Ce este regula lui Sarrus?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Determinanți de ordin 2 și 3

Este o schemă de calcul pentru determinanții de ordinul $3$ : se copiază primele două linii sub determinant, se adună cele trei produse de pe diagonalele care coboară spre dreapta și se scad cele trei de pe diagonalele care urcă. Pentru $205142311$ produsele cu plus dau $8 + 5 + 0 = 13$ , cele cu minus $60 + 4 + 0 = 64$ , deci determinantul este $- 51$ . Regula funcționează doar la ordinul $3$ .

Determinantul strânge un tablou pătratic într-un singur număr, care poate fi și negativ. Se definește numai pentru tablouri cu tot atâtea rânduri câte coloane, iar în text se scrie $det A$ ; barele verticale apar doar în clipa în care numerele se afișează pentru calcul, iar bara simplă pusă în jurul literei ar însemna cu totul altceva.

La ordinul al doilea sunt doi termeni: produsul de pe diagonala principală minus cel de pe diagonala secundară. Aproape toate greșelile de aici sunt de semn, iar leacul este mecanic — scrie fiecare produs între paranteze și abia apoi fă scăderea.

La ordinul al treilea termenii sunt șase, trei într-un grup și trei în celălalt, fiindcă un produs adună, din fiecare rând și din fiecare coloană, exact un element. Regula triunghiului și cea a lui Sarrus sunt aceeași socoteală, așezată altfel pe hârtie, deci se folosesc una ca probă pentru cealaltă. Niciuna nu se mută la ordinul al patrulea, unde termenii devin douăzeci și patru.

Capcana. O literă din tablou intră în socoteală întocmai ca un număr, iar valoarea iese sub formă de expresie; cerința „determinantul se anulează" se transformă atunci într-o ecuație obișnuită. Un element egal cu zero anulează numai produsele în care intră, iar un determinant nul nu înseamnă că tabloul ar fi cel nul: el arată o legătură între rânduri.

De reținut

Sarrus: se repetă primele două linii, trei produse cu plus și trei cu minus
Sarrus și triunghiul sunt două așezări ale acelorași șase produse
la ordinul $2$ : $a c b d = a d - b c$

Greșeala tipică

Se aplică regula lui Sarrus unui determinant de ordinul $4$ , copiind trei linii; la ordinul $4$ schema nu mai dă valoarea corectă, iar calculul se face prin dezvoltare după o linie.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $- 6 - 9 45$ .
- a) $- 66$
- b) $6$
- c) $- 6$
- d) $30$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6$

Scriem întâi cele două produse: cel de pe diagonala principală este $(- 6) \cdot 5 = - 30$ , cel de pe diagonala secundară este $4 \cdot (- 9) = - 36$ . Determinantul este diferența lor, $- 30 - (- 36) = - 30 + 36 = 6$ . Varianta a) apare când al doilea produs se scade cu semnul schimbat, adică se adună $- 36$ ; varianta c) răstoarnă rezultatul, iar d) reține numai primul produs, cu semnul pierdut.
Calculează $837118423$ .
- a) $31$
- b) $299$
- c) $- 31$
- d) $- 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 31$

Grupul cu plus adună $8 \cdot 1 \cdot 3 = 24$ , $1 \cdot 2 \cdot 7 = 14$ și $4 \cdot 3 \cdot 8 = 96$ , deci $134$ . Grupul cu minus adună $4 \cdot 1 \cdot 7 = 28$ , $8 \cdot 2 \cdot 8 = 128$ și $1 \cdot 3 \cdot 3 = 9$ , deci $165$ . Diferența este $134 - 165 = - 31$ . Varianta a) schimbă ordinea celor două grupuri, b) le adună în loc să le scadă, iar d) folosește numai cele două diagonale, $24 - 28$ , adică regula de la ordinul al doilea mutată acolo unde nu se aplică.
Determină toate numerele reale $m$ pentru care $m 3 7 m - 4 = 0$ .
- a) ${- 3, 7}$
- b) ${3, - 7}$
- c) ${0, 4}$
- d) ${7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) ${- 3, 7}$

Litera se tratează ca pe un număr: $m (m - 4) - 7 \cdot 3 = m^{2} - 4 m - 21$ . Ecuația $m^{2} - 4 m - 21 = 0$ are discriminantul $16 + 84 = 100$ , deci rădăcinile $7$ și $- 3$ . Varianta b) le schimbă semnele, c) uită termenul liber $- 21$ , iar d) reține numai o rădăcină, deci mulțimea scrisă acolo nu le cuprinde pe toate. Verificarea se face înlocuind: pentru $m = - 3$ tabloul devine $(- 3 3 7 - 7)$ , cu rândurile proporționale.

Întrebări conexe

Cum rezolv o ecuație cu un determinant de ordinul 3?

Calculezi determinantul cu necunoscuta tratată ca număr, apoi rezolvi ecuația obținută. De exemplu, $x 10 1 x 1 01 x = x^{3} - 2 x$ , iar $x^{3} - 2 x = 0$ dă $x (x^{2} - 2) = 0$ , deci $x \in {0, - 2, 2}$ . Verifici măcar o soluție înlocuind-o.

Cât este determinantul unei matrice triunghiulare de ordinul 3?

Este produsul elementelor de pe diagonala principală, fiindcă toate celelalte produse din regula lui Sarrus conțin un zero. De exemplu, $200530 - 1 4 - 2 = 2 \cdot 3 \cdot (- 2) = - 12$ . Numerele de deasupra diagonalei nu contează.

De ce are un determinant de ordinul 3 șase termeni?

Un termen conține exact un număr de pe fiecare linie și exact unul de pe fiecare coloană. Din prima linie alegi una din $3$ coloane, din a doua una din cele $2$ rămase, iar a treia e impusă: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ alegeri. Dacă la calcul numeri mai puțin de șase produse, ai sărit unul.

Cum calculez repede un determinant de ordinul 3 cu multe zerouri?

Scrii doar produsele care nu conțin niciun zero. În $030204015$ singurul produs nenul este $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ , aflat în grupul cu minus, deci determinantul este $- 30$ . Celelalte cinci produse conțin cel puțin un zero.

Cum aflu parametrul pentru care un determinant 3×3 are o valoare dată?

Calculezi determinantul ca expresie în parametru și o egalezi cu valoarea cerută. Pentru $101 a 10 021$ ies termenii $1$ și $2 a$ , deci determinantul este $1 + 2 a$ . Condiția $1 + 2 a = 7$ dă $a = 3$ ; înlocuind, se obține din nou $7$ .

Oamenii mai întreabă și: regula lui Sarrus determinant · cum se aplică regula lui Sarrus · Sarrus ordinul 3 · metoda Sarrus pentru determinanți