Viteza și accelerația, aflate cu derivata (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

La ora de fizică scrii legea de mișcare a unui corp și citești din ea unde se află corpul la fiecare moment. La ora de matematică ai acum unealta care scoate din aceeași lege două mărimi pe care ochiul nu le vede direct: cât de repede se mișcă și cum i se schimbă viteza. Amândouă sunt derivate — prima a poziției, a doua a vitezei —, iar în clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), programa cere modelul cinematic pe nume — o temă care nu se cere la Bacalaureatul M2 2027–2029, ci abia de la proba MAT_P2, din 2030.

Lecția închide unitatea „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor" cu partea în care matematica se întoarce în laborator. Vei lucra cu o coordonată $x (t)$ pe o axă, cu unități de măsură scrise la fiecare rezultat și cu intervalul de valabilitate declarat de fiecare dată. Programa de examen a generației de acum (OMEN 4430/2014) nu conține modelul cinematic, așa că pentru ea lecția este o punte spre fizică și chimie; pentru generația care va da proba MAT_P2, tema stă în domeniul Analiză matematică.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii viteza unui corp ca derivată a coordonatei și accelerația ca derivată a vitezei, cu unitățile lor.
Vei ști să citești din semnul vitezei sensul deplasării și din semnul comun al vitezei și accelerației dacă mișcarea se iuțește sau se domolește.
Vei ști să determini momentele de oprire rezolvând $v (t) = 0$ și să spui ce se întâmplă acolo.
Vei ști să declari intervalul de valabilitate al unui model și să nu tragi concluzii în afara lui.
Vei ști să aplici același calcul la o viteză de reacție din chimie și la un ritm de creștere din biologie.
Vei ști să redactezi rezolvarea în forma cerută la examen: derivata, ecuația, semnul, interpretarea cu unitate.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este viteza unui mobil?

Un patinator alunecă în linie dreaptă pe o pistă. Alegem pe pistă un punct de reper, numit origine, și un sens pozitiv; poziția patinatorului la momentul $t$ este atunci un singur număr, notat $x (t)$ și numit coordonată. Ea se măsoară în metri și poate fi negativă — asta înseamnă doar că mobilul se află de cealaltă parte a originii, nu că vreo distanță ar fi negativă.

Viteza la momentul $t$ este derivata coordonatei: $v (t) = x^{'} (t)$ . Definiția vine direct din ce ai construit în unitatea precedentă: raportul $\frac{x ( t ) - x ( t _{0} )}{t - t _{0}}$ măsoară cât de repede s-a schimbat poziția între două momente, iar limita lui dă valoarea din clipa $t_{0}$ . Unitatea se citește la fel de mecanic: metri împărțiți la secunde, adică $m/s$ .

Dacă legea este $x (t) = t^{3} - 12 t^{2} + 36 t$ (metri, $t$ în secunde), atunci $v (t) = 3 t^{2} - 24 t + 36$ , iar la $t = 1$ obținem $v (1) = 3 - 24 + 36 = 15$ metri pe secundă. Tot ce ține de calculul propriu-zis e deja învățat în lecția despre regulile de derivare; ce e nou aici e traducerea rezultatului în limbajul mișcării.

2. De ce accelerația este derivata a doua?

Viteza nu rămâne, de regulă, aceeași. Cât de repede se schimbă ea este tot o rată de variație, deci tot o derivată: accelerația este derivata vitezei, adică derivata a doua a coordonatei, $a (t) = v^{'} (t) = x^{''} (t)$ . Noțiunea de derivată a doua e cea din lecția despre derivata a doua; aici i se dă un nume fizic.

Unitatea se obține din aceeași regulă, aplicată de două ori: viteza este în metri pe secundă, iar derivata ei se împarte încă o dată la secunde, deci accelerația se măsoară în $m/s^{2}$ — metri pe secundă la pătrat. Pentru legea de mai sus, $a (t) = 6 t - 24$ , iar $a (1) = - 18 m/s^{2}$ .

Reține ordinea, pentru că se greșește des: se derivează coordonata pentru viteză și viteza pentru accelerație. Dacă enunțul îți dă direct legea vitezei, accelerația se obține dintr-o singură derivare, nu din două.

3. Ce spune semnul vitezei?

Semnul lui $v (t)$ dă sensul deplasării: pozitiv înseamnă că mobilul se mișcă în sensul ales ca pozitiv pe axă, negativ înseamnă că merge în sens invers. Valoarea absolută $∣ v (t)∣$ este mărimea pe care o citește un vitezometru și pe care limbajul curent o numește „cât de repede merge".

Pentru $x (t) = t^{3} - 12 t^{2} + 36 t$ avem $v (t) = 3 (t - 2) (t - 6)$ . Pe $(0, 2)$ viteza e pozitivă, pe $(2, 6)$ negativă, pe $(6, 7)$ din nou pozitivă. Mobilul pleacă înainte, se întoarce la $t = 2$ , merge înapoi până la $t = 6$ , apoi pornește iar înainte. Momentele $t = 2$ și $t = 6$ sunt cele în care viteza se anulează; acolo mobilul nu „stă", ci doar își schimbă sensul, exact cum o minge aruncată în sus are viteza nulă o singură clipă, în punctul cel mai de sus, fără să rămână acolo.

Legătura cu ce ai învățat la monotonie este imediată: intervalele pe care $v > 0$ sunt exact intervalele pe care coordonata crește, iar cele pe care $v < 0$ sunt cele pe care coordonata scade. Tabelul de semn al vitezei este tabelul de semn al derivatei lui $x$ , citit în limbaj fizic.

4. Când se iuțește mișcarea?

Aici se află capcana cea mai des întâlnită. „Accelerație negativă" nu înseamnă automat „frânare". Ce contează este dacă viteza și accelerația au același semn sau semne contrare.

Dacă $v$ și $a$ au același semn, valoarea absolută a vitezei crește: mobilul se iuțește, indiferent în ce sens merge. Dacă au semne contrare, valoarea absolută a vitezei scade: mobilul se domolește. Motivul e simplu: accelerația arată în ce direcție se schimbă viteza, iar o viteză negativă care devine și mai negativă înseamnă un corp care merge înapoi din ce în ce mai repede.

Ia legea $x (t) = t^{3} - 3 t^{2} - 9 t + 2$ , cu $v (t) = 3 t^{2} - 6 t - 9$ și $a (t) = 6 t - 6$ . La $t = 0$ avem $v = - 9$ m/s și $a = - 6 m/s^{2}$ : același semn, deci mișcarea se iuțește, deși accelerația e negativă. La $t = 2$ avem tot $v = - 9$ m/s, dar $a = 6 m/s^{2}$ : semne contrare, deci mobilul se domolește. Aceeași viteză, două comportări opuse — semnul accelerației, singur, nu decide nimic.

5. Fiecare model are un interval de valabilitate

O lege de mișcare este un model, nu un adevăr veșnic. Ea descrie fenomenul doar cât timp fenomenul există, iar intervalul acesta trebuie scris în enunț și respectat în concluzii.

O piatră aruncată în sus de pe un pod are înălțimea $h (t) = 60 + 20 t - 5 t^{2}$ metri, $t$ în secunde. Modelul este valabil de la aruncare până la atingerea apei, adică pe $[0, 6]$ , pentru că $h (6) = 0$ . Dacă cineva calculează $h (7) = 60 + 140 - 245 = - 45$ , obține o „înălțime negativă": nu e o greșeală de aritmetică, ci folosirea formulei după ce ea a încetat să mai descrie ceva.

La fel se întâmplă cu mărimile din chimie și biologie. O masă nu poate fi negativă, o concentrație nici atât, iar un număr de indivizi nu poate scădea sub zero. De fiecare dată când răspunzi la o problemă aplicată, verifică întâi dacă momentul despre care vorbești se află în intervalul declarat.

6. Aceeași derivată, în chimie

Într-un vas de reacție se formează un precipitat, iar masa lui, în grame, la $t$ minute de la amestecare, este $m (t) = 30 t - 3 t^{2}$ , $t \in [0, 5]$ . Derivata $m^{'} (t) = 30 - 6 t$ arată câte grame se formează pe minut: la $t = 1$ avem $m^{'} (1) = 24$ grame pe minut, iar la $t = 5$ derivata se anulează, adică reacția s-a încheiat. Masa finală este $m (5) = 150 - 75 = 75$ de grame.

Un cuvânt despre limbaj: viteza de reacție este, prin convenție, o mărime pozitivă. Când derivezi masa unui produs, derivata iese pozitivă și coincide cu viteza de reacție. Când derivezi concentrația unui reactant, derivata iese negativă, iar viteza de reacție este valoarea ei absolută; semnul minus spune doar că reactantul se consumă. Un răspuns de forma „viteza de reacție este $- 8$ grame pe minut" nu se acceptă la fizică sau la chimie, chiar dacă numărul e corect.

7. Aceeași derivată, în biologie

Un lăstar crește, iar lungimea lui în centimetri, la $t$ zile de la germinare, este $L (t) = 2 t t$ , pe intervalul $[0, 16]$ , cât durează faza de creștere rapidă. Puterea cu exponent fracționar nu intră la acest profil, așa că derivăm produsul: $L^{'} (t) = 2 (t + t \cdot \frac{1}{2 t}) = 2 (t + \frac{t}{2}) = 3 t$ , adică ritmul de creștere în centimetri pe zi.

La $t = 4$ ritmul este $L^{'} (4) = 6$ centimetri pe zi, iar la $t = 9$ ajunge la $L^{'} (9) = 9$ centimetri pe zi: planta nu doar crește, ci crește tot mai repede — echivalentul biologic al unei mișcări care se iuțește. Modelul spune și unde se oprește: după cele șaisprezece zile, creșterea încetinește din cauze pe care formula nu le conține, așa că extrapolarea nu are sens.

Reține tiparul comun: derivata unei mărimi care depinde de timp este ritmul ei de variație, iar unitatea rezultatului este unitatea mărimii împărțită la unitatea timpului — metri pe secundă, grame pe minut, centimetri pe zi.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Legea de mișcare, citită cap-coadă

Un mobil se deplasează pe o axă după legea $x (t) = 2 t^{3} - 24 t^{2} + 42 t$ (coordonata în metri, $t$ în secunde), $t \in [0, 8]$ . a) Determinați viteza și accelerația. b) Determinați momentele în care mobilul își schimbă sensul și pozițiile lui atunci.

Rezolvare. a) Derivând, $v (t) = 6 t^{2} - 48 t + 42$ metri pe secundă, iar derivând încă o dată, $a (t) = 12 t - 48$ metri pe secundă la pătrat.

b) Factorizăm viteza: $v (t) = 6 (t^{2} - 8 t + 7) = 6 (t - 1) (t - 7)$ , cu zerourile $t = 1$ și $t = 7$ , ambele în interval. Semnul este pozitiv pe $(0, 1)$ , negativ pe $(1, 7)$ și pozitiv pe $(7, 8)$ , deci în ambele momente sensul se schimbă. Pozițiile sunt $x (1) = 2 - 24 + 42 = 20$ de metri și $x (7) = 686 - 1176 + 294 = - 196$ de metri — între cele două întoarceri mobilul a mers mult înapoi, trecând prin origine.

Accelerațiile în aceste momente sunt $a (1) = - 36$ și $a (7) = 36$ metri pe secundă la pătrat, de semne contrare: prima întoarcere e din sensul pozitiv în cel negativ, a doua invers.

Exemplul 2 — Aruncarea în sus și intervalul de valabilitate

De pe un pod înalt de $80$ de metri se aruncă vertical în sus o piatră, iar înălțimea ei deasupra apei este $h (t) = 80 + 30 t - 5 t^{2}$ metri, $t$ în secunde. a) Determinați intervalul de valabilitate al modelului. b) Determinați înălțimea maximă și viteza cu care piatra atinge apa.

Rezolvare. a) Modelul descrie mișcarea până când piatra ajunge la apă, adică până când $h (t) = 0$ . Din $5 t^{2} - 30 t - 80 = 0$ rezultă $t^{2} - 6 t - 16 = 0$ , cu soluțiile $- 2$ și $8$ ; reținem $t = 8$ secunde. Deci modelul este valabil pe $[0, 8]$ .

b) Viteza este $v (t) = 30 - 10 t$ , care se anulează la $t = 3$ secunde, cu semn pozitiv înainte și negativ după: acolo piatra încetează să urce. Înălțimea maximă este $h (3) = 80 + 90 - 45 = 125$ de metri. La atingerea apei, $v (8) = 30 - 80 = - 50$ de metri pe secundă; semnul minus arată că piatra coboară, iar mărimea vitezei este de $50$ de metri pe secundă. Accelerația este constantă, $a (t) = - 10$ metri pe secundă la pătrat, adică accelerația gravitațională folosită în model.

Dacă am înlocui $t = 9$ , formula ar da $- 55$ , o înălțime negativă: piatra este deja în apă, iar legea nu mai descrie nimic.

Exemplul 3 — Un model din chimie, cu unități de măsură

Într-un vas de reacție, concentrația reactantului, în milimoli pe litru, la $t$ minute de la amestecare, este $c (t) = t^{2} - 24 t + 180$ , $t \in [0, 12]$ . a) Determinați viteza de reacție la $t = 3$ minute. b) Arătați că reacția se încheie la capătul intervalului și determinați concentrația rămasă.

Rezolvare. a) Derivata este $c^{'} (t) = 2 t - 24$ , deci $c^{'} (3) = - 18$ . Semnul minus arată doar că reactantul se consumă; viteza de reacție este valoarea absolută a derivatei, adică $18$ milimoli pe litru și pe minut — unitatea concentrației împărțită la unitatea timpului.

b) Pe $[0, 12)$ avem $c^{'} (t) < 0$ , deci concentrația scade tot timpul, iar viteza de reacție, fiind valoarea absolută a derivatei, este pozitivă. În $t = 12$ derivata se anulează: consumul s-a oprit, reacția nu mai înaintează. Concentrația rămasă este $c (12) = 144 - 288 + 180 = 36$ de milimoli pe litru.

Observă cum se comportă viteza: la început $24$ , la al treilea minut $18$ , la al optulea $8$ milimoli pe litru și pe minut. Reacția merge cel mai repede la început, când reactantul este în cantitate maximă, și încetinește pe măsură ce el se consumă, așa cum se vede în orice laborator.

Exemplul 4 — Ritmul de creștere al unei culturi

Într-un vas Petri, diametrul unei pete de mucegai, în milimetri, la $t$ ore de la însămânțare, este $d (t) = 8 t$ , $t \in [0, 36]$ . a) Determinați ritmul de creștere la $t = 4$ ore. b) Comparați-l cu ritmul de la $t = 16$ ore și interpretați rezultatul.

Rezolvare. a) Din tabelul derivatelor, $(t)^{'} = \frac{1}{2 t}$ , deci $d^{'} (t) = \frac{8}{2 t} = \frac{4}{t}$ . Prin urmare $d^{'} (4) = \frac{4}{2} = 2$ milimetri pe oră. Diametrul atins atunci este $d (4) = 8 \cdot 2 = 16$ milimetri.

b) La șaisprezece ore, $d^{'} (16) = \frac{4}{4} = 1$ milimetru pe oră. Ritmul a scăzut de la $2$ la $1$ : pata se lățește mai departe, dar tot mai încet. În limbajul lecției, derivata a doua este negativă, adică fenomenul se domolește — situația opusă celei din secțiunea precedentă.

Precizarea de rigoare: modelul e valabil cât timp vasul nu este acoperit, adică pe cele treizeci și șase de ore din enunț.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un mobil are legea de mișcare $x (t) = t^{3} - 9 t^{2} - 21 t + 4$ (metri, secunde), $t \in [0, 8]$ . Un elev scrie: „La $t = 0$ accelerația este $a (0) = - 18 m/s^{2}$ , deci negativă; prin urmare mobilul frânează." Găsiți greșeala.

Rezolvare. Calculele elevului sunt corecte: $v (t) = 3 t^{2} - 18 t - 21$ și $a (t) = 6 t - 18$ , deci $a (0) = - 18$ metri pe secundă la pătrat. Greșită este concluzia.

La $t = 0$ viteza este $v (0) = - 21$ metri pe secundă, deci și ea negativă. Viteza și accelerația având același semn, valoarea absolută a vitezei crește: mobilul merge înapoi din ce în ce mai repede. Proba numerică o confirmă: $v (0) = - 21$ , iar puțin mai târziu, la $t = 0, 5$ , avem $v = 3 \cdot 0, 25 - 9 - 21 = - 29, 25$ metri pe secundă, o valoare mai mare în modul.

Comparați cu momentul $t = 6$ , unde viteza are exact aceeași valoare, $v (6) = 108 - 108 - 21 = - 21$ metri pe secundă, dar accelerația este $a (6) = 18$ metri pe secundă la pătrat, de semn contrar. Acolo mișcarea chiar se domolește, iar mobilul se oprește la $t = 7$ , unde $v (7) = 147 - 126 - 21 = 0$ .

Reține regula: semnul accelerației se citește întotdeauna împreună cu semnul vitezei, niciodată singur.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $x : [0, 3] \to R$ , $x (t) = t^{3} - 15 t^{2} + 27 t$ , care dă coordonata unui mobil, în metri, la momentul $t$ , măsurat în secunde. a) Arătați că $v (t) = 3 t^{2} - 30 t + 27$ , $t \in [0, 3]$ . b) Determinați momentele în care viteza mobilului se anulează. c) Arătați că $a (t) \geq - 30$ , pentru orice $t \in [0, 3]$ .

Rezolvare.

a) Derivăm termen cu termen: $(t^{3})^{'} = 3 t^{2}$ , $(15 t^{2})^{'} = 30 t$ și $(27 t)^{'} = 27$ , deci $v (t) = x^{'} (t) = 3 t^{2} - 30 t + 27$ metri pe secundă.

b) Factorizăm: $v (t) = 3 (t^{2} - 10 t + 9) = 3 (t - 1) (t - 9)$ , cu zerourile $t = 1$ și $t = 9$ ; numai primul se află în intervalul dat, deci viteza se anulează o singură dată, la $t = 1$ secundă. Poziția corespunzătoare este $x (1) = 1 - 15 + 27 = 13$ metri.

c) Accelerația este $a (t) = v^{'} (t) = 6 t - 30$ , funcție de gradul I strict crescătoare, deci valoarea ei cea mai mică pe $[0, 3]$ se ia în capătul din stânga: $a (0) = - 30$ . Prin urmare $a (t) \geq - 30$ pentru orice $t$ din interval, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Proba MAT_P2 nu are încă un model oficial publicat, așa că exemplul este construit în stilul probei, pe structura obișnuită a problemelor de analiză: o formulă de verificat, o ecuație de rezolvat, o inegalitate de demonstrat. Observă că la b) se cere și verificarea apartenenței la interval, iar la c) nu se derivează a treia oară: monotonia unei funcții de gradul I se citește din coeficient.

Să exersăm

La fiecare rezultat aplicativ scrie unitatea de măsură, iar la fiecare model verifică intervalul de valabilitate.

1. Un mobil are legea $x (t) = t^{2} - 6 t + 8$ (metri, secunde), $t \in [0, 6]$ . Determină momentul în care viteza se anulează, poziția mobilului atunci și accelerația.

2. Pentru $x (t) = t^{3} - 12 t + 7$ , calculează viteza și accelerația la $t = 1$ și spune dacă mișcarea se iuțește sau se domolește.

3. Pentru $x (t) = 5 t^{2} - 20 t + 3$ , calculează accelerația și viteza medie pe intervalul $[0, 4]$ , apoi determină momentul în care viteza instantanee este nulă.

4. Un corp cade de la înălțimea de $80$ de metri, după legea $h (t) = 80 - 5 t^{2}$ . Determină momentul atingerii solului și viteza în acel moment, cu unitățile lor.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă accelerația unui mobil este negativă la un moment dat, atunci mobilul se domolește atunci."

6. Masa unui precipitat, în grame, la $t$ minute de la amestecare, este $m (t) = 16 t - 2 t^{2}$ , $t \in [0, 4]$ . Calculează viteza de formare la $t = 2$ și explică de ce modelul nu are sens după $t = 4$ .

7. Numărul de indivizi dintr-o colonie de microorganisme este $N (t) = 500 + 60 t - 2 t^{2}$ , $t \in [0, 20]$ zile. Determină ziua în care numărul este maxim și ritmul de creștere la $t = 5$ .

8. Arată că mobilul cu legea $x (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 12 t - 5$ nu își schimbă niciodată sensul de deplasare.

9. Un mobil are legea $x (t) = - t^{3} + 6 t^{2} + 15 t$ , $t \in [0, 6]$ . Determină momentul în care viteza este maximă, valoarea ei și accelerația în acel moment.

10. Pentru $x (t) = 4 t^{2} - 3 t$ (metri, secunde), calculează $v (4)$ și $a (4)$ și scrie unitățile de măsură ale ambelor rezultate.

11. (Problemă aplicată.) Într-un tub de sedimentare, adâncimea la care a coborât o particulă față de suprafață este $x (t) = 2 t^{2} + 3 t$ centimetri, la $t$ secunde de la eliberare, $t \in [0, 10]$ . Determină viteza și accelerația la $t = 4$ și precizează unitățile.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $x : [0, 5] \to R$ , $x (t) = t^{3} - 6 t^{2} + 5$ , care dă coordonata unui mobil, în metri, la momentul $t$ , în secunde. a) Arată că $v (t) = 3 t^{2} - 12 t$ , $t \in [0, 5]$ . b) Determină momentele în care viteza se anulează. c) Calculează accelerația la $t = 1$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $x : [0, 3] \to R$ , $x (t) = t^{4} - 8 t^{2} + 5$ . a) Calculează $v (t)$ . b) Determină momentele în care viteza se anulează. c) Calculează accelerația la $t = 2$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Se consideră funcția $x : [0, 6] \to R$ , $x (t) = 12 t - t^{2}$ . a) Arată că $a (t) = - 2$ , $t \in [0, 6]$ . b) Determină momentul în care viteza se anulează. c) Arată că $v (t) \geq 0$ , pentru orice $t \in [0, 6]$ .

15. Un mobil are viteza $v (t) = 2 t - 8$ metri pe secundă. Determină accelerația și explică de ce mobilul își schimbă sensul la $t = 4$ .

16. Pentru $x (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 15 t + 4$ , $t \in [0, 7]$ , determină intervalul pe care mobilul se deplasează în sens negativ.

17. Două mobile pornesc din același punct, cu legile $x_{1} (t) = 4 t$ și $x_{2} (t) = t^{2}$ (metri, secunde), $t \in [0, 6]$ . Determină momentul în care au aceeași viteză și distanța dintre ele atunci.

18. (Provocare.) Un mobil are legea $x (t) = t^{3} - 3 t^{2} - 24 t + 10$ , $t \in [0, 8]$ . a) Determină momentul de oprire. b) Determină momentul în care viteza este minimă și valoarea ei. c) Arată că pe intervalul $(1, 4)$ viteza și accelerația au semne contrare și explică ce înseamnă asta pentru mișcare.

Răspunsuri și explicații

1. $v (t) = 2 t - 6$ , care se anulează la $t = 3$ secunde. Poziția atunci este $x (3) = 9 - 18 + 8 = - 1$ metru, adică un metru de cealaltă parte a originii. Accelerația este constantă, $a (t) = 2$ metri pe secundă la pătrat.

2. $v (t) = 3 t^{2} - 12$ , deci $v (1) = - 9$ metri pe secundă; $a (t) = 6 t$ , deci $a (1) = 6$ metri pe secundă la pătrat. Semnele fiind contrare, mișcarea se domolește: mobilul merge înapoi, dar tot mai încet.

3. $v (t) = 10 t - 20$ și $a (t) = 10$ metri pe secundă la pătrat. Viteza medie pe $[0, 4]$ este $\frac{x ( 4 ) - x ( 0 )}{4} = \frac{3 - 3}{4} = 0$ metri pe secundă: mobilul se întoarce exact în punctul de plecare. Viteza instantanee se anulează la $t = 2$ secunde, adică la mijlocul intervalului, când mobilul își schimbă sensul.

4. Solul se atinge când $80 - 5 t^{2} = 0$ , adică $t^{2} = 16$ și $t = 4$ secunde. Viteza este $v (t) = - 10 t$ , deci $v (4) = - 40$ metri pe secundă: semnul minus arată că mișcarea e în jos, iar mărimea vitezei la impact este de $40$ de metri pe secundă. Accelerația este constantă, $- 10$ metri pe secundă la pătrat.

5. Fals. Contează semnul comun al vitezei și accelerației. Dacă ambele sunt negative, mobilul merge înapoi din ce în ce mai repede, deci se iuțește. Contraexemplu: la $x (t) = - 2 t^{2} - 9 t + 30$ , în $t = 2$ avem $v = - 17$ metri pe secundă și $a = - 4$ metri pe secundă la pătrat, iar valoarea absolută a vitezei crește.

6. $m^{'} (t) = 16 - 4 t$ , deci $m^{'} (2) = 8$ grame pe minut. La $t = 4$ derivata se anulează, adică reacția se încheie, iar masa formată este $m (4) = 64 - 32 = 32$ de grame. După $t = 4$ , derivata devine negativă, ceea ce ar însemna că precipitatul deja format dispare de la sine — fenomen pe care modelul nu îl descrie, deci intervalul de valabilitate este $[0, 4]$ .

7. $N^{'} (t) = 60 - 4 t$ , cu zeroul $t = 15$ , pozitivă înainte și negativă după, deci numărul de indivizi este maxim în ziua a cincisprezecea: $N (15) = 500 + 900 - 450 = 950$ de indivizi. Ritmul de creștere la $t = 5$ este $N^{'} (5) = 40$ de indivizi pe zi.

8. $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 12 = 3 (t^{2} - 4 t + 4) = 3 (t - 2)^{2} \geq 0$ pentru orice $t$ , cu un singur zerou, $t = 2$ . Viteza nu devine niciodată negativă, deci sensul nu se schimbă; în $t = 2$ mobilul doar încetinește până la oprire momentană și pornește mai departe în același sens.

9. $v (t) = - 3 t^{2} + 12 t + 15$ , iar viteza este maximă acolo unde derivata ei, adică accelerația, se anulează: $a (t) = - 6 t + 12$ , cu zeroul $t = 2$ secunde, pozitivă înainte și negativă după. Viteza maximă este $v (2) = - 12 + 24 + 15 = 27$ de metri pe secundă, iar accelerația în acel moment este $a (2) = 0$ — la vârful vitezei accelerația se anulează.

10. $v (t) = 8 t - 3$ , deci $v (4) = 29$ metri pe secundă; $a (t) = 8$ , deci $a (4) = 8$ metri pe secundă la pătrat. Unitățile se deduc din regula ratei: metri împărțiți la secunde pentru viteză, apoi încă o împărțire la secunde pentru accelerație.

11. $v (t) = 4 t + 3$ , deci $v (4) = 19$ centimetri pe secundă; $a (t) = 4$ , deci $a (4) = 4$ centimetri pe secundă la pătrat. Accelerația fiind constantă și pozitivă, particula coboară tot mai repede pe tot intervalul declarat.

12. a) $(t^{3})^{'} = 3 t^{2}$ și $(6 t^{2})^{'} = 12 t$ , iar derivata constantei este nulă, deci $v (t) = 3 t^{2} - 12 t$ . b) Din $3 t (t - 4) = 0$ rezultă $t = 0$ și $t = 4$ secunde. c) $a (t) = 6 t - 12$ , deci $a (1) = - 6$ metri pe secundă la pătrat.

13. a) $v (t) = 4 t^{3} - 16 t$ metri pe secundă. b) Factorizând, $v (t) = 4 t (t^{2} - 4) = 4 t (t - 2) (t + 2)$ ; în intervalul $[0, 3]$ zerourile sunt $t = 0$ și $t = 2$ secunde. c) $a (t) = 12 t^{2} - 16$ , deci $a (2) = 48 - 16 = 32$ de metri pe secundă la pătrat.

14. a) $v (t) = 12 - 2 t$ , deci $a (t) = v^{'} (t) = - 2$ metri pe secundă la pătrat, constantă. b) Din $12 - 2 t = 0$ rezultă $t = 6$ secunde, adică exact capătul intervalului. c) Viteza $12 - 2 t$ este descrescătoare, deci valoarea ei cea mai mică pe $[0, 6]$ se ia în $t = 6$ și este $0$ ; prin urmare $v (t) \geq 0$ pe tot intervalul, iar mobilul se deplasează mereu în sens pozitiv.

15. Accelerația este $a (t) = v^{'} (t) = 2$ metri pe secundă la pătrat, constantă. Viteza se anulează la $t = 4$ secunde și trece de la valori negative la valori pozitive, deci acolo mobilul își schimbă sensul. Aici enunțul dă direct viteza, așa că accelerația se obține dintr-o singură derivare.

16. $v (t) = 3 t^{2} - 18 t + 15 = 3 (t - 1) (t - 5)$ , cu zerourile $1$ și $5$ . Viteza este negativă exact între rădăcini, deci mobilul se deplasează în sens negativ pe intervalul $(1, 5)$ , adică între secunda întâi și a cincea.

17. $v_{1} (t) = 4$ și $v_{2} (t) = 2 t$ , egale când $2 t = 4$ , adică la $t = 2$ secunde. Atunci $x_{1} (2) = 8$ metri și $x_{2} (2) = 4$ metri, deci distanța dintre mobile este de $4$ metri. Deși vitezele coincid în acel moment, pozițiile nu: primul mobil a mers cu viteză constantă, al doilea a pornit mai încet.

18. a) $v (t) = 3 t^{2} - 6 t - 24 = 3 (t - 4) (t + 2)$ , cu singura rădăcină pozitivă $t = 4$ , deci mobilul se oprește la a patra secundă. b) $a (t) = 6 t - 6$ se anulează la $t = 1$ , unde trece de la minus la plus, deci viteza are un minim: $v (1) = 3 - 6 - 24 = - 27$ de metri pe secundă. c) Pe $(1, 4)$ avem $t < 4$ și $t > - 2$ , deci $v (t) < 0$ ; tot acolo $t > 1$ , deci $a (t) > 0$ . Semnele fiind contrare, valoarea absolută a vitezei scade: mobilul merge înapoi tot mai încet, până se oprește la $t = 4$ .

De reținut

Viteza este derivata coordonatei, $v = x^{'}$ , iar accelerația este derivata vitezei, $a = v^{'} = x^{''}$ . Când enunțul dă direct viteza, accelerația se obține dintr-o singură derivare.
Unitățile se deduc din regula ratei: coordonata în metri și timpul în secunde dau viteza în $m/s$ și accelerația în $m/s^{2}$ ; la un model chimic, grame pe minut; la unul biologic, centimetri pe zi.
Semnul vitezei dă sensul; semnul accelerației nu spune nimic singur. Mișcarea se iuțește când $v$ și $a$ au același semn și se domolește când au semne contrare.
Momentele de oprire sunt soluțiile ecuației $v (t) = 0$ ; dacă viteza își schimbă semnul acolo, mobilul întoarce, iar dacă nu, își continuă drumul în același sens.
Orice model are un interval de valabilitate, iar concluziile din afara lui nu au acoperire: o înălțime negativă sau o masă care scade de la sine sunt semnale că formula a fost folosită prea departe.

Greșeli frecvente

Citești „accelerație negativă" ca „frânare". Contează semnul comun cu viteza: când și viteza este negativă, mobilul merge înapoi din ce în ce mai repede, deși accelerația e negativă.
Derivezi o singură dată și numești rezultatul accelerație. Din coordonată se ajunge la accelerație prin două derivări. Invers, dacă enunțul dă legea vitezei, o a doua derivare ar da altceva decât accelerația cerută.
Folosești modelul în afara intervalului de valabilitate. Legea pietrei aruncate de pe pod dă, la o secundă după ce piatra a ajuns în apă, o înălțime negativă: modelul a încetat de mult să descrie ceva.
Nu conversia unităților din enunț. Dacă timpul e dat în minute, derivata iese în metri pe minut; ca să o exprimi în metri pe secundă, împarți la $60$ . Un răspuns corect numeric, dar cu unitatea greșită, rămâne greșit.
Raportezi viteza de reacție cu semn minus. Când derivezi concentrația unui reactant, derivata este negativă pentru că reactantul se consumă; viteza de reacție este valoarea ei absolută și se scrie ca număr pozitiv.

Aplică acasă

Bila pe scândura înclinată. Sprijină o scândură sau o riglă lungă pe câteva cărți, marchează pe ea repere din $20$ în $20$ de centimetri și dă drumul unei bile de la capătul de sus. Cronometrează, cu telefonul, momentul la care bila trece prin fiecare reper și calculează vitezele medii pe porțiuni. Vei observa că ele cresc aproape constant de la o porțiune la alta: exact semnătura unei accelerații constante.
Liftul și cântarul. Așază un cântar de baie în lift, urcă pe el și notează indicația în trei momente: la pornirea în sus, în timpul urcării uniforme și la frânare. Explică în trei rânduri de ce numărul crește la pornire și scade la oprire, folosind semnul accelerației și sensul mișcării. În mijlocul cursei, când accelerația este nulă, cântarul arată greutatea obișnuită.
Tableta efervescentă, cântărită. Pune un pahar cu apă pe un cântar de bucătărie, notează masa, apoi aruncă o tabletă efervescentă și notează masa din $15$ în $15$ secunde, până când bulele încetează. Calculează scăderile de masă pe fiecare interval — ele reprezintă gazul degajat — și spune în ce moment reacția a mers cel mai repede. Scrie apoi momentul de la care modelul „masa scade" nu mai are sens, pentru că tableta s-a consumat.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.4 „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor" — „Aplicații în domenii conexe: modelarea proceselor fizice, chimice etc. (de exemplu, utilizarea derivatelor pentru a descrie viteza și accelerația într-un model cinematic)". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) nu conține modelul cinematic: ea cere la analiză studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor — monotonie, extreme, convexitate —, fără interpretare fizică. Pentru generația de acum lecția este, deci, o punte spre fizică și chimie, nu o temă de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Un lucru de liniștit din capul locului: elevul nu are nevoie de cunoștințe de fizică în afara celor din manualul lui. Toate legile care apar — a mișcării, a formării unui precipitat, a alungirii unui lăstar — vin scrise chiar în enunț, sub formă de funcții, iar sarcina lui este strict matematică: derivează, citește semnul, atașează unitatea. Valoarea lecției pentru profilul științe ale naturii stă tocmai în faptul că leagă două ore din orar care, de obicei, nu se vorbesc.

Lecția verifică cinci lucruri: (1) ordinea derivărilor, coordonată → viteză → accelerație; (2) unitatea scrisă la fiecare rezultat; (3) citirea semnului vitezei ca sens și a semnului comun cu accelerația ca iuțire sau domolire; (4) rezolvarea ecuației $v (t) = 0$ pentru momentele de oprire; (5) respectarea intervalului de valabilitate. Trei întrebări de control: „În ce se măsoară numărul pe care l-ai scris?"; „Mobilul merge înainte sau înapoi acum, și de unde știi?"; „Până când mai are sens formula asta?". Semne că elevul a înțeles: nu trage concluzii din semnul accelerației fără să se uite la viteză și verifică, înainte de răspuns, dacă momentul cerut se află în intervalul declarat. Recapitularea uneltelor folosite aici se găsește în lecția despre intervalele de monotonie citite din semnul derivatei, iar aplicarea lor la figuri geometrice, în lecția despre problemele de optimizare; modelele de gradul al doilea folosite aici se sprijină pe parabola, vârful și simetria ei.

Întrebări frecvente

Ce trebuie derivat ca să obțin viteza, și ce ca să obțin accelerația? Coordonata $x (t)$ se derivează o dată și rezultă $v (t)$ ; pe aceasta o mai derivezi o dată și rezultă $a (t)$ . La o lege polinomială se lucrează termen cu termen, cu regulile obișnuite. Fiecare rezultat primește unitatea potrivită: metri pe secundă la prima derivare, metri pe secundă la pătrat la a doua.

Ce diferență este între tema aceasta la M2 și la mate-info (M1)? La științe ale naturii se cere modelul cinematic simplu — coordonată, viteză, accelerație, sens, interval de valabilitate — plus transferul aceleiași idei în chimie și biologie. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: aplicații ale derivatelor în fizică adaugă vitezele de variație corelate și teorema lui Lagrange, teme pe care programa de științe ale naturii nu le conține.

La ce subiect apare modelul cinematic la bacalaureatul M2? La sesiunile 2027–2029 nu apare deloc: programa de examen din 2014 cere doar studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor — monotonie, extreme, convexitate —, fără nicio interpretare fizică a rezultatului. Tema intră abia la proba MAT_P2 din 2030, în domeniul Analiză matematică, unde este numită explicit printre aplicațiile în domenii conexe.

De ce accelerația se măsoară în metri pe secundă la pătrat? Pentru că unitatea unei derivate este unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei. Viteza iese în metri pe secundă; derivând-o încă o dată în raport cu timpul, se mai împarte o dată la secunde, deci rezultatul se exprimă în metri pe secundă, pe secundă — scris pe scurt $m/s^{2}$ .

Ce înseamnă că viteza se anulează la un moment dat? Că mobilul nu se deplasează chiar în acea clipă. Dacă viteza își schimbă semnul acolo, momentul este cel al întoarcerii; dacă păstrează semnul, ca la $v (t) = 3 (t - 2)^{2}$ , mobilul încetinește până la zero și pornește mai departe în același sens, fără să se întoarcă.

Viteza de reacție poate fi negativă? Nu. Prin convenție, viteza de reacție este o mărime pozitivă. Când derivezi concentrația unui reactant, derivata iese negativă, pentru că substanța se consumă; viteza de reacție este atunci valoarea absolută a derivatei. Când derivezi masa unui produs, derivata este deja pozitivă și coincide cu viteza de reacție.

De ce trebuie să scriu intervalul pe care modelul este valabil? Pentru că formula continuă să dea numere și după ce fenomenul s-a încheiat, iar numerele acelea nu înseamnă nimic: o înălțime negativă, o masă care scade fără cauză, un lăstar care ar crește la nesfârșit tot mai repede. Intervalul de valabilitate este partea din model care îl leagă de realitate.