și $9 + 11 = 20$ , corect. Pe rânduri: $21 + 9 = 30$ , corect, dar $17 + 11 = 28$ , nu $30$ . Greșit este totalul parcului: $28$ de pietre. Totalul general devine $30 + 28 = 58 = 38 + 20$ , cât pietre au fost întoarse.

18. Fie frecvențele $m$ , $m + 1$ , $m + 2$ , $m + 3$ . Suma este $4 m + 6 = 50$ , deci $4 m = 44$ și $m = 11$ . Frecvențele sunt $11$ , $12$ , $13$ , $14$ , iar $11 + 12 + 13 + 14 = 50$ .

De reținut

Câte unități statistice au valoarea $v_{i}$ spune frecvența absolută $n_{i}$ ; tabelul de frecvențe absolute pune fiecare valoare alături de frecvența ei.
În tabel se scriu toate valorile posibile dintre cea mai mică și cea mai mare valoare, inclusiv cele cu frecvența $0$ ; la o caracteristică ordonată rândurile urmează scala.
Verificarea obligatorie este $\sum n_{i} = n$ , unde $n$ este numărul unităților statistice ale tabelului; o sumă mai mică arată unități pierdute, una mai mare arată unități numărate de două ori.
Într-un tabel cu două caracteristici, fiecare unitate stă într-o singură celulă, iar totalurile pe rânduri și pe coloane dau amândouă $n$ .
Tabelul păstrează numărătorile, dar pierde ordinea datelor; tabelele a două echipe se unesc adunând frecvențele valoare cu valoare.

Greșeli frecvente

Valorile cu frecvența $0$ lăsate afară. Tabelul care sare de la $4$ la $6$ ascunde faptul că valoarea $5$ era posibilă și nu a apărut; o diagramă făcută din el ar lipi două valori care nu sunt vecine.
Scala ordonată rearanjată după frecvență. La grade de atac sau stadii de dezvoltare, ordinea rândurilor este ordinea scalei; ordonarea după frecvență amestecă treptele și ascunde treptele lipsă.
Tabelul cu două caracteristici verificat într-o singură direcție. Totalul pe rânduri poate ieși corect chiar dacă o celulă a fost trecută în coloana greșită; verifică și totalurile coloanelor.
Categorii inventate după ce ai văzut datele. Dacă deschizi un rând nou pentru fiecare exemplar neobișnuit („galben-verzui”, „aproape violet”), tabelul ajunge să aibă aproape câte un rând pe probă. Categoriile se fixează înainte de numărare, iar cazurile nesigure merg la „neidentificat”.
Rândurile tabelului inversate. Valorile stau în capul tabelului, frecvențele dedesubt. Dacă le schimbi între ele, „ $3$ plante — $6$ cadrate” devine „ $6$ plante — $3$ cadrate”, adică descrierea altei pajiști, deși toate numerele sunt corecte.

Aplică acasă

Cadratul din curte. Fă un pătrat de sfoară de $50$ de centimetri pe $50$ și așază-l în zece locuri dintr-o grădină sau dintr-un parc. Numără de fiecare dată plantele de trifoi (sau de altă specie ușor de recunoscut) și construiește tabelul, cu toate valorile de la cea mai mică la cea mai mare, inclusiv cele care nu apar.
Semințele din amestec. Ia o mână de semințe dintr-o pungă de hrană pentru păsări și sortează-le pe tipuri (floarea-soarelui, mei, grâu, altele). Fă tabelul de frecvențe și verifică suma numărând încă o dată semințele, grămadă cu grămadă.
Frunzele de toamnă. Adună $20$ de frunze căzute și notează pentru fiecare forma (cu lobi sau fără lobi) și culoarea dominantă (verde, galbenă, roșiatică). Construiește tabelul cu două caracteristici și verifică totalurile pe rânduri și pe coloane.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă o listă de măsurători într-un tabel de frecvențe și insistă pe controalele care fac tabelul de încredere: toate valorile posibile, inclusiv cele cu frecvența zero, suma frecvențelor comparată cu numărul corect de unități statistice, verificarea dublă la tabelele cu două caracteristici. Contextele vin din ecologie, genetică și chimie (cadrate de teren, probe de litieră, datele lui Mendel, testul flăcării), iar două cerințe au context financiar, ca în programa de examen 2014.

Întrebări utile la clasă: „Ce este unitatea statistică a tabelului tău, deci ce trebuie să dea suma?”; „Ai scris toate valorile posibile?”; „Verifici și pe coloane?”. Semn că elevul a înțeles: completează un tabel cu două caracteristici pornind de la totaluri și explică de ce o sumă prea mare cere căutarea rândurilor duble. Legătura cu clasa a IX-a este împărțirea unei mulțimi în submulțimi disjuncte care o acoperă, ca în lecția despre mulțimi și intervale. Pasul următor este lecția despre frecvențe relative și procente, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: tabele de frecvențe absolute, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică și probabilități” numește explicit frecvențele absolute și tabelele de frecvențe, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare”, „culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice”, cu nota că aplicațiile sunt din domeniul financiar. De aceea exercițiile cu tabele marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2”, iar cele marcate au context financiar. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică, iar exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între această lecție la M2 și la mate-info (M1)? Tabelul se construiește la fel, dar lecția de la științe ale naturii lucrează pe date de teren și de laborator: cadrate, probe de litieră, eprubete, datele lui Mendel. Adaugă tabelul cu două caracteristici și verificarea lui dublă, ordinea rândurilor la scalele ordonate, unirea tabelelor a două echipe și căutarea fișelor introduse de două ori.

La ce subiect apare tabelul de frecvențe la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 cere clasificarea și prelucrarea datelor statistice, în capitolul de matematici financiare, deci un tabel poate apărea într-o cerință scurtă cu context financiar. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică. Pentru proba MAT_P2 din 2030, un model de subiect nu a fost încă publicat.

De ce scriu în tabel și valorile care nu apar deloc? Pentru că frecvența $0$ este o informație: valoarea era posibilă și nu s-a întâlnit. Fără rândul ei, cine citește tabelul crede că valorile vecine sunt consecutive, iar o diagramă desenată din tabel ar ascunde golul. Scrii, deci, toate valorile dintre cea mai mică și cea mai mare valoare întâlnită.

Cum verific un tabel cu două caracteristici? Aduni fiecare rând și fiecare coloană. Totalurile rândurilor adunate trebuie să dea numărul unităților, iar totalurile coloanelor adunate trebuie să dea același număr. O singură direcție nu ajunge: o unitate trecută în coloana greșită, dar pe rândul bun, lasă corect totalul pe rânduri.

Cum unesc tabelele a două echipe care au măsurat aceeași caracteristică? Scrii toate valorile care apar la cel puțin o echipă, pui frecvența $0$ acolo unde o echipă nu are valoarea respectivă și aduni frecvențele absolute valoare cu valoare. Totalul tabelului comun trebuie să fie suma totalurilor celor două tabele, ceea ce îți dă și verificarea.

În ce ordine scriu rândurile pentru o scală de atac sau pentru stadii de dezvoltare? În ordinea scalei, de la treapta cea mai mică la cea mai mare, cu toate treptele, chiar și cele cu frecvența $0$ . Ordonarea după frecvență amestecă treptele și ascunde faptul că o treaptă intermediară lipsește, ceea ce pentru un fitopatolog poate fi o informație importantă.