Se consideră $$K=\begin{pmatrix}1 & 3 & -3 & 1\\0 & -2 & 0 & 0\\5 & -3 & 4 & 6\\1 & 2 & -3 & -2\end{pmatrix}$$. Care este minorul $$\Delta_{23}$$?

$$\begin{vmatrix}1 & 3 & 1\\5 & -3 & 6\\1 & 2 & -2\end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix}1 & -3 & 1\\0 & 0 & 0\\1 & -3 & -2\end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix}1 & -3 & 1\\5 & 4 & 6\\1 & -3 & -2\end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix}1 & 3 & 1\\0 & -2 & 0\\1 & 2 & -2\end{vmatrix}$$

Pentru $$K=\begin{pmatrix}2 & -3 & 6 & 5\\-1 & 3 & 5 & 6\\4 & 0 & 2 & 5\\0 & -3 & 0 & 0\end{pmatrix}$$, care alegere cere cel mai puțin de calculat?

linia a patra, cu un singur determinant de ordinul $$3$$

prima linie, cu doi determinanți de ordinul $$3$$

linia a treia, cu doi determinanți de ordinul $$3$$

coloana a treia, cu patru determinanți de ordinul $$3$$

Cum se dezvoltă un determinant după o linie?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Determinantul de ordin 4

Alegi o linie, înmulțești fiecare element al ei cu complementul său algebric, $(- 1)^{i + j}$ ori minorul, și aduni rezultatele. Un determinant de ordinul $4$ coboară astfel la determinanți de ordinul $3$ . De exemplu, $3152021004310102 = 3 \cdot 210431102 = 3 \cdot 5 = 15$ , fiindcă prima linie are trei zerouri. Se alege linia cu cele mai multe zerouri.

La ordinul al patrulea schema diagonalelor rămâne în urmă: acolo se adună douăzeci și patru de produse, nu opt. Unealta care o înlocuiește coboară ordinul cu o unitate, iar piesele ei sunt două.

Minorul $Δ_{ij}$ este ce rămâne după ce se șterg rândul $i$ și coloana $j$ ; indicii lui sunt ai elementului din care se pornește, nu ai tabloului rămas. Un control ieftin: niciun număr de pe rândul și de pe coloana tăiate nu are voie să apară înăuntru. Complementul algebric adaugă semnul poziției, $δ_{ij} = (- 1)^{i + j} Δ_{ij}$ , iar semnul se citește dintr-o tablă care alternează pornind cu plus din colțul din stânga sus.

Cu ele, valoarea se obține înmulțind fiecare element al unui rând ales cu complementul lui și adunând produsele; la fel se procedează pe coloane, iar cele opt desfaceri posibile duc la același număr.

De aici iese și singura decizie care contează: alegerea rândului. Costul se poate anunța înainte de a scrie ceva — atâția determinanți de ordinul al treilea câte elemente nenule are rândul ales. Când niciun rând nu are zerouri, se fabrică unul, adunând la un rând un multiplu al altuia.

Capcana. În fiecare termen se scriu trei lucruri: semnul poziției, elementul și minorul lui. Un minor lăsat singur pe foaie înseamnă că jumătate din formulă a fost sărită, oricât de corect ar fi el.

De reținut

complementul algebric: $δ_{ij} = (- 1)^{i + j} Δ_{ij}$
dezvoltarea după linia $i$ : suma produselor $a_{ij} δ_{ij}$
regula lui Sarrus nu se aplică la ordinul $4$

Greșeala tipică

Se uită semnul $(- 1)^{i + j}$ și se adună direct elementele înmulțite cu minorii; pe pozițiile cu suma indicilor impară termenul intră cu minus.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $K = 1051 3 - 2 - 3 2 - 3 04 - 3 106 - 2$ . Care este minorul $Δ_{23}$ ?
- a) $101 - 3 0 - 3 10 - 2$
- b) $151 3 - 3 2 16 - 2$
- c) $151 - 3 4 - 3 16 - 2$
- d) $101 3 - 2 2 10 - 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $151 3 - 3 2 16 - 2$

Indicii spun ce se taie: rândul al doilea și coloana a treia. Rămân rândurile $1$ , $3$ și $4$ , din care se scot elementele de pe coloana a treia, adică tabloul din varianta b). Controlul se face pe poziții: nicio căsuță de pe rândul al doilea și nicio căsuță de pe coloana a treia nu se mai regăsește în minor, chiar dacă o valoare ca $- 3$ ajunge acolo din altă poziție. Varianta a) taie rândul al treilea și coloana a doua, c) taie coloana a doua în loc de a treia, iar d) păstrează coloana tăiată și șterge alta.
Se consideră $K = 5363 0 - 1 - 2 - 2 0 - 1 32 - 1 215$ . Calculează complementul algebric $δ_{32}$ .
- a) $- 54$
- b) $54$
- c) $- 70$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $54$

Se șterg rândul al treilea și a doua coloană, iar minorul rămas este $533 0 - 1 2 - 1 25$ , a cărui valoare este $- 54$ . Poziția $(3, 2)$ are suma indicilor $5$ , adică impară, deci semnul este minus, iar $δ_{32} = - (- 54) = 54$ . Varianta a) oprește calculul la minor și uită semnul poziției; varianta c) dă determinantul întregului tablou; varianta d) ar cere ca minorul să se anuleze, ceea ce nu se întâmplă.
Pentru $K = 2 - 1 40 - 3 30 - 3 65205650$ , care alegere cere cel mai puțin de calculat?
- a) prima linie, cu doi determinanți de ordinul $3$
- b) linia a treia, cu doi determinanți de ordinul $3$
- c) coloana a treia, cu patru determinanți de ordinul $3$
- d) linia a patra, cu un singur determinant de ordinul $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) linia a patra, cu un singur determinant de ordinul $3$

Costul unei desfaceri este dat de numărul elementelor nenule ale rândului sau coloanei alese, fiindcă un zero șterge din sumă un termen întreg. Linia a patra are trei zerouri și un singur element nenul, deci cere un singur determinant de ordinul al treilea. Prima linie are patru elemente nenule, nu două; linia a treia și coloana a treia au câte trei, nu doi și respectiv patru. Zece secunde de numărat zerouri hotărăsc cât durează toată rezolvarea.

Întrebări conexe

Ce este minorul unui element dintr-un determinant?

Minorul $Δ_{ij}$ este determinantul care rămâne după ce ștergi linia $i$ și coloana $j$ . Într-un determinant de ordinul $4$ , fiecare minor are ordinul $3$ . Niciun număr de pe linia și coloana tăiate nu mai apare în minor; așa verifici rapid că ai șters ce trebuie.

Ce semn are complementul algebric de pe o poziție dată?

Semnul este $(- 1)^{i + j}$ : plus când suma indicilor este pară și minus când este impară. Pe poziția $(2, 3)$ suma este $5$ , deci complementul este $- Δ_{23}$ . Semnele alternează ca pe o tablă de șah, începând cu plus în colțul din stânga sus.

Pot dezvolta determinantul după o coloană în loc de o linie?

Da, rezultatul este același, pentru că determinantul transpusei este egal cu determinantul inițial. Alegerea depinde doar de efort: o coloană cu trei zerouri într-un determinant de ordinul $4$ lasă un singur determinant de ordinul $3$ de calculat.

Cum verific o dezvoltare după linie pe un determinant de ordinul 3?

Calculezi același determinant și cu regula lui Sarrus. Pentru $130215042$ , dezvoltarea după prima linie dă $1 \cdot (- 18) - 2 \cdot 6 + 0 = - 30$ , iar Sarrus dă $2 - 32 = - 30$ . Dacă rezultatele diferă, cauți un semn greșit.

Cât este determinantul unei matrice triunghiulare de ordinul 4?

Este produsul celor patru elemente de pe diagonala principală. Dezvoltând de fiecare dată după coloana cu zerouri, rămâne mereu un singur termen. De exemplu, pentru diagonala $2$ , $- 1$ , $3$ , $5$ determinantul este $2 \cdot (- 1) \cdot 3 \cdot 5 = - 30$ , orice ar sta deasupra diagonalei.

Oamenii mai întreabă și: dezvoltarea determinantului după o linie · dezvoltare după o coloană determinant · cum cobori ordinul unui determinant · determinant de ordinul 4 dezvoltare