Cel mult sau cel puțin? — pe scurt

Întrebările „câți au cel mult…" sau „câți au cel puțin…" cer, altfel, o adunare refăcută de fiecare dată. Soluția e o singură coloană calculată o dată: frecvența cumulată crescător $N_i=n_1+n_2+\cdots +n_i$, care dă numărul de date cu valoarea cel mult egală cu $v_i$, obținută prin recurența $N_i=N_{i-1}+n_i$. Simetric, frecvența cumulată descrescător $N_i^{\downarrow }$ dă numărul celor cu valoarea cel puțin $v_i$.

Trei verificări confirmă un tabel corect: ultima cumulată crescător este $n$; prima cumulată descrescător e tot $n$; iar $N_i+N_{i+1}^{\downarrow }=n$, pe orice linie. Din coloana cumulată se recuperează frecvențele absolute prin scădere, $n_i=N_i-N_{i-1}$.

Cea mai frecventă greșeală de vocabular: „strict sub $v_i$" înseamnă $N_{i-1}$, nu $N_i$, pentru că $N_i$ include deja valoarea $v_i$. Pentru un interval „între $v_i$ și $v_j$, inclusiv", răspunsul este $N_j-N_{i-1}$. Cumulate în procente, coloana devine frecvențe relative cumulate, utilă mai târziu la mediană și cuartile. Toate calculele se fac pe valorile ordonate crescător ale caracteristicii — altfel coloana cumulată nu mai are niciun sens.

Exerciții din această mini-lecție

1. Notele a $30$ de elevi au frecvențele: $5\to 3$, $6\to 6$, $7\to 9$, $8\to 7$, $9\to 5$. Câți elevi au note strict sub $8$?

   • a) $18$
   • b) $25$
   • c) $7$
   • d) $12$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $18$

   Strict sub $8$ înseamnă cel mult $7$: $N(\le 7)=3+6+9=18$ elevi. Nu se include nici nota $8$, nici o dublare a notei $7$.

2. Notele a $30$ de elevi au frecvențele: $5\to 3$, $6\to 6$, $7\to 9$, $8\to 7$, $9\to 5$. Câți elevi au obținut cel puțin nota $8$?

   • a) $18$
   • b) $12$
   • c) $25$
   • d) $9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $12$

   Cel puțin $8$ înseamnă notele $8$ și $9$: $7+5=12$ elevi. Echivalent, $n-N(\le 7)=30-18=12$ ✓.

3. Notele a $30$ de elevi au frecvențele: $5\to 3$, $6\to 6$, $7\to 9$, $8\to 7$, $9\to 5$. Câți elevi au note între $6$ și $8$, inclusiv?

   • a) $15$
   • b) $18$
   • c) $22$
   • d) $25$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $22$

   $N(\le 8)-N(\le 5)=25-3=22$. Control direct: $6+9+7=22$ ✓.