Sondaje: etapele realizării unui sondaj (M2, științe ale naturii)

Clubul de biologie al unui liceu vrea să afle cât dorm elevii în nopțile dinaintea lucrărilor scrise. Un membru al clubului pune un formular pe grupul clasei lui și, după o zi, are $46$ de răspunsuri, dintr-un liceu cu $1120$ de elevi. Rezultatul pare limpede, dar întrebarea corectă este alta: ce spun aceste răspunsuri despre toți elevii liceului? Lecția de față, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2), îți arată pașii prin care un sondaj produce un număr în care poți avea încredere. Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține „culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice”, dar nu numește sondajul și etapele lui ca temă separată.

Termenii de bază îi găsești în lecția despre populația statistică, eșantionul și caracteristica, iar comparația seturilor de date în lecția despre compararea a două seturi de date. Aici le pui la lucru într-un proiect complet.

Ce vei învăța

• Vei ști să decizi când întrebi toată populația (recensământ) și când doar o parte (sondaj), inclusiv când testul distruge obiectul studiat.
• Vei ști să parcurgi, în ordine, pașii unui proiect-sondaj, așa cum îi enumeră programa: populația, eșantionul, chestionarul, tabelul, diagrama, erorile, limitările.
• Vei ști să transformi o întrebare vagă într-o întrebare clară și cuantificabilă, cu variante care acoperă toate situațiile.
• Vei ști să recunoști trei surse de eroare cerute explicit: eșantionul prea mic, eșantionul nealeator și răspunsurile influențate.
• Vei ști să calculezi rata de răspuns și să afli între ce limite poate varia rezultatul din cauza celor care nu au răspuns.
• Vei ști să treci de la procentul din eșantion la o estimare pentru populație și să o scrii cu precizarea limitelor.

Hai să descoperim împreună

1. Când întrebi pe toți și când întrebi doar o parte?

Un recensământ este o culegere de date în care se observă fiecare membru al populației studiate, fără excepție. Un sondaj este o culegere de date în care se observă doar o parte a populației, eșantionul, iar concluzia se extinde apoi la întreaga populație.

Recensământul dă valoarea exactă, dar costă mult: Recensământul populației și locuințelor din 2021, organizat de Institutul Național de Statistică, a cerut luni de lucru. La o populație mică, de pildă elevii unei clase, recensământul e însă la îndemână.

Uneori recensământul e imposibil, fiindcă testul distruge obiectul. Ca să afli la ce intensitate a curentului se topește o siguranță fuzibilă, trebuie să o topești; testate toate, n-ar mai rămâne niciuna de vândut. Aici sondajul nu e o economie, ci singura cale.

Decizia are deci trei întrebări: cât de mare e populația, cât costă observarea unui membru și dacă observarea îl distruge.

2. Ce pași cere programa pentru un proiect-sondaj?

Programa clasei a X-a descrie un proiect-sondaj prin criterii: populația și eșantionul, un chestionar cu cel mult cinci întrebări clare și cuantificabile, un tabel de frecvențe, o diagramă cu bare sau circulară, erorile de eșantionare și limitările metodei. Criteriile se așază în trei faze, cu șapte pași.

Planificarea. Pasul 1 este obiectivul, într-o propoziție: ce afli și la ce folosește. Pasul 2 este populația-țintă, descrisă atât de precis încât pentru orice persoană să poți spune dacă face parte din ea. Pasul 3 este eșantionul: câți oameni întrebi și cum îi alegi; metodele au lecția lor, despre sondajul aleator simplu și cel stratificat.

Culegerea. Pasul 4 este chestionarul, încercat întâi pe trei-patru persoane din afara eșantionului. Această testare pilot scoate la iveală întrebările înțelese altfel decât ai vrut. Pasul 5 este aplicarea, pe hârtie sau cu un formular digital, cu evidența exactă a celor care au răspuns și a celor care n-au răspuns.

Analiza. Pasul 6 este organizarea datelor: tabelul de frecvențe și o diagramă cu bare sau circulară. Pasul 7 este concluzia, extinsă la populație, cu limitări.

Ordinea contează: o populație stabilită după culegere se potrivește, fără să vrei, cu răspunsurile pe care le ai deja.

3. Cum arată o întrebare clară și cuantificabilă?

O întrebare este cuantificabilă dacă fiecare răspuns posibil se poate număra într-un tabel de frecvențe. „Ce părere ai despre somnul tău?” nu e: zece oameni dau zece răspunsuri de forme diferite.

Patru reguli fac o întrebare utilizabilă:

• o perioadă de referință precisă („ieri”, „în ultimele șapte zile”), fiindcă „de obicei” înseamnă altceva pentru fiecare;
• o singură idee pe întrebare, altfel răspunsul „da” nu mai spune la ce se referă;
• variante care acoperă toate situațiile și nu se suprapun, astfel încât fiecare respondent să aibă exact o bifă posibilă;
• o formulare fără judecăți de valoare, care nu sugerează răspunsul dorit.

Limita de cinci întrebări are un motiv: un chestionar lung e abandonat la jumătate, iar cei care îl abandonează nu sunt un grup întâmplător.

4. De ce contează cine răspunde?

Programa numește trei erori pe care un raport de sondaj trebuie să le discute.

Eșantionul prea mic. Dacă întrebi $n$ oameni, fiecare răspuns cântărește $\frac{1}{n}$ din total, adică $\frac{100}{n}$ puncte procentuale; la câțiva respondenți, rezultatul se schimbă vizibil fără ca populația să se fi schimbat.

Eșantionul nealeator. Dacă cei întrebați s-au oferit singuri (formularul de pe grup din deschidere) sau erau la îndemână (elevii din sala de lectură), ei seamănă între ei mai mult decât cu populația: cine completează de bunăvoie un formular despre somn e, de obicei, preocupat de somn. Prima abatere se numește eroare de autoselecție, a doua eșantion de conveniență.

Răspunsurile influențate. Când răspunsul se dă cu voce tare sau cu numele pe foaie, oamenii aleg varianta care arată bine în fața celorlalți. Remediul este chestionarul anonim, completat individual.

Primele două erori privesc cine ajunge în eșantion; a treia privește ce spun cei care au ajuns acolo.

5. Ce faci cu cei care nu răspund?

Să presupunem că ai ales $n$ persoane, că $r$ dintre ele au răspuns și că $a$ dintre respondenți au spus „da”. Rata de răspuns este $\frac{r}{n}$, iar procentul răspunsurilor „da” se calculează, de regulă, pe respondenți: $\frac{a}{r}$.

Cei $n-r$ care nu au răspuns nu dispar din problemă. Nu știi ce ar fi spus, dar știi între ce limite se află procentul „da” pe toți cei $n$ aleși:

• dacă niciunul dintre ei n-ar fi spus „da”, procentul ar fi $\frac{a}{n}$;
• dacă toți ar fi spus „da”, procentul ar fi $\frac{a+n-r}{n}$.

Aceste două fracții sunt limitele datorate non-răspunsului. Dacă ambele sunt de aceeași parte a pragului care te interesează (de pildă peste $50\%$), concluzia rezistă orice ar fi spus cei tăcuți. Dacă pragul cade între ele, raportul trebuie să spună cinstit că datele nu permit o concluzie.

6. Cum treci de la eșantion la populație?

Dacă eșantionul a fost ales corect, frecvența relativă a răspunsului „da” în eșantion este o estimare a frecvenței relative din populație. Pentru o populație de $N$ indivizi, numărul estimat al celor care ar răspunde „da” este produsul dintre frecvența relativă și $N$.

Estimarea se scrie cu „aproximativ” și se rotunjește la o valoare pe care datele o susțin; o cifră precisă până la unitate sugerează o exactitate pe care un eșantion nu o are.

7. Ce scrii în raportul final?

Un raport complet spune: pe cine ai vrut să afli (populația), pe câți i-ai întrebat și cum i-ai ales, câți au răspuns, ce ai aflat (procentul și estimarea) și ce ar putea face rezultatul să fie greșit. Fără ultimele trei, cititorul nu poate judeca dacă cifra merită crezută.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recensământ sau sondaj?

Pentru fiecare situație, spune dacă alegi un recensământ sau un sondaj și justifică: a) durata de funcționare a becurilor LED dintr-un lot de $4000$; b) masa ghiozdanelor celor $26$ de elevi ai unei clase, pentru o discuție cu medicul școlar; c) conținutul de nitrați al apei dintr-un lac; d) numărul cuiburilor de barză ocupate dintr-un sat.

Rezolvare. a) Sondaj. Durata de funcționare se află lăsând becul aprins până se arde, deci testul distruge obiectul; un recensământ ar lăsa lotul fără niciun bec. b) Recensământ. Populația are $26$ de membri, iar cântărirea unui ghiozdan durează câteva secunde. c) Sondaj. Apa lacului nu poate fi analizată în întregime; se iau probe din mai multe puncte și adâncimi. d) Recensământ. Cuiburile unui sat se văd de pe stâlpi și acoperișuri și se pot număra toate într-o zi.

Exemplul 2 — Din întrebare vagă în întrebare cuantificabilă

Un chestionar despre hidratare conține întrebarea „Bei suficientă apă?”. Rescrie-o astfel încât răspunsurile să poată fi trecute într-un tabel de frecvențe.

Rezolvare. Întrebarea are trei defecte: „suficientă” înseamnă altceva pentru fiecare, nu există o perioadă de referință, iar răspunsul „da/nu” nu spune nimic despre cantitate. O variantă cuantificabilă este:

„Câte pahare de apă, de câte $250$ mL, ai băut ieri?” cu variantele: $0$–$2$; $3$–$5$; $6$–$8$; $9$ sau mai multe.

Numărul de pahare este natural, deci fiecare valoare cade în exact o variantă: $0,1,2$ în prima, $3,4,5$ în a doua, $6,7,8$ în a treia, de la $9$ în sus în ultima. Nu există goluri și nici suprapuneri, iar volumul precizat al paharului permite oricui să-și transforme cantitatea în pahare.

Exemplul 3 — Rata de răspuns și limitele date de non-răspuns

Consiliul elevilor vrea să afle dacă elevii ar participa la un program de reciclare a hârtiei din laboratoare și din sălile de clasă. Distribuie $160$ de chestionare unor elevi aleși la întâmplare; se întorc $140$ completate, iar $98$ dintre ele au răspunsul „da”. Calculează rata de răspuns, procentul răspunsurilor „da” printre respondenți și limitele datorate non-răspunsului. Se poate spune că majoritatea celor aleși ar participa?

Rezolvare. Rata de răspuns este

$$\frac{140}{160}=\frac{7}{8}=0,875=87,5\%.$$

Printre respondenți, procentul „da” este $\frac{98}{140}=0,7=70\%$.

Nu au răspuns $160-140=20$ de elevi. Dacă niciunul n-ar fi spus „da”, procentul pe toți cei aleși ar fi $\frac{98}{160}=0,6125=61,25\%$; dacă toți ar fi spus „da”, ar fi $\frac{118}{160}=0,7375=73,75\%$.

Ambele limite sunt peste $50\%$, deci „majoritatea celor aleși ar participa” rămâne adevărat orice ar fi răspuns cei $20$ de elevi; procentul exact nu îl putem fixa.

Exemplul 4 — Estimarea pentru populație, scrisă corect

Într-un județ sunt $3200$ de sere de legume. Direcția agricolă alege la întâmplare $160$ dintre ele; toți proprietarii răspund, iar $56$ declară că folosesc irigarea prin picurare. Estimează numărul serelor din județ în care se folosește această metodă și scrie concluzia.

Rezolvare. Frecvența relativă în eșantion este

$$\frac{56}{160}=\frac{7}{20}=0,35=35\%.$$

Estimarea pentru populație: $0,35\cdot 3200=1120$ de sere.

Concluzia: „Pe baza unui sondaj pe $160$ de sere alese aleatoriu, estimăm că în aproximativ $35\%$ dintre serele județului, în jur de $1100$, se folosește irigarea prin picurare.” Rotunjirea la sute e cinstită: diferența față de $1120$ e mult mai mică decât incertitudinea unui eșantion de $160$ de sere.

Exemplul 5 — De la răspunsuri la tabel și diagramă circulară

La întrebarea „Câte ore ai dormit azi-noapte?”, cu variantele: sub $6$; de la $6$ la sub $7$; de la $7$ la sub $8$; de la $8$ la sub $9$; $9$ sau mai mult, cei $40$ de elevi aleși au răspuns astfel: $3$, $5$, $14$, $10$ și $8$. Alcătuiește tabelul de frecvențe relative, calculează unghiurile diagramei circulare și procentul elevilor care au dormit cel puțin $8$ ore.

Rezolvare. Verificăm întâi totalul: $3+5+14+10+8=40$. Frecvența relativă a unei variante este numărul ei împărțit la $40$, iar unghiul sectorului este frecvența relativă înmulțită cu $360^{\circ }$, ca în lecția despre diagrame circulare.

De exemplu, pentru a treia variantă: $\frac{14}{40}=0,35$ și $0,35\cdot 360^{\circ }=126^{\circ }$. Suma unghiurilor este $27^{\circ }+45^{\circ }+126^{\circ }+90^{\circ }+72^{\circ }=360^{\circ }$, cum trebuie.

Cel puțin $8$ ore au dormit $10+8=18$ elevi, adică $\frac{18}{40}=0,45=45\%$ dintre cei întrebați.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Un liceu are $1350$ de elevi. Se aleg la întâmplare $150$ de elevi, cărora li se dă un chestionar anonim; răspund $135$, iar $27$ dintre ei declară că beau zilnic băuturi energizante.

a) Calculează rata de răspuns. b) Calculează procentul respondenților care beau zilnic băuturi energizante. c) Estimează numărul elevilor din liceu care beau zilnic băuturi energizante.

Rezolvare.

a) $\frac{135}{150}=0,9=90\%$.

b) $\frac{27}{135}=\frac{1}{5}=0,2=20\%$.

c) $0,2\cdot 1350=270$. Formulare: „estimăm că aproximativ $270$ de elevi din liceu beau zilnic băuturi energizante”.

Procentul și estimarea sunt prelucrare de date, ca la bacalaureatul M2 din 2027–2029; rata de răspuns și limitele date de cei care n-au răspuns (Exemplul 3) țin de metoda sondajului, din programa nouă (MAT_P2 2030).

Să exersăm

La calculele cu procente, păstrează fracția exactă până la ultimul pas. La estimări, formulează concluzia în cuvinte.

1. Pentru fiecare situație, alege între recensământ și sondaj, ținând seama de cost și de timp, și justifică: a) tensiunea arterială a celor $250$ de angajați ai unei fabrici, la vizita medicală anuală, obligatorie pentru toți; b) numărul de pești dintr-un lac de acumulare; c) înălțimea celor $900$ de elevi ai unui liceu, pentru a comanda bănci noi pe mărimi.

2. Pentru a afla ce procent dintre pescarii din Delta Dunării folosesc plase cu ochiuri mai mici decât cele permise, s-au chestionat $90$ de pescari. Un elev scrie: „Populația: cei $90$ de pescari chestionați; eșantionul: toți pescarii din Deltă.” Găsește greșeala și corecteaz-o.

3. Sondajele anterioare ale unei asociații au avut o rată de răspuns de $85\%$. Câte chestionare trebuie trimise pentru ca să se întoarcă cel puțin $150$?

4. O grădină botanică a avut $4800$ de vizitatori într-o lună. Din lista celor care și-au cumpărat biletul online se aleg la întâmplare $150$ de vizitatori; toți răspund, iar $57$ spun că ar plăti pentru un tur ghidat. Estimează numărul vizitatorilor din acea lună care ar plăti pentru tur și scrie estimarea rotunjită la zeci.

5. La întrebarea „Cum apreciezi curățenia laboratorului de biologie?”, variantele de răspuns sunt „excelentă”, „foarte bună”, „bună” și „satisfăcătoare”. Ce defect are scala de răspunsuri și cum o echilibrezi?

6. Explică de ce întrebarea „De câte ori pe săptămână uiți să-ți uzi plantele?” nu e potrivită într-un chestionar despre grădinile de pe balcon și propune o formulare corectă.

7. La întrebarea „Cât timp ai petrecut ieri citind?”, variantele sunt: sub $1$ oră; de la $1$ la sub $2$ ore; de la $2$ la sub $4$ ore; $4$ ore sau mai mult. În ce variantă intră răspunsurile $59$ de minute, o oră, $3$ ore și $59$ de minute, $4$ ore? Poate rămâne vreo durată fără variantă?

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toți cei întrebați într-un sondaj au răspuns, deci rata de răspuns este $100\%$, eșantionul este reprezentativ pentru populație, oricum ar fi fost alese persoanele întrebate.”

9. Într-o lună, $400$ de pacienți au trecut pe la un laborator de analize medicale. Chestionarul despre timpul de așteptare, lăsat facultativ într-o urnă, a fost completat de $50$ dintre ei, iar $32$ s-au declarat nemulțumiți. Calculează limitele procentului de nemulțumiți printre cei $400$ de pacienți și spune ce se poate concluziona.

10. La ora de dirigenție, profesorul întreabă: „Cine a copiat vreodată la un test? Ridicați mâna!”. Ce eroare apare în acest mod de culegere a datelor și cum ar trebui procedat?

11. Se trimit $300$ de chestionare unor persoane alese aleatoriu; se întorc $240$, iar în $132$ dintre ele răspunsul este „da”. Calculează procentul „da” printre respondenți și limitele datorate non-răspunsului. Se poate afirma că majoritatea celor $300$ de persoane alese ar răspunde „da”?

12. La întrebarea „Cu ce mergi de obicei la școală?”, cu variantele $M$ = pe jos, $B$ = bicicletă, $A$ = autobuz, $T$ = tramvai, $20$ de elevi au răspuns: $M,A,M,T,B,M,A,A,M,T,M,B,A,T,M,A,B,M,T,A$. Alcătuiește tabelul de frecvențe absolute și procentele.

13. Cei $80$ de respondenți ai unui sondaj s-au împărțit, pe cele patru variante ale unei întrebări, în $34$, $23$, $14$ și $9$. Calculează unghiurile sectoarelor unei diagrame circulare.

14. Într-un sat cu $1200$ de case se aleg la întâmplare $80$ și se notează materialul acoperișului: țiglă la $44$, tablă la $24$, șindrilă la $12$. Estimează numărul caselor din sat pentru fiecare material, verifică suma estimărilor și scrie-le rotunjite.

15. (Problemă aplicată.) Un elev își întreabă $6$ colegi dacă ar vrea mai multe ore de laborator; $5$ răspund „da”, iar el anunță că „$83,33\%$ dintre elevi vor mai mult laborator”. Cu câte puncte procentuale ar schimba procentul un singur răspuns diferit? Dar într-un sondaj cu $120$ de respondenți? Ce eroare numită de programă ilustrează primul caz?

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Cei $50$ de elevi dintr-un eșantion aleator au fost întrebați de câte ori au mâncat legume în ultima săptămână. Rezultatele sunt:

Calculează procentul elevilor din eșantion care au mâncat legume de cel puțin $3$ ori și estimează numărul acestor elevi într-un liceu cu $1500$ de elevi.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2 — MAT_P2 2030.) Pentru un proiect despre colectarea bateriilor uzate, un grup propune chestionarul: 1) „În ce clasă ești?”; 2) „Câte baterii uzate ai aruncat la gunoiul menajer în ultima lună?”; 3) „Ce crezi despre reciclare?”; 4) „Știi unde este cel mai apropiat punct de colectare a bateriilor? (da/nu)”; 5) „Nu-i așa că toată lumea ar trebui să recicleze?”. Care două întrebări nu respectă cerința „clare și cuantificabile, fără a sugera răspunsul” și cum le rescrii?

18. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Un magazin online are $1400$ de clienți. După un sondaj pe un eșantion aleator de clienți, raportul estimează că $420$ dintre ei ar plăti un abonament anual de livrare. În eșantion, $36$ de respondenți au răspuns „da”. Câți respondenți a avut eșantionul?

Răspunsuri și explicații

1. a) Recensământ: fiecare angajat trece oricum prin vizita medicală, deci măsurarea tuturor nu adaugă niciun cost. b) Sondaj: peștii nu pot fi numărați toți fără a goli lacul; se fac pescuiri de probă în mai multe puncte. c) Sondaj: pentru comandă ajunge proporția fiecărei mărimi, estimată pe un eșantion ales la întâmplare; măsurarea tuturor ar costa ore de lucru fără să schimbe comanda.

2. Rolurile sunt inversate. Populația cuprinde toți pescarii din Delta Dunării, cărora li se adresează întrebarea; eșantionul îl formează cei $90$ de pescari chestionați. Caracteristica studiată este folosirea sau nefolosirea plaselor cu ochiuri mai mici decât cele permise.

3. Din $n$ chestionare trimise se așteaptă înapoi $0,85\cdot n$. Condiția $0,85\cdot n\ge 150$ dă $n\ge \frac{150}{0,85}\approx 176,47$, deci trebuie trimise cel puțin $177$ de chestionare. Verificare: $0,85\cdot 177=150,45\ge 150$, iar $0,85\cdot 176=149,6<150$.

4. Frecvența relativă este $\frac{57}{150}=0,38=38\%$, iar estimarea este $0,38\cdot 4800=1824$ de vizitatori. Concluzie: „estimăm că aproximativ $38\%$ dintre vizitatori, în jur de $1820$, ar plăti pentru un tur ghidat”. Limitare: cei care cumpără biletul la casă nu puteau ajunge în eșantion.

5. Toate cele patru variante sunt aprecieri favorabile, iar cea mai slabă, „satisfăcătoare”, înseamnă tot „acceptabilă”: cine e nemulțumit nu are ce bifa, iar rezultatul iese mai bun decât realitatea. O scală echilibrată are tot atâtea trepte de o parte și de alta a mijlocului: „foarte bună / bună / nici bună, nici slabă / slabă / foarte slabă”.

6. Întrebarea presupune că respondentul are plante și că uită să le ude; cine nu are plante sau nu uită niciodată nu are un răspuns corect, iar formularea sugerează o vină. Soluția este o întrebare-filtru, „Ai plante pe balcon? (da / nu)”, urmată, pentru cei care au, de „În ultimele șapte zile, în câte zile ți-ai udat plantele?”, cu variantele $0$; $1$–$2$; $3$–$4$; $5$ sau mai multe.

7. $59$ de minute intră în „sub $1$ oră”, exact o oră în „de la $1$ la sub $2$ ore”, $3$ ore și $59$ de minute în „de la $2$ la sub $4$ ore”, iar exact $4$ ore în „$4$ ore sau mai mult”. Fiecare capăt aparține unei singure variante, iar variantele se continuă una pe alta, de la zero în sus: nicio durată nu rămâne fără variantă și niciuna nu are două.

8. Fals. Rata de răspuns spune câți dintre cei aleși au răspuns, nu cum au fost aleși. Dacă s-au întrebat doar elevii unui cerc de ecologie și toți au răspuns, eșantionul rămâne de conveniență: reprezintă cercul, nu liceul.

9. Nu au completat $400-50=350$ de pacienți. Dacă niciunul dintre ei n-ar fi nemulțumit, procentul ar fi $\frac{32}{400}=8\%$; dacă toți ar fi, $\frac{32+350}{400}=\frac{382}{400}=95,5\%$. Limitele sunt atât de departe una de alta încât datele nu spun aproape nimic despre toți pacienții. În plus, chestionarul facultativ aduce autoselecție: cei nemulțumiți au mai mult motiv să scrie.

10. Este eroarea răspunsurilor influențate: nimeni nu vrea să recunoască în fața clasei o faptă interzisă, deci mâinile ridicate vor fi mai puține decât realitatea. Datele se culeg cu un chestionar anonim, completat individual.

11. Printre respondenți: $\frac{132}{240}=0,55=55\%$. Nu au răspuns $300-240=60$ de persoane. Limitele: $\frac{132}{300}=0,44=44\%$ și $\frac{132+60}{300}=\frac{192}{300}=0,64=64\%$. Nu: pragul de $50\%$ cade între limite, deci, deși $55\%$ dintre respondenți au spus „da”, datele nu permit afirmația despre toți cei aleși.

12. Numărăm fiecare literă: $M$ apare de $7$ ori, $B$ de $3$ ori, $A$ de $6$ ori, $T$ de $4$ ori; totalul este $7+3+6+4=20$. Procentele: $\frac{7}{20}=35\%$, $\frac{3}{20}=15\%$, $\frac{6}{20}=30\%$ și $\frac{4}{20}=20\%$, cu suma $100\%$.

13. Unghiul unui sector este $\frac{n_i}{80}\cdot 360^{\circ }=4,5^{\circ }\cdot n_i$. Rezultă $4,5^{\circ }\cdot 34=153^{\circ }$, $4,5^{\circ }\cdot 23=103,5^{\circ }$, $4,5^{\circ }\cdot 14=63^{\circ }$ și $4,5^{\circ }\cdot 9=40,5^{\circ }$; suma lor este $360^{\circ }$.

14. Frecvențele relative sunt $\frac{44}{80}=0,55$, $\frac{24}{80}=0,3$ și $\frac{12}{80}=0,15$, cu suma $1$. Estimările sunt $0,55\cdot 1200=660$, $0,3\cdot 1200=360$ și $0,15\cdot 1200=180$ de case, cu suma $1200$, cât are satul. Rotunjite la cincizeci: în jur de $650$ cu țiglă, $350$ cu tablă și $200$ cu șindrilă; suma rotunjită rămâne $1200$.

15. La $6$ respondenți, un răspuns reprezintă $\frac{1}{6}\approx 16,67\%$, deci un singur răspuns diferit mută procentul cu aproximativ $16,67$ puncte procentuale: de la $\frac{5}{6}\approx 83,33\%$ la $\frac{4}{6}\approx 66,67\%$. La $120$ de respondenți, un răspuns reprezintă $\frac{1}{120}\approx 0,83\%$, adică mai puțin de un punct procentual. Primul caz ilustrează eșantionul prea mic (și, în plus, nealeator).

16. De cel puțin $3$ ori au mâncat legume $12+10=22$ de elevi, adică $\frac{22}{50}=0,44=44\%$ din eșantion. Estimarea pentru liceu: $0,44\cdot 1500=660$ de elevi. Concluzie: „estimăm că aproximativ $660$ de elevi mănâncă legume de cel puțin trei ori pe săptămână”.

17. Întrebarea 3 nu este cuantificabilă: răspunsurile nu se pot trece într-un tabel. Rescriere: „Ai dus baterii uzate la un punct de colectare în ultimele trei luni? (da / nu)”. Întrebarea 5 sugerează răspunsul („Nu-i așa că…”). Rescriere: „Ești de acord ca școala să aibă un recipient pentru baterii uzate? (da / nu / nu știu)”.

18. Frecvența relativă din eșantion este aceeași cu cea folosită la estimare: $\frac{420}{1400}=0,3$. Dacă $36$ de respondenți reprezintă $30\%$ din eșantion, numărul respondenților este $36:0,3=120$. Verificare: $\frac{36}{120}=0,3$ și $0,3\cdot 1400=420$.

De reținut

• Alegi recensământul când populația e mică și observarea ieftină; alegi sondajul când populația e mare, observarea costă sau testul distruge obiectul.
• Un proiect-sondaj are trei faze: planificare (obiectiv, populație, eșantion), culegere (chestionar testat pilot, aplicare, evidența răspunsurilor), analiză (tabel, diagramă, concluzie cu limitări).
• O întrebare bună are o perioadă de referință, o singură idee, variante fără goluri și fără suprapuneri și nicio judecată de valoare; un chestionar de proiect are cel mult cinci întrebări.
• Rata de răspuns este $\frac{r}{n}$; dacă $a$ dintre cei $r$ respondenți spun „da”, procentul pe toți cei $n$ aleși se află între $\frac{a}{n}$ și $\frac{a+n-r}{n}$.
• Estimarea pentru populație este frecvența relativă din eșantion înmulțită cu $N$; ea se comunică rotunjit, cu „aproximativ”, cu mărimea eșantionului, metoda și rata de răspuns.

Greșeli frecvente

• Populația stabilită după culegerea datelor. Un elev care a întrebat doar colegii de pe grup declară apoi că „populația sunt elevii care folosesc grupul”. Populația se fixează înainte de culegere, după obiectiv, nu după cine a răspuns.
• Procentul calculat pe cei aleși în loc de respondenți, fără explicație. Împărțirea la $n$ în loc de $r$ tratează tacit pe toți cei tăcuți ca răspunsuri „nu”. Procentul se calculează pe respondenți, iar cei tăcuți intră doar în limitele datorate non-răspunsului.
• Variante cu goluri. Elevul verifică doar că variantele nu se suprapun și uită să verifice că orice răspuns posibil are unde să fie bifat; de obicei lipsesc capetele sau valorile dintre două variante.
• Limitele non-răspunsului raportate la respondenți. Elevul adaugă tăcuții la „da”, dar împarte la numărul respondenților, $r$, nu la numărul celor aleși, $n$; limita de sus poate trece atunci de $100\%$. Ambele limite se raportează la toți cei aleși.
• Testul pilot făcut pe cei din eșantion. Colegii care au văzut deja întrebările răspund altfel la aplicarea propriu-zisă; proba chestionarului se face pe persoane care nu vor mai fi întrebate.

Aplică acasă

1. Chestionarul de cinci întrebări. Alege o temă din biologie sau din sănătate (hidratarea, somnul, timpul petrecut în aer liber) și scrie un chestionar de cel mult cinci întrebări cuantificabile, cu perioadă de referință. Testează-l pe doi membri ai familiei și notează ce întrebare au înțeles-o altfel decât voiai.
2. Limitele non-răspunsului pe date reale. Trimite chestionarul tău la zece persoane alese dinainte și notează câte răspund. Pentru o întrebare cu „da/nu”, calculează procentul pe respondenți și cele două limite datorate celor care nu au răspuns.
3. Diagrama din formular. Introdu răspunsurile într-o foaie de calcul sau într-un formular digital care desenează automat diagrama circulară. Calculează de mână unghiul unui sector și compară-l cu ce afișează aplicația.

Pentru părinți și profesori

Lecția urmează lista de criterii pe care programa o dă proiectului-sondaj de la clasa a X-a: populație, eșantion, cel mult cinci întrebări clare și cuantificabile, tabel de frecvențe, diagramă, erori de eșantionare (eșantion prea mic, nealeator, răspunsuri influențate de colegi) și limitări. Calculele sunt simple; se verifică judecata: cine a fost întrebat, cum și ce se poate spune cinstit despre populație.

La clasă merită puse trei întrebări: „Pe cine voiai să afli și pe cine ai întrebat de fapt?”; „Ce s-ar schimba dacă n-ar fi răspuns nimeni dintre cei tăcuți?”; „Poate fi bifată orice situație la această întrebare?”. Continuarea firească, despre felul în care se aleg membrii eșantionului, este lecția despre eșantionare: sondaj aleator simplu și stratificat. Legătura cu clasa a IX-a este lecția despre validarea logică a unui raționament: o concluzie de sondaj fără limitări este un raționament cu o premisă ascunsă. Exercițiile de recapitulare sunt în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: etapele unui sondaj, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul de statistică numește explicit „sondaje, eșantionare: concepte de bază (sondaj, populație, eșantion), etapele realizării unui sondaj, limitări și erori de eșantionare”, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, la capitolul de matematici financiare, „culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice” și procentele, dar nu numește sondajul, eșantionarea sau etapele lor. De aceea marcăm „tip Bacalaureat M2” doar exercițiile de prelucrare (procente, tabele, estimări), iar pe cel despre construirea chestionarului „MAT_P2 2030”; Exemplul 6 își ia titlul după cerințele lui principale, de prelucrare. Nota capitolului „Matematici financiare” din programa din 2014 cere ca aplicațiile să fie din domeniul financiar (profit, preț de cost, credite, buget): exercițiul 18 are context financiar (abonamentul de livrare al unui magazin online), iar exercițiul 16 și Exemplul 6 au contexte școlare și de sănătate. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține nicio cerință de statistică; exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre un recensământ și un sondaj? Recensământul observă fiecare membru al populației și dă valoarea exactă, cu cost mare. Sondajul observă doar un eșantion și dă o estimare, mult mai ieftin. Sondajul devine singura cale când testul distruge obiectul studiat, ca la rezistența unui material sau la durata de funcționare a unui bec.

De ce programa cere cel mult cinci întrebări? Pentru că un chestionar scurt este completat până la capăt. Cei care abandonează un chestionar lung nu sunt un grup întâmplător, ci de obicei cei grăbiți sau puțin interesați de temă, așa că abandonul adaugă o eroare nouă. Cinci întrebări bine alese ajung pentru un tabel, o diagramă și o concluzie.

Ce înseamnă o întrebare cuantificabilă? Este o întrebare ale cărei răspunsuri se pot număra într-un tabel de frecvențe, pentru că sunt alese dintr-o listă fixă de variante sau sunt numere. „Ce părere ai despre sport?” nu este cuantificabilă; „De câte ori ai făcut sport săptămâna trecută?”, cu variante fixate, este.

Cum folosesc rata de răspuns în concluzie? O treci în raport și, pentru o întrebare cu „da/nu”, calculezi limitele: procentul pe toți cei aleși dacă niciun tăcut n-ar fi spus „da” și dacă toți ar fi spus „da”. Când ambele limite duc la aceeași concluzie, ea rezistă; altfel spui că datele nu permit o decizie.

Ce diferă față de lecția de mate-info (M1) despre sondaje? Lecția M2 pornește de la lista de criterii pe care programa de științe o dă proiectului-sondaj, adaugă testarea pilot, limitele calculate pentru non-răspuns și problemele inverse de estimare, și lucrează pe contexte din sănătate, agricultură și ecologie. Lecția M1 pune accent pe întrebările părtinitoare și pe istoria sondajelor greșite.

La ce subiect apar sondajele la bacalaureatul M2? Programa de examen 2027–2029 nu numește sondajul, dar conține prelucrarea datelor statistice și procentele. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are nicio cerință de statistică, iar singura cerință din familia statistică–probabilități este una de probabilități. Pentru proba MAT_P2 din 2030, sondajele intră în domeniul „Date, statistică matematică și probabilități”.