Mulțimea primitivelor. Integrala nedefinită (M2, științe ale naturii)

Un manometru de laborator arată zero atunci când în vas este exact presiunea din cameră, nu atunci când vasul e gol de aer. Un al doilea aparat, gradat altfel, arată în aceeași clipă presiunea absolută, cu o sută de kilopascali mai mult. Dacă pompezi lent, cele două ace se mișcă la fel de repede: variația e aceeași, doar zeroul e ales altfel. Aceasta este, în clasa a XII-a de la științe ale naturii (M2), chiar imaginea noțiunii pe care o construim azi — integrala nedefinită —, iar cerințele scrise cu ea ajung, la bacalaureatul M2, la Subiectul al III-lea.

Lecția despre noțiunea de primitivă ne-a lăsat cu o problemă de scriere: unei funcții îi corespunde o familie întreagă de primitive, ai cărei membri se deosebesc doar printr-un număr. Repetarea formulei „toate funcțiile de forma…" ar face de necitit orice rezolvare, așa că familiei i s-a dat o denumire proprie și un semn de scriere pe care îl vei recunoaște în orice manual. Tema rămâne în amândouă programele de examen: în cea din 2014, pentru sesiunile 2027, 2028 și 2029, și în cea nouă, pentru proba MAT_P2 din 2030, în domeniul „Analiză matematică".

Ce vei învăța

• Vei ști ce este integrala nedefinită a unei funcții pe un interval și de ce ea nu este o funcție.
• Vei ști de ce toate primitivele unei funcții pe un interval se deosebesc doar printr-un număr.
• Vei ști să scrii corect $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$ și să explici, pe rând, rolul celor trei simboluri.
• Vei ști la ce servește $dx$ și de ce o integrală scrisă fără el este incompletă.
• Vei ști să citești pe grafic întreaga familie a primitivelor unei funcții.
• Vei ști să recunoști când două răspunsuri care arată diferit descriu de fapt aceeași mulțime.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este integrala nedefinită a unei funcții?

Pornim de la ceea ce ai deja. Știi ce înseamnă „$F$ este o primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$" și știi că, dacă există una, există o infinitate. Pasul de astăzi e doar unul de organizare: strângem toate aceste funcții într-un singur obiect și îi dăm un nume.

Integrala nedefinită a lui $f$ pe $I$ este familia formată din toate primitivele acelei funcții pe acel interval — adică din funcțiile derivabile $F:I\to \mathbb{R}$ al căror ritm de variație este $f$ în fiecare punct $x\in I$. Ea se notează $\int f(x)dx$ și se scrie

$$\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C},$$

unde $F$ este oricare dintre primitive, iar $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$.

Prima consecință e de limbaj și trebuie spusă tare: în stânga semnului egal stă o familie de funcții, nu o funcție. De aceea scrierea $\int f(x)dx=F(x)$, lipsită de $\mathcal{C}$, nu e doar incompletă, ci greșită: ea ar egala o familie cu infinit de mulți membri cu unul singur dintre ei.

Iată notația la lucru, pe $\mathbb{R}$: $\int \left(15x^2+4\right)dx=5x^3+4x+\mathcal{C}$. Verificarea e cea din lecția anterioară, derivând membrul drept, și durează cinci secunde. Aici nu s-a schimbat matematica, ci felul de a scrie.

2. De ce se deosebesc toate primitivele doar printr-un număr?

Până acum am arătat doar că, adunând o constantă la o primitivă, obții tot o primitivă. Rămâne întrebarea cealaltă: le obții pe toate în felul acesta? Răspunsul este da, iar argumentul încape în trei rânduri și folosește un singur rezultat de clasa a XI-a.

Fie $F$ și $G$ două primitive ale aceleiași funcții $f$ pe intervalul $I$ și fie $H=G-F$. Funcția $H$ este derivabilă pe $I$, ca diferență de funcții derivabile, iar $H^{\prime }(x)=G^{\prime }(x)-F^{\prime }(x)=f(x)-f(x)=0$ în fiecare punct al intervalului. Or, regula monotoniei spune tocmai că o funcție derivabilă cu derivata nulă în toate punctele unui interval rămâne constantă acolo. Prin urmare $G-F$ este o constantă, adică $G=F+c$ pentru un număr real $c$.

Reține unde s-a folosit ipoteza: regula monotoniei se aplică pe un interval, nu pe o reuniune de bucăți. De aceea capitolul întreg se scrie cu intervalul precizat, iar când domeniul unei funcții e format din mai multe bucăți se alege una și se lucrează acolo.

Concluzia merită fixată într-o propoziție: pe un interval, mulțimea primitivelor unei funcții este $\{F+c\mid c\in \mathbb{R}\}$, unde $F$ este oricare dintre ele. Cine alege alt reprezentant scrie aceeași mulțime cu alte litere.

3. Cum se citește notația și la ce folosește $dx$?

Semnul $\int$ este un „s" alungit și vine din latinescul summa; de ce tocmai o sumă vei înțelege abia la integrala definită. Deocamdată citește-l simplu: „mulțimea primitivelor lui…". Expresia dintre semnul integral și $dx$ se numește funcție de integrat, sau integrand.

Simbolul $dx$ arată față de ce literă se caută primitiva. Pare de prisos într-o expresie cu o singură necunoscută, dar devine hotărâtor în modelele din științe, unde alături de variabilă apar mereu constante fizice. Dacă o mărime se schimbă în timp, scrii $\int v(t)dt$ și cauți o funcție de timp; dacă în aceeași expresie apare și o constantă de material, ea rămâne constantă tocmai fiindcă $dt$ spune că timpul e variabila.

De aici două reguli scurte. Întâi, litera de sub semnul integral și litera din $dx$ trebuie să fie aceeași. Apoi, variabila de integrare este mută: $\int f(x)dx$ și $\int f(t)dt$ desemnează aceeași familie, scrisă cu alt nume de literă, la fel cum nu contează cum notezi indicele într-o sumă.

Merită observat și ce nu înseamnă $dx$. Nu este un factor cu care se înmulțește integrandul, deci nu se simplifică cu nimic și nu se mută în alt loc al expresiei; el face parte din notație, așa cum parantezele fac parte din scrierea unei funcții. Când citești o integrală cu voce tare, $dx$ nu se pronunță ca un termen, ci se traduce prin „în raport cu $x$". Grija aceasta pare mică acum, când toate expresiile au o singură literă, dar la modelele din capitolul despre contexte practice ea decide ce iese din calcul.

4. Ce este, de fapt, simbolul $\mathcal{C}$?

Nu este un număr și nici o funcție anume. $\mathcal{C}$ este mulțimea tuturor funcțiilor constante pe intervalul de lucru, iar semnul plus dinaintea lui nu e o adunare obișnuită: el arată că fiecărei constante i se adaugă funcția $F$, obținându-se un element al familiei.

Din citirea aceasta ies trei reguli pe care le vei folosi tot anul.

• Aceeași mulțime se poate scrie în mai multe feluri. Scrierile $x^3+17x+\mathcal{C}$ și $x^3+17x-7+\mathcal{C}$ desemnează aceeași familie, fiindcă printre constante se află și $-7$, și $+7$. Amândouă sunt corecte; a doua e doar scrisă neinspirat.
• $\mathcal{C}$ nu se simplifică. Din $F+\mathcal{C}=G+\mathcal{C}$ nu rezultă $F=G$, ci doar că diferența $F-G$ este constantă.
• O egalitate de integrale se dovedește prin derivare. Ajunge ca membrul drept să aibă drept derivată integrandul, pe intervalul ales; completarea la întreaga familie o face subsecțiunea 2.

5. Cum arată, pe grafic, toate primitivele deodată?

Ia funcția $f(x)=6x-34$ pe $\mathbb{R}$. Primitivele ei sunt funcțiile $3x^2-34x+\mathcal{C}$, iar dacă desenezi trei dintre ele obții trei parabole care par mutate una față de alta. Merită însă privite altfel decât ca „aceeași curbă mutată": privește-le prin ceea ce le-a generat.

În fiecare abscisă $x$, panta tangentei la graficul oricărei primitive este $f(x)$ — aceeași valoare pentru toate, fiindcă toate au aceeași derivată. Cum curbele urcă și coboară la fel de repede peste tot, distanța pe verticală dintre două dintre ele nu are cum să se schimbe: dacă în dreptul unei abscise segmentul dintre două curbe măsoară două unități, tot două unități va măsura și în dreptul oricărei alte abscise. Măsoară cu rigla pe desen în trei locuri diferite și vei obține de trei ori același număr.

Merită încercat și controlul invers, pe desen: dacă două curbe pe care le crezi din aceeași familie se apropie într-o parte a foii și se depărtează în cealaltă, atunci diferența dintre ele nu este constantă. Or, o funcție derivabilă cu derivata nulă în toate punctele unui interval ar fi constantă acolo — deci diferența are, undeva, derivata nenulă, adică există un punct în care cele două curbe nu au aceeași pantă. Prin urmare ele nu sunt primitive ale aceleiași funcții. Distanța constantă nu e o observație decorativă, ci chiar semnul după care familia se recunoaște cu ochiul liber.

Aici se vede și de ce familia acoperă tot planul, fără să se încalece: prin fiecare punct al planului trece exact una dintre aceste curbe, fiindcă a alege punctul înseamnă a alege constanta. Ce se întâmplă când enunțul îți dă chiar acest punct vei vedea la primitiva care trece printr-un punct dat.

6. De ce nu poate lipsi $\mathcal{C}$?

Prima pierdere este de sens: enunțul cere mulțimea primitivelor, iar tu ai scris un singur element al ei. A doua este de rigoare: egalitatea rămasă, între o mulțime infinită și o funcție, este pur și simplu falsă. A treia se vede abia la subpunctul următor al problemei — dacă ți se cere pe urmă primitiva cu o anumită proprietate, nu mai ai ce ajusta, fiindcă tocmai constanta era instrumentul de lucru.

Regula practică e mecanică și merită aplicată fără să te mai gândești: după ce ai terminat calculul, mai citești o dată ultimul rând și te uiți dacă se închide cu $+\mathcal{C}$.

Există și situația inversă, la fel de greșită, deși mai rară: constanta scrisă unde nu are ce căuta. Dacă ți se cere „o primitivă a lui $f$", răspunsul este o funcție anume, deci scrii una singură, fără $\mathcal{C}$; dacă ți se cere $\int f(x)dx$, răspunsul este familia, deci $\mathcal{C}$ e obligatoriu. Diferența dintre cele două cerințe este de un cuvânt, iar cuvântul acela hotărăște forma răspunsului. Recitește enunțul înainte de a-ți încheia rezolvarea: te scutește de singura greșeală din acest capitol care nu se vede prin derivare.

7. Ce înseamnă constanta într-o măsurătoare?

Ne întoarcem la cele două manometre din deschidere. Presiunea absolută și cea relativă au, în fiecare clipă, aceeași viteză de variație, deci una este primitivă a aceleiași funcții ca și cealaltă. Ele diferă printr-un număr fix, presiunea atmosferică, care nu se poate deduce în niciun fel din ritmul de variație: ca s-o afli, trebuie să citești o dată un aparat, nu să urmărești cum se schimbă.

Ideea e generală și merită reținută dincolo de matematică. Datele despre ritm nu conțin niciodată informația despre punctul de plecare. Un instrument care măsoară variații poate spune cât s-a schimbat o mărime, dar nu și cât era ea la început; acel număr vine dintr-o citire separată sau dintr-o convenție de scală. În limbajul lecției de față, ritmul determină integrala nedefinită, iar citirea de referință alege un element din ea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O integrală de polinom

Calculează $\int \left(21x^2+2x\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Mergem invers pe formula puterii, termen cu termen: din $21x^2$ iese $7x^3$, iar din $2x$ iese $x^2$. Scriem o singură constantă, la sfârșit:

$$\int \left(21x^2+2x\right)dx=7x^3+x^2+\mathcal{C}.$$

Verificare prin derivare, obligatorie: ${\left(7x^3+x^2\right)}^{\prime }=21x^2+2x$, adică integrandul.

Exemplul 2 — Întâi desfaci parantezele

Calculează $\int (x-2)(x+9)dx$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Produsul nu se integrează ca atare; îl desfacem întâi, ceea ce e singura prelucrare de care avem nevoie: $(x-2)(x+9)=x^2+7x-18$. Acum fiecare termen se recunoaște și obținem

$$\int (x-2)(x+9)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}-18x+\mathcal{C}.$$

Controlul: derivata membrului drept este $x^2+7x-18$, adică exact produsul desfăcut.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev a scris: „$\int \left(33x^2+4\right)dx=11x^3+4$". Arată că scrierea e greșită din două motive și corecteaz-o.

Rezolvare. Derivăm ce a scris el: ${\left(11x^3+4\right)}^{\prime }=33x^2$, care nu coincide cu integrandul: lipsește termenul $4$. Aici stă greșeala: constanta a fost lăsată neschimbată, deși o constantă $a$ provine din termenul $ax$. Al doilea motiv este lipsa lui $\mathcal{C}$: membrul stâng e o mulțime infinită, membrul drept o singură funcție. Scrierea corectă este $\int \left(33x^2+4\right)dx=11x^3+4x+\mathcal{C}$.

Exemplul 4 — Care funcții sunt din aceeași familie?

Se dau funcțiile $F(x)=x^3+7x-2$, $G(x)=x^3+7x+5$ și $H(x)=x^3+8x-2$, definite pe $\mathbb{R}$. Stabilește care dintre ele aparțin aceleiași integrale nedefinite.

Rezolvare. Două funcții sunt în aceeași familie exact atunci când au aceeași derivată. Calculăm: $F^{\prime }(x)=3x^2+7$, $G^{\prime }(x)=3x^2+7$ și $H^{\prime }(x)=3x^2+8$. Primele două coincid, deci $F$ și $G$ sunt amândouă primitive ale funcției $3x^2+7$ și diferă printr-o constantă, anume $7$. Funcția $H$ are altă derivată, deci aparține altei familii, deși seamănă la scriere cu primele două. Criteriul nu este asemănarea formulelor, ci egalitatea derivatelor.

Exemplul 5 — Verificarea unei egalități de mulțimi

Arată că $\int \left(9x^2+14x-8\right)dx=3x^3+7x^2-8x+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Egalitatea de mulțimi se dovedește arătând că funcția din membrul drept este o primitivă a integrandului. Notăm $F(x)=3x^3+7x^2-8x$, funcție polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, și obținem $F^{\prime }(x)=9x^2+14x-8$. Prin subsecțiunea 2, toate primitivele integrandului sunt atunci $F+c$, adică exact mulțimea din enunț.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=12x^2-22x+1$.

a) Calculează $\int f(x)dx$.

b) Arată că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=4x^3-11x^2+x-9$, este o primitivă a lui $f$.

c) Calculează $F(2)-F(0)$ și arată că se obține același număr pentru orice primitivă a lui $f$.

Rezolvare. a) Termen cu termen, $\int f(x)dx=4x^3-11x^2+x+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$.

b) Funcția $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=12x^2-22x+1=f(x)$.

c) Avem $F(2)=-19$, $F(0)=-9$ și deci $F(2)-F(0)=-10$. Orice altă primitivă are forma $F+c$, iar la scădere constanta se simplifică: $(F(2)+c)-(F(0)+c)=F(2)-F(0)$. Rezultatul nu depinde așadar de primitiva aleasă — o observație care va deveni esențială în capitolul următor.

Să exersăm

1. Calculează $\int (10x+19)dx$ pe $\mathbb{R}$.

2. Calculează $\int \left(18x^2-5\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

3. Calculează $\int \left(4x^3+21x^2\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

4. Calculează $\int \left(x^2-21x\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $F$ este o primitivă a funcției $f$ pe $\mathbb{R}$, atunci și funcția $G$, dată de $G(x)=F(x+3)$, este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă funcțiile $F$ și $G$ fac parte amândouă din familia $\int f(x)dx$ pe $\mathbb{R}$, atunci și funcția $H$, dată de $H(x)=\frac{F(x)+G(x)}{2}$, face parte din aceeași familie.

7. Calculează $\int (x+4)(x-9)dx$ pe $\mathbb{R}$.

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\int \left(6x^2+26x\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

9. Arată că $\int \left(16x^3-9x^2\right)dx=4x^4-3x^3+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$.

10. Scrie trei primitive diferite ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=8x+23$, și precizează prin ce se deosebesc ele.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9x^2+16x-2$. Calculează $\int f(x)dx$ și arată că $F(x)=3x^3+8x^2-2x+4$ este o primitivă a lui $f$.

12. Determină numărul real $a$ pentru care $\int \left(a{x}^2+8x\right)dx=5x^3+4x^2+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$.

13. (Problemă aplicată.) Energia potențială $E$ a unui corp de $2$ kilograme, ridicat la înălțimea $h$ deasupra podelei, satisface $E^{\prime }(h)=20$, cu $E$ în jouli și $h$ în metri, pe intervalul $[0,3]$. Scrie mulțimea funcțiilor $E$ care verifică această condiție, explică de ce constanta depinde de nivelul ales ca zero și calculează $E(3)-E(1)$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $\int f(x)dx=\int g(x)dx$ pe un interval $I$, atunci $f(x)=g(x)$ pentru orice $x\in I$.

15. Calculează $\int \left(20x^3-12x^2+6x\right)dx$ pe $\mathbb{R}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2-26x+4$. a) Calculează $\int f(x)dx$. b) Arată că $G(x)=2x^3-13x^2+4x+11$ este o primitivă a lui $f$. c) Calculează $G(3)-G(1)$.

17. Scrie integrala nedefinită a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=14x-9$, și verifică rezultatul prin derivare.

18. (Provocare.) Fie $F$ și $G$ două primitive ale aceleiași funcții pe intervalul $I$ și fie $x_0\in I$ astfel încât $F(x_0)=G(x_0)$. Arată că $F(x)=G(x)$ pentru orice $x\in I$.

Răspunsuri și explicații

1. $\int (10x+19)dx=5x^2+19x+\mathcal{C}$; derivata membrului drept este $10x+19$.

2. $\int \left(18x^2-5\right)dx=6x^3-5x+\mathcal{C}$. Constanta $-5$ a dat termenul $-5x$.

3. $\int \left(4x^3+21x^2\right)dx=x^4+7x^3+\mathcal{C}$, fiindcă ${\left(x^4+7x^3\right)}^{\prime }=4x^3+21x^2$.

4. $\int \left(x^2-21x\right)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{21x^2}{2}+\mathcal{C}$. Fracțiile nu sunt un semn de greșeală: ele apar firesc când coeficientul nu se împarte exact la noul exponent.

5. Fals. Familia primitivelor se obține mutând graficul pe verticală, nu pe orizontală. Contraexemplu: pentru $f(x)=26x$, funcția $F(x)=13x^2$ este o primitivă pe $\mathbb{R}$, iar $G(x)=13(x+3{)}^2=13x^2+78x+117$ are derivata $G^{\prime }(x)=26x+78$, care nu coincide cu $f(x)$.

6. Adevărat. Prin subsecțiunea 2 există un număr real $c$ cu $G=F+c$, deci $H=F+\frac{c}{2}$, adică tot un element al familiei. Se vede și direct, derivând: $H^{\prime }(x)=\frac{F^{\prime }(x)+G^{\prime }(x)}{2}=\frac{f(x)+f(x)}{2}=f(x)$ pe tot $\mathbb{R}$.

7. Desfacem: $(x+4)(x-9)=x^2-5x-36$, deci integrala este $\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}-36x+\mathcal{C}$.

8. $\int \left(6x^2+26x\right)dx=2x^3+13x^2+\mathcal{C}$, ceea ce se verifică imediat derivând.

9. Notăm $F(x)=4x^4-3x^3$; ea e derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $F^{\prime }(x)=16x^3-9x^2$, deci egalitatea cerută este adevărată.

10. De exemplu $4x^2+23x$, $4x^2+23x+1$ și $4x^2+23x-6$. Toate au derivata $8x+23$ și se deosebesc doar prin termenul liber, care dispare la derivare.

11. $\int f(x)dx=3x^3+8x^2-2x+\mathcal{C}$. Apoi $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=9x^2+16x-2=f(x)$, deci $F$ este una dintre primitivele lui $f$.

12. Derivăm membrul drept: ${\left(5x^3+4x^2\right)}^{\prime }=15x^2+8x$. Egalitatea celor două mulțimi cere ca integranzii să coincidă, deci $a=15$.

13. Mulțimea cerută este $20h+\mathcal{C}$, cu $E$ în jouli. Constanta este energia atribuită nivelului $h=0$, adică o convenție: dacă socotești zeroul la podea, obții o funcție; dacă îl socotești la nivelul mesei, alta — iar ele diferă printr-un număr. Diferența nu depinde însă de convenție: $E(3)-E(1)=40$ jouli, oricare ar fi constanta. Ridicarea are sens fizic pe intervalul declarat, $[0,3]$ metri.

14. Adevărat. Dacă cele două mulțimi coincid, atunci orice element al uneia este element al celeilalte; derivându-l, obții pe rând $f$ și $g$, deci $f=g$ pe tot intervalul.

15. $\int \left(20x^3-12x^2+6x\right)dx=5x^4-4x^3+3x^2+\mathcal{C}$.

16. a) $\int f(x)dx=2x^3-13x^2+4x+\mathcal{C}$. b) $G$ e polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $G^{\prime }(x)=6x^2-26x+4=f(x)$. c) Din $G(3)=-40$ și $G(1)=4$ obținem $G(3)-G(1)=-44$; rezultatul ar fi același pentru orice altă primitivă, fiindcă la scădere constanta se reduce.

17. $\int (14x-9)dx=7x^2-9x+\mathcal{C}$. Verificare: ${\left(7x^2-9x\right)}^{\prime }=14x-9$, adică integrandul.

18. Prin subsecțiunea 2, diferența $G-F$ este o funcție constantă pe $I$, deci există un număr real $c$ cu $G(x)-F(x)=c$ pentru orice $x\in I$. Punând $x=x_0$ obținem $c=G(x_0)-F(x_0)=0$, deci $G(x)=F(x)$ peste tot pe $I$. Cu alte cuvinte, o singură valoare comună este destul ca să selecteze o singură primitivă din familie.

De reținut

• Simbolul $\int f(x)dx$ desemnează o familie de funcții — toate primitivele lui $f$ pe intervalul ales —, nu o funcție și cu atât mai puțin un număr.
• Scrierea $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$ înseamnă familia funcțiilor $F+c$, cu $c$ număr real; $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante.
• Pe un interval, două primitive ale aceleiași funcții se deosebesc printr-un număr, iar motivul este regula monotoniei aplicată diferenței lor.
• $dx$ arată față de ce literă se caută primitiva; litera de sub semnul integral și cea din $dx$ trebuie să coincidă.
• Două răspunsuri care arată diferit pot descrie aceeași mulțime; criteriul de decizie este egalitatea derivatelor, nu asemănarea scrierii.

Greșeli frecvente

• Aștepți un număr la capătul unei integrale nedefinite. Rezultatul nu este o valoare, ci o familie de funcții; dacă la finalul calculului ai obținut o cifră, ai rezolvat altă problemă.
• Declari greșit un răspuns corect. Când rezolvarea de control arată altfel decât a ta, verifică întâi dacă cele două nu diferă printr-o constantă. Dacă da, amândouă sunt bune.
• Schimbi litera pe parcurs. O integrală scrisă $\int f(t)dx$ nu spune nimic: sub semnul integral și în $dx$ trebuie să stea aceeași variabilă, altfel expresia nu are înțeles.
• Tratezi $\mathcal{C}$ ca pe un număr al tău. Nu îl poți muta în celălalt membru, nu îl poți simplifica și nu îl poți fixa la o valoare din proprie inițiativă; o valoare se alege doar când enunțul dă o condiție.
• Confunzi sensul operației. $\int f(x)dx$ pornește de la $f$ și caută funcțiile din care provine; $f^{\prime }$ pornește de la $f$ și merge înainte. Cine le încurcă rezolvă corect o problemă care nu i s-a pus.

Aplică acasă

1. Cele două scale. Caută în casă două instrumente care măsoară aceeași mărime cu zerouri diferite — un termometru cu două scale, un cântar tarat și unul netarat, o riglă începută de la capăt și una începută de la $1$ centimetru. Notează cinci perechi de citiri, calculează de fiecare dată diferența și explică în două rânduri de ce ea nu se schimbă.

2. Familia desenată. Alege o funcție de gradul întâi și desenează, pe hârtie milimetrică, trei dintre primitivele ei. Măsoară cu rigla distanța pe verticală dintre prima și a doua curbă în trei abscise diferite și verifică dacă obții același număr. Apoi alege un punct oarecare din desen și găsește care dintre curbe trece prin el.

3. Vânătoarea de constante lipsă. Rezolvă opt integrale nedefinite scurte, apoi lasă foaia deoparte o zi și recitește-o în rolul profesorului: taie fiecare rând care nu se termină cu $\mathcal{C}$ și notează la câte dintre ele ai greșit. Vei constata că greșeala apare aproape numai la ultimul rând al calculelor lungi, acolo unde atenția scade.

Pentru părinți și profesori

Lecția este a doua din capitolul de primitive și nu adaugă nicio tehnică de calcul: adaugă notația și limbajul cu care va fi scris tot restul anului. Ea verifică patru lucruri: dacă elevul spune ce fel de obiect este $\int f(x)dx$; dacă justifică, folosind regula monotoniei, faptul că primitivele se deosebesc printr-un număr; dacă scrie corect integrala, cu $dx$ și cu $\mathcal{C}$; și dacă recunoaște că două scrieri diferite pot desemna aceeași mulțime.

Confuzia tipică a acestei lecții nu e de calcul, ci de categorie: elevul tratează integrala nedefinită ca pe o funcție, uneori chiar ca pe un număr. Semnul că a depășit-o este felul în care vorbește — spune „mulțimea primitivelor" și nu „primitiva", iar când i se arată alt răspuns decât al lui, întreabă întâi dacă nu cumva diferă printr-o constantă.

Merită întrebat acasă: „Ce fel de obiect matematic stă în membrul din stânga?", „Ce ar însemna să tai $\mathcal{C}$ din ambii membri ai unei egalități?", „În ce pas al justificării a fost nevoie ca domeniul să fie dintr-o bucată?", „Cu ce se schimbă răspunsul dacă variabila se numește $t$?", „Cum se vede pe desen că două primitive rămân la aceeași distanță?". Lecția de sprijin din clasa a XI-a este monotonia din semnul derivatei; continuarea firească, cu singura proprietate de calcul cerută de programă, este liniaritatea integralei nedefinite.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „mulțimea primitivelor unei funcții continue, integrala nedefinită a unei funcții continue". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; programa acelui examen, aprobată prin OMEN 4430/2014, conține rândul „Integrala nedefinită a unei funcții continue", iar analiza matematică se dă acolo la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă simbolul $\int f(x)dx$?

Desemnează familia tuturor primitivelor lui $f$ pe intervalul pe care lucrezi. Se scrie sub forma $F(x)+\mathcal{C}$, cu $F$ un reprezentant ales la întâmplare dintre ele și cu $\mathcal{C}$ familia funcțiilor constante. Membrul stâng nu are valoare numerică: e un obiect care adună la un loc infinit de multe funcții deodată.

De ce se scrie $\mathcal{C}$ la sfârșit?

Pentru că ceea ce se cere nu e o funcție anume, ci toate funcțiile cu ritmul de variație dat. Adunând un număr oarecare la o primitivă obții tot o primitivă, fiindcă derivata constantei se anulează; familia astfel obținută e chiar răspunsul. Fără $\mathcal{C}$ ai numit un singur membru în locul întregii familii, iar afirmația devine falsă.

De unde știm că nu există și alte primitive, în afara celor de forma $F+c$?

Dacă $F$ și $G$ sunt primitive ale aceleiași funcții pe un interval, diferența lor are derivata nulă peste tot, iar o funcție derivabilă cu derivata nulă pe un interval este constantă — aceasta este regula monotoniei, studiată în clasa a XI-a. Prin urmare $G-F$ este un număr, deci $G$ face parte din familie.

La ce folosește $dx$?

Arată față de ce literă se caută primitiva. În modelele din fizică, chimie sau biologie, alături de variabilă apar și constante; $dx$ sau $dt$ spune limpede care literă se schimbă și care rămâne fixă. Litera de sub semnul integral trebuie să fie aceeași cu cea din $dx$, iar o integrală scrisă fără $dx$ este considerată incompletă.

Ce e altfel la mate-info (M1) în această lecție?

La matematică-informatică aceeași lecție cuprinde, pe lângă notație, și proprietățile de calcul, demonstrate cu ajutorul teoremei lui Lagrange, plus o legătură cu structurile algebrice studiate acolo în primul semestru. La științe ale naturii teorema lui Lagrange nu este în programă, așa că folosim regula monotoniei, iar liniaritatea are lecția ei separată. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: integrala nedefinită, definiție și proprietăți.

La ce subiect apare integrala nedefinită la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul al III-lea are două probleme cu câte trei cerințe, a doua fiind despre integrale; primele două cerințe ale ei sunt scrise cu integrale definite, adică au limite de integrare. Notația de față, fără limite, este cea în care se scrie familia primitivelor, iar ea se învață acum fiindcă pe ea se sprijină tot capitolul.

Răspunsul meu arată altfel decât cel din rezolvare. Am greșit?

Nu neapărat. Verifică întâi dacă cele două expresii nu diferă printr-un număr: dacă da, ele descriu aceeași mulțime și amândouă sunt corecte. Verificarea sigură este derivarea — dacă derivata răspunsului tău este integrandul din enunț, răspunsul este bun, oricât de neobișnuit ar arăta.

Poate să dispară vreodată constanta?

Da, atunci când calculezi o diferență între două valori ale aceleiași primitive: constanta apare în ambele și se reduce prin scădere. Exemplul 6 și exercițiul 16 arată exact acest lucru pe cifre. Este motivul pentru care, în capitolul următor, rezultatele nu vor mai depinde de primitiva aleasă.