Calculează $$\displaystyle\int\left(10x^{4}+6x^{2}-1\right)dx$$ pe $$\mathbb{R}$$.

$$2x^{5}+2x^{3}-x+\mathcal{C}$$

$$2x^{5}+2x^{3}-1+\mathcal{C}$$

$$2x^{5}+3x^{3}-x+\mathcal{C}$$

$$10x^{5}+6x^{3}-x+\mathcal{C}$$

Calculează $$\displaystyle\int(2x+5)(3x-1)\,dx$$ pe $$\mathbb{R}$$.

$$2x^{3}+\dfrac{13x^{2}}{2}-5x+\mathcal{C}$$

$$\left(x^{2}+5x\right)\left(\dfrac{3x^{2}}{2}-x\right)+\mathcal{C}$$

$$2x^{3}+13x^{2}-5x+\mathcal{C}$$

$$2x^{3}+\dfrac{13x^{2}}{2}-5+\mathcal{C}$$

Cum integrez o fracție cu numitorul x²?

Desparți fracția în termeni, împărțind separat fiecare parte a numărătorului, și abia apoi integrezi. Pe (0,+∞), (3x⁴-5)/x²=3x²- 5/x², deci integrala este x³+ 5/x+ C. Verificarea prin derivare dă 3x²- 5/x², adică funcția de la început. Pasul de despărțire este obligatoriu, fiindcă nu există o regulă pentru câtul a două integrale.

Cum aflu ∫(2f-5g) dx dacă știu integralele lui f și g?

Aplici liniaritatea: factorii 2 și -5 ies în fața integralelor, iar integralele se adună. Dacă ∫ f dx=x³+ C și ∫ g dx=x²+ C, atunci ∫(2f-5g) dx=2x³-5x²+ C. Verificare: f(x)=3x² și g(x)=2x, iar derivata rezultatului este 6x²-10x, adică exact 2f-5g.

Cum integrez (x³-8)/(x-2)?

Simplifici întâi fracția, altfel nu ai o sumă de puteri. Cu diferența de cuburi, x³-8=(x-2)(x²+2x+4), deci pe un interval care nu conține 2 fracția este egală cu x²+2x+4. Integrând termen cu termen se obține x³/3+x²+4x+ C.

Cum integrez un polinom termen cu termen?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a XII-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Liniaritatea: sumă și factor

Integrala unei sume este suma integralelor, iar un factor numeric iese în fața integralei. Așa fiecare termen al polinomului se integrează separat, cu formula puterii. Exemplu: $\int (8 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 5) d x = 2 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x + C$ . Verificare prin derivare: $(2 x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 5 x)^{'} = 8 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 5$ . La final se scrie o singură constantă, nu câte una pentru fiecare termen.

Programa cere pentru integrala nedefinită o singură însușire de calcul, liniaritatea, dar ea spune două lucruri: o adunare de sub semnul integralei se rupe în bucăți, iar un număr nenul care înmulțește iese în afară. Împreună, cele două îți dau ce folosești tot anul — polinomul se integrează pe rând, termen după termen.

Justificarea se sprijină numai pe felul cum se poartă derivarea: adunând doi reprezentanți, derivata lor e suma funcțiilor, iar înmulțind un reprezentant cu un număr, derivata e funcția înmulțită la fel. Concluzia nu e doar o formulă de calcul: ea garantează mai întâi existența primitivelor pentru adunare și pentru multiplu.

Cerința ca numărul scos afară să nu fie zero chiar contează. La zero, în stânga rămân toate funcțiile constante, iar în dreapta doar una singură.

Pașii nu-și schimbă ordinea: aduci expresia la o adunare de bucăți cunoscute — desfaci parantezele, împarți fracția —, apoi rupi integrala, apoi închei cu o singură constantă.

Ce nu se poate: nimic despre înmulțiri și împărțiri. Produsul integralelor nu e integrala produsului, iar un singur exemplu răstoarnă regula inventată.

De reținut

$\int (f + g) = \int f + \int g$ și $\int α f = α \int f$ , pentru $α \neq = 0$
întâi aduci integrandul la o sumă, apoi integrezi termen cu termen
la sfârșit se scrie o singură constantă

Greșeala tipică

Se integrează $(2 x - 1)^{2}$ ca $\frac{( 2 x - 1 ) ^{3}}{3}$ ; derivata acestei expresii este $2 (2 x - 1)^{2}$ , deci corect se împarte la $6$ , nu la $3$ , sau se desface pătratul.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $\int (10 x^{4} + 6 x^{2} - 1) d x$ pe $R$ .
- a) $2 x^{5} + 2 x^{3} - 1 + C$
- b) $2 x^{5} + 3 x^{3} - x + C$
- c) $10 x^{5} + 6 x^{3} - x + C$
- d) $2 x^{5} + 2 x^{3} - x + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2 x^{5} + 2 x^{3} - x + C$

Integrandul e deja o sumă, deci aplicăm liniaritatea și mergem invers pe formula puterii la fiecare termen: $\frac{10 x ^{5}}{5} = 2 x^{5}$ , $\frac{6 x ^{3}}{3} = 2 x^{3}$ , iar constanta $- 1$ dă $- x$ . Verificare: derivata membrului drept este $10 x^{4} + 6 x^{2} - 1$ . Varianta a) lasă constanta neschimbată, b) împarte greșit al doilea termen, iar c) nu împarte deloc.
Calculează $\int (2 x + 5) (3 x - 1) d x$ pe $R$ .
- a) $2 x^{3} + \frac{13 x ^{2}}{2} - 5 x + C$
- b) $(x^{2} + 5 x) (\frac{3 x ^{2}}{2} - x) + C$
- c) $2 x^{3} + 13 x^{2} - 5 x + C$
- d) $2 x^{3} + \frac{13 x ^{2}}{2} - 5 + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 x^{3} + \frac{13 x ^{2}}{2} - 5 x + C$

Produsul nu se desface prin ruperea integralei, ci algebric: $(2 x + 5) (3 x - 1) = 6 x^{2} + 13 x - 5$ . Integrând termen cu termen obținem $2 x^{3} + \frac{13 x ^{2}}{2} - 5 x + C$ . Varianta b) este chiar greșeala numărul unu a capitolului — produsul primitivelor —, c) nu împarte la noul exponent al doilea termen, iar d) lasă constanta neschimbată.
Se știe că $\int f (x) d x = x^{3} - 23 x + C$ pe $R$ . Atunci $\int 4 f (x) d x$ este:
- a) $4 x^{3} - 23 x + C$
- b) $4 x^{3} - 92 x + C$
- c) $4 x^{3} - 92 x$
- d) $x^{3} - 92 x + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $4 x^{3} - 92 x + C$

Numărul $4$ este nenul, deci se scoate în fața integralei și înmulțește toți termenii primitivei: $4 (x^{3} - 23 x) = 4 x^{3} - 92 x$ . Nu se scrie $4 C$ , fiindcă mulțimea constantelor înmulțită cu un număr nenul este tot mulțimea constantelor. Varianta a) uită al doilea termen, c) pierde familia, iar d) uită primul termen.

Întrebări conexe

Cum integrez o fracție cu numitorul $x^{2}$ ?

Desparți fracția în termeni, împărțind separat fiecare parte a numărătorului, și abia apoi integrezi. Pe $(0, + \infty)$ , $\frac{3 x ^{4} - 5}{x ^{2}} = 3 x^{2} - \frac{5}{x ^{2}}$ , deci integrala este $x^{3} + \frac{5}{x} + C$ . Verificarea prin derivare dă $3 x^{2} - \frac{5}{x ^{2}}$ , adică funcția de la început. Pasul de despărțire este obligatoriu, fiindcă nu există o regulă pentru câtul a două integrale.

Cât apă curge din două robinete cu debite diferite?

Volumul este integrala sumei debitelor. Dacă un robinet dă $6$ L/min, iar al doilea $4 t$ L/min, volumul total este $\int (6 + 4 t) d t = 6 t + 2 t^{2}$ , pornind de la zero. După $5$ minute: $30 + 50 = 80$ L, adică suma volumelor date de fiecare robinet.

Cum integrez pătratul unei paranteze, de exemplu $(2 x - 1)^{2}$ ?

Desfaci pătratul, $4 x^{2} - 4 x + 1$ , apoi integrezi termen cu termen și obții $\frac{4 x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + x + C$ . Altă cale: derivata lui $(2 x - 1)^{3}$ este $6 (2 x - 1)^{2}$ , deci o primitivă este $\frac{( 2 x - 1 ) ^{3}}{6}$ . Cele două rezultate diferă doar prin constanta $\frac{1}{6}$ , așa că amândouă sunt corecte.

Cum aflu $\int (2 f - 5 g) d x$ dacă știu integralele lui $f$ și $g$ ?

Aplici liniaritatea: factorii $2$ și $- 5$ ies în fața integralelor, iar integralele se adună. Dacă $\int f d x = x^{3} + C$ și $\int g d x = x^{2} + C$ , atunci $\int (2 f - 5 g) d x = 2 x^{3} - 5 x^{2} + C$ . Verificare: $f (x) = 3 x^{2}$ și $g (x) = 2 x$ , iar derivata rezultatului este $6 x^{2} - 10 x$ , adică exact $2 f - 5 g$ .

Cum integrez $\frac{x ^{3} - 8}{x - 2}$ ?

Simplifici întâi fracția, altfel nu ai o sumă de puteri. Cu diferența de cuburi, $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ , deci pe un interval care nu conține $2$ fracția este egală cu $x^{2} + 2 x + 4$ . Integrând termen cu termen se obține $\frac{x ^{3}}{3} + x^{2} + 4 x + C$ .

Oamenii mai întreabă și: integrala unui polinom · cum integrez un polinom · integrarea termen cu termen · primitiva unui polinom pas cu pas

Cum integrez un polinom termen cu termen?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum integrez o fracție cu numitorul x2?

Cât apă curge din două robinete cu debite diferite?

Cum integrez pătratul unei paranteze, de exemplu (2x−1)2?

Cum aflu ∫(2f−5g)dx dacă știu integralele lui f și g?

Cum integrez x−2x3−8​?

Continuă cu

Cum integrez o fracție cu numitorul $x^{2}$ ?

Cum integrez pătratul unei paranteze, de exemplu $(2 x - 1)^{2}$ ?

Cum aflu $\int (2 f - 5 g) d x$ dacă știu integralele lui $f$ și $g$ ?

Cum integrez $\frac{x ^{3} - 8}{x - 2}$ ?