Diagrame circulare

Un buget familial de $3600$ de lei pe lună poate fi scris ca listă: chirie $1200$, mâncare $900$, alte cheltuieli $750$, utilități $450$, transport $300$. Poate fi desenat și ca diagramă cu bare, iar barele îți vor arăta imediat că chiria e cea mai mare cheltuială. Dar dacă întrebarea nu e „care e cea mai mare?", ci „cât din venit înghite chiria?", niciuna dintre cele două forme nu răspunde direct. Pentru întrebarea asta există un desen anume: un disc împărțit în felii, în care discul întreg reprezintă tot, iar fiecare felie, partea ei.

Diagrama circulară — numită și diagramă de structură, sau, mai popular, „diagramă cu sectoare" — este singura reprezentare care arată dintr-o privire compoziția unui întreg. Ea are un preț: pentru ca desenul să fie corect, fiecare categorie trebuie să primească un sector cu un unghi la centru calculat, nu estimat din ochi. Formula are o singură linie și se sprijină pe tot ce am făcut în lecțiile anterioare: frecvența relativă. Iar verificarea ei este la fel de simplă și la fel de obligatorie ca cea de la tabelele de frecvențe: suma tuturor unghiurilor trebuie să fie exact $360^{\circ }$.

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi unghiul la centru al fiecărui sector, cu formula ${\alpha }_i=f_i\cdot 360^{\circ }$.
• Vei ști să treci direct de la procent la unghi și înapoi, folosind că $1\%$ înseamnă $3,6^{\circ }$.
• Vei ști să construiești o diagramă circulară cu raportorul, pas cu pas, și să o etichetezi corect.
• Vei ști să aplici verificarea $\sum {\alpha }_i=360^{\circ }$ și să înțelegi de ce funcționează întotdeauna.
• Vei ști să citești o diagramă circulară: din unghi sau din procent, să afli numărul de unități statistice.
• Vei ști când diagrama circulară e potrivită și când trebuie înlocuită cu o diagramă cu bare.

Hai să descoperim împreună

1. Ideea: discul întreg înseamnă tot

O diagramă circulară este un disc împărțit în sectoare de cerc, câte unul pentru fiecare categorie. Convenția care dă sens desenului este:

$$\text{discul ıˆntreg}⟷\text{tot setul de date}⟷100\%⟷360^{\circ }.$$

De aici rezultă imediat cum se împarte: dacă o categorie reprezintă o fracție $f_i$ din întreg, atunci sectorul ei trebuie să ocupe aceeași fracție din disc. Cum discul are $360^{\circ }$ la centru, unghiul sectorului este

$$\boxed{{\alpha }_i=f_i\cdot 360^{\circ }=\frac{n_i}{n}\cdot 360^{\circ }}$$

Aria sectorului este și ea proporțională cu $f_i$, pentru că sectoarele au aceeași rază; deci ochiul poate compara fie unghiurile, fie „feliile", și obține același răspuns.

Dacă pornești de la procente în loc de frecvențe, relația se simplifică într-un număr ușor de ținut minte:

$${\alpha }_i=\frac{p_i}{100}\cdot 360^{\circ }=p_i\cdot 3,6^{\circ }.$$

Cu alte cuvinte, fiecare procent valorează $3,6^{\circ }$. Un sfert din date ($25\%$) înseamnă $25\cdot 3,6^{\circ }=90^{\circ }$, adică exact un sfert de disc — ceea ce confirmă formula.

2. Un exemplu complet

Am întrebat toți cei $200$ de elevi ai unei școli cum vin dimineața. Calculăm, în același tabel, frecvențele relative, procentele și unghiurile:

Detaliem primul rând, ca să se vadă calculul:

$${\alpha }_1=\frac{70}{200}\cdot 360^{\circ }=\frac{7}{20}\cdot 360^{\circ }=7\cdot 18^{\circ }=126^{\circ }.$$

Verificare: $126+108+72+36+18=360$, deci $\sum {\alpha }_i=360^{\circ }$ ✓.

3. De ce suma unghiurilor este întotdeauna 360 de grade

Nu e o coincidență a exemplului, ci consecința directă a proprietății $\sum f_i=1$, demonstrată în lecția Frecvențe relative și procente:

$$\sum _{i=1}^k{\alpha }_i=\sum _{i=1}^k{f}_i\cdot 360^{\circ }=360^{\circ }\sum _{i=1}^k{f}_i=360^{\circ }\cdot 1=360^{\circ }.$$

Deci cele trei verificări din capitol — $\sum n_i=n$, $\sum f_i=1$ și $\sum {\alpha }_i=360^{\circ }$ — sunt una și aceeași verificare, scrisă în trei limbaje. Dacă unghiurile tale nu însumează $360^{\circ }$, greșeala e ori în tabelul de frecvențe, ori într-o înmulțire.

4. Construcția cu raportorul, pas cu pas

1. Verifică tabelul de frecvențe: $\sum n_i=n$.
2. Calculează unghiurile cu ${\alpha }_i=\frac{n_i}{n}\cdot 360^{\circ }$, lucrând cu fracții, nu cu procente rotunjite.
3. Verifică suma unghiurilor: trebuie să fie $360^{\circ }$. Nu desena nimic până nu iese.
4. Trasează cercul și o rază de referință (de obicei cea verticală, spre „ora $12$").
5. Măsoară primul unghi cu raportorul, pornind de la raza de referință, și trasează a doua rază. Ai obținut primul sector.
6. Continuă din raza nou trasată, nu din cea inițială: fiecare unghi se măsoară față de latura precedentă. Aceasta e greșeala clasică la construcție.
7. Colorează și etichetează fiecare sector cu numele categoriei și cu procentul; adaugă titlul diagramei și, dacă sectoarele sunt înguste, o legendă în loc de etichete înghesuite.

Sfat de ordonare: sectoarele se desenează, de obicei, în ordine descrescătoare a mărimii, pornind de la ora $12$ și mergând în sensul acelor de ceasornic. Așa, ochiul compară ușor primele două felii, care sunt și cele mai importante.

5. Când unghiurile nu sunt numere întregi

Până acum toate unghiurile au ieșit rotunde, pentru că $200$ și $360$ se „înțeleg" bine. Nu e mereu așa. Într-un sondaj cu $35$ de respondenți despre satisfacția față de o cantină:

Suma valorilor exacte este

$$\frac{864+648+576+432}{7}=\frac{2520}{7}=360,$$

deci exact $360^{\circ }$ ✓. Suma celor rotunjite este $123,4+92,6+82,3+61,7=360,0$, adică tot $360^{\circ }$ — aici rotunjirile s-au compensat. Nu se întâmplă întotdeauna: la fel ca la procente, suma valorilor rotunjite poate ieși $359,9^{\circ }$ sau $360,1^{\circ }$.

Regula: unghiurile se calculează din fracția exactă, nu din procentul deja rotunjit, iar verificarea se face pe valorile exacte. La desen, o diferență de o zecime de grad e oricum invizibilă — raportorul școlar măsoară cu precizie de un grad.

6. Când e potrivită și când nu

Diagrama circulară e potrivită când sunt îndeplinite, simultan, trei condiții:

• Categoriile formează un întreg. Suma lor trebuie să aibă sens ca „tot": bugetul lunar, toți elevii școlii, toate răspunsurile la o întrebare.
• Categoriile se exclud reciproc. Dacă la un chestionar se pot bifa mai multe răspunsuri, suma procentelor depășește $100\%$ și diagrama circulară devine imposibilă — se folosesc bare.
• Categoriile sunt puține, de regulă cel mult cinci-șase. Cu douăsprezece felii, desenul devine ilizibil; categoriile mici se grupează atunci într-o felie „altele".

Nu e potrivită în trei situații:

• Când vrei să compari valori apropiate. Ochiul compară mult mai prost unghiuri decât lungimi: $19\%$ și $21\%$ arată identic pe un disc, dar se disting clar pe bare. Vezi lecția Diagrame cu bare.
• Când vrei să arăți o evoluție în timp (precipitații lunare, vânzări pe ani). Timpul nu e o compoziție a unui întreg.
• Când datele sunt o caracteristică cantitativă cu multe valori — acolo se grupează pe intervale și se folosește histograma, studiată în lecția Gruparea datelor pe clase. Histograma.

O mențiune despre desen: diagrama circulară „în perspectivă", desenată ca o farfurie înclinată, deformează sectoarele — cele din față par mai mari decât sunt, iar cele din spate, mai mici. Într-o reprezentare statistică serioasă se folosește discul plat, văzut de sus.

7. Cum se face în foaia de calcul

1. Scrii tabelul pe două coloane — categoriile și frecvențele — și nu incluzi rândul de total în selecție; altfel programul îl tratează ca pe o categorie și jumătate din disc devine „Total".
2. Selectezi datele și ceri inserarea unei diagrame, alegând tipul circular (pie chart).
3. Din setări, activezi etichetele de date și alegi afișarea procentelor; programul le calculează singur, exact ca $\frac{n_i}{n}$.
4. Dacă vrei să vezi și unghiurile, adaugi o coloană separată cu formula =B2/B7*360, unde B7 e celula totalului, fixată ca referință absolută. Sub coloană pui =SUM(...) și verifici că apare $360$.
5. Grupează categoriile mici într-o linie „altele" înainte de a insera diagrama; niciun program nu o face singur, iar un disc cu douăsprezece felii nu se poate citi.

(Numele funcțiilor sunt scrise în engleză, forma în care apar în Google Sheets și în majoritatea instalărilor de Excel; separatorul de argumente poate fi ; sau ,, după setările programului.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul complet cu unghiuri

Cei $200$ de elevi ai unei școli vin: pe jos — $70$, cu autobuzul — $60$, cu mașina — $40$, cu bicicleta — $20$, cu trenul — $10$. Calculați unghiurile sectoarelor și verificați rezultatul.

Rezolvare. Verificăm întâi tabelul: $70+60+40+20+10=200=n$ ✓.

Aplicăm ${\alpha }_i=\frac{n_i}{200}\cdot 360^{\circ }$; observăm că $\frac{360^{\circ }}{200}=1,8^{\circ }$ revine fiecărui elev:

$$70\cdot 1,8^{\circ }=126^{\circ };60\cdot 1,8^{\circ }=108^{\circ };40\cdot 1,8^{\circ }=72^{\circ };$$

$$20\cdot 1,8^{\circ }=36^{\circ };10\cdot 1,8^{\circ }=18^{\circ }.$$

Verificare: $126+108+72+36+18=360$, deci suma este $360^{\circ }$ ✓.

Truc util: când $n$ divide $360$, calculează o dată „câte grade revin unei unități" și apoi doar înmulțește. Aici, $1,8^{\circ }$ pentru fiecare elev.

Exemplul 2 — Bugetul lunar

O familie cu un venit de $3600$ de lei cheltuiește: chirie $1200$ lei, mâncare $900$ lei, alte cheltuieli $750$ lei, utilități $450$ lei, transport $300$ lei. Construiți tabelul cu procente și unghiuri.

Rezolvare. Verificare: $1200+900+750+450+300=3600$ ✓ (toți banii sunt repartizați).

Unei sume de un leu îi revin $\frac{360^{\circ }}{3600}=0,1^{\circ }$, deci unghiul se obține împărțind suma la $10$:

Verificare: $120+90+75+45+30=360$ ✓.

Observație: suma procentelor rotunjite la o zecimală ar fi $33,3+25,0+20,8+12,5+8,3=99,9$, adică $99,9\%$ — încă un exemplu de eroare de rotunjire. Unghiurile, calculate din fracțiile exacte, dau însă fix $360^{\circ }$.

Exemplul 3 — Din unghi înapoi la date

Într-o diagramă circulară care reprezintă cei $200$ de elevi ai unei școli, un sector are unghiul de $54^{\circ }$. Ce procent reprezintă și câți elevi sunt în acea categorie?

Rezolvare. Din $\alpha =f\cdot 360^{\circ }$ obținem frecvența relativă:

$$f=\frac{54^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{3}{20}=0,15=15\%.$$

Numărul de elevi:

$$n_i=f\cdot n=0,15\cdot 200=30\text{ elevi}.$$

Verificare: $\frac{30}{200}\cdot 360^{\circ }=\frac{3}{20}\cdot 360^{\circ }=54^{\circ }$ ✓.

Exemplul 4 — Unghiuri cu zecimale

Un sondaj cu $35$ de respondenți a dat răspunsurile: foarte mulțumit — $12$, mulțumit — $9$, neutru — $8$, nemulțumit — $6$. Calculați unghiurile, rotunjite la o zecimală, și verificați suma.

Rezolvare. Verificare: $12+9+8+6=35$ ✓. Unei persoane îi revin $\frac{360^{\circ }}{35}=\frac{72^{\circ }}{7}$, deci:

$${\alpha }_1=\frac{12\cdot 72^{\circ }}{7}=\frac{864^{\circ }}{7}\approx 123,4^{\circ };{\alpha }_2=\frac{648^{\circ }}{7}\approx 92,6^{\circ };$$

$${\alpha }_3=\frac{576^{\circ }}{7}\approx 82,3^{\circ };{\alpha }_4=\frac{432^{\circ }}{7}\approx 61,7^{\circ }.$$

Verificare pe valorile exacte: $\frac{864+648+576+432}{7}=\frac{2520}{7}=360$, deci $360^{\circ }$ ✓. Suma celor rotunjite este tot $360,0^{\circ }$, pentru că rotunjirile s-au compensat.

Exemplul 5 — Ce diagramă alegi

Pentru fiecare situație, spuneți dacă e potrivită diagrama circulară sau cea cu bare, cu justificare: (a) repartiția pe mijloace de transport a elevilor unei școli; (b) evoluția precipitațiilor lunare într-un oraș; (c) un chestionar la care fiecare elev putea bifa mai multe sporturi practicate; (d) compararea a două clase pe categorii de note.

Rezolvare.

(a) Circulară — categoriile se exclud reciproc, sunt puține și formează împreună tot efectivul școlii; întrebarea firească e „ce parte din întreg".

(b) Bare — lunile sunt o succesiune în timp, nu părți dintr-un întreg; interesează tendința, nu compoziția.

(c) Bare — răspunsurile multiple fac ca suma procentelor să depășească $100\%$, deci nu există un „întreg" de împărțit în felii.

(d) Bare grupate — o diagramă circulară arată un singur set de date; comparația a două seturi cere bare alăturate, iar dacă efectivele diferă, bare în procente.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Cei $45$ de elevi ai unui an de studiu au ales disciplina opțională astfel: informatică — $15$ elevi, biologie — $12$, istorie — $9$, artă — $6$, altele — $3$. Determinați măsura unghiului sectorului corespunzător informaticii într-o diagramă circulară și procentul elevilor care au ales biologia.

Rezolvare. Verificare: $15+12+9+6+3=45$ ✓.

Unghiul pentru informatică:

$$\alpha =\frac{15}{45}\cdot 360^{\circ }=\frac{1}{3}\cdot 360^{\circ }=120^{\circ }.$$

Procentul pentru biologie:

$$\frac{12}{45}=\frac{4}{15}=0,2666\dots \approx 26,7\%.$$

Verificare de ansamblu: unghiurile celor cinci categorii sunt $120^{\circ }$, $96^{\circ }$, $72^{\circ }$, $48^{\circ }$ și $24^{\circ }$, iar suma lor este $360^{\circ }$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare tabel, calculează unghiurile din fracția exactă și verifică suma $360^{\circ }$.

1. Într-un grup de $50$ de persoane, o categorie are $20$ de membri. Ce unghi îi revine în diagrama circulară?

2. Aceleași $50$ de persoane, repartizate $20$, $15$, $10$ și $5$. Calculează toate cele patru unghiuri și verifică suma.

3. Ce unghi corespunde unui procent de $25\%$? Dar unuia de $40\%$?

4. Un sector are unghiul de $72^{\circ }$. Ce procent din întreg reprezintă?

5. Într-o diagramă care reprezintă $200$ de elevi, un sector are $54^{\circ }$. Câți elevi sunt în acea categorie?

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma unghiurilor sectoarelor dintr-o diagramă circulară poate fi mai mică decât $360^{\circ }$, dacă o categorie are foarte puține date."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două diagrame circulare cu sectoare de aceeași măsură reprezintă neapărat același număr de persoane."

8. Cei $24$ de elevi ai unei clase au ales: teatru — $8$, muzică — $6$, dans — $6$, film — $4$. Calculează unghiurile și verifică suma.

9. O familie cu venitul de $2400$ de lei cheltuiește: chirie $800$, mâncare $600$, utilități $400$, transport $360$, altele $240$. Calculează unghiurile.

10. (Problemă aplicată.) Într-o școală cu $200$ de elevi, transportul este: pe jos $70$, autobuz $60$, mașină $40$, bicicletă $20$, tren $10$. Calculează unghiurile, verifică suma și spune ce parte din disc ocupă împreună categoriile „pe jos" și „bicicletă".

11. Într-un sondaj cu $36$ de respondenți, răspunsurile au fost $12$, $9$, $8$ și $7$. Calculează unghiurile și verifică suma.

12. (Problemă aplicată.) Un chestionar permite bifarea mai multor răspunsuri, iar procentele obținute sunt $45\%$, $38\%$, $30\%$ și $22\%$. Explică de ce nu se poate desena o diagramă circulară și ce reprezentare folosești în schimb.

13. Într-o diagramă circulară, două sectoare au $19\%$ și $21\%$. De ce e greu de văzut care e mai mare și ce reprezentare ar rezolva problema?

14. Ce nu trebuie inclus în selecție când construiești diagrama circulară într-o foaie de calcul? Ce formulă adaugi dacă vrei să vezi și unghiurile?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Cei $45$ de elevi ai unui an de studiu au ales opționalul astfel: informatică — $15$, biologie — $12$, istorie — $9$, artă — $6$, altele — $3$. Determinați măsura unghiului sectorului corespunzător istoriei.

16. Într-o diagramă circulară cu patru sectoare, trei dintre ele au $90^{\circ }$, $120^{\circ }$ și $60^{\circ }$. Ce unghi are al patrulea și ce procent reprezintă?

17. Un sector reprezintă $35\%$ dintr-un grup de $80$ de persoane. Câte persoane sunt și ce unghi are sectorul?

18. (Provocare.) Două licee au publicat câte o diagramă circulară despre elevii care fac sport. În ambele, sectorul „fac sport" are $90^{\circ }$. Un articol conchide că cele două licee au același număr de sportivi. Explică de ce concluzia nu se susține și dă un exemplu numeric. Ce ar trebui scris pe lângă fiecare diagramă pentru ca ea să poată fi comparată corect?

Răspunsuri și explicații

1. $\alpha =\frac{20}{50}\cdot 360^{\circ }=\frac{2}{5}\cdot 360^{\circ }=144^{\circ }$.

2. $\frac{20}{50}\cdot 360^{\circ }=144^{\circ }$; $\frac{15}{50}\cdot 360^{\circ }=108^{\circ }$; $\frac{10}{50}\cdot 360^{\circ }=72^{\circ }$; $\frac{5}{50}\cdot 360^{\circ }=36^{\circ }$. Verificare: $144+108+72+36=360$ ✓.

3. $25\%\to 25\cdot 3,6^{\circ }=90^{\circ }$; $40\%\to 40\cdot 3,6^{\circ }=144^{\circ }$.

4. $f=\frac{72^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{1}{5}=0,2=20\%$.

5. $f=\frac{54^{\circ }}{360^{\circ }}=\frac{3}{20}=0,15$, deci $n_i=0,15\cdot 200=30$ de elevi.

6. Fals. Suma unghiurilor este $\sum f_i\cdot 360^{\circ }=1\cdot 360^{\circ }=360^{\circ }$, indiferent de câte categorii sunt și cât de mici. O sumă diferită de $360^{\circ }$ arată o greșeală: fie tabelul de frecvențe e incomplet, fie o înmulțire e greșită.

7. Fals. Unghiul dă proporția, nu numărul. Un sector de $90^{\circ }$ înseamnă un sfert din grup: într-un liceu cu $800$ de elevi asta înseamnă $200$ de elevi, iar într-unul cu $500$, doar $125$. Fără efectivul total scris lângă diagramă, comparația e imposibilă.

8. Verificare: $8+6+6+4=24$ ✓. Unui elev îi revin $\frac{360^{\circ }}{24}=15^{\circ }$, deci unghiurile sunt $8\cdot 15^{\circ }=120^{\circ }$, $6\cdot 15^{\circ }=90^{\circ }$, $90^{\circ }$ și $4\cdot 15^{\circ }=60^{\circ }$. Suma: $120+90+90+60=360$ ✓.

9. Verificare: $800+600+400+360+240=2400$ ✓. Unui leu îi revin $\frac{360^{\circ }}{2400}=0,15^{\circ }$, deci: $800\cdot 0,15^{\circ }=120^{\circ }$; $600\cdot 0,15^{\circ }=90^{\circ }$; $400\cdot 0,15^{\circ }=60^{\circ }$; $360\cdot 0,15^{\circ }=54^{\circ }$; $240\cdot 0,15^{\circ }=36^{\circ }$. Suma: $120+90+60+54+36=360$ ✓.

10. Unghiurile sunt $126^{\circ }$, $108^{\circ }$, $72^{\circ }$, $36^{\circ }$ și $18^{\circ }$; suma este $360^{\circ }$ ✓. Împreună, „pe jos" și „bicicletă" ocupă $126^{\circ }+36^{\circ }=162^{\circ }$, adică $\frac{162}{360}=0,45=45\%$ din disc (echivalent, $\frac{70+20}{200}=\frac{90}{200}=45\%$ ✓).

11. Verificare: $12+9+8+7=36$ ✓. Unui respondent îi revin $\frac{360^{\circ }}{36}=10^{\circ }$, deci unghiurile sunt $120^{\circ }$, $90^{\circ }$, $80^{\circ }$ și $70^{\circ }$. Suma: $120+90+80+70=360$ ✓.

12. Suma procentelor este $45+38+30+22=135$, adică $135\%$, pentru că fiecare respondent a putut bifa mai multe variante și a fost numărat de mai multe ori. Categoriile nu se exclud reciproc, deci nu există un „întreg" care să fie împărțit în felii — condiția de bază a diagramei circulare cade. Reprezentarea potrivită este o diagramă cu bare, cu procentele raportate fiecare la numărul total de respondenți.

13. Pentru că $19\%$ și $21\%$ înseamnă unghiuri de $68,4^{\circ }$ și $75,6^{\circ }$, iar ochiul distinge foarte prost o diferență de $7$ grade între două sectoare, mai ales dacă nu sunt alăturate. O diagramă cu bare rezolvă problema: acolo se compară lungimi, iar diferența devine vizibilă imediat.

14. Nu se include rândul de total; altfel el devine o categorie și ocupă jumătate din disc. Pentru unghiuri se adaugă o coloană cu formula =B2/B7*360, unde B7 este celula totalului, fixată ca referință absolută; suma coloanei trebuie să dea $360$.

15. $\alpha =\frac{9}{45}\cdot 360^{\circ }=\frac{1}{5}\cdot 360^{\circ }=72^{\circ }$.

16. Suma celor trei este $90+120+60=270$, deci al patrulea are $360^{\circ }-270^{\circ }=90^{\circ }$. Procentul: $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}=25\%$.

17. Numărul de persoane: $0,35\cdot 80=28$. Unghiul: $35\cdot 3,6^{\circ }=126^{\circ }$ (sau, direct, $\frac{28}{80}\cdot 360^{\circ }=\frac{7}{20}\cdot 360^{\circ }=126^{\circ }$ ✓).

18. Un sector de $90^{\circ }$ înseamnă că un sfert din elevii liceului respectiv fac sport — o proporție, nu un număr. Dacă primul liceu are $800$ de elevi, sportivii sunt $\frac{1}{4}\cdot 800=200$; dacă al doilea are $500$ de elevi, sportivii sunt $\frac{1}{4}\cdot 500=125$. Aceleași unghiuri, numere foarte diferite. Pentru ca diagramele să poată fi comparate corect, lângă fiecare trebuie scris efectivul total al liceului; alternativ, se renunță la discuri și se desenează o diagramă cu bare cu numerele absolute, însoțită de totaluri.

De reținut

• Într-o diagramă circulară, discul întreg reprezintă tot setul de date: $100\%$ și $360^{\circ }$.
• Unghiul unui sector se calculează cu ${\alpha }_i=f_i\cdot 360^{\circ }=\frac{n_i}{n}\cdot 360^{\circ }$; echivalent, fiecare procent valorează $3,6^{\circ }$.
• Verificarea obligatorie: $\sum {\alpha }_i=360^{\circ }$. Ea decurge direct din $\sum f_i=1$ și e aceeași verificare ca $\sum n_i=n$, în alt limbaj.
• Drumul invers: dintr-un unghi afli proporția, $f=\frac{\alpha }{360^{\circ }}$, iar de acolo numărul de unități, $n_i=f\cdot n$ — dar numai dacă știi totalul $n$.
• Diagrama circulară arată compoziția unui întreg, cu categorii care se exclud și sunt puține. Pentru comparații fine, pentru evoluții în timp și pentru răspunsuri multiple se folosesc barele.

Greșeli frecvente

• Măsurarea tuturor unghiurilor din aceeași rază inițială. Fiecare unghi se măsoară pornind de la latura sectorului precedent; altfel sectoarele se suprapun și desenul nu închide cercul.
• Calcularea unghiului din procentul rotunjit. Dacă folosești $33,3\%$ în loc de $\frac{1}{3}$, unghiul iese $119,88^{\circ }$ în loc de $120^{\circ }$, iar suma nu mai dă exact $360^{\circ }$. Lucrează cu fracția exactă.
• Includerea totalului în diagramă. Rândul „Total" transformat în sector ocupă jumătate din disc și face desenul absurd.
• Compararea a două diagrame circulare fără totaluri. Unghiurile dau proporții, nu numere; două sectoare de $90^{\circ }$ pot însemna $200$ și $125$ de persoane.
• Folosirea diagramei circulare pentru răspunsuri multiple sau pentru evoluții în timp. În primul caz suma procentelor depășește $100\%$, în al doilea nu există un întreg de împărțit — în ambele, diagrama cu bare e reprezentarea corectă.

Aplică acasă

1. Ziua ta în felii. Împarte cele $24$ de ore ale unei zile obișnuite pe patru-cinci categorii (somn, școală, teme, ecran, altele). Calculează unghiurile cu ${\alpha }_i=\frac{n_i}{24}\cdot 360^{\circ }$ — vei observa că fiecare oră valorează exact $15^{\circ }$ — și desenează diagrama cu raportorul. Verifică suma înainte de a desena.

2. Bugetul unei zile de cumpărături. Cere-le părinților un bon de cumpărături cu cinci-șase produse și calculează ce procent din total reprezintă fiecare. Grupează produsele mărunte într-o categorie „altele", apoi calculează unghiurile și desenează diagrama.

3. Diagrama în foaia de calcul. Introdu datele de la punctul $1$ sau $2$ într-o foaie de calcul, inserează diagrama circulară și activează etichetele cu procente. Adaugă apoi o coloană cu unghiurile și verifică, prin însumare, că iese exact $360$. Compară forma discului cu desenul tău cu raportorul.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie seria reprezentărilor de bază și este singura în care apare o legătură directă cu geometria: proporționalitatea dintre frecvența relativă și unghiul la centru. Calculul e simplu, dar cere disciplină — unghiurile se determină din fracțiile exacte, nu din procentele rotunjite, iar verificarea $\sum {\alpha }_i=360^{\circ }$ trebuie făcută înainte de desen. Partea a doua a lecției, despre situațiile în care diagrama circulară nu e potrivită, e la fel de importantă ca partea de construcție: alegerea reprezentării potrivite este o competență cerută explicit de programă.

Ce verificați în caietul elevului: (1) scrie formula ${\alpha }_i=\frac{n_i}{n}\cdot 360^{\circ }$ și lucrează cu fracții; (2) verifică suma unghiurilor înainte de a lua raportorul; (3) la construcție, măsoară fiecare unghi de la latura precedentă; (4) nu compară două diagrame circulare fără efectivele lor. Întrebări bune de control: „Câte grade revin unui procent?"; „Ce trebuie să dea suma unghiurilor și de ce?"; „Un sector de $90^{\circ }$ înseamnă câte persoane?"; „Când folosești disc și când folosești bare?".

La Bacalaureat, cerința tipică este „determinați măsura unghiului sectorului corespunzător categoriei…" sau, invers, aflarea numărului de persoane dintr-un sector de măsură dată. Se rezolvă într-un rând, iar punctajul se pierde aproape exclusiv din calcule aritmetice grăbite. Semne că elevul a înțeles: verifică singur suma unghiurilor, folosește trucul „câte grade revin unei unități" și explică de ce un unghi, luat singur, nu spune nimic despre numărul de persoane.

Întrebări frecvente

Cum calculez unghiul unui sector într-o diagramă circulară? Cu formula ${\alpha }_i=\frac{n_i}{n}\cdot 360^{\circ }$, adică frecvența relativă înmulțită cu $360^{\circ }$. De exemplu, $70$ de elevi din $200$ dau $\frac{70}{200}\cdot 360^{\circ }=126^{\circ }$.

Câte grade înseamnă un procent? Exact $3,6^{\circ }$, pentru că $\frac{360^{\circ }}{100}=3,6^{\circ }$. Așadar $25\%$ înseamnă $90^{\circ }$, iar $50\%$ înseamnă $180^{\circ }$, adică jumătate de disc.

De ce suma unghiurilor trebuie să fie 360 de grade? Pentru că $\sum {\alpha }_i=\sum f_i\cdot 360^{\circ }$, iar suma frecvențelor relative este întotdeauna $1$. Verificarea este deci aceeași cu $\sum n_i=n$, doar exprimată în grade; dacă nu iese $360^{\circ }$, ai o greșeală în tabel sau într-o înmulțire.

Cum aflu câte persoane sunt într-un sector, dacă știu unghiul? Împarți unghiul la $360^{\circ }$ și obții proporția, apoi înmulțești cu numărul total. Pentru un sector de $54^{\circ }$ dintr-un grup de $200$: $\frac{54}{360}=0,15$, deci $0,15\cdot 200=30$ de persoane. Fără total, unghiul nu poate fi transformat în număr.

Când folosesc diagrama circulară și când pe cea cu bare? Circulara arată compoziția unui întreg, cu categorii care se exclud și sunt puține. Barele sunt mai bune pentru comparații fine între valori apropiate, pentru evoluții în timp, pentru compararea a două seturi de date și pentru chestionarele cu răspunsuri multiple.

Ce fac dacă unghiurile nu ies numere întregi? Le calculezi exact, ca fracții, și le rotunjești doar la desen — raportorul școlar oricum măsoară cu precizie de un grad. Verificarea sumei se face pe valorile exacte; suma celor rotunjite poate să difere cu o zecime de $360^{\circ }$.

Câte categorii poate avea o diagramă circulară? De regulă cel mult cinci-șase. Peste această limită sectoarele devin prea înguste ca să fie citite, iar etichetele se suprapun. Categoriile mici se grupează într-o felie „altele", trecută de obicei ultima.

Cum fac o diagramă circulară în Excel sau Google Sheets? Selectezi coloana categoriilor și pe cea a frecvențelor, fără rândul de total, apoi ceri inserarea unei diagrame de tip circular și activezi etichetele cu procente. Dacă vrei și unghiurile, adaugi o coloană cu frecvența împărțită la total și înmulțită cu $360$, iar suma ei trebuie să fie $360$.