Se știe că $$\displaystyle\int f(x)\,dx=3x^{5}-8x^{2}+\mathcal{C}$$ pe $$\mathbb{R}$$. Atunci $$f(x)$$ este:

$$\dfrac{x^{6}}{2}-\dfrac{8x^{3}}{3}$$

Care dintre scrierile de mai jos este corectă?

$$\displaystyle\int(6x+13)\,dx=3x^{2}+13x+\mathcal{C}$$

$$\displaystyle\int(6x+13)\,dx=3x^{2}+13+\mathcal{C}$$

$$\displaystyle\int(6x+13)\,dt=3x^{2}+13x+\mathcal{C}$$

$$\displaystyle\int(6x+13)\,dx=3x^{2}+13x$$

Ce reprezintă constanta C pe grafic?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrala nedefinită și constanta

Constanta arată că graficele tuturor primitivelor sunt aceeași curbă, translatată pe verticală. Pentru $\int 2 x d x = x^{2} + C$ , parabolele $y = x^{2}$ , $y = x^{2} + 1$ și $y = x^{2} - 3$ au aceeași formă și sunt doar mutate în sus sau în jos. În orice punct de abscisă $x$ , tangentele lor au aceeași pantă, $2 x$ . Alegerea unei valori pentru constantă înseamnă alegerea uneia dintre aceste curbe, de exemplu cea care trece printr-un punct dat.

Integrala nedefinită strânge laolaltă toate primitivele unei funcții pe un interval. Semnul $\int f (x) d x$ nu desemnează o funcție anume, ci întreaga colecție, scrisă $F (x) + C$ : $F$ e un reprezentant ales la voia ta, iar $C$ adună funcțiile constante. Fără ea, ai pune semnul egal între o infinitate și un singur element, ceea ce e pur și simplu neadevărat.

De ce arată colecția așa? Iei două primitive ale aceleiași funcții; scăzându-le, obții ceva a cărui derivată se anulează oriunde, iar regula deprinsă în clasa a XI-a spune că o asemenea funcție nu se mișcă pe un interval. Tocmai aici intră ipoteza de „o singură bucată”.

Litera din $d x$ spune după cine se caută. Nu e un factor: n-o simplifici, n-o muți, iar sub semnul integralei trebuie să apară aceeași literă.

Criteriul care decide între două scrieri deosebite nu e asemănarea lor, ci egalitatea derivatelor. Și încă ceva: o scădere de tipul $F (b) - F (a)$ iese la fel pentru orice reprezentant, fiindcă numărul adăugat se reduce.

De reținut

$\int f (x) d x = F (x) + C$ : graficele primitivelor sunt translatate vertical
toate primitivele au, în același $x$ , tangente paralele
$F (b) - F (a)$ este același pentru orice primitivă

Greșeala tipică

Se scrie $\int 2 x d x = x^{2}$ , fără constantă, ca și cum ar exista o singură primitivă; egalitatea pune o familie întreagă egală cu o singură funcție, deci corect este $x^{2} + C$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $\int (12 x^{2} - 7) d x$ pe $R$ .
- a) $4 x^{3} - 7 x + C$
- b) $4 x^{3} - 7 + C$
- c) $12 x^{3} - 7 x + C$
- d) $4 x^{3} - 7 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 x^{3} - 7 x + C$

Mergem invers pe formula puterii, termen cu termen: din $12 x^{2}$ iese $4 x^{3}$ , iar constanta $- 7$ dă termenul $- 7 x$ . Verificare: $(4 x^{3} - 7 x)^{'} = 12 x^{2} - 7$ . Varianta b) lasă constanta neschimbată, c) nu împarte la noul exponent, iar d) este o singură funcție în locul întregii familii.
Se știe că $\int f (x) d x = 3 x^{5} - 8 x^{2} + C$ pe $R$ . Atunci $f (x)$ este:
- a) $15 x^{4} - 8 x$
- b) $3 x^{5} - 8 x^{2}$
- c) $\frac{x ^{6}}{2} - \frac{8 x ^{3}}{3}$
- d) $15 x^{4} - 16 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $15 x^{4} - 16 x$

Funcția de integrat este derivata oricărui element al familiei din membrul drept, deci $f (x) = (3 x^{5} - 8 x^{2})^{'} = 15 x^{4} - 16 x$ . Varianta a) uită să deriveze al doilea termen până la capăt, b) repetă primitiva în loc de funcție, iar c) integrează încă o dată, în loc să deriveze.
Care dintre scrierile de mai jos este corectă?
- a) $\int (6 x + 13) d x = 3 x^{2} + 13 + C$
- b) $\int (6 x + 13) d x = 3 x^{2} + 13 x + C$
- c) $\int (6 x + 13) d t = 3 x^{2} + 13 x + C$
- d) $\int (6 x + 13) d x = 3 x^{2} + 13 x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\int (6 x + 13) d x = 3 x^{2} + 13 x + C$

Din $6 x$ iese $3 x^{2}$ , iar constanta $13$ dă termenul $13 x$ ; familia se închide cu $C$ . Varianta a) lasă constanta neschimbată. În c), litera de sub semnul integral nu este aceeași cu cea din $d t$ , așa că scrierea nu spune față de ce variabilă se caută primitiva. În d) lipsește $C$ , deci o mulțime infinită e egalată cu un singur element al ei.

Întrebări conexe

Pot avea puncte comune graficele a două primitive ale aceleiași funcții?

Nu, dacă primitivele sunt diferite. Pe un interval ele diferă printr-un număr nenul, de exemplu $x^{2} + 1$ și $x^{2} - 3$ diferă peste tot prin $4$ , deci graficele nu se ating niciodată.

Ce pantă au tangentele la graficele primitivelor în același punct?

Aceeași pantă, $f (x)$ , pentru că toate primitivele au derivata $f$ . La familia $x^{2} + C$ , în $x = 3$ toate tangentele au panta $6$ , deci sunt paralele între ele.

De ce diferența $F (b) - F (a)$ nu depinde de primitiva aleasă?

Constanta se reduce la scădere. Cu $F (x) = x^{2} + 5$ se obține $F (4) - F (1) = 21 - 6 = 15$ , iar cu $G (x) = x^{2} - 1$ se obține $15 - 0 = 15$ . Oricare primitivă ai alege, rezultatul scăderii rămâne același, iar pe această observație se sprijină calculul integralei definite.

Ce înseamnă constanta de integrare într-o problemă de mișcare?

Este poziția de pornire. Dacă viteza este constantă, $4$ m/s, atunci $x (t) = \int 4 d t = 4 t + C$ . Pentru un mobil care pleacă din punctul aflat la $20$ m de origine, constanta este $20$ , iar $x (t) = 4 t + 20$ .

De ce integrala nedefinită se scrie pe un interval, nu pe o reuniune?

Pe o reuniune de intervale, constanta poate fi alta pe fiecare bucată. Pe $R^{*}$ , funcțiile egale cu $\frac{1}{x} + 1$ pentru $x < 0$ și cu $\frac{1}{x} + 7$ pentru $x > 0$ au ambele derivata $- \frac{1}{x ^{2}}$ , deși nu diferă printr-un singur număr.

Oamenii mai întreabă și: constanta C la integrala nedefinită · interpretarea grafică a constantei de integrare · familia de primitive pe grafic · de ce graficele primitivelor sunt translatate