Ecuații bipătrate

Un dreptunghi are diagonala de $\sqrt{13}$ centimetri și aria de $6$ centimetri pătrați. Cât sunt laturile? Notând laturile $x$ și $y$, obții $x^2+y^2=13$ și $xy=6$; scoți $y=\frac{6}{x}$, înlocuiești și ajungi la

$$x^2+\frac{36}{x^2}=13⟺x^4-13x^2+36=0.$$

O ecuație de gradul al patrulea — care, la prima vedere, sună descurajant. Numai că în ea apar doar puteri pare ale necunoscutei: $x^4$ și $x^2$. Iar când toate puterile sunt pare, ecuația își ascunde în ea o ecuație de gradul al doilea: dacă notezi $x^2=y$, atunci $x^4=y^2$ și rămâne $y^2-13y+36=0$, pe care o rezolvi în zece secunde.

Acesta este întregul secret al ecuațiilor bipătrate: o substituție care coboară gradul de la $4$ la $2$. Restul lecției e despre partea în care se pierd de obicei punctele — întoarcerea de la $y$ la $x$, unde trebuie discutate toate cazurile și scrise toate cele patru rădăcini, inclusiv cele complexe.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști o ecuație bipătrată și de ce substituția $x^2=y$ funcționează.
• Vei ști să rezolvi ecuația în $y$ și să te întorci corect la necunoscuta $x$.
• Vei ști să discuți cele trei cazuri: $y>0$, $y=0$ și $y<0$ — ultimul dând rădăcini pur imaginare.
• Vei ști să scrii toate cele patru rădăcini în $\mathbb{C}$, cu multiplicitățile lor.
• Vei ști să descompui o ecuație bipătrată în produs de doi factori de forma $x^2-y_k$.
• Vei ști să folosești simetria rădăcinilor: dacă $x_0$ este rădăcină, atunci și $-x_0$ este.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o ecuație bipătrată

Definiție. O ecuație de forma

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0,a,b,c\in \mathbb{C},a\ne 0,$$

se numește ecuație bipătrată. Numele vine de la faptul că necunoscuta apare doar prin pătratul ei: ecuația este „de gradul al doilea în $x^2$".

Condiția esențială este absența puterilor impare: nu apar nici $x^3$, nici $x$. Ecuația $x^4-3x^2+2=0$ este bipătrată; $x^4+x^3-1=0$ nu este, pentru că are termen în $x^3$; $x^4-5x=0$ nu este, pentru că are termen în $x$. Cazurile în care lipsește $x^2$ (adică $b=0$) sau termenul liber (adică $c=0$) sunt admise, dar se rezolvă mai simplu, prin factor comun sau ca ecuații binome.

2. Substituția și de ce funcționează

Notăm

$$x^2=y⟹x^4={\left(x^2\right)}^2=y^2.$$

Ecuația devine $a{y}^2+by+c=0$, o ecuație de gradul al doilea în $y$, pe care o rezolvi cu formula obișnuită. Obții $y_1$ și $y_2$ (eventual egale).

Substituția funcționează exact pentru că toate puterile sunt pare. Dacă ar apărea $x^3$, nu l-am putea scrie ca putere a lui $x^2$, iar trucul ar cădea.

Atenție la o capcană de raționament: rezolvarea nu se termină când ai găsit $y_1$ și $y_2$. Acelea sunt valorile lui $x^2$, nu ale lui $x$. Fiecare valoare a lui $y$ dă două valori ale lui $x$, deci în total patru — cât gradul ecuației.

3. Întoarcerea la $x$: cele trei cazuri

Pentru fiecare rădăcină $y_k$ rezolvăm ecuația $x^2=y_k$. Când $y_k$ este un număr real, avem trei situații:

Ultimul rând este noutatea clasei a X-a. În clasa a IX-a, un $y$ negativ însemna „nu are soluții"; acum, în $\mathbb{C}$, are. De exemplu, din $x^2=-4$ obținem $x=\pm 2i$, pentru că $(2i{)}^2=4i^2=-4$ ✓

Regula de scriere: din $x^2=-k$, cu $k>0$, rezultă $x=\pm i\sqrt{k}$. Nu scrie niciodată $\sqrt{-k}$ ca și cum ar fi un număr obișnuit — scoate întâi factorul $i$.

4. Simetria rădăcinilor

O ecuație bipătrată conține doar puteri pare, deci $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x$. Consecință imediată:

Dacă $x_0$ este rădăcină a unei ecuații bipătrate, atunci și $-x_0$ este rădăcină.

Rădăcinile se așază așadar simetric: $\pm x_1$ și $\pm x_2$. Este o verificare excelentă: dacă la final ai o rădăcină fără „perechea" ei cu semn schimbat, ai greșit undeva.

Din simetrie decurge și o observație despre relațiile lui Viète: suma rădăcinilor unei bipătrate este întotdeauna $0$, ceea ce se potrivește cu $S_1=-\frac{a_3}{a_4}=-\frac{0}{a}=0$, coeficientul lui $x^3$ fiind nul.

5. Legătura cu descompunerea în factori

Dacă $y_1$ și $y_2$ sunt rădăcinile ecuației în $y$, atunci $a{y}^2+by+c=a(y-y_1)(y-y_2)$, deci, revenind la $x$:

$$a{x}^4+b{x}^2+c=a\left(x^2-y_1\right)\left(x^2-y_2\right).$$

Aceasta este descompunerea „naturală" a unei bipătrate în doi factori de gradul al doilea. Mai departe:

• dacă $y_k>0$, factorul $x^2-y_k$ se sparge în $\left(x-\sqrt{y_k}\right)\left(x+\sqrt{y_k}\right)$;
• dacă $y_k<0$, factorul $x^2-y_k=x^2+|y_k|$ are discriminant negativ, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$, dar se sparge peste $\mathbb{C}$.

Este exact tabloul din lecția Descompunerea în factori ireductibili peste C și peste R, aplicat unui caz particular foarte comod.

6. Rădăcini multiple

Dacă ecuația în $y$ are discriminantul zero, obții o singură valoare $y_1=y_2$, deci doar două valori distincte pentru $x$ — fiecare dublă.

Exemplu: $x^4-2x^2+1=0$ devine $y^2-2y+1=0$, adică $(y-1{)}^2=0$, cu $y=1$ rădăcină dublă. Atunci $x^2=1$, deci $x=\pm 1$, fiecare cu ordinul de multiplicitate $2$:

$$x^4-2x^2+1={\left(x^2-1\right)}^2=(x-1{)}^2(x+1{)}^2.$$

Numărul de rădăcini distincte este $2$, dar numărul total, cu multiplicitate, rămâne $4$ — cât gradul, conform teoremei fundamentale a algebrei. Noțiunea de ordin de multiplicitate e discutată pe larg la Rădăcini multiple și ordinul de multiplicitate.

7. Rețeta completă și verificarea

1. Verifici că ecuația este bipătrată (doar puteri pare).
2. Substitui $x^2=y$ și rezolvi $a{y}^2+by+c=0$.
3. Pentru fiecare $y_k$ rezolvi $x^2=y_k$, după tabelul din secțiunea 3.
4. Scrii toate cele patru rădăcini (cu multiplicitate) și verifici simetria $\pm$.
5. Verifici prin înlocuire în ecuația inițială cel puțin o rădăcină reală și una imaginară, sau prin Viète: suma trebuie să fie $0$, produsul trebuie să fie $\frac{c}{a}$.

Pentru revenirea la ecuația din deschidere: $x^4-13x^2+36=0$ dă $y^2-13y+36=0$, cu $\Delta =169-144=25$, deci $y=\frac{13\pm 5}{2}$, adică $y_1=9$ și $y_2=4$. De aici $x=\pm 3$ și $x=\pm 2$. Laturile dreptunghiului, fiind pozitive, sunt $3$ și $2$ centimetri: diagonala $\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ ✓, aria $6$ ✓.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate rădăcinile reale

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-5x^2+4=0$.

Rezolvare. Notăm $x^2=y$ și obținem $y^2-5y+4=0$, cu $\Delta =25-16=9$, deci $y=\frac{5\pm 3}{2}$: $y_1=4$, $y_2=1$.

• Din $x^2=4$: $x=\pm 2$.
• Din $x^2=1$: $x=\pm 1$.

Soluțiile sunt $x\in \{-2,-1,1,2\}$ — patru rădăcini reale distincte, așezate simetric față de zero ✓

Descompunere: $x^4-5x^2+4=\left(x^2-4\right)\left(x^2-1\right)=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$.

Exemplul 2 — Rădăcini reale și rădăcini imaginare

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+3x^2-4=0$.

Rezolvare. Cu $x^2=y$: $y^2+3y-4=0$, cu $\Delta =9+16=25$, deci $y=\frac{-3\pm 5}{2}$: $y_1=1$, $y_2=-4$.

• Din $x^2=1$: $x=\pm 1$ (reale).
• Din $x^2=-4$: $x=\pm 2i$ (pur imaginare), pentru că $(2i{)}^2=-4$ ✓

Soluțiile sunt $x\in \{1,-1,2i,-2i\}$. Observă că cele două rădăcini nereale sunt conjugate — obligatoriu, coeficienții fiind reali.

Descompunere peste $\mathbb{R}$: $\left(x^2-1\right)\left(x^2+4\right)=(x-1)(x+1)\left(x^2+4\right)$, ultimul factor fiind ireductibil ($\Delta =-16<0$).

Exemplul 3 — Toate rădăcinile pur imaginare

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+5x^2+6=0$.

Rezolvare. Cu $x^2=y$: $y^2+5y+6=0$, cu $\Delta =25-24=1$, deci $y=\frac{-5\pm 1}{2}$: $y_1=-2$, $y_2=-3$.

Ambele valori sunt negative, deci ambele dau rădăcini pur imaginare:

• Din $x^2=-2$: $x=\pm i\sqrt{2}$.
• Din $x^2=-3$: $x=\pm i\sqrt{3}$.

Soluțiile sunt $x\in \left\{i\sqrt{2},-i\sqrt{2},i\sqrt{3},-i\sqrt{3}\right\}$: nicio rădăcină reală, ceea ce e perfect posibil la grad par.

Verificare pentru $x=i\sqrt{2}$: $x^2=-2$, $x^4=4$, deci $4+5(-2)+6=4-10+6=0$ ✓

Exemplul 4 — Rădăcini duble

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-2x^2+1=0$ și precizați ordinele de multiplicitate.

Rezolvare. Cu $x^2=y$: $y^2-2y+1=0$, adică $(y-1{)}^2=0$, deci $y=1$ este rădăcină dublă.

Din $x^2=1$ obținem $x=\pm 1$. Cum $y=1$ apare de două ori, fiecare dintre $x=1$ și $x=-1$ este rădăcină dublă:

$$x^4-2x^2+1={\left(x^2-1\right)}^2=(x-1{)}^2(x+1{)}^2.$$

Rădăcini distincte: două. Rădăcini numărate cu multiplicitate: $2+2=4$ ✓ — cât gradul.

Exemplul 5 — Coeficient dominant diferit de 1

Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $4x^4-17x^2+4=0$.

Rezolvare. Cu $x^2=y$: $4y^2-17y+4=0$, cu $\Delta =289-64=225$ și $\sqrt{\Delta }=15$, deci

$$y=\frac{17\pm 15}{8}⟹y_1=4,y_2=\frac{1}{4}.$$

• Din $x^2=4$: $x=\pm 2$.
• Din $x^2=\frac{1}{4}$: $x=\pm \frac{1}{2}$.

Soluțiile sunt $x\in \left\{2,-2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right\}$.

Verificare prin Viète: produsul rădăcinilor trebuie să fie $\frac{4}{4}=1$, iar $2\cdot (-2)\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=1$ ✓; suma este $0$ ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f=X^4+7X^2-18$. a) Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $f(x)=0$. b) Descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$.

Rezolvare. a) Cu $x^2=y$: $y^2+7y-18=0$, cu $\Delta =49+72=121$ și $\sqrt{\Delta }=11$, deci

$$y=\frac{-7\pm 11}{2}⟹y_1=2,y_2=-9.$$

• Din $x^2=2$: $x=\pm \sqrt{2}$.
• Din $x^2=-9$: $x=\pm 3i$.

Soluțiile sunt $x\in \left\{\sqrt{2},-\sqrt{2},3i,-3i\right\}$.

b) Din descompunerea în $y$: $f=\left(X^2-2\right)\left(X^2+9\right)$. Primul factor are rădăcini reale, deci se sparge: $X^2-2=\left(X-\sqrt{2}\right)\left(X+\sqrt{2}\right)$. Al doilea are $\Delta =-36<0$, deci este ireductibil peste $\mathbb{R}$. Prin urmare

$$f=\left(X-\sqrt{2}\right)\left(X+\sqrt{2}\right)\left(X^2+9\right).$$

Verificare: $\left(X^2-2\right)\left(X^2+9\right)=X^4+9X^2-2X^2-18=X^4+7X^2-18$ ✓

Să exersăm

Scrie de fiecare dată substituția explicit și nu te opri la valorile lui $y$ — cerința este rezolvarea în $x$. Verifică la final simetria rădăcinilor.

1. Care dintre ecuațiile următoare sunt bipătrate? a) $x^4-3x^2+2=0$; b) $x^4+x^3-1=0$; c) $2x^4-5=0$; d) $x^4-5x=0$.

2. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-10x^2+9=0$.

3. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-6x^2+8=0$.

4. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+2x^2-3=0$.

5. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+x^2-2=0$.

6. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4-3x^2-4=0$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice ecuație bipătrată cu coeficienți reali are patru rădăcini reale."

8. Rezolvă $x^4-2x^2+1=0$ și precizează ordinele de multiplicitate ale rădăcinilor.

9. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $9x^4-13x^2+4=0$.

10. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $2x^4-9x^2+4=0$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $x_0$ este rădăcină a unei ecuații bipătrate, atunci și $-x_0$ este rădăcină."

12. Rezolvă în $\mathbb{C}$ ecuația $x^4+5x^2+6=0$ și arată că nu are nicio soluție reală.

13. (Problemă aplicată.) Un dreptunghi are diagonala de $5$ centimetri și aria de $12$ centimetri pătrați. Notând cu $x$ una dintre laturi, scrie ecuația bipătrată corespunzătoare și află dimensiunile dreptunghiului.

14. Descompune $x^4-5x^2+4$ în factori ireductibili peste $\mathbb{R}$.

15. Determină $m\in \mathbb{R}$ astfel încât $x=2$ să fie soluție a ecuației $x^4-(m+1)x^2+m=0$, apoi rezolvă complet ecuația obținută.

16. Pentru ce valori ale lui $m\in \mathbb{R}$ ecuația $x^4+m{x}^2+4=0$ are patru rădăcini reale distincte?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f=X^4-13X^2+36$. a) Rezolvați în $\mathbb{C}$ ecuația $f(x)=0$. b) Descompuneți $f$ în factori de gradul întâi. c) Calculați suma și produsul rădăcinilor lui $f$, verificând rezultatul cu relațiile lui Viète.

18. (Provocare.) Ecuația $x^4+4=0$ pare bipătrată cu $b=0$, dar substituția duce la $y^2=-4$, deci $y=\pm 2i$ — valori nereale, pentru care tabelul din lecție nu se aplică. Rezolvă ecuația altfel: arată că $x^4+4=\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)$ și găsește cele patru rădăcini. (Ecuațiile de tipul $x^n=a$ se studiază la Ecuații binome.)

Răspunsuri și explicații

1. Bipătrate sunt a) și c) — conțin doar puteri pare ale lui $x$. La b) apare $x^3$, la d) apare $x$, deci nu sunt bipătrate. (La c), $2x^4=5$ se poate rezolva și direct, ca ecuație binomă.)

2. $y^2-10y+9=0$, cu $\Delta =100-36=64$, deci $y=\frac{10\pm 8}{2}$: $y_1=9$, $y_2=1$. Soluții: $x\in \{3,-3,1,-1\}$.

3. $y^2-6y+8=0$, cu $\Delta =36-32=4$, deci $y_1=4$, $y_2=2$. Soluții: $x\in \left\{2,-2,\sqrt{2},-\sqrt{2}\right\}$.

4. $y^2+2y-3=0$, cu $\Delta =4+12=16$, deci $y_1=1$, $y_2=-3$. Soluții: $x\in \left\{1,-1,i\sqrt{3},-i\sqrt{3}\right\}$.

5. $y^2+y-2=0$, cu $\Delta =1+8=9$, deci $y_1=1$, $y_2=-2$. Soluții: $x\in \left\{1,-1,i\sqrt{2},-i\sqrt{2}\right\}$.

6. $y^2-3y-4=0$, cu $\Delta =9+16=25$, deci $y_1=4$, $y_2=-1$. Soluții: $x\in \{2,-2,i,-i\}$.

7. Fals. Rădăcinile sunt reale doar dacă ambele valori ale lui $y$ sunt nenegative. Contraexemplu: $x^4+5x^2+6=0$ are toate cele patru rădăcini pur imaginare.

8. $(y-1{)}^2=0$, deci $y=1$ este rădăcină dublă, iar $x^2=1$ dă $x=\pm 1$, fiecare cu ordinul de multiplicitate $2$. Descompunerea: $(x-1{)}^2(x+1{)}^2$.

9. $9y^2-13y+4=0$, cu $\Delta =169-144=25$, deci $y=\frac{13\pm 5}{18}$: $y_1=1$, $y_2=\frac{4}{9}$. Soluții: $x\in \left\{1,-1,\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right\}$.

10. $2y^2-9y+4=0$, cu $\Delta =81-32=49$, deci $y=\frac{9\pm 7}{4}$: $y_1=4$, $y_2=\frac{1}{2}$. Din $x^2=\frac{1}{2}$ obținem $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Soluții: $x\in \left\{2,-2,\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.

11. Adevărat. Ecuația conține doar puteri pare, deci $f(-x)=f(x)$; din $f(x_0)=0$ rezultă $f(-x_0)=f(x_0)=0$. De aceea rădăcinile apar mereu în perechi $\pm$.

12. $y^2+5y+6=0$ dă $y_1=-2$, $y_2=-3$, ambele negative. Cum pătratul oricărui număr real este nenegativ, ecuațiile $x^2=-2$ și $x^2=-3$ nu au soluții reale. În $\mathbb{C}$: $x\in \left\{\pm i\sqrt{2},\pm i\sqrt{3}\right\}$.

13. Cu laturile $x$ și $y$: $x^2+y^2=25$ și $xy=12$, deci $y=\frac{12}{x}$ și $x^2+\frac{144}{x^2}=25$, adică $x^4-25x^2+144=0$. Cu $x^2=t$: $t^2-25t+144=0$, $\Delta =625-576=49$, deci $t=\frac{25\pm 7}{2}$: $t_1=16$, $t_2=9$. Laturile fiind pozitive, $x=4$ și $x=3$: dreptunghiul are dimensiunile $4$ și $3$ centimetri (diagonala $5$ ✓, aria $12$ ✓).

14. $x^4-5x^2+4=\left(x^2-4\right)\left(x^2-1\right)=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$ — toți factorii au gradul întâi, deci descompunerea peste $\mathbb{R}$ coincide cu cea peste $\mathbb{C}$.

15. $16-4(m+1)+m=0\Rightarrow 16-4m-4+m=0\Rightarrow 12=3m\Rightarrow m=4$. Ecuația devine $x^4-5x^2+4=0$, cu soluțiile $x\in \{\pm 1,\pm 2\}$ (Exemplul 1).

16. Cu $x^2=y$: $y^2+my+4=0$. Ne trebuie două rădăcini reale, distincte și strict pozitive: $\Delta =m^2-16>0$, suma $-m>0$ și produsul $4>0$ (automat). Din primele două: $|m|>4$ și $m<0$, deci $m<-4$. (Pentru $m=-5$, de pildă, $y^2-5y+4=0$ dă $y\in \{1,4\}$ și rădăcinile $\pm 1,\pm 2$.)

17. a) $y^2-13y+36=0$, cu $\Delta =169-144=25$, deci $y_1=9$, $y_2=4$; soluțiile sunt $x\in \{3,-3,2,-2\}$. b) $f=(X-3)(X+3)(X-2)(X+2)$. c) Suma rădăcinilor este $3-3+2-2=0$, iar coeficientul lui $X^3$ fiind $0$, Viète dă $S_1=-\frac{0}{1}=0$ ✓; produsul este $3\cdot (-3)\cdot 2\cdot (-2)=36$, iar Viète dă $S_4=\frac{36}{1}=36$ ✓

18. Adunăm și scădem $4x^2$: $x^4+4=\left(x^4+4x^2+4\right)-4x^2={\left(x^2+2\right)}^2-(2x{)}^2=\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)$. Din $x^2-2x+2=0$ (cu $\Delta =-4$): $x=1\pm i$. Din $x^2+2x+2=0$: $x=-1\pm i$. Cele patru rădăcini sunt $\pm 1\pm i$, iar simetria $\pm$ se păstrează ✓

De reținut

• O ecuație bipătrată are forma $a{x}^4+b{x}^2+c=0$: doar puteri pare ale necunoscutei.
• Substituția $x^2=y$ o transformă în $a{y}^2+by+c=0$; rezolvarea nu se oprește la $y$ — fiecare $y_k$ dă două valori ale lui $x$.
• Discuția întoarcerii: $y_k>0\Rightarrow x=\pm \sqrt{y_k}$ (reale); $y_k=0\Rightarrow x=0$ (dublă); $y_k<0\Rightarrow x=\pm i\sqrt{-y_k}$ (pur imaginare).
• Rădăcinile sunt simetrice: dacă $x_0$ este rădăcină, și $-x_0$ este; suma tuturor rădăcinilor este $0$.
• Descompunerea: $a{x}^4+b{x}^2+c=a\left(x^2-y_1\right)\left(x^2-y_2\right)$; factorii cu $y_k<0$ rămân ireductibili peste $\mathbb{R}$.

Greșeli frecvente

• Oprirea la valorile lui $y$. $y_1=4$ nu este soluție a ecuației inițiale; soluțiile sunt $x=\pm 2$. Este cea mai costisitoare greșeală la examen.
• Ignorarea valorilor negative ale lui $y$. În $\mathbb{C}$, din $x^2=-4$ rezultă $x=\pm 2i$; a scrie „nu are soluții" înseamnă a pierde jumătate din rădăcini.
• Uitarea semnului minus. Fiecare $y_k$ pozitiv dă două rădăcini, $+\sqrt{y_k}$ și $-\sqrt{y_k}$; se scrie des doar prima.
• Scrierea $\sqrt{-9}$ ca număr. Corect este $x=\pm 3i$; radicalul dintr-un număr negativ nu se manipulează ca un radical obișnuit.
• Aplicarea metodei la ecuații care nu sunt bipătrate. Dacă apare $x^3$ sau $x$, substituția $x^2=y$ nu funcționează — atunci cauți rădăcini raționale sau folosești alte metode.

Aplică acasă

1. Fabrica de bipătrate. Alege două numere, unul pozitiv și unul negativ (de exemplu $y_1=9$ și $y_2=-1$), formează polinomul $\left(x^2-9\right)\left(x^2+1\right)$, desfă parantezele și rezolvă ecuația obținută. Compară rădăcinile găsite cu cele pe care le-ai proiectat: două reale, două pur imaginare.

2. Dreptunghiuri din realitate. Măsoară un obiect dreptunghiular din casă (o carte, un ecran) și calculează-i diagonala și aria. Formează apoi ecuația bipătrată $x^4-d^2{x}^2+{\mathcal{S}}^2=0$, unde $d$ este diagonala și $\mathcal{S}$ este aria, și verifică faptul că rădăcinile ei pozitive sunt chiar dimensiunile măsurate.

3. Graficul care explică tot. Cu un instrument digital de reprezentare grafică, desenează funcțiile $x^4-5x^2+4$, $x^4+3x^2-4$ și $x^4+5x^2+6$ pe același ecran. Numără de câte ori taie fiecare grafic axa $Ox$ ($4$, $2$, respectiv $0$) și leagă rezultatul de semnele valorilor lui $y$ obținute la rezolvare.

Pentru părinți și profesori

Ecuațiile bipătrate sunt cerute explicit de programa de matematică-informatică și reprezintă primul tip de ecuație de grad superior pe care elevul îl rezolvă complet, prin substituție. Metoda este simplă; dificultatea reală este întoarcerea de la $y$ la $x$, unde se pierde cel mai des punctajul: fie se dau ca soluții valorile lui $y$, fie se ignoră rădăcinile pur imaginare.

Ce verifică lecția: recunoașterea formei (doar puteri pare), efectuarea corectă a substituției, discuția celor trei cazuri după semnul lui $y$, scrierea tuturor celor patru rădăcini cu multiplicitate și descompunerea în factori. Întrebări bune de control: „Câte soluții are ecuația $x^2=-4$ în $\mathbb{C}$?", „De ce suma rădăcinilor unei bipătrate este întotdeauna zero?", „Câte rădăcini distincte are $x^4-2x^2+1=0$ și câte cu multiplicitate?".

Semne că elevul a înțeles: scrie substituția explicit, nu confundă soluțiile în $y$ cu cele în $x$, tratează firesc cazul $y<0$ și verifică simetria rădăcinilor la final. La Bacalaureat M1, ecuațiile bipătrate apar atât ca cerință directă, cât și ascunse în probleme de descompunere sau în sisteme reductibile la o singură necunoscută.

Întrebări frecvente

Ce este o ecuație bipătrată? O ecuație de forma $a{x}^4+b{x}^2+c=0$, cu $a\ne 0$, în care necunoscuta apare doar prin puteri pare. Se numește așa pentru că este, de fapt, o ecuație de gradul al doilea în $x^2$.

Cum rezolv o ecuație bipătrată? Notezi $x^2=y$, rezolvi ecuația de gradul al doilea $a{y}^2+by+c=0$, apoi, pentru fiecare valoare $y_k$ obținută, rezolvi $x^2=y_k$. Fiecare $y_k$ îți dă două valori ale lui $x$.

Ce fac dacă valoarea lui y este negativă? În $\mathbb{C}$ ecuația $x^2=y_k$ are soluții și atunci: din $x^2=-k$, cu $k>0$, rezultă $x=\pm i\sqrt{k}$, două rădăcini pur imaginare, conjugate una alteia.

Câte rădăcini are o ecuație bipătrată? Exact patru, numărate cu multiplicitate — cât gradul. Numărul rădăcinilor distincte poate fi mai mic: dacă ecuația în $y$ are rădăcină dublă, obții doar două valori distincte pentru $x$, fiecare dublă.

De ce rădăcinile apar în perechi cu semn opus? Pentru că ecuația conține doar puteri pare, deci $f(-x)=f(x)$. Dacă $x_0$ anulează polinomul, îl anulează și $-x_0$. Ca urmare, suma tuturor rădăcinilor este zero.

Cum descompun o ecuație bipătrată în factori? Din rădăcinile $y_1,y_2$ ale ecuației în $y$ scrii $a{x}^4+b{x}^2+c=a\left(x^2-y_1\right)\left(x^2-y_2\right)$. Factorii cu $y_k>0$ se sparg mai departe în factori de gradul întâi; cei cu $y_k<0$ rămân ireductibili peste $\mathbb{R}$.

Ecuația $x^4-5x=0$ este bipătrată? Nu, pentru că apare puterea impară $x$. Ea se rezolvă dând factor comun: $x\left(x^3-5\right)=0$. Substituția $x^2=y$ funcționează doar când toate puterile sunt pare.

Unde apar ecuațiile bipătrate la Bacalaureat M1? Ca cerință directă de rezolvare în $\mathbb{C}$, ca pas într-o problemă de descompunere în factori ireductibili sau în probleme de geometrie și fizică unde relația dintre mărimi conduce la o ecuație cu puteri pare.