Un depozit livrează truse de reactivi către două laboratoare. Tabloul cantităților, în bucăți, este $$D=\begin{pmatrix}12 & 7 & 20\\16 & 11 & 9\end{pmatrix}$$, cu laboratoarele pe rânduri și cele trei tipuri de truse pe coloane, iar prețurile, în lei pe trusă, sunt $$P=\begin{pmatrix}45\\60\\25\end{pmatrix}$$. Cât plătește fiecare laborator?

$$\begin{pmatrix}1460\\1605\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1605\\1460\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}960\\1380\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1755\\1620\end{pmatrix}$$

Pentru tabloul $$V=\begin{pmatrix}14 & 23 & 9\\27 & 8 & 19\end{pmatrix}$$, cu cele două schimburi pe rânduri și cele trei aparate pe coloane, calculează $$\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}\cdot V$$ și spune ce reprezintă rezultatul.

$$\begin{pmatrix}41 & 31 & 28\end{pmatrix}$$, numărul de analize făcute la fiecare aparat

$$\begin{pmatrix}46\\54\end{pmatrix}$$, numărul de analize al fiecărui schimb

$$\begin{pmatrix}41 & 31 & 28\end{pmatrix}$$, numărul de analize al fiecărui schimb

$$\begin{pmatrix}100\end{pmatrix}$$, numărul total de analize

Cum se calculează doze cu produsul de matrice?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Matrice în practică

Pui masele pacienților, în kg, într-o coloană și dozele pe kilogram, în mg/kg, într-o linie; produsul coloană ori linie dă toate dozele deodată, în mg. Pentru masele $20$ și $50$ kg și dozele $0, 5$ și $2$ mg/kg: $(2050) \cdot (0, 5 2) = (102540100)$ . Pe linii sunt pacienții, pe coloane substanțele. Unitatea se verifică așa: kg ori mg/kg dă mg.

Un tablou de date devine model abia când i se scriu trei lucruri alături: ce numără rândurile, ce numără coloanele și în ce unitate sunt numerele. Fără ele, aceeași cifră poate însemna bucăți, lei sau minute, iar greșelile nu apar la socoteală, ci din schimbarea convenției pe parcursul rezolvării.

Alegerea operației se face după întrebarea din enunț, nu după forma tablourilor. Punerea cap la cap a două perioade cere adunare; o schimbare care atinge la fel toate căsuțele cere un scalar; legarea a două tabele printr-o mărime pe care o au amândouă cere produs, iar acea mărime dispare din rezultat. De aici iese și cel mai ieftin control: unitatea unei căsuțe a produsului este produsul unităților, cu mărimea comună simplificată.

Totalurile se obțin tot dintr-o înmulțire, cu un tablou de valori $1$ : la stânga pentru sumele pe coloane, la dreapta pentru cele pe rânduri. Cele două drumuri trebuie să ducă la același total general.

Capcana. Când două tablouri au aceleași etichete pe rânduri și pe coloane, ele se suprapun căsuță pe căsuță, iar rezultatul este un singur număr — produsul de matrice nici nu s-ar putea face. Și încă una: mărimile născute dintr-un raport — concentrația, procentul, prețul unei unități — se înmulțesc, nu se adună niciodată între ele.

De reținut

mărimea comună a două tabele nu mai apare în produsul lor
kg ori mg/kg dă mg: unitățile se înmulțesc și se simplifică
suma fiecărei linii: produsul matricei cu o coloană plină de $1$ , pusă la dreapta

Greșeala tipică

Se înmulțește matricea cantităților cu cea a prețurilor fără să se verifice că produsele stau pe coloanele primei și pe liniile celei de-a doua; dacă ordinea nu se potrivește, se transpune un tabel înainte de calcul.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un tablou $C$ , rândurile sunt serele, coloanele sunt legumele, iar numerele reprezintă kilograme recoltate. Coloana $P$ conține prețul unui kilogram, în lei, pentru fiecare legumă. Ce unitate de măsură au elementele produsului $C \cdot P$ ?
- a) kilograme
- b) lei
- c) lei pe kilogram
- d) kilograme pe leu
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) lei

Mărimea comună celor două tablouri sunt legumele: ele sunt coloanele primului și rândurile celui de-al doilea. La înmulțire, kilogramele din $C$ se combină cu leii pe kilogram din $P$ , kilogramele se simplifică, iar ce rămâne sunt leii — adică încasarea fiecărei sere. Varianta c) repetă unitatea coloanei de prețuri, varianta a) pe cea a tabloului de cantități, iar d) răstoarnă raportul. Controlul unităților prinde un model greșit înainte de orice calcul.
Un depozit livrează truse de reactivi către două laboratoare. Tabloul cantităților, în bucăți, este $D = (1216711209)$ , cu laboratoarele pe rânduri și cele trei tipuri de truse pe coloane, iar prețurile, în lei pe trusă, sunt $P = 456025$ . Cât plătește fiecare laborator?
- a) $(14601605)$
- b) $(16051460)$
- c) $(9601380)$
- d) $(17551620)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(14601605)$

Fiecare rând al tabloului se potrivește peste coloana prețurilor: $12 \cdot 45 + 7 \cdot 60 + 20 \cdot 25 = 540 + 420 + 500 = 1460$ și $16 \cdot 45 + 11 \cdot 60 + 9 \cdot 25 = 720 + 660 + 225 = 1605$ , în lei. Varianta b) răstoarnă cele două laboratoare, c) oprește suma după doi termeni, iar d) înmulțește numărul total de truse al fiecărui laborator cu primul preț, ca și cum toate trusele ar costa la fel.
Pentru tabloul $V = (1427238919)$ , cu cele două schimburi pe rânduri și cele trei aparate pe coloane, calculează $(11) \cdot V$ și spune ce reprezintă rezultatul.
- a) $(4654)$ , numărul de analize al fiecărui schimb
- b) $(413128)$ , numărul de analize făcute la fiecare aparat
- c) $(413128)$ , numărul de analize al fiecărui schimb
- d) $(100)$ , numărul total de analize
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(413128)$ , numărul de analize făcute la fiecare aparat

Înmulțirea la stânga cu un rând de valori $1$ adună pe coloane: $14 + 27 = 41$ , $23 + 8 = 31$ și $9 + 19 = 28$ . Coloanele fiind aparatele, numerele obținute spun câte analize s-au făcut la fiecare aparat. Varianta a) dă sumele pe rânduri, care se obțin înmulțind la dreapta cu o coloană de $1$ ; varianta c) are tabloul bun și interpretarea greșită; varianta d) ar fi totalul general, care este $100$ , dar nu iese din acest produs.

Întrebări conexe

Când adun și când înmulțesc matricele dintr-o problemă practică?

Aduni când pui cap la cap aceleași mărimi, de exemplu recoltele din două luni, pe aceleași poziții. Înmulțești cu un număr când toate valorile se schimbă la fel. Faci produs de matrice când legi două tabele printr-o mărime comună, cum ar fi cantitățile și prețurile acelorași produse.

Cum obțin totalul fiecărei linii cu o matrice de valori 1?

Înmulțești matricea la dreapta cu o coloană de $1$ . De exemplu, $(345126) \cdot 111 = (1011)$ , adică suma fiecărei linii. Pentru totalurile pe coloane înmulțești la stânga cu o linie de $1$ .

Cum aflu masa de substanțe pentru mai multe soluții cu matrice?

Scrii rețetele pe litru într-o matrice și volumele într-o linie. Dacă soluția 1 cere $4$ g sare și $1$ g zahăr pe litru, iar soluția 2 cere $2$ g și $3$ g, pentru $3$ L și $5$ L: $(35) \cdot (4213) = (2218)$ , adică $22$ g sare și $18$ g zahăr.

Cum modific o matrice de prețuri după o scumpire de 10%?

Înmulțești matricea prețurilor cu $1, 1$ , fiindcă fiecare preț crește cu aceeași fracțiune. Coloana $(12080)$ lei devine $(13288)$ lei. Costurile calculate apoi prin produs cresc tot cu $10%$ , deci poți înmulți și rezultatul final cu $1, 1$ .

Cum aleg ordinea tabelelor la produsul unei probleme practice?

Mărimea comună trebuie să fie pe coloanele primului tabel și pe liniile celui de-al doilea. Dacă primul are clasele pe linii și produsele pe coloane, al doilea trebuie să aibă produsele pe linii. În rezultat mărimea comună dispare, iar rămân liniile primului și coloanele celui de-al doilea.

Oamenii mai întreabă și: matricea dozelor pe kilogram · doze de medicament cu matrice · calculul dozelor cu înmulțirea matricelor · doze în funcție de masă cu matrice