Diagrame cu bare (M2, științe ale naturii)

Deschide orice raport de monitorizare a mediului, un articol despre o campanie de vaccinare sau fișa unui experiment de laborator și vei găsi aproape sigur o diagramă cu bare. Este desenul prin care un cercetător arată, dintr-o privire, cât de mare este fiecare categorie față de celelalte; și este, în același timp, desenul pe care un cititor grăbit îl poate înțelege greșit dacă nu se uită la axă. Lecția aceasta, din programa clasei a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), te învață să construiești o diagramă cu bare corectă, să o citești ca un om de știință și să recunoști un desen care exagerează. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa numește explicit diagramele cu bare. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține reprezentarea grafică a datelor statistice, în capitolul de matematici financiare; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică.

Diagrama cu bare nu conține mai multă informație decât tabelul din care provine. Avantajul ei este altul: două lungimi alăturate se compară dintr-o privire, două numere nu.

Ce vei învăța

• Vei transforma un tabel într-o diagramă cu bare, cu scara, unitatea și ordinea barelor alese de tine.
• Vei ști să aplici un protocol de citire în patru pași înainte de a trage orice concluzie dintr-o diagramă primită.
• Vei ști să estimezi o valoare atunci când capătul barei cade între două gradații și să spui cu ce precizie ai citit-o.
• Vei ști să citești bare stivuite, în care o bară este împărțită în segmente.
• Vei ști să calculezi de câte ori exagerează o axă care nu pornește de la zero.
• Vei ști să deosebești diagrama cu bare de histogramă și să alegi reprezentarea potrivită tipului de date.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o diagramă cu bare?

Un grup de voluntari a numărat, într-o noapte de primăvară, amfibienii care traversau un drum spre o baltă: $34$ de broaște de lac, $22$ de buhai de baltă, $15$ tritoni comuni și $9$ broaște râioase, în total $80$ de exemplare.

O diagramă cu bare este un desen în care fiecare categorie primește propriul dreptunghi (o bară), așezat cu baza pe o axă comună, toate barele având aceeași lățime, iar lungimea fiecărei bare este proporțională cu valoarea categoriei, măsurată pe o axă gradată uniform care pornește de la $0$. Lățimea barei nu poartă nicio informație; doar lungimea contează.

Pentru amfibieni, valoarea maximă este $34$, deci o scară din $5$ în $5$, de la $0$ la $35$, cuprinde toate barele și are doar șapte intervale. Barele se așază de obicei în ordinea descrescătoare a valorilor, când categoriile nu au o ordine proprie, cum sunt speciile.

2. Ce citești înainte de a citi barele?

O diagramă primită gata făcută se citește în patru pași, în ordinea aceasta:

1. Variabila. Ce se numără sau ce se măsoară? Titlul și eticheta axei categoriilor spun despre ce e vorba: specii, luni, stații de măsurare.
2. Unitatea. În ce se exprimă valorile? Număr de exemplare, kilograme, kilowați-oră, procente. O axă fără unitate nu poate fi citită corect, iar mențiuni ca „în mii” sau „$\times 1000$” schimbă toate valorile.
3. Pasul scării. Cât valorează distanța dintre două gradații vecine? De aici depinde precizia cu care vei citi.
4. Originea. De la ce valoare pornește axa? Dacă nu pornește de la $0$, lungimile barelor nu mai sunt proporționale cu valorile (secțiunea 6).

Abia după acești patru pași compari barele. Un cercetător care citește un articol face la fel, iar programa îți cere să recunoști „variabila studiată, tipul diagramei, unitatea de măsură” în orice sursă de date.

3. Cum citești o valoare când bara se oprește între două gradații?

Când deasupra barei nu este scrisă valoarea, o estimezi față de gradațiile vecine. În diagrama amfibienilor, bara buhaiului se oprește puțin deasupra gradației $20$, la mai puțin de jumătatea distanței până la $25$: o citire rezonabilă este „aproximativ $22$”.

Regula practică: împarte mintal intervalul dintre două gradații în jumătăți sau în cincimi și spune între ce valori se află capătul. Cu gradații din $5$ în $5$, o citire atentă are precizia de aproximativ o unitate. Când diagrama însoțește un tabel, valoarea exactă se ia din tabel; desenul servește la comparație.

4. Bare pentru frecvențe relative

Pentru amfibieni, frecvențele relative sunt

$$\frac{34}{80}=42,5\%,\frac{22}{80}=27,5\%,\frac{15}{80}=18,75\%,\frac{9}{80}=11,25\%.$$

Toate valorile s-au împărțit la același număr, $80$, deci barele desenate în procente au exact aceeași formă: se schimbă doar gradațiile. Afirmația e adevărată pentru un singur set de date. Când pui alături două seturi cu totaluri diferite, barele absolute și cele în procente pot da ierarhii diferite, iar alegerea dintre ele depinde de întrebare; comparația a două seturi este studiată în lecția despre compararea a două seturi de date.

5. Bare stivuite: ce se vede când o bară are segmente?

Uneori o categorie are ea însăși părți. O bară stivuită este o singură bară împărțită în segmente așezate unul peste altul, fiecare segment având lungimea proporțională cu partea respectivă; lungimea totală a barei este suma părților.

Citirea cere atenție: pe axă se citesc capetele segmentelor, adică sume. Un segment începe acolo unde s-a terminat cel de dedesubt, deci valoarea lui se obține prin scădere: capătul de sus minus capătul de jos. Este aceeași idee ca la coloana cumulată din lecția despre frecvențe cumulate: axa arată totaluri parțiale, iar valorile individuale sunt diferențe.

O variantă frecventă în rapoartele științifice este bara stivuită $100\%$: toate barele au aceeași lungime, iar segmentele arată procente. Ea răspunde la întrebarea „ce parte din total este fiecare componentă”, dar nu mai arată cât de mari sunt totalurile.

6. Cât exagerează o axă care nu pornește de la zero?

Dacă axa valorilor pornește de la o valoare $c>0$, o bară cu valoarea $a$ apare cu lungimea $a-c$, nu $a$. Pentru două bare cu valorile $a<b$:

$$\text{raportul real}=\frac{b}{a},\text{raportul va˘zut pe desen}=\frac{b-c}{a-c}.$$

Pe desen, raportul văzut este întotdeauna mai mare decât cel real, iar diferența crește pe măsură ce $c$ se apropie de $a$. La amfibieni, dacă axa ar porni de la $10$, bara buhaiului ($22$) ar părea de $\frac{12}{5}=2,4$ ori mai lungă decât bara tritonului ($15$), deși raportul real este $\frac{22}{15}\approx 1,47$.

Programa îți cere să citești critic reprezentările grafice din media. O axă care nu pornește de la $0$ nu e o greșeală de calcul — numerele de pe ea sunt adevărate —, dar lungimile nu mai sunt proporționale cu valorile. Când autorul chiar vrea să arate o diferență mică, desenează o întrerupere vizibilă a axei și scrie valorile pe bare.

7. Bare sau histogramă?

Diagrama cu bare se folosește pentru categorii (specii, stații, aparate) și pentru valori numerice distincte puține, cum ar fi numărul de semințe dintr-un fruct; barele sunt separate prin spații, pentru că între două categorii nu există nimic. Când datele sunt măsurători continue, grupate pe intervale — mase, lungimi, timpi —, reprezentarea potrivită este histograma, cu dreptunghiuri lipite, din lecția despre gruparea datelor pe clase și histogramă.

Barele pot fi și orizontale, când numele categoriilor sunt lungi, și pot coborî sub axă, când valorile sunt negative: o temperatură de $-3$ °C se desenează ca o bară de lungime $3$ orientată în jos. Axa de referință rămâne cea a lui $0$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Consumul de energie al unui laborator

Consumul lunar de energie electrică al aparatelor dintr-un laborator de biologie este: etuva — $120$ kWh, frigiderul — $85$ kWh, hota — $60$ kWh, microscoapele — $15$ kWh. Descrieți diagrama cu bare potrivită și aflați ce procent din consum revine etuvei.

Rezolvare. Variabila este aparatul (categorie fără ordine proprie), iar valoarea este consumul, în kWh pe lună. Barele se așază descrescător: etuvă, frigider, hotă, microscoape. Valoarea maximă este $120$; o scară din $20$ în $20$, de la $0$ la $120$, are șase intervale, iar bara etuvei atinge exact ultima gradație. Eticheta axei valorilor este „consum (kWh pe lună)”.

Consumul total este $120+85+60+15=280$ kWh, iar etuva folosește $\frac{120}{280}=\frac{3}{7}\approx 42,9\%$ din el. Pe desen, bara etuvei este de $8$ ori mai lungă decât bara microscoapelor, pentru că $\frac{120}{15}=8$.

Exemplul 2 — Citește diagrama: deșeurile colectate selectiv

Diagrama de mai jos arată masa deșeurilor colectate selectiv într-o săptămână de o școală. Axa valorilor are gradații din $10$ în $10$ kg, iar valorile nu sunt scrise pe bare.

Citiți valorile, aflați masa totală, de câte ori este mai mare masa hârtiei decât a metalului și ce parte din total reprezintă plasticul.

Rezolvare. Protocolul: variabila este tipul de deșeu, unitatea este kilogramul, pasul este $10$ kg, originea este $0$. Bara hârtiei se oprește la jumătatea dintre $40$ și $50$, deci $45$ kg; plasticul, exact la $30$ kg; sticla, la jumătatea dintre $20$ și $30$, deci $25$ kg; metalul, la $10$ kg.

Masa totală este $45+30+25+10=110$ kg. Hârtia cântărește de $\frac{45}{10}=4,5$ ori mai mult decât metalul. Plasticul reprezintă $\frac{30}{110}=\frac{3}{11}\approx 27,3\%$ din total.

Exemplul 3 — Bare stivuite: probele unui laborator de mediu

Un laborator de mediu analizează probe de apă, de sol și de aer. Pentru fiecare dintre trei zile, o bară stivuită are segmentul apei jos, apoi solul, apoi aerul. Pe axă se citesc capetele segmentelor: ziua 1 — $18$, $30$, $36$; ziua 2 — $14$, $29$, $38$; ziua 3 — $20$, $28$, $40$. Aflați câte probe de fiecare tip s-au analizat în fiecare zi, în ce zi s-au analizat cele mai multe probe de sol și câte probe de aer s-au analizat în total.

Rezolvare. Fiecare segment este diferența dintre capătul lui și capătul segmentului de dedesubt.

Cele mai multe probe de sol s-au analizat în ziua a doua, $15$, deși bara ei nu este cea mai înaltă: înălțimea barei arată totalul zilei, nu segmentul solului. Probe de aer: $6+9+12=27$.

Exemplul 4 — Axa trunchiată: dioxidul de carbon din atmosferă

Mediile anuale ale concentrației de dioxid de carbon măsurate la observatorul Mauna Loa, publicate de NOAA, sunt, rotunjite, $370$ ppm pentru anul 2000 și $414$ ppm pentru anul 2020. Un afiș le desenează cu bare pe o axă care pornește de la $360$ ppm. De câte ori pare mai lungă a doua bară și cu cât a crescut în realitate concentrația?

Rezolvare. Pe afiș, barele au lungimile vizibile $370-360=10$ și $414-360=54$, deci a doua pare de

$$\frac{54}{10}=5,4$$

ori mai lungă. Raportul real este $\frac{414}{370}\approx 1,12$, adică o creștere de $\frac{414-370}{370}=\frac{44}{370}\approx 11,9\%$ în douăzeci de ani.

Creșterea este reală și importantă pentru climă, dar afișul o face să pară de peste cinci ori, ceea ce nu corespunde datelor. O prezentare cinstită folosește axa de la $0$ și scrie valorile pe bare, sau alege alt tip de grafic, cu axa întreruptă vizibil.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: barele care cresc mereu

Un elev a numărat speciile de alge din $25$ de probe de apă: $1$ specie — $4$ probe, $2$ specii — $9$, $3$ — $7$, $4$ — $3$, $5$ — $2$. Diagrama lui are barele $4$, $13$, $20$, $23$, $25$, iar concluzia scrisă este: „cele mai multe probe au $5$ specii de alge”. Ce a greșit?

Rezolvare. Barele elevului sunt frecvențele cumulate crescător: $4$; $4+9=13$; $13+7=20$; $20+3=23$; $23+2=25$. O asemenea coloană nu scade niciodată, deci ultima bară iese mereu cea mai lungă, oricare ar fi datele. Bara valorii $5$ spune, de fapt, că toate cele $25$ de probe au cel mult $5$ specii.

Diagrama corectă folosește frecvențele absolute $4$, $9$, $7$, $3$, $2$. Bara cea mai lungă corespunde valorii $2$: cele mai multe probe, $9$ din $25$, au câte două specii de alge.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

O diagramă cu bare arată reptilele observate într-o rezervație, pe grupe: șopârle — $26$, șerpi — $14$, țestoase — $8$. Valoarea barei „alte reptile” nu este scrisă, dar legenda spune că bara este cu $50\%$ mai lungă decât bara țestoaselor. Determinați valoarea $x$ a acestei bare și ponderea șerpilor în totalul observațiilor, exprimată procentual cu o zecimală.

Rezolvare. O bară cu $50\%$ mai lungă reprezintă o valoare cu $50\%$ mai mare, fiindcă axa pornește de la $0$: $x=8+0,5\cdot 8=1,5\cdot 8$, deci

$$x=12.$$

Totalul observațiilor este $26+14+8+12=60$, iar ponderea șerpilor este

$$\frac{14}{60}=\frac{7}{30}=0,2333\dots \approx 23,3\%.$$

Verificare: bara „alte reptile”, de $12$, stă între barele țestoaselor ($8$) și șerpilor ($14$), iar $\frac{12}{8}=1,5$.

Să exersăm

La fiecare diagramă, notează întâi variabila, unitatea, pasul scării și originea.

1. Camerele de monitorizare dintr-o pădure au înregistrat într-o lună: căprior — $18$ observații, mistreț — $12$, vulpe — $9$, jder — $6$, urs — $3$. Descrie diagrama cu bare (scara și ordinea barelor), apoi află câte observații au fost în total și ce fracție din ele sunt de mistreț.

2. Numărul de specii de plante vasculare din patru rezervații este $137$, $92$, $64$ și $48$. Alege un pas al scării astfel încât axa să aibă cel mult opt intervale și să cuprindă toate barele. Justifică alegerea.

3. Într-o diagramă a precipitațiilor lunare, gradațiile sunt din $5$ în $5$ mm. Bara lunii mai se oprește exact la jumătatea dintre $15$ și $20$, iar bara lunii iunie se oprește la o cincime din distanța dintre $30$ și $35$. Ce valori citești?

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe o diagramă a cărei axă pornește de la $30$, bara valorii $50$ pare de patru ori mai lungă decât bara valorii $35$.”

5. O bară stivuită arată păsările acvatice numărate la un lac: segmentul rațelor jos, apoi lișițele, apoi lebedele. Capetele segmentelor se citesc la $42$, $67$ și $75$. Câte păsări din fiecare grupă s-au numărat?

6. Vârful Omu are altitudinea de $2505$ m, iar vârful Moldoveanu de $2544$ m. O diagramă le desenează cu bare pe o axă care pornește de la $2400$ m. Calculează raportul lungimilor de pe desen și raportul real al altitudinilor.

7. (Problemă aplicată.) Bilanțul anual (nașteri minus decese) al unei colonii de castori de pe un râu a fost, în patru ani la rând, $+12$, $-7$, $+3$ și $-9$ exemplare. a) Descrie diagrama cu bare: unde este axa de referință și în ce parte a ei se desenează fiecare bară? b) Cu cât s-a schimbat colonia în cei patru ani? c) La început colonia avea $58$ de castori. Câți avea la sfârșitul fiecărui an?

8. Două probe de apă, fiecare cu $60$ de organisme identificate, au: proba A — crustacee $22$, larve de insecte $14$, viermi $16$, moluște $8$; proba B — $12$, $27$, $9$, respectiv $12$. Într-o diagramă cu bare grupate, la ce grupă diferă cel mai mult cele două bare și cu cât?

9. Un articol publică o diagramă intitulată „Poluarea în trei orașe”, cu trei bare care ajung la $18$, $25$ și $40$; axa valorilor nu are nicio etichetă. Autorul scrie că în al treilea oraș poluarea este „de peste două ori mai mare” decât în primul. Aplică protocolul de citire: ce trebuie să afli înainte de a accepta afirmația și în ce caz ar fi ea adevărată?

10. Pentru fiecare set de date spune dacă se reprezintă prin diagramă cu bare sau prin histogramă: a) specia fiecărui pește capturat; b) masa fiecărui pește, în grame; c) numărul de electroni de valență ai unor atomi, între $1$ și $8$; d) timpul de reacție al unor elevi, în milisecunde.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Axa valorilor unei diagrame cu bare are mențiunea „mii de lei”, iar barele arată vânzările unei papetării pe trimestre: $2,4$; $3,0$; $2,1$ și $1,5$. Determinați vânzările din tot anul și cu câți lei au fost mai mari vânzările din trimestrul al doilea decât cele din trimestrul al patrulea.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Barele unei diagrame arată prețul unui abonament lunar la o sală de sport în patru orașe: $90$ lei, $120$ lei, $105$ lei și $75$ lei. Determinați cu cât la sută este mai mare prețul reprezentat de cea mai lungă bară decât prețul reprezentat de cea mai scurtă.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Diagrama frecvențelor relative ale transporturilor de marfă facturate de o firmă de logistică într-o lună, după mijlocul de transport, are barele: rutier — $0,16$, feroviar — $0,44$, fluvial — $x$. Pe calea ferată s-au facturat cu $21$ de transporturi mai multe decât rutier. Determinați $x$ și numărul transporturilor facturate în acea lună.

14. O bară stivuită $100\%$ arată structura pe vârste a unei populații de $120$ de capre negre: iezi $25\%$, tineri $40\%$, adulți $35\%$. Câte exemplare are fiecare grupă? Dacă bara are $8$ cm, cât de lung este segmentul adulților?

15. Un elev desenează barele pentru valorile $30$, $45$ și $60$ cu lungimile $3$ cm, $4$ cm și $6$ cm. Care bară e greșită și ce lungime trebuia să aibă?

16. Pe o diagramă cu bare orizontale, fiecare centimetru reprezintă $25$ de puieți de sturion eliberați în Dunăre. Barele celor trei centre de reproducere au $3,2$ cm, $1,8$ cm și $4,4$ cm. Câți puieți a eliberat fiecare centru și câți în total?

17. În diagrama frecvențelor absolute a unui set, o bară are valoarea $12$; în diagrama frecvențelor relative a aceluiași set, aceeași bară are $0,24$. Câte date are setul? Ce valoare absolută are bara care, în diagrama relativă, ajunge la $0,36$?

18. (Provocare.) Două bare au valorile $40$ și $50$. De la ce valoare $c$ ar trebui să pornească axa pentru ca a doua bară să pară de $3$ ori mai lungă decât prima? Ce concluzie falsă ar trage un cititor neatent?

Răspunsuri și explicații

1. Barele se așază descrescător (specii, fără ordine proprie), cu o scară din $5$ în $5$ până la $20$. Total: $18+12+9+6+3=48$ de observații; mistrețul reprezintă $\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$ din ele.

2. Cu pasul $20$, axa merge de la $0$ la $140$ în șapte intervale și cuprinde valoarea maximă, $137$. Pasul $10$ ar cere paisprezece intervale, prea multe; pasul $50$ ar da doar trei intervale și o citire grosieră.

3. Luna mai: $15+\frac{5}{2}=17,5$ mm. Luna iunie: $30+\frac{5}{5}=31$ mm.

4. Adevărat. Pe desen barele au lungimile $35-30=5$ și $50-30=20$, iar $\frac{20}{5}=4$. Raportul real al valorilor este doar $\frac{50}{35}\approx 1,43$.

5. Rațe: $42$. Lișițe: $67-42=25$. Lebede: $75-67=8$. Total: $75$ de păsări.

6. Pe desen, lungimile sunt $2505-2400=105$ și $2544-2400=144$, deci raportul văzut este $\frac{144}{105}\approx 1,37$. Raportul real este $\frac{2544}{2505}\approx 1,016$: vârful Moldoveanu este mai înalt cu doar $1,6\%$.

7. a) Axa de referință este cea a lui $0$: barele anilor cu $+12$ și $+3$ urcă deasupra ei, cu lungimile $12$ și $3$, iar barele anilor cu $-7$ și $-9$ coboară sub ea, cu lungimile $7$ și $9$. b) $12-7+3-9=-1$: colonia a scăzut cu un castor. c) $58+12=70$, $70-7=63$, $63+3=66$, $66-9=57$; control: $57=58-1$.

8. Diferențele sunt: crustacee $22-12=10$, larve $27-14=13$, viermi $16-9=7$, moluște $12-8=4$. Cea mai mare diferență este la larvele de insecte: $13$ organisme, în favoarea probei B.

9. Variabila: ce poluant și ce mărime (o concentrație medie sau numărul zilelor cu depășiri?). Unitatea: de exemplu micrograme pe metru cub; fără ea, $18$ și $40$ nu spun ce s-a măsurat. Pasul scării și, mai ales, originea: afirmația compară valori, iar $\frac{40}{18}\approx 2,2$, deci ea este adevărată dacă numerele de pe bare sunt chiar valorile măsurate, în aceeași unitate, pentru aceeași perioadă. Dacă axa nu pornește de la $0$, lungimile barelor nu mai pot fi comparate direct.

10. a) Bare — specia este o categorie. b) Histogramă — masa este o mărime continuă, care se grupează pe intervale. c) Bare — valori numerice distincte puține. d) Histogramă — timpul este o mărime continuă.

11. Anual: $2,4+3,0+2,1+1,5=9$ mii de lei, adică $9000$ de lei. Diferența: $3,0-1,5=1,5$ mii de lei, adică $1500$ de lei.

12. Cea mai lungă bară are $120$ lei, cea mai scurtă $75$ lei: $\frac{120-75}{75}=\frac{45}{75}=60\%$.

13. Frecvențele relative au suma $1$: $x=1-0,16-0,44=0,40$. Diferența dintre bara feroviară și cea rutieră, $0,44-0,16=0,28$ din total, reprezintă $21$ de transporturi, deci totalul este $n=\frac{21}{0,28}=75$. Control: $0,16\cdot 75=12$, $0,44\cdot 75=33$, $0,40\cdot 75=30$, iar $12+33+30=75$ și $33-12=21$.

14. Iezi: $0,25\cdot 120=30$; tineri: $0,4\cdot 120=48$; adulți: $0,35\cdot 120=42$. Segmentul adulților: $0,35\cdot 8=2,8$ cm.

15. Scara barelor corecte este $1$ cm pentru $10$ unități ($30\to 3$ cm, $60\to 6$ cm), deci valoarea $45$ trebuia desenată cu $4,5$ cm, nu cu $4$ cm.

16. $3,2\cdot 25=80$; $1,8\cdot 25=45$; $4,4\cdot 25=110$ puieți. Total: $80+45+110=235$ de puieți.

17. Din $\frac{12}{n}=0,24$ rezultă $n=50$. Bara de $0,36$ are valoarea absolută $0,36\cdot 50=18$.

18. Condiția este $\frac{50-c}{40-c}=3$, adică $50-c=120-3c$, deci $2c=70$ și $c=35$. Cu axa de la $35$, barele au lungimile $5$ și $15$. Un cititor neatent ar crede că a doua valoare e triplă, deși este doar cu $\frac{10}{40}=25\%$ mai mare.

De reținut

• Lungimile barelor sunt proporționale cu valorile numai dacă axa pornește de la $0$ și este gradată uniform; lățimea barelor nu poartă informație.
• O diagramă primită se citește în ordinea: variabila, unitatea (cu eventualul multiplicator), pasul scării, originea — abia apoi barele.
• O valoare aflată între două gradații se estimează împărțind intervalul în jumătăți sau cincimi; precizia citirii depinde de pas.
• La barele stivuite, pe axă se citesc capete de segmente, adică sume; valoarea unui segment este diferența dintre capătul lui și cel al segmentului de dedesubt.
• O axă care pornește de la $c$ face raportul văzut $\frac{b-c}{a-c}$ mai mare decât raportul real $\frac{b}{a}$; diferența crește când $c$ se apropie de valoarea mai mică.

Greșeli frecvente

• Capătul barei „tras” la gradația de dedesubt. O bară care se oprește la jumătatea dintre $20$ și $25$ nu are valoarea $20$. Estimează poziția în interval, nu rotunji automat în jos.
• Capătul unui segment stivuit luat drept valoarea segmentului. Dacă segmentul solului se termină la $29$, asta nu înseamnă $29$ de probe de sol; scazi capătul segmentului de dedesubt.
• Unitatea sau multiplicatorul axei ignorate. O axă cu mențiunea „mii de exemplare” și bara la $4$ înseamnă $4000$ de exemplare. Citește eticheta axei înainte de a scrie numărul.
• Diferența de lungime confundată cu diferența procentuală. Două bare de $40$ și $45$ diferă cu $5$ unități, dar a doua e mai mare cu $12,5\%$, nu cu $5\%$. Procentul se raportează la valoarea de referință.
• Bare desenate din coloana cumulată. Frecvențele cumulate cresc mereu, deci o diagramă făcută din ele arată o „creștere” care nu există. Barele se desenează din frecvențele absolute sau relative.

Aplică acasă

1. Pluviometrul din sticlă. Taie o sticlă de plastic, pune-o în curte sau pe balcon și măsoară în fiecare dimineață, cu o riglă, câți milimetri de apă s-au adunat. După două săptămâni, desenează diagrama cu bare, cu unitatea „mm” pe axă, și marchează zilele fără ploaie cu o bară de lungime $0$.

2. Farfuria săptămânii. Timp de șapte zile, notează câte porții de legume, fructe și cereale mănânci pe zi. Desenează pentru fiecare zi o bară stivuită cu cele trei segmente și verifică dacă ziua cu bara cea mai înaltă este și ziua cu cele mai multe legume.

3. Zahărul din băuturi. Citește pe etichetele a patru băuturi câte grame de zahăr au la $100$ mL și desenează diagrama cu bare, cu unitatea pe axă. Apoi desenează a doua diagramă, cu bare orizontale, în care unitatea este „cuburi de zahăr de $4$ g”, și verifică dacă forma s-a păstrat.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează diagrama cu bare atât ca instrument de construcție, cât și ca text care trebuie citit critic. Programa clasei a X-a cere recunoașterea „variabilei studiate, tipului diagramei, unității de măsură” și lectura reprezentărilor grafice din media, de unde protocolul de citire în patru pași și calculul raportului văzut pe o axă trunchiată. Barele stivuite apar des în rapoartele științifice și se citesc prin diferențe, ca frecvențele cumulate.

Întrebări bune de control: „Ce unitate are axa și de unde pornește?”; „Valoarea segmentului e capătul lui sau o diferență?”; „Cu cât la sută diferă cele două bare, nu cu câte unități?”. Semn că elevul a înțeles: citește eticheta axei înainte de bare și calculează singur raportul real atunci când axa nu pornește de la $0$. Lecția continuă cu diagramele circulare; lectura unui desen făcut pe axe gradate a început în clasa a IX-a, în lecția despre graficul unei funcții și lectura grafică. Unitatea se verifică în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: diagrame cu bare, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică matematică” numește diagramele cu bare printre reprezentările grafice ale seturilor de date, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare”, „reprezentarea grafică a datelor statistice”, cu nota că aplicațiile sunt din domeniul financiar. De aceea exercițiile de citire a unei diagrame marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2” și au context financiar; exemplul de tip bacalaureat păstrează un context de teren, pe aceeași formă a cerinței. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între lecția de la M2 și cea de la mate-info (M1)? Construcția diagramei este aceeași. La științe ale naturii lecția insistă pe citirea diagramelor din rapoarte științifice: unitatea și multiplicatorul axei, estimarea între gradații, barele stivuite și calculul raportului văzut pe o axă trunchiată, pe date de laborator, de teren și de monitorizare a mediului.

La ce subiect apar diagramele cu bare la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 cere reprezentarea grafică a datelor statistice, în capitolul de matematici financiare, deci o diagramă poate apărea într-o cerință cu context financiar. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică. Pentru proba MAT_P2 din 2030, diagramele cu bare sunt în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”, fără model de subiect publicat până acum.

Ce sunt barele stivuite și cum le citesc? Sunt bare împărțite în segmente, câte unul pentru fiecare parte a unei categorii. Pe axă citești capetele segmentelor, care sunt sume: valoarea unui segment este capătul lui minus capătul segmentului de dedesubt. Lungimea întregii bare este totalul categoriei, iar la varianta $100\%$ toate barele au aceeași lungime.

Cu ce precizie pot citi o valoare de pe o diagramă fără etichete? Precizia depinde de pasul gradațiilor. Cu gradații din $5$ în $5$ poți spune, de obicei, dacă bara se oprește la jumătatea intervalului sau mai aproape de una dintre margini, adică o precizie de aproximativ o unitate. Când ai nevoie de valoarea exactă, o iei din tabelul care însoțește diagrama.

Pot desena bare pentru valori negative? Da. Axa de referință rămâne cea a lui $0$, iar bara unei valori negative coboară sub ea, cu lungimea egală cu valoarea absolută. Așa se reprezintă, de exemplu, temperaturile medii ale lunilor de iarnă sau bilanțul unei populații care a scăzut. Proporționalitatea lungimilor rămâne valabilă de o parte și de alta a axei.

Ce înseamnă „în mii” sau „$\times 1000$” pe axa unei diagrame? Înseamnă că toate valorile citite pe axă trebuie înmulțite cu $1000$. Autorii folosesc această scriere când valorile sunt mari, ca gradațiile să rămână scurte și ușor de citit. O bară care ajunge la $3,5$ pe o axă „în mii” reprezintă $3500$ de unități; unitatea de măsură rămâne cea din eticheta axei.