Liniaritatea integralei nedefinite (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Un ocol silvic urmărește creșterea lemnului pe două parcele vecine și măsoară, pentru fiecare, cât se adaugă într-un an. Ca să afle cât lemn a acumulat tot ocolul, nimeni nu inventează o metodă nouă: se adună cele două cantități, fiecare obținută din ritmul ei. Ideea că întregul se obține din părți, iar părțile se tratează separat pare atât de firească încât nici nu o observăm — și totuși ea este, la clasa a XII-a de la științe ale naturii (M2), o proprietate care se enunță și se demonstrează, iar cerințele care o folosesc ajung, la bacalaureatul M2, la Subiectul al III-lea.

Proprietatea se numește liniaritate și este singura proprietate de calcul pe care programa clasei o cere pentru integrala nedefinită. Ea spune două lucruri: integrala unei sume se desface în sumă de integrale, iar un factor numeric se scoate în fața semnului integral. Pe ea se sprijină fiecare calcul al capitolului. Tema apare în programa de bacalaureat M2 din 2014, sub numele „proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite", pentru sesiunile 2027–2029, unde analiza se dă la Subiectul al III-lea, și în programa nouă, la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2), în domeniul „Analiză matematică".

Ce vei învăța

Vei ști să enunți liniaritatea integralei nedefinite, cu toate condițiile din enunț.
Vei ști să o justifici prin derivare, fără să memorezi nimic.
Vei ști de ce factorul scos în fața integralei trebuie să fie nenul.
Vei ști să duci un calcul în trei pași: aducerea la o sumă, desfacerea, o singură constantă.
Vei ști de ce integrala unui produs nu este produsul integralelor și vei putea arăta asta pe un caz.
Vei ști să prelucrezi algebric un integrand care nu este scris de la început ca sumă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune proprietatea de liniaritate?

Liniaritatea integralei nedefinite este proprietatea care spune, deodată, două lucruri: integrala unei sume se desface în sumă de integrale, iar un factor numeric nenul se scoate în fața semnului integral. Enunțul se reține ca un tot, dar cele două jumătăți se folosesc separat.

Fie $I$ un interval, $f$ și $g$ două funcții definite pe $I$ care admit primitive pe $I$ și $α$ un număr real nenul. Atunci $f + g$ și $α f$ admit primitive pe $I$ și au loc egalitățile

$\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x, \int α f (x) d x = α \int f (x) d x .$

Prima jumătate se numește aditivitate, a doua omogenitate. Citește-le ca pe niște egalități între mulțimi, fiindcă asta și sunt: în ambii membri stau familii de funcții, iar egalitatea spune că cele două familii au exact aceleași elemente.

Combinând cele două jumătăți obții forma pe care o vei folosi de fapt: pentru $α$ și $β$ numere reale nenule,

$\int (α f (x) + β g (x)) d x = α \int f (x) d x + β \int g (x) d x .$

Ea se extinde la oricâți termeni, ceea ce înseamnă, practic, că un polinom se integrează termen cu termen. Toată tehnica de calcul din lecțiile următoare se sprijină pe acest enunț.

Două amănunte din enunț merită citite rar, fiindcă tocmai ele se uită. Primul: ipoteza cere ca amândouă funcțiile să admită primitive pe același interval $I$ ; dacă una dintre ele nu admite, egalitatea nu are despre ce vorbi, fiindcă un membru nici nu există. Al doilea: concluzia afirmă mai mult decât o formulă de calcul — ea spune, înainte de orice, că suma și multiplul admit primitive. Este o informație de existență, obținută gratuit, pe care o vei folosi ori de câte ori trebuie să justifici că un polinom are primitive fără să le scrii.

2. De ce este adevărată?

Fiindcă derivarea are deja aceste două proprietăți, iar primitiva se definește prin derivare. Argumentul se scrie în patru rânduri.

Fie $F$ o primitivă a lui $f$ și $G$ una a lui $g$ pe intervalul $I$ . Suma $F + G$ este derivabilă pe $I$ , iar regula de derivare a sumei dă $(F + G)^{'} = F^{'} + G^{'} = f + g$ . Așadar $F + G$ este o primitivă a lui $f + g$ , ceea ce arată întâi că $f + g$ admite primitive, iar apoi că mulțimea lor este $F + G + C$ . În membrul drept al primei egalități stau funcțiile de forma $(F + c_{1}) + (G + c_{2})$ ; cum suma a două numere reale oarecare este tot un număr real oarecare, obții aceeași familie.

La fel pentru al doilea enunț: $α F$ este derivabilă și $(α F)^{'} = α F^{'} = α f$ , deci $α f$ admite primitive, iar mulțimea lor este $α F + C$ . În dreapta stau funcțiile $α (F + c) = α F + α c$ , iar acestea acoperă toată familia numai dacă $α$ nu este zero — despre asta e vorba în subsecțiunea următoare.

Observă că nicăieri nu am avut nevoie să știm cine sunt $f$ și $g$ : argumentul lucrează numai cu faptul că fiecare are o primitivă, iar concluzia rămâne valabilă pentru orice pereche de funcții cu această proprietate. De aceea proprietatea se aplică la fel de bine polinoamelor de azi și funcțiilor pe care le vei întâlni în lecțiile următoare.

Reține metoda, nu rândurile: ca să dovedești o egalitate între integrale nedefinite, derivezi. Este același instrument cu care verifici un răspuns, folosit de data aceasta ca să demonstrezi o regulă.

3. De ce trebuie ca factorul scos în față să fie nenul?

Fiindcă pentru $α = 0$ egalitatea se rupe, iar locul unde se rupe merită văzut o dată.

În membrul stâng, funcția de integrat devine funcția identic nulă, ale cărei primitive sunt toate funcțiile constante; prin urmare $\int 0 \cdot f (x) d x = C$ , o mulțime infinită. În membrul drept, înmulțirea cu zero strivește întreaga familie într-un singur element, funcția identic nulă. O mulțime cu o infinitate de elemente nu poate fi egală cu una care are un singur element, deci egalitatea este falsă.

Acesta este singurul loc din capitol în care condiția $α \neq = 0$ contează cu adevărat, dar la o cerință care începe cu „justificați" ea se scrie. În rest, factorii pe care îi vei scoate în față sunt coeficienți dintr-un polinom, deci nenuli prin chiar faptul că îi vezi scriși.

4. Cum arată un calcul complet, pas cu pas?

Trei etape, mereu în aceeași ordine.

Etapa 1 — aduci integrandul la o sumă de termeni pe care știi să-i integrezi. Desfaci parantezele, împarți fracțiile termen cu termen, simplifici. Nimic altceva nu se aplică înaintea acestei etape.

Etapa 2 — desfaci integrala și scoți coeficienții în față, folosind cele două jumătăți ale enunțului.

Etapa 3 — scrii un singur $C$ , la sfârșit.

Iată-le pe un caz. Vrem $\int (24 x^{3} + 10 x - 7) d x$ pe $R$ . Integrandul e deja o sumă, deci Etapa 1 nu are ce face. La Etapa 2 desfacem și scoatem coeficienții, iar la Etapa 3 recunoaștem fiecare primitivă și închidem cu o singură constantă:

$\int (24 x^{3} + 10 x - 7) d x = 6 x^{4} + 5 x^{2} - 7 x + C .$

Controlul durează cinci secunde: derivata membrului drept este $24 x^{3} + 10 x - 7$ , adică integrandul. În toate exercițiile capitolului, timpul se pierde la Etapa 1, nu la celelalte două.

5. Ce NU spune liniaritatea?

Nu spune nimic despre produse și despre câturi, iar aici se nasc cele mai multe greșeli ale capitolului. Scrierea „ $\int f (x) g (x) d x = \int f (x) d x \cdot \int g (x) d x$ " este falsă, și e destul un singur caz ca să o dobori.

Ia $f (x) = 4 x$ și $g (x) = 7 x^{2}$ pe $R$ . Produsul lor este $28 x^{3}$ , iar $\int 28 x^{3} d x = 7 x^{4} + C$ . Pe de altă parte, o primitivă a lui $f$ este $2 x^{2}$ , iar una a lui $g$ este $\frac{7 x ^{3}}{3}$ , și produsul lor este $\frac{14 x ^{5}}{3}$ — o funcție de gradul al cincilea, care nu are cum să coincidă cu una de gradul al patrulea. Cele două rezultate nu sunt doar diferite ca scriere, ci diferite ca grad.

Motivul de fond e simplu: derivarea nu se comportă multiplicativ, iar derivata unui produs nu este produsul derivatelor. Cum liniaritatea integralei a fost dedusă din proprietățile derivării, ea moștenește exact ce are derivarea și nimic în plus. Produsele se vor trata prin metode proprii, la integrala definită.

Din același motiv cade și presupunerea despre cât: nu există nicio regulă care să spargă integrala unei fracții în câtul a două integrale. Când numitorul e simplu, fracția se împarte termen cu termen și devine o sumă — atunci lucrează liniaritatea, dar pe suma obținută, nu pe fracția inițială. Diferența dintre cele două situații este toată: într-un caz ai prelucrat algebric înainte, în celălalt ai inventat o regulă.

Merită ținut minte și un semn de alarmă practic, ușor de folosit la orice verificare: dacă „rezultatul" tău are alt grad decât cel pe care îl aștepți de la mersul invers al formulei puterii, aproape sigur ai rupt un produs. Gradul primitivei unui polinom este cu unu mai mare decât gradul polinomului, iar un produs de două primitive urcă mult peste atât.

6. De ce se scrie un singur $C$ ?

Pentru că mulțimea constantelor, adunată cu ea însăși, dă tot mulțimea constantelor. Dacă desfaci o integrală în trei bucăți și scrii câte o constantă la fiecare, obții o sumă de trei numere reale oarecare — adică, la rândul ei, un număr real oarecare. Nimic nu se câștigă, iar scrierea devine greu de citit.

Reține deci forma de redactare: constantele intermediare nu se scriu deloc, iar la capătul calculului apare un singur $C$ . Nu este o greșeală de matematică să scrii mai multe, ci una de exprimare — dar la o rezolvare de examen exprimarea se vede.

Aceeași observație explică de ce, la scoaterea unui factor în față, constanta nu se înmulțește cu el. Ai putea crede că din $α (F + C)$ trebuie să iasă $α F + α C$ , dar $α C$ înseamnă „toate constantele înmulțite cu $α$ ", iar acestea, pentru $α$ nenul, sunt tot toate constantele. Scrii deci $α F + C$ și mergi mai departe.

7. Ce faci când integrandul nu este scris ca sumă?

Îl rescrii, și abia apoi aplici regula. Cele două situații care apar la clasa a XII-a sunt produsul de paranteze și fracția cu numitor simplu.

La produs, desfaci parantezele și reduci termenii asemenea; din două binoame iese un trinom, pe care apoi îl integrezi termen cu termen. La fracție, împarți fiecare termen al numărătorului la numitor și simplifici, până când rămâne o sumă de puteri.

Ce nu ai voie să faci: să aplici liniaritatea înainte de prelucrare, ca și cum produsul s-ar desface de la sine. Ordinea corectă e mereu aceeași — întâi algebra, apoi integrala. Vei relua această alegere sistematic la ghidul de recunoaștere a funcției, unde apar și celelalte tipare.

Există și un al treilea caz, mai puțin vizibil: puterea unei paranteze. O expresie ridicată la pătrat sau la cub nu se integrează „pe bucăți" și nici nu are vreo formulă proprie la acest capitol; se desfășoară după formulele de calcul prescurtat din gimnaziu și abia apoi se integrează suma rezultată. Regula de recunoaștere pe care merită să o ai în minte înainte de orice calcul este scurtă: dacă integrandul nu este o sumă de termeni pe care îi recunoști unul câte unul, nu ai încă dreptul să scrii semnul integral de mai multe ori. Prima întrebare la fiecare exercițiu nu este „ce formulă folosesc?", ci „este integrandul deja o sumă?".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un polinom integrat termen cu termen

Calculează $\int (20 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x - 3) d x$ pe $R$ .

Rezolvare. Integrandul este deja o sumă, deci aplicăm direct liniaritatea și mergem invers pe formula puterii la fiecare termen:

$\int (20 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x - 3) d x = 5 x^{4} - 3 x^{3} + 4 x^{2} - 3 x + C .$

Verificare: derivata membrului drept este $20 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x - 3$ . Observă că fiecare coeficient a fost împărțit la noul exponent, iar constanta $- 3$ a devenit $- 3 x$ .

Exemplul 2 — Întâi prelucrarea, apoi liniaritatea

Calculează $\int (4 x - 1) (x + 3) d x$ pe $R$ .

Rezolvare. Etapa 1: desfacem parantezele, $(4 x - 1) (x + 3) = 4 x^{2} + 11 x - 3$ . Etapa 2 și 3: integrăm termen cu termen și închidem cu o singură constantă,

$\int (4 x - 1) (x + 3) d x = \frac{4 x ^{3}}{3} + \frac{11 x ^{2}}{2} - 3 x + C .$

Fracțiile de aici nu semnalează nicio greșeală: ele apar ori de câte ori coeficientul nu se împarte exact la noul exponent.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev a calculat $\int (20 x^{3} - 6 x) d x$ astfel: „ $= \int 20 x^{3} d x - \int 6 x d x = 5 x^{4} + C - 3 x^{2} + C$ ". Arată ce este greșit și scrie răspunsul corect.

Rezolvare. Desfacerea integralei și calculul celor două primitive sunt corecte; greșeala este de redactare, la constantă. Elevul a scris $C$ de două ori, ca și cum ar fi două mărimi diferite care se adună. Dar suma a două mulțimi de constante este tot mulțimea constantelor, deci a doua scriere nu adaugă nimic. Răspunsul corect este $\int (20 x^{3} - 6 x) d x = 5 x^{4} - 3 x^{2} + C$ , cu o singură constantă, la sfârșit.

Exemplul 4 — Două benzi care alimentează un siloz

Un siloz primește cereale de la două benzi transportoare. Prima aduce $r_{1} (t) = 6 t + 20$ kilograme pe minut, a doua $r_{2} (t) = 3 t^{2}$ kilograme pe minut, ambele valabile pe intervalul $[0, 15]$ . Scrie mulțimea funcțiilor care pot descrie masa din siloz și explică rolul constantei.

Rezolvare. Ritmul total de alimentare este suma celor două ritmuri, $r (t) = 3 t^{2} + 6 t + 20$ kilograme pe minut, pozitiv pe tot intervalul, ceea ce se și cuvine: silozul se umple. Masa $m$ are derivata $r$ , deci $m$ este o primitivă a lui $r$ :

$\int (3 t^{2} + 6 t + 20) d t = t^{3} + 3 t^{2} + 20 t + C,$

cu $m$ exprimat în kilograme. Constanta este masa aflată în siloz la pornirea benzilor; ea nu se poate deduce din ritmuri, ci se citește o dată, la început. Liniaritatea a fost folosită de două ori: ca să adunăm ritmurile și ca să integrăm termen cu termen.

Exemplul 5 — Când primitivele sunt date, nu calculate

Se știe că $F (x) = x^{4} + 11 x$ este o primitivă a funcției $f$ pe $R$ , iar $G (x) = x^{2} + 23 x$ este o primitivă a funcției $g$ pe $R$ . Calculează $\int (3 f (x) - 2 g (x)) d x$ .

Rezolvare. Nu avem nevoie de expresiile lui $f$ și $g$ : liniaritatea lucrează cu primitivele lor. Din enunț, $3 F - 2 G$ are derivata $3 f - 2 g$ , deci este o primitivă a integrandului. Prin urmare

$\int (3 f (x) - 2 g (x)) d x = 3 (x^{4} + 11 x) - 2 (x^{2} + 23 x) + C = 3 x^{4} - 2 x^{2} - 13 x + C .$

Coeficienții $3$ și $- 2$ sunt nenuli, deci ipoteza enunțului este îndeplinită.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcțiile $f, g : R \to R$ , $f (x) = 6 x^{2} - 32 x$ și $g (x) = 6 x + 7$ .

a) Calculează $\int f (x) d x$ .

b) Calculează $\int (f (x) - 3 g (x)) d x$ .

c) Arată că funcția $H : R \to R$ , $H (x) = 2 x^{3} - 25 x^{2} - 21 x + 8$ , este o primitivă a funcției $f - 3 g$ .

Rezolvare. a) Termen cu termen, $\int f (x) d x = 2 x^{3} - 16 x^{2} + C$ pe $R$ .

b) Aducem întâi integrandul la o sumă: $f (x) - 3 g (x) = 6 x^{2} - 32 x - 18 x - 21 = 6 x^{2} - 50 x - 21$ . Atunci

$\int (f (x) - 3 g (x)) d x = 2 x^{3} - 25 x^{2} - 21 x + C .$

c) Funcția $H$ este polinomială, deci derivabilă pe $R$ , iar $H^{'} (x) = 6 x^{2} - 50 x - 21$ , adică exact $f (x) - 3 g (x)$ . Prin urmare $H$ este una dintre primitivele găsite la punctul b).

Să exersăm

1. Calculează $\int (8 x + 27) d x$ pe $R$ .

2. Calculează $\int (15 x^{2} - 4 x + 9) d x$ pe $R$ .

3. Calculează $\int (2 x^{3} - x^{2} + 6) d x$ pe $R$ .

4. Calculează $\int (x - 11) (x + 3) d x$ pe $R$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $f$ admite primitive pe intervalul $I$ , iar $g$ nu admite primitive pe $I$ , atunci nici $f + g$ nu admite primitive pe $I$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $f$ și $g$ admit primitive pe intervalul $I$ , atunci $\int (f (x) - g (x)) d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$ .

7. Calculează $\int (x^{2} + 3) (x - 1) d x$ pe $R$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\int (12 x^{2} - 14 x + 5) d x$ pe $R$ .

9. Se știe că $\int f (x) d x = x^{4} - 21 x + C$ pe $R$ . Calculează $\int 5 f (x) d x$ .

10. Calculează $\int (27 x^{2} - 8 x + 2) d x$ pe $R$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 16 x^{3} + 3 x^{2} - 8$ . Calculează $\int f (x) d x$ .

12. Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\int (a x^{2} + b x) d x = 7 x^{3} - 6 x^{2} + C$ pe $R$ .

13. (Problemă aplicată.) O stație meteo scrie date de la două instrumente: primul cu ritmul $r_{1} (t) = 2 t + 4$ megaocteți pe oră, al doilea cu ritmul $r_{2} (t) = 3 t^{2} - t + 6$ megaocteți pe oră, ambele valabile pe intervalul $[0, 12]$ . Scrie ritmul total și apoi mulțimea funcțiilor care pot descrie cantitatea de date acumulată.

14. Calculează $\int (6 x - 5) (x + 2) d x$ pe $R$ .

15. Se știe că $\int f (x) d x = 2 x^{4} + 9 x + C$ și $\int g (x) d x = 13 x^{2} + 6 x + C$ pe $R$ . Determină numărul real $α$ pentru care $\int (f (x) + α g (x)) d x = 2 x^{4} + 26 x^{2} + 21 x + C$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} + 22 x - 4$ . Calculează $\int f (x) d x$ și arată că $F (x) = x^{3} + 11 x^{2} - 4 x + 6$ este o primitivă a lui $f$ .

17. Calculează $\int (3 x - 1) (x^{2} + 2) d x$ pe $R$ .

18. (Provocare.) Determină funcția polinomială $f$ de gradul al treilea pentru care $F (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2}$ este o primitivă a lui $f$ pe $R$ și calculează $f (- 1)$ .

Răspunsuri și explicații

1. $\int (8 x + 27) d x = 4 x^{2} + 27 x + C$ ; derivata membrului drept este $8 x + 27$ .

2. $\int (15 x^{2} - 4 x + 9) d x = 5 x^{3} - 2 x^{2} + 9 x + C$ , integrând termen cu termen.

3. $\int (2 x^{3} - x^{2} + 6) d x = \frac{x ^{4}}{2} - \frac{x ^{3}}{3} + 6 x + C$ .

4. Desfacem: $(x - 11) (x + 3) = x^{2} - 8 x - 33$ , deci integrala este $\frac{x ^{3}}{3} - 4 x^{2} - 33 x + C$ .

5. Adevărat. Presupune, prin absurd, că $f + g$ ar admite primitive pe $I$ . Cum și $f$ admite, iar numărul $- 1$ este nenul, liniaritatea dă întâi că $(- 1) f$ admite primitive, apoi că suma $(f + g) + (- 1) f$ admite primitive pe $I$ — dar acea funcție este chiar $g$ , despre care enunțul spune că nu admite. Presupunerea cade, deci $f + g$ nu admite primitive pe $I$ .

6. Adevărat. Scriem $f - g = f + (- 1) g$ și aplicăm cele două jumătăți ale enunțului, cu $α = - 1$ , care este nenul. Se obține exact egalitatea cerută, ambii membri fiind mulțimea $F - G + C$ .

7. $(x^{2} + 3) (x - 1) = x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ , deci integrala este $\frac{x ^{4}}{4} - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{3 x ^{2}}{2} - 3 x + C$ .

8. $\int (12 x^{2} - 14 x + 5) d x = 4 x^{3} - 7 x^{2} + 5 x + C$ , ceea ce se verifică derivând.

9. Cum $5 \neq = 0$ , factorul se scoate în față: $\int 5 f (x) d x = 5 \int f (x) d x = 5 x^{4} - 105 x + C$ . Nu scriem $5 C$ , fiindcă mulțimea constantelor înmulțită cu un număr nenul este tot mulțimea constantelor.

10. $\int (27 x^{2} - 8 x + 2) d x = 9 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + C$ .

11. $\int f (x) d x = 4 x^{4} + x^{3} - 8 x + C$ ; controlul se face derivând membrul drept.

12. Derivăm membrul drept: $(7 x^{3} - 6 x^{2})^{'} = 21 x^{2} - 12 x$ . Două integrale nedefinite sunt egale pe un interval exact când integranzii coincid, deci $a = 21$ și $b = - 12$ .

13. Ritmul total este suma celor două, $r (t) = 3 t^{2} + t + 10$ megaocteți pe oră, pozitiv pe tot intervalul $[0, 12]$ — cantitatea de date scrise nu poate scădea. Mulțimea cerută este $\int (3 t^{2} + t + 10) d t = t^{3} + \frac{t ^{2}}{2} + 10 t + C$ , cu rezultatul în megaocteți; constanta este cantitatea aflată pe disc la începutul măsurătorii.

14. $(6 x - 5) (x + 2) = 6 x^{2} + 7 x - 10$ , deci integrala este $2 x^{3} + \frac{7 x ^{2}}{2} - 10 x + C$ .

15. Prin liniaritate, $\int (f (x) + α g (x)) d x = 2 x^{4} + 9 x + α (13 x^{2} + 6 x) + C = 2 x^{4} + 13 α x^{2} + (9 + 6 α) x + C$ . Două mulțimi de primitive coincid exact când expresiile lor coincid termen cu termen: din $13 α = 26$ rezultă $α = 2$ , iar coeficientul lui $x$ confirmă, $9 + 6 \cdot 2 = 21$ . Valoarea găsită este nenulă, cum cere ipoteza din enunț.

16. $\int f (x) d x = x^{3} + 11 x^{2} - 4 x + C$ . Funcția $F$ este polinomială, deci derivabilă pe $R$ , iar $F^{'} (x) = 3 x^{2} + 22 x - 4 = f (x)$ , deci $F$ este una dintre primitivele lui $f$ .

17. $(3 x - 1) (x^{2} + 2) = 3 x^{3} - x^{2} + 6 x - 2$ , deci integrala este $\frac{3 x ^{4}}{4} - \frac{x ^{3}}{3} + 3 x^{2} - 2 x + C$ .

18. Prin definiție, $f = F^{'}$ , deci $f (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 10 x$ , funcție polinomială de gradul al treilea, cum cerea enunțul. Apoi $f (- 1) = 12$ . Observă că metoda nu are nimic de-a face cu integrarea: cerința „ $F$ este primitivă a lui $f$ " se citește tot prin derivare, indiferent în ce sens se dau datele.

De reținut

Liniaritatea are două jumătăți: integrala sumei este suma integralelor, iar un factor numeric nenul se scoate în fața integralei.
Ea se demonstrează derivând: suma a două primitive este primitivă a sumei, iar multiplul unei primitive este primitivă a multiplului.
Condiția $α \neq = 0$ este esențială: pentru $α = 0$ membrul stâng este mulțimea constantelor, iar membrul drept are un singur element.
Ordinea de lucru este fixă: întâi aduci integrandul la o sumă, apoi desfaci integrala, apoi scrii un singur $C$ .
Liniaritatea nu spune nimic despre produse și câturi; $\int f g$ nu este $\int f \cdot \int g$ , iar un singur contraexemplu o arată.

Greșeli frecvente

Desfaci integrala unui produs. Este greșeala numărul unu a capitolului. Un produs se desface algebric, prin înmulțirea parantezelor, nu prin ruperea integralei în două.
Scoți în față o expresie cu variabilă. În fața semnului integral pleacă numai numere. Scrierea „ $\int x f (x) d x = x \int f (x) d x$ " este falsă, fiindcă $x$ nu e constant față de $x$ .
Aplici liniaritatea înainte de prelucrare. O fracție sau un produs trebuie aduse întâi la formă de sumă; altfel desfacerea se face pe o expresie care nu este sumă și rezultatul e fără sens.
Pierzi semnul minus. La $\int (f (x) - 3 g (x)) d x$ , coeficientul care se scoate este $- 3$ , cu tot cu semn, iar el înmulțește toți termenii lui $g$ , nu doar primul.
Scrii câte o constantă după fiecare termen. Constantele intermediare nu aduc nicio informație în plus, fiindcă suma lor este tot un număr real oarecare; se scrie una singură, la capătul calculului.

Aplică acasă

Cele două ritmuri. Alege două surse care contribuie la aceeași mărime din casă — două robinete, două aparate care consumă curent, două persoane care strâng aceeași colecție. Notează pentru fiecare un ritm simplu, scrie ritmul total ca sumă, apoi scrie mulțimea funcțiilor care descriu cantitatea acumulată. Verifică rezultatul derivând.
Contraexemplul propriu. Alege două funcții de gradul întâi și arată, cu calculul scris pe hârtie, că integrala produsului lor nu coincide cu produsul integralelor. Compară gradele celor două rezultate și explică în două rânduri de ce diferența nu putea să nu apară.
Cronometrarea etapelor. Rezolvă cinci integrale în care integrandul este un produs de paranteze și cronometrează separat timpul petrecut cu desfacerea parantezelor și timpul petrecut cu integrarea propriu-zisă. Notează cele zece cifre și trage singur concluzia despre care etapă merită exersată mai mult.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează singura proprietate de calcul pe care programa de științe ale naturii o cere pentru integrala nedefinită. Ea verifică patru lucruri: dacă elevul enunță complet proprietatea, cu ipoteza asupra factorului scos; dacă o justifică prin derivare; dacă respectă ordinea prelucrare–desfacere–constantă; și dacă știe că produsul nu se supune acestei reguli.

Greșeala care revine cel mai des nu este de calcul, ci de reflex: elevul vede un produs sub semnul integral și îl rupe în două, prin analogie cu suma. De aceea contraexemplul din subsecțiunea 5 merită refăcut acasă, cu alte funcții, până când devine evident că cele două rezultate nu au nici măcar același grad. Un elev care poate construi singur un contraexemplu nu mai face greșeala.

Merită spus și ce anume se antrenează prin cele optsprezece exerciții: nu memorarea unei formule, ci obișnuința de a privi integrandul înainte de a scrie ceva. Un elev care se uită întâi la formă și abia apoi la cifre rezolvă corect chiar și exercițiile pe care nu le-a mai văzut, fiindcă întrebarea de la care pornește este mereu aceeași.

Întrebări bune de control: „Ce se scoate în fața integralei și ce nu?", „De ce trebuie ca factorul să fie nenul?", „Ce faci înainte de a desface integrala unui produs de paranteze?", „Câte constante scrii la sfârșit și de ce?". Lecția anterioară, pe care se sprijină notația, este integrala nedefinită; imediat după aceasta începe construirea tabelului, la tabelul primitivelor uzuale.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.3. Primitivele unei funcții continue, la conținutul „Proprietăți ale integralei nedefinite: liniaritate". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; programa acelui examen, aprobată prin OMEN 4430/2014, conține chiar sintagma „proprietatea de liniaritate a integralei nedefinite", iar analiza matematică se dă acolo la Subiectul al III-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că integrala nedefinită este liniară?

Înseamnă două lucruri deodată: integrala unei sume de funcții este suma integralelor lor, iar un factor numeric nenul se poate scoate în fața semnului integral. Combinate, cele două afirmații permit integrarea unui polinom termen cu termen, care este forma sub care proprietatea se folosește în aproape fiecare exercițiu.

De ce se cere ca factorul scos în față să fie nenul?

Pentru că pentru zero egalitatea devine falsă. În stânga rămâne integrala funcției nule, adică mulțimea tuturor funcțiilor constante; în dreapta, înmulțirea cu zero lasă un singur element, funcția nulă. O mulțime infinită nu poate fi egală cu una formată dintr-o singură funcție, deci ipoteza nu e o formalitate.

Se poate desface integrala unui produs?

Nu. Nu există nicio regulă care să rupă $\int f (x) g (x) d x$ în bucăți, iar egalitatea cu produsul integralelor este falsă, cum arată contraexemplul din lecție. Produsele de paranteze se desfac algebric, înainte de integrare; celelalte produse se tratează prin metode care nu fac obiectul acestei lecții.

De ce se scrie o singură constantă la sfârșit?

Pentru că adunând mai multe numere reale oarecare obții tot un număr real oarecare, deci mulțimea rezultată este aceeași. Scrierea cu mai multe constante nu este greșită din punct de vedere matematic, dar este redundantă și îngreunează citirea; forma așteptată este cea comprimată, cu un singur $C$ .

Cum verific dacă am aplicat corect liniaritatea?

Derivezi rezultatul și trebuie să obții integrandul din enunț, pe tot intervalul de lucru. Verificarea este completă și nu depinde de drumul pe care ai ajuns la răspuns: dacă derivata coincide, calculul e bun, chiar dacă ai grupat termenii altfel decât în rezolvarea de control.

Există lecția aceasta și la mate-info (M1)?

Tema există, dar nu ca lecție separată: la matematică-informatică liniaritatea este demonstrată în chiar lecția de definiție a integralei nedefinite, iar accentul cade repede pe metodele de integrare, care la științe ale naturii vin abia la integrala definită. Pentru comparație, proprietățile primitivei la mate-info (M1): proprietățile unei primitive deduse din funcție.

La ce subiect apare liniaritatea la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al III-lea, singurul care conține analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, a doua problemă a acelui subiect este despre integrale și are trei cerințe legate; primele două încep cu o simplificare algebrică a expresiei de sub integrală, iar primitiva se scrie abia după ea. Liniaritatea nu se cere enunțată; ea este unealta cu care o sumă de termeni se integrează termen cu termen, în restul capitolului.

Pot să grupez termenii altfel decât în rezolvarea de control?

Da. Liniaritatea nu impune nicio ordine: poți integra întâi termenii de grad mare, poți scoate un factor comun înainte de a desface, poți grupa doi termeni la un loc. Rezultatul este același, fiindcă toate aceste drumuri duc la aceeași familie de funcții. Singurul lucru care nu se poate schimba este ordinea dintre prelucrarea algebrică și desfacerea integralei.