Diagrame circulare (M2, științe ale naturii)

Aerul pe care îl respiri este format în cea mai mare parte din azot, un sfert din volumul unui sol fertil este apă, iar aproape două treimi din masa corpului omenesc este oxigen. Toate aceste propoziții descriu compoziția unui întreg, iar în științe desenul care arată o compoziție dintr-o singură privire este diagrama circulară: un disc împărțit în sectoare, fiecare cât partea pe care o reprezintă. Lecția aceasta, din programa clasei a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), te învață să calculezi unghiurile sectoarelor, în grade și în radiani, să citești o diagramă circulară înapoi până la date și să o construiești corect cu raportorul. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa numește explicit diagramele circulare. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține reprezentarea grafică a datelor statistice, în capitolul de matematici financiare; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică.

Tot ce folosește lecția este frecvența relativă a fiecărei părți și faptul că un disc întreg are $360^{\circ }$, adică $2\pi$ radiani.

Ce vei învăța

• Vei transforma frecvența relativă a unei categorii în unghiul la centru al sectorului ei, în grade și în radiani.
• Vei ști să mergi înapoi, de la unghiul unui sector la procent și la numărul de date, și să spui de ce ai nevoie de total.
• Vei ști să reprezinți compoziția unui amestec, adică părți exprimate în mase sau volume, nu doar numere de indivizi.
• Vei ști ce faci cu sectoarele atât de mici încât nu se mai văd.
• Vei ști să construiești cu raportorul și sectoarele mai mari decât un semicerc și să folosești ultimul sector ca verificare.
• Vei ști să explici de ce, în diagrama circulară, ariile sectoarelor sunt proporționale cu unghiurile lor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce reprezintă o diagramă circulară?

Manualele de biologie descriu un sol fertil ideal, în procente din volum, astfel: $45\%$ particule minerale, $25\%$ apă, $25\%$ aer și $5\%$ materie organică. Cele patru părți se exclud una pe alta și împreună formează tot volumul solului.

O diagramă circulară este un disc tăiat în sectoare, fiecare categorie a întregului având sectorul ei, iar unghiul la centru al unui sector este proporțional cu partea din întreg a categoriei. Discul întreg corespunde întregului, adică $100\%$, adică $360^{\circ }$.

2. Cum se calculează unghiul unui sector, în grade și în radiani?

Dacă o categorie are frecvența relativă $f_i=\frac{n_i}{n}$, sectorul ei ocupă aceeași fracție din disc:

$${\alpha }_i=f_i\cdot 360^{\circ }=\frac{n_i}{n}\cdot 360^{\circ }.$$

Pentru particulele minerale din sol, $f=0,45$ și $\alpha =0,45\cdot 360^{\circ }=162^{\circ }$. Pentru apă și pentru aer, câte $0,25\cdot 360^{\circ }=90^{\circ }$, iar pentru materia organică $0,05\cdot 360^{\circ }=18^{\circ }$.

În clasa a IX-a ai învățat că un cerc întreg măsoară $2\pi$ radiani. Aceeași regulă, scrisă în radiani, este

$${\alpha }_i=f_i\cdot 2\pi .$$

Sectorul particulelor minerale are deci $0,45\cdot 2\pi =0,9\pi$ radiani. Când lucrezi cu numere de date și totalul $n$ este un divizor al lui $360$, e comod să afli o dată câte grade revin unei singure date, $\frac{360^{\circ }}{n}$, și apoi doar să înmulțești.

3. De unde vine totalul de $360^{\circ }$?

Suma frecvențelor relative ale tuturor categoriilor este $1$, pentru că $n_1+n_2+\cdots +n_k=n$. Atunci

$${\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_k=(f_1+f_2+\cdots +f_k)\cdot 360^{\circ }=1\cdot 360^{\circ }=360^{\circ }.$$

La sol: $162+90+90+18=360$. Dacă unghiurile tale dau altă sumă, greșeala este în tabel, în total sau într-o înmulțire; nu desena nimic până nu iese $360^{\circ }$.

4. Cum afli, dintr-un sector, câte date reprezintă?

Drumul invers are doi pași. Din unghi afli fracția: $f=\frac{\alpha }{360^{\circ }}$. Din fracție afli numărul de date: $n_i=f\cdot n$. Un sector de $90^{\circ }$ dintr-o probă de sol de $800$ cm³ înseamnă $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$ din volum, adică $200$ cm³.

Primul pas nu are nevoie de total; al doilea, da. O diagramă circulară fără totalul scris lângă ea spune ce parte ocupă fiecare categorie, dar nu cât de mare este. Dacă știi însă, pentru o singură categorie, și unghiul, și numărul de date, afli totalul: un sector de $90^{\circ }$ care conține $200$ cm³ arată că proba are $200\cdot 4=800$ cm³, pentru că sectorul este un sfert din disc.

Drumul invers se face cel mai sigur cu fracții exacte. Un unghi dat cu o zecimală provine, de obicei, dintr-o rotunjire; dacă îl împarți la $360$ și înmulțești cu totalul, rezultatul trebuie să fie foarte aproape de un număr întreg, iar acela este numărul de date. Un rezultat departe de orice număr întreg arată că unghiul sau totalul au fost citite greșit.

5. Compoziții: mase, volume, energie

Diagrama circulară nu reprezintă numai numere de persoane sau de exemplare. Orice mărime care se împarte în părți ce se adună la întreg poate fi desenată așa: masa unui aliment pe componente, volumul unui amestec de gaze pe tipuri de gaz, energia consumată de o clădire pe utilizări. Condiția este aceeași: părțile trebuie să se excludă și să acopere tot întregul.

Aceeași substanță poate avea două diagrame diferite, după cum procentele sunt de masă sau de volum. În aerul uscat, de pildă, oxigenul are aproximativ $21\%$ din volum, dar aproximativ $23\%$ din masă, pentru că o moleculă de oxigen este mai grea decât una de azot; sectoarele se schimbă, deși aerul este același. De aceea titlul diagramei spune întotdeauna din ce sunt procentele.

O diagramă circulară se poate face și când părțile nu sunt numere întregi: $2,5$ kg dintr-un total de $12$ kg ocupă $\frac{2,5}{12}\cdot 360^{\circ }=75^{\circ }$. Regula nu se schimbă — fracția din întreg înmulțită cu $360^{\circ }$ —, iar verificarea sumei rămâne obligatorie.

6. Cum desenezi un sector mai mare decât un semicerc?

Raportorul școlar măsoară unghiuri de cel mult $180^{\circ }$, iar un sector mai mare apare ori de câte ori o categorie reprezintă mai mult de jumătate din întreg, cum se întâmplă des la compoziții: azotul în aer, apa într-un fruct, oxigenul în corpul omenesc. Un sector de $250^{\circ }$ nu poate fi măsurat direct, dar poate fi desenat prin complementul lui până la cerc: măsori $360^{\circ }-250^{\circ }=110^{\circ }$, iar sectorul căutat este restul discului. Dacă diagrama are un singur sector mai mare de $180^{\circ }$, e mai simplu să desenezi întâi toate celelalte sectoare: el apare singur, ca parte rămasă.

7. Construcția, cu verificarea făcută de ultimul sector

1. Verifici tabelul și calculezi toate unghiurile; controlezi suma $360^{\circ }$.
2. Desenezi cercul și prima rază, de obicei verticală, spre „ora $12$”.
3. Măsori sectoarele unul după altul, în sensul acelor de ceasornic, fiecare pornind de la raza trasată ultima; de obicei, de la cel mai mare la cel mai mic.
4. Ultimul sector nu se măsoară, se obține: este ce a rămas din disc. Îl măsori totuși la final: dacă unghiul lui diferă de cel calculat cu mai mult de un grad, ai greșit un sector anterior.
5. Scrii în fiecare sector sau într-o legendă numele categoriei și procentul; lângă titlu scrii totalul și unitatea.

De ce contează ordinea pașilor? O eroare de un grad la fiecare dintre cinci sectoare se poate aduna la cinci grade, iar ultimul sector le „înghite” pe toate. Dacă îl măsori la final și găsești diferența, știi că trebuie să refaci desenul înainte să-l colorezi. Într-o aplicație digitală, calculul și desenul le face programul, dar tabelul, totalul și titlul le alegi tot tu.

8. De ce compară ochiul ariile, nu doar unghiurile?

Aria unui sector de cerc cu raza $r$ și unghiul $\alpha$ (în grade) este

$$\mathcal{S}=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot \pi r^2.$$

Toate sectoarele au aceeași rază, deci aria fiecărui sector este proporțională cu unghiul lui, adică tot cu frecvența relativă. De aceea diagrama se poate citi „după felii”: o felie de două ori mai mare ca arie reprezintă o parte de două ori mai mare. Proprietatea se pierde dacă discul este desenat înclinat, în perspectivă, pentru că atunci sectoarele din față par mai mari.

Ochiul compară însă mai greu felii decât lungimi. Două sectoare de $70^{\circ }$ și $76^{\circ }$ par aproape egale, în timp ce două bare cu aceleași valori se deosebesc clar. De aceea alegi discul când întrebarea este „ce parte din întreg ocupă fiecare componentă” și când componentele sunt puține, iar diagrama cu bare când vrei să compari valori apropiate sau să urmărești o mărime de la o lună la alta. Un chestionar la care fiecare persoană poate bifa mai multe variante nu are un întreg de împărțit, deci nu se desenează ca disc.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Apelurile unei echipe Salvamont

Într-o lună, o echipă Salvamont a primit $72$ de apeluri: rătăciri — $30$, accidentări — $20$, epuizare — $13$, alte situații — $9$. Calculați unghiurile sectoarelor și procentul rătăcirilor.

Rezolvare. Verificăm totalul: $30+20+13+9=72$. Unui apel îi revin $\frac{360^{\circ }}{72}=5^{\circ }$, deci

$$30\cdot 5^{\circ }=150^{\circ };20\cdot 5^{\circ }=100^{\circ };13\cdot 5^{\circ }=65^{\circ };9\cdot 5^{\circ }=45^{\circ }.$$

Control: $150+100+65+45=360$. Sectoarele se desenează în această ordine, de la cel mai mare la cel mai mic, pornind de la ora $12$; ultimul, de $45^{\circ }$, rămâne ca rest al discului și îl măsori doar ca verificare. Rătăcirile reprezintă $\frac{30}{72}=\frac{5}{12}\approx 41,7\%$ din apeluri; sectorul lor, de $150^{\circ }$, ocupă ceva mai puțin decât jumătate din disc, cum era de așteptat.

Exemplul 2 — Citește diagrama: păsările inelate

O diagramă circulară reprezintă cele $480$ de păsări inelate într-un an la o stație ornitologică. Sectorul pițigoilor are $135^{\circ }$, iar cel al vrăbiilor $96^{\circ }$. Câte păsări din fiecare grupă au fost inelate?

Rezolvare. Pițigoii ocupă $\frac{135}{360}=\frac{3}{8}$ din disc, deci $\frac{3}{8}\cdot 480=180$ de păsări. Vrăbiile ocupă $\frac{96}{360}=\frac{4}{15}$ din disc, deci $\frac{4}{15}\cdot 480=128$ de păsări.

Observă că nu ai avut nevoie de celelalte sectoare: fiecare sector se citește singur, cu totalul. Verificare: $\frac{180}{480}\cdot 360^{\circ }=135^{\circ }$ și $\frac{128}{480}\cdot 360^{\circ }=96^{\circ }$. Celelalte specii au împreună $480-180-128=172$ de păsări și un unghi de $360^{\circ }-135^{\circ }-96^{\circ }=129^{\circ }$.

Exemplul 3 — Compoziția aerului: sectoarele care nu se văd

În procente de volum, aerul uscat conține azot $78,08\%$, oxigen $20,95\%$, argon $0,93\%$ și alte gaze $0,04\%$ (valori de manual, printre ele dioxidul de carbon). Calculați unghiurile, cu o zecimală, și decideți cum se desenează diagrama.

Rezolvare. Fiecare procent valorează $\frac{360^{\circ }}{100}=3,6^{\circ }$:

$$78,08\cdot 3,6^{\circ }\approx 281,1^{\circ };20,95\cdot 3,6^{\circ }\approx 75,4^{\circ };0,93\cdot 3,6^{\circ }\approx 3,3^{\circ };0,04\cdot 3,6^{\circ }\approx 0,1^{\circ }.$$

Procentele au suma $100\%$, deci unghiurile exacte au suma $360^{\circ }$. Sectorul azotului depășește semicercul; cu raportorul se măsoară $360^{\circ }-281,1^{\circ }=78,9^{\circ }$, sau se desenează întâi celelalte sectoare. Un sector de $0,1^{\circ }$ este mai subțire decât linia creionului, iar unul de $3,3^{\circ }$ abia se vede: argonul și celelalte gaze se grupează într-un sector „argon și alte gaze” de $0,97\cdot 3,6^{\circ }\approx 3,5^{\circ }$, iar compoziția lor se dă într-o notă sub diagramă. Gruparea nu schimbă nimic din date: suma rămâne $360^{\circ }$, doar desenul devine lizibil. În radiani, sectorul azotului are $0,7808\cdot 2\pi \approx 1,56\pi$, iar cel al oxigenului $0,2095\cdot 2\pi \approx 0,42\pi$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala: totalul fără „alte familii”

Ierbarul unei școli are $40$ de exemplare, clasate după familia botanică: rozacee — $15$, compozite — $11$, leguminoase — $8$, alte familii — $6$. Un elev a calculat unghiurile pentru primele trei familii împărțind la $15+11+8=34$ și a obținut aproximativ $158,8^{\circ }$, $116,5^{\circ }$ și $84,7^{\circ }$, cu suma $360^{\circ }$. Apoi a vrut să adauge sectorul „alte familii”, de $63,5^{\circ }$, și nu i-a mai ajuns loc pe disc. Unde a greșit?

Rezolvare. Categoria „alte familii” face parte din întreg, deci totalul este $n=40$, nu $34$. Suma $360^{\circ }$ a primelor trei unghiuri era tocmai semnul greșelii: ea spunea că cele trei categorii ocupă tot discul, deși lipsea o categorie. Adunate, cele patru unghiuri ale elevului ar fi dat aproximativ $423,5^{\circ }$, mai mult decât un cerc.

Corect, unui exemplar îi revin $\frac{360^{\circ }}{40}=9^{\circ }$:

$$15\cdot 9^{\circ }=135^{\circ };11\cdot 9^{\circ }=99^{\circ };8\cdot 9^{\circ }=72^{\circ };6\cdot 9^{\circ }=54^{\circ }.$$

Control: $135+99+72+54=360$.

Exemplul 5 — Elementele corpului uman, în grade, radiani și kilograme

În procente de masă, corpul uman conține aproximativ oxigen $65\%$, carbon $18\%$, hidrogen $10\%$, azot $3\%$ și alte elemente $4\%$ (valori de manual). Calculați unghiul sectorului carbonului în grade și în radiani, masa de carbon dintr-un corp de $70$ kg și spuneți cum se desenează sectorul oxigenului.

Rezolvare. Carbonul: $\alpha =0,18\cdot 360^{\circ }=64,8^{\circ }$, adică $0,18\cdot 2\pi =0,36\pi$ radiani. Masa de carbon: $0,18\cdot 70=12,6$ kg.

Hidrogenul are $0,1\cdot 360^{\circ }=36^{\circ }$, azotul $0,03\cdot 360^{\circ }=10,8^{\circ }$, iar celelalte elemente $0,04\cdot 360^{\circ }=14,4^{\circ }$. Oxigenul are $0,65\cdot 360^{\circ }=234^{\circ }$, mai mult decât un semicerc. Cu raportorul se măsoară complementul, $360^{\circ }-234^{\circ }=126^{\circ }$, sau se desenează întâi celelalte patru sectoare: $64,8^{\circ }+36^{\circ }+10,8^{\circ }+14,4^{\circ }=126^{\circ }$, iar restul discului este sectorul oxigenului. Titlul diagramei trebuie să precizeze „procente de masă”.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

O diagramă circulară reprezintă cele $90$ de exemplare de pești capturate la o pescuire de control. Sectorul corespunzător speciilor invazive are măsura de $132^{\circ }$. Determinați numărul exemplarelor din speciile invazive.

Rezolvare. Sectorul reprezintă fracția

$$\frac{132^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{11}{30}$$

din disc, deci numărul exemplarelor este

$$\frac{11}{30}\cdot 90=33.$$

Verificare: unei date îi revin $\frac{360^{\circ }}{90}=4^{\circ }$, iar $33\cdot 4^{\circ }=132^{\circ }$. Speciile invazive reprezintă deci puțin peste o treime din captură, cum arată și sectorul, puțin mai mare decât o treime de disc ($120^{\circ }$).

Să exersăm

Calculează unghiurile din fracția exactă și controlează suma $360^{\circ }$ înainte de orice desen.

1. Dintre cele $40$ de izvoare minerale dintr-o zonă, $9$ sunt carbogazoase. Ce unghi are sectorul lor într-o diagramă circulară?

2. Într-o probă de pe litoral s-au găsit $60$ de moluște: melci — $23$, midii — $17$, scoici — $11$, stridii — $6$, alte specii — $3$. Calculează toate unghiurile și verifică suma.

3. Ce unghi, în grade și în radiani, are un sector care reprezintă $12\%$ din date? Dar unul care reprezintă $55\%$?

4. Un sector are $117^{\circ }$. Ce procent din întreg reprezintă?

5. Într-o diagramă care reprezintă $150$ de loturi de semințe, un sector are $252^{\circ }$. Câte loturi reprezintă sectorul?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o diagramă circulară a $84$ de date, un sector de $90^{\circ }$ reprezintă cu $7$ date mai mult decât un sector de $60^{\circ }$.”

7. Într-o diagramă cu patru sectoare, primul reprezintă $35\%$, al doilea are $100,8^{\circ }$, iar al treilea reprezintă $20\%$. Ce unghi are al patrulea sector și ce procent reprezintă?

8. (Problemă aplicată.) O fermă de $240$ ha are culturi de grâu pe $106$ ha, porumb pe $62$ ha, floarea-soarelui pe $46$ ha și lucernă pe $26$ ha. Calculează unghiurile sectoarelor. Ce procent din fermă ocupă împreună floarea-soarelui și lucerna și cât de mare este sectorul lor comun?

9. Cele $48$ de fosile dintr-o colecție de școală sunt: amoniți — $19$, bivalve — $15$, trilobiți — $9$, neidentificate — $5$. Calculează unghiurile; sunt ele numere întregi?

10. Un sector are $0,4\pi$ radiani. Ce procent reprezintă? Dacă diagrama reprezintă $35$ de date, câte date sunt în sector?

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) O diagramă circulară reprezintă încasările de $4800$ de lei ale unei cofetării într-o zi. Prăjiturile au adus $800$ de lei, iar sectorul lor este cu $48^{\circ }$ mai mic decât sectorul torturilor. Determinați suma încasată din torturi.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Diagrama circulară a bugetului anual al unui club de robotică are trei sectoare: echipamente — $170^{\circ }$, deplasări — $110^{\circ }$, iar restul, $1800$ de lei, sunt taxele de înscriere la concursuri. Determinați bugetul anual al clubului.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Măsurile celor trei sectoare ale unei diagrame circulare sunt direct proporționale cu numerele $2$, $3$ și $7$. Determinați măsura celui mai mare sector.

14. Cele $120$ de insecte polenizatoare observate într-o oră pe o pajiște sunt: albine — $57$, bondari — $36$, sirfide — $17$, fluturi — $6$, alte insecte — $4$. Calculează unghiurile. Ce faci dacă vrei ca niciun sector să nu fie mai mic de $20^{\circ }$?

15. Un elev a desenat diagrama pentru $80$ de răspunsuri — $29$, $27$, $14$, $10$ — înmulțind fiecare număr cu $3,6^{\circ }$. Ce sumă au unghiurile lui? Care sunt unghiurile corecte?

16. Pentru un afiș, un elev vrea o diagramă în semicerc: întregul corespunde unui unghi de $180^{\circ }$. Cele $40$ de răspunsuri sunt $17$, $13$ și $10$. Ce unghiuri au sectoarele?

17. Într-o diagramă a celor $108$ specii de plante dintr-o grădină, sectorul speciilor lemnoase are $120^{\circ }$. Un sfert dintre speciile lemnoase sunt arbuști. Ce unghi ar avea sectorul arbuștilor în aceeași diagramă?

18. (Provocare.) Unghiurile celor patru sectoare ale unei diagrame circulare formează o progresie aritmetică, iar cel mai mic unghi are $45^{\circ }$. Află toate unghiurile. Dacă diagrama reprezintă $96$ de date, câte date are fiecare sector?

Răspunsuri și explicații

1. $\alpha =\frac{9}{40}\cdot 360^{\circ }=81^{\circ }$.

2. Unei moluște îi revin $\frac{360^{\circ }}{60}=6^{\circ }$: $23\cdot 6^{\circ }=138^{\circ }$, $17\cdot 6^{\circ }=102^{\circ }$, $11\cdot 6^{\circ }=66^{\circ }$, $6\cdot 6^{\circ }=36^{\circ }$, $3\cdot 6^{\circ }=18^{\circ }$. Suma: $138+102+66+36+18=360$.

3. $12\%$: $0,12\cdot 360^{\circ }=43,2^{\circ }$, adică $0,12\cdot 2\pi =0,24\pi$ radiani. $55\%$: $0,55\cdot 360^{\circ }=198^{\circ }$, adică $1,1\pi$ radiani — un sector mai mare decât un semicerc.

4. $\frac{117}{360}=0,325=32,5\%$. Control: $32,5\cdot 3,6^{\circ }=117^{\circ }$.

5. $\frac{252}{360}=\frac{7}{10}$, deci $\frac{7}{10}\cdot 150=105$ loturi.

6. Adevărat. Cu totalul $84$, unui grad îi corespunde $\frac{84}{360}$ dintr-o dată. Unui sector de $90^{\circ }$ îi corespund $\frac{90}{360}\cdot 84=21$ de date, iar unuia de $60^{\circ }$, $\frac{60}{360}\cdot 84=14$ date; diferența este $21-14=7$.

7. Trecem totul în grade. Primul sector are $0,35\cdot 360^{\circ }=126^{\circ }$, al treilea $0,2\cdot 360^{\circ }=72^{\circ }$. Al patrulea: $360^{\circ }-126^{\circ }-100,8^{\circ }-72^{\circ }=61,2^{\circ }$, adică $\frac{61,2}{360}=17\%$.

8. Unui hectar îi revin $\frac{360^{\circ }}{240}=1,5^{\circ }$: grâu $106\cdot 1,5^{\circ }=159^{\circ }$, porumb $62\cdot 1,5^{\circ }=93^{\circ }$, floarea-soarelui $46\cdot 1,5^{\circ }=69^{\circ }$, lucernă $26\cdot 1,5^{\circ }=39^{\circ }$; suma este $360^{\circ }$. Floarea-soarelui și lucerna ocupă $46+26=72$ ha, adică $\frac{72}{240}=30\%$, iar sectorul lor comun are $69^{\circ }+39^{\circ }=108^{\circ }$.

9. Unei fosile îi revin $\frac{360^{\circ }}{48}=7,5^{\circ }$: $19\cdot 7,5^{\circ }=142,5^{\circ }$, $15\cdot 7,5^{\circ }=112,5^{\circ }$, $9\cdot 7,5^{\circ }=67,5^{\circ }$, $5\cdot 7,5^{\circ }=37,5^{\circ }$. Nu sunt întregi, dar sunt exacte; suma lor este $360^{\circ }$.

10. $\frac{0,4\pi }{2\pi }=0,2=20\%$. În sector sunt $0,2\cdot 35=7$ date.

11. Prăjiturile reprezintă $\frac{800}{4800}=\frac{1}{6}$ din încasări, deci sectorul lor are $\frac{1}{6}\cdot 360^{\circ }=60^{\circ }$, iar cel al torturilor $60^{\circ }+48^{\circ }=108^{\circ }$. Torturile au adus $\frac{108}{360}\cdot 4800=1440$ de lei.

12. Sectorul taxelor are $360^{\circ }-170^{\circ }-110^{\circ }=80^{\circ }$, adică $\frac{80}{360}=\frac{2}{9}$ din disc. Cei $1800$ de lei sunt $\frac{2}{9}$ din buget, deci bugetul este $1800\cdot \frac{9}{2}=8100$ de lei.

13. Sectoarele au $2k$, $3k$ și $7k$ grade, cu $2k+3k+7k=12k=360$, deci $k=30$. Cel mai mare sector are $7\cdot 30^{\circ }=210^{\circ }$, mai mult decât un semicerc; control: $60+90+210=360$.

14. Unei insecte îi revin $\frac{360^{\circ }}{120}=3^{\circ }$: $171^{\circ }$, $108^{\circ }$, $51^{\circ }$, $18^{\circ }$, $12^{\circ }$; suma este $360^{\circ }$. Fluturii ($18^{\circ }$) și „alte insecte” ($12^{\circ }$) au sectoare sub $20^{\circ }$; le grupezi într-un sector comun de $18^{\circ }+12^{\circ }=30^{\circ }$, cu compoziția scrisă într-o notă.

15. Suma unghiurilor elevului: $(29+27+14+10)\cdot 3,6^{\circ }=80\cdot 3,6^{\circ }=288^{\circ }$, nu $360^{\circ }$. Factorul $3,6^{\circ }$ se aplică procentelor, nu numerelor de răspunsuri, și ar fi fost corect numai dacă totalul era $100$; aici unui răspuns îi revin $\frac{360^{\circ }}{80}=4,5^{\circ }$, deci unghiurile corecte sunt $130,5^{\circ }$, $121,5^{\circ }$, $63^{\circ }$ și $45^{\circ }$.

16. Unui răspuns îi revin $\frac{180^{\circ }}{40}=4,5^{\circ }$: $17\cdot 4,5^{\circ }=76,5^{\circ }$, $13\cdot 4,5^{\circ }=58,5^{\circ }$, $10\cdot 4,5^{\circ }=45^{\circ }$; suma este $180^{\circ }$.

17. Speciile lemnoase sunt $\frac{120}{360}\cdot 108=36$, dintre care $\frac{36}{4}=9$ arbuști. Sectorul arbuștilor: $\frac{9}{108}\cdot 360^{\circ }=30^{\circ }$, adică un sfert din sectorul speciilor lemnoase. Se putea ajunge direct: o parte dintr-o categorie ocupă aceeași parte din sectorul ei, iar $\frac{120^{\circ }}{4}=30^{\circ }$.

18. Unghiurile sunt $45^{\circ }$, $45^{\circ }+r$, $45^{\circ }+2r$, $45^{\circ }+3r$, cu suma $180^{\circ }+6r=360^{\circ }$, deci $r=30^{\circ }$: unghiurile sunt $45^{\circ }$, $75^{\circ }$, $105^{\circ }$ și $135^{\circ }$. Unei date îi revin $\frac{360^{\circ }}{96}=3,75^{\circ }$, deci sectoarele au $12$, $20$, $28$ și $36$ de date; control: $12+20+28+36=96$.

De reținut

• Unghiul sectorului unei categorii cu frecvența relativă $f_i$ este ${\alpha }_i=f_i\cdot 360^{\circ }$, adică $f_i\cdot 2\pi$ radiani; suma tuturor unghiurilor este $360^{\circ }$, pentru că suma frecvențelor relative este $1$.
• Din unghiul unui sector afli fracția $\frac{\alpha }{360^{\circ }}$ fără alt ajutor; ca să afli numărul de date sau masa, ai nevoie de total.
• O diagramă circulară reprezintă orice întreg împărțit în părți care se exclud: persoane, exemplare, dar și mase sau volume; titlul spune din ce sunt procentele.
• Un sector mai mare de $180^{\circ }$ se construiește prin complementul lui până la $360^{\circ }$, iar ultimul sector desenat servește drept verificare a tuturor celorlalte.
• Aria unui sector este proporțională cu unghiul lui, deci ochiul poate compara felii; sectoarele foarte mici se grupează, cu o notă care le explică.

Greșeli frecvente

• Discul împărțit după numărul de categorii. Patru categorii nu înseamnă patru sferturi. Unghiul depinde de frecvența fiecărei categorii, nu de câte categorii sunt; sectoare egale apar doar când și frecvențele sunt egale.
• Unghiul citit ca procent. Un sector de $40^{\circ }$ nu reprezintă $40\%$, ci $\frac{40}{360}=\frac{1}{9}\approx 11,1\%$ din date. Împarte la $360$, nu la $100$.
• Sectorul mare desenat ca un unghi mai mic de $180^{\circ }$. Cu raportorul pus o singură dată, un sector de $234^{\circ }$ iese adesea desenat ca $126^{\circ }$. Măsoară complementul și verifică dacă sectorul acoperă mai mult de jumătate din disc.
• Radianii scriși fără $\pi$. Un sector de $0,8\pi$ radiani nu are $0,8$ radiani; primul înseamnă $144^{\circ }$, al doilea aproximativ $46^{\circ }$. Păstrează $\pi$ în scriere până la sfârșit.
• Totalul calculat fără categoria „altele”. Dacă o categorie lipsește din total, celelalte ocupă deja tot discul. Totalul cuprinde toate categoriile, inclusiv pe cele adunate sub „altele”.

Aplică acasă

1. Eticheta unui aliment. Alege un aliment ambalat și citește, pe eticheta nutrițională, câte grame de glucide, proteine, grăsimi și fibre are la $100$ g. Diferența până la $100$ g trece-o la „apă și altele”. Calculează unghiurile și desenează diagrama circulară, cu titlul „compoziție în procente de masă”.

2. Harta parcului. Pe o hartă a unui parc din apropiere, estimează ce parte din suprafață ocupă iarba, aleile, luciul de apă și construcțiile, numărând pătrățelele unei grile desenate peste hartă. Transformă estimările în unghiuri și desenează diagrama. Pătrățelele tăiate de o margine le numeri pe jumătate; totalul lor este întregul parcului.

3. Disc de hârtie, fără raportor. Decupează un cerc din hârtie și îndoaie-l de trei ori, ca să obții opt sectoare egale, de câte $45^{\circ }$. Găsește date din viața ta care se împart în multipli de $12,5\%$ și reprezintă-le colorând sectoare întregi.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă diagrama circulară de două lucruri deja cunoscute de elev: frecvența relativă și măsura unghiului, în grade și în radiani. Calculul este scurt; dificultatea reală este să știi din ce întreg provin procentele și să nu pierzi nicio categorie din total. Accentul cade pe compoziții, cum se întâmplă în științe — aerul, solul, corpul uman —, pe drumul invers de la unghi la date și pe construcția cu raportorul a sectoarelor mai mari decât un semicerc. Programa clasei a X-a cere explicit reprezentarea datelor în diagrame circulare, în legătură cu proiectele de tip sondaj.

Întrebări bune de control: „Din ce sunt procentele: din număr, din masă sau din volum?”; „Poți spune câte date sunt în sector fără total?”; „Cum măsori cu raportorul un sector de $250^{\circ }$?”. Semn că elevul a înțeles: calculează suma unghiurilor înainte de desen și folosește ultimul sector ca verificare. Lecția vine după diagramele cu bare și se continuă cu gruparea datelor pe clase și histograma; frecvența relativă este definită în lecția despre frecvențe relative și procente, iar radianul în lecția de clasa a IX-a despre măsura arcului în grade și radiani. Unitatea se verifică în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: diagrame circulare, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică matematică” numește diagramele circulare printre reprezentările grafice ale seturilor de date, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare”, „reprezentarea grafică a datelor statistice”, cu nota că aplicațiile sunt din domeniul financiar. De aceea exercițiile cu unghiul unui sector marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2”; două au context financiar, al treilea este fără context, iar exemplul de tip bacalaureat păstrează un context de teren (o captură de pești). Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între lecția de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Formula unghiului este aceeași. La științe ale naturii lecția lucrează cu compoziții — aerul, solul, corpul uman —, scrie unghiul și în radiani, arată cum se desenează un sector mai mare decât un semicerc și ce faci cu sectoarele prea mici ca să se vadă, adică situațiile care apar în rapoartele științifice.

La ce subiect apar diagramele circulare la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 cere reprezentarea grafică a datelor statistice, în capitolul de matematici financiare, deci o cerință de tipul „determinați măsura unghiului sectorului” poate avea context financiar. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică. Pentru proba MAT_P2 din 2030, tema este în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, fără model de subiect publicat.

Cum scriu unghiul unui sector în radiani? Înmulțești frecvența relativă cu $2\pi$, măsura cercului întreg în radiani: $\alpha =f\cdot 2\pi$. Un sector care reprezintă $15\%$ are $0,3\pi$ radiani. Păstrează $\pi$ în scriere până la sfârșit; trecerea în grade se face cu relația dintre $\pi$ radiani și $180^{\circ }$, învățată în clasa a IX-a, iar suma tuturor sectoarelor trebuie să dea $2\pi$.

Cum măsor cu raportorul un sector mai mare de 180 de grade? Raportorul școlar măsoară cel mult $180^{\circ }$, deci măsori complementul până la cerc, $360^{\circ }-\alpha$, pe partea cealaltă a razei. O cale și mai sigură este să desenezi întâi toate sectoarele mici; sectorul mare rămâne singur, ca rest al discului, și îl verifici măsurându-i complementul.

Pot face o diagramă circulară pentru mase sau volume? Da, dacă părțile se exclud și împreună formează întregul: masa unui aliment pe componente, volumul unui gaz pe tipuri de molecule, suprafața unei ferme pe culturi. Titlul trebuie să spună din ce sunt procentele, pentru că aceeași substanță are altă diagramă în procente de masă decât în procente de volum.

De ce aria unui sector este proporțională cu unghiul lui? Aria sectorului de rază $r$ și unghi $\alpha$ este fracția $\frac{\alpha }{360^{\circ }}$ din aria discului, $\pi r^2$. Toate sectoarele unei diagrame au aceeași rază, deci aria fiecăruia este proporțională cu unghiul, adică cu frecvența relativă. Proprietatea se pierde la discurile desenate în perspectivă, unde feliile apropiate de privitor apar mărite.