Cum calculez derivata a doua a lui 3/x?

Scrii funcția ca putere, 3x⁻¹. Prima derivată este -3x⁻², iar a doua 6x⁻³= 6/x³, pentru x≠ 0. Scrierea cu exponent negativ evită aplicarea de două ori a regulii câtului.

Care e diferența dintre f''(x) și (f'(x))²?

Prima înseamnă derivarea de două ori, a doua înseamnă ridicarea la pătrat a derivatei. Pentru f(x)=x³: f''(x)=6x, iar (f'(x))²=(3x²)²=9x⁴. În x=1 se obțin 6 și 9, numere diferite. Notația cu două accente indică numărul de derivări, nu o putere.

Cum se calculează derivata a doua?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Derivata a doua

Derivezi funcția o dată, simplifici rezultatul, apoi derivezi încă o dată: $f^{''} = (f^{'})^{'}$ . De exemplu, pentru $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 2 x$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x + 2$ , iar $f^{''} (x) = 6 x - 8$ , deci $f^{''} (2) = 4$ . Regulile sunt aceleași ca la prima derivare, aplicate acum lui $f^{'}$ . Proba gradului ajută: la un polinom de gradul $3$ , derivata a doua are gradul $1$ .

Derivata de ordinul al doilea este derivata lui $f^{'}$ , notată $f^{''}$ și citită „f secund". Într-un punct are sens numai dacă $f^{'}$ e definită pe un interval deschis din jurul acelui punct și e ea însăși derivabilă acolo. Nu se confundă nici cu pătratul funcției, nici cu pătratul derivatei: $f^{''} (x)$ și $(f^{'} (x))^{2}$ sunt două numere diferite. Programa profilului nu merge mai departe de acest ordin.

Calculul are doi pași și niciun instrument nou — aceleași reguli, aplicate încă o dată. Pasul dintre ele, simplificarea, nu e o eleganță, ci o economie: o primă derivată adusă la factor comun sau la exponent negativ se derivează mult mai repede decât una lăsată desfăcută. La compuneri, fiecare derivare mai adaugă un factor venit din interior, așa că $e^{k x}$ ajunge la $k^{2} e^{k x}$ , iar $sin (k x)$ la $- k^{2} sin (k x)$ ; un singur $k$ în răspuns arată că al doilea pas a fost făcut în grabă. La un raport, pasul al doilea cere din nou regula câtului întreagă — și numitorul depinde de $x$ .

Semnul lui $f^{''}$ vorbește despre ritm, nu despre valori: pozitiv înseamnă grafic curbat în sus și pantă care crește, negativ grafic curbat în jos. Cele patru combinații posibile cu semnul lui $f^{'}$ se citesc pe rând. Într-un model cinematic, derivata a doua a coordonatei este accelerația; unitatea ei este cea de lungime supra pătratul unității de timp, iar semnul se citește împreună cu semnul vitezei.

De reținut

$f^{''} = (f^{'})^{'}$ : se derivează de două ori
$f^{'}$ se simplifică înainte de a doua derivare
$f^{''} (x)$ nu este $(f^{'} (x))^{2}$

Greșeala tipică

La a doua derivare se derivează din nou funcția $f$ în loc de $f^{'}$ și se obține tot prima derivată; a doua derivare pornește de la rezultatul primei.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = x^{5} - 6 x^{3}$ , derivata de ordinul al doilea este:
- a) $5 x^{4} - 18 x^{2}$
- b) $20 x^{3} - 36 x$
- c) $20 x^{4} - 36 x^{2}$
- d) $60 x^{2} - 36$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $20 x^{3} - 36 x$

$f^{'} (x) = 5 x^{4} - 18 x^{2}$ , iar a doua derivare dă $f^{''} (x) = 20 x^{3} - 36 x$ . Proba gradului confirmă: de la gradul cinci s-a ajuns la gradul trei. Varianta a) se oprește la prima derivată; c) nu scade exponenții a doua oară; d) este derivata de ordinul al treilea.
Pentru $f : R \to R$ , $f (x) = 2^{x}$ , derivata de ordinul al doilea este:
- a) $2^{x} ln 2$
- b) $2^{x}$
- c) $2^{x} (ln 2)^{2}$
- d) $2^{x} ln 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $2^{x} (ln 2)^{2}$

Prima derivare dă $f^{'} (x) = 2^{x} ln 2$ ; a doua tratează $ln 2$ drept constantă și aduce încă un factor $ln 2$ , deci $f^{''} (x) = 2^{x} (ln 2)^{2}$ . Varianta a) se oprește la prima derivată; b) este valabilă doar pentru baza $e$ ; d) dublează factorul în loc să-l ridice la pătrat, pentru că $ln 4 = 2 ln 2$ , nu $(ln 2)^{2}$ .
Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 60 x$ . În punctul $x_{0} = 2$ are loc:
- a) $f^{'} (2) > 0$ și $f^{''} (2) > 0$
- b) $f^{'} (2) < 0$ și $f^{''} (2) < 0$
- c) $f^{'} (2) = 0$ și $f^{''} (2) < 0$
- d) $f^{'} (2) > 0$ și $f^{''} (2) < 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $f^{'} (2) > 0$ și $f^{''} (2) < 0$

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x + 60$ , deci $f^{'} (2) = 24 - 60 + 60 = 24 > 0$ ; $f^{''} (x) = 12 x - 30$ , deci $f^{''} (2) = 24 - 30 = - 6 < 0$ . Valorile cresc, dar tot mai încet: graficul urcă și se curbează în jos. Celelalte variante descriu alte situații: două dintre cele patru combinații de semne posibile și cazul degenerat în care derivata întâi s-ar anula — niciuna potrivită aici.

Întrebări conexe

Cât este derivata a doua a lui $ln x$ ?

Prima derivare dă $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ , iar a doua dă $- x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}$ , pentru $x > 0$ . Derivata a doua este negativă pe tot domeniul, iar graficul logaritmului se curbează în jos.

Cât este derivata a doua a lui $sin x$ ?

Este $- sin x$ : prima derivare dă $cos x$ , iar a doua $- sin x$ . Funcția și derivata ei a doua au semne opuse, relație care apare în fizică la oscilațiile unui resort.

Cum calculez derivata a doua a lui $\frac{3}{x}$ ?

Scrii funcția ca putere, $3 x^{- 1}$ . Prima derivată este $- 3 x^{- 2}$ , iar a doua $6 x^{- 3} = \frac{6}{x ^{3}}$ , pentru $x \neq = 0$ . Scrierea cu exponent negativ evită aplicarea de două ori a regulii câtului.

Cum aflu un parametru dintr-o condiție pe derivata a doua?

Calculezi $f^{''}$ cu parametrul ca număr și impui condiția. Pentru $f (x) = a x^{3} + x^{2}$ : $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 x$ și $f^{''} (x) = 6 a x + 2$ . Din $f^{''} (1) = 14$ rezultă $6 a + 2 = 14$ , deci $a = 2$ . Proba: pentru $a = 2$ , $f^{''} (x) = 12 x + 2$ , iar în $x = 1$ se obține chiar $14$ .

Care e diferența dintre $f^{''} (x)$ și $(f^{'} (x))^{2}$ ?

Prima înseamnă derivarea de două ori, a doua înseamnă ridicarea la pătrat a derivatei. Pentru $f (x) = x^{3}$ : $f^{''} (x) = 6 x$ , iar $(f^{'} (x))^{2} = (3 x^{2})^{2} = 9 x^{4}$ . În $x = 1$ se obțin $6$ și $9$ , numere diferite. Notația cu două accente indică numărul de derivări, nu o putere.

Cât este derivata a doua a lui $e^{2 x}$ ?

Fiecare derivare aduce un factor $2$ din regula lanțului: $(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ , iar $(e^{2 x})^{''} = 4 e^{2 x}$ . Derivata a doua este mereu pozitivă, deci graficul se curbează în sus pe tot domeniul.

Oamenii mai întreabă și: derivata de ordinul doi · cum calculez f secund · a doua derivată a unei funcții · derivata a doua exemplu

Cum se calculează derivata a doua?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât este derivata a doua a lui lnx?

Cât este derivata a doua a lui sinx?

Cum calculez derivata a doua a lui x3​?

Cum aflu un parametru dintr-o condiție pe derivata a doua?

Care e diferența dintre f′′(x) și (f′(x))2?

Cât este derivata a doua a lui e2x?

Continuă cu

Cât este derivata a doua a lui $ln x$ ?

Cât este derivata a doua a lui $sin x$ ?

Cum calculez derivata a doua a lui $\frac{3}{x}$ ?

Care e diferența dintre $f^{''} (x)$ și $(f^{'} (x))^{2}$ ?

Cât este derivata a doua a lui $e^{2 x}$ ?