Într-un amestec, $$x$$ și $$y$$ sunt masele luate din două componente, în kilograme, iar prima componentă conține $$150$$ g de proteină la kilogram. Ce mărime reprezintă produsul $$150x$$?

masa de proteină adusă de prima componentă, în grame

masa primei componente, în kilograme

masa totală a amestecului, în grame

conținutul de proteină al amestecului, în grame pe kilogram

Cum echilibrez o reacție chimică cu un sistem?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Modelare cu sisteme liniare

Notezi coeficienții reacției cu necunoscute și scrii câte o ecuație pentru fiecare element: numărul de atomi din stânga egal cu cel din dreapta. Sistemul obținut e omogen și are o infinitate de soluții; se alege cea cu cei mai mici întregi pozitivi. Exemplu: $x Fe + y O_{2} \to z F e_{2} O_{3}$ dă $x = 2 z$ și $2 y = 3 z$ . Cu $z = 2$ obții $x = 4$ , $y = 3$ , adică $4 Fe + 3 O_{2} \to 2 F e_{2} O_{3}$ : $4$ atomi de fier și $6$ de oxigen de fiecare parte.

Traducerea unui text în sistem începe cu două rânduri pe caiet, înainte de orice cifră: ce mărime ascunde fiecare literă și cu ce unitate se măsoară, apoi ce anume rămâne neschimbat la amestecare. Fiecare mărime păstrată — masa întregului, masa componentului urmărit, volumul, atomii unui element — aduce câte o ecuație. Legăturile ies de gradul întâi fiindcă efectul crește odată cu cantitatea, în același raport.

Vine apoi proba unităților: de o parte și de alta a semnului egal trebuie să stea aceeași unitate. Kilogramele adunate cu litri dau o ecuație falsă, oricât de corecte ar fi cifrele. Zecimalele și procentele se înmulțesc cu $10$ ori cu $100$ înainte de determinanți, pentru că amplificarea cu un factor nenul lasă soluțiile neatinse.

O reacție chimică echilibrată cere ca numărul atomilor unui element să fie același de o parte și de alta; strânse la un loc, condițiile lasă zero de cealaltă parte a egalului, deci sistemul iese omogen. Soluțiile alcătuiesc o familie, din care se reține cea cu întregi pozitivi cât mai mici; indicii formulelor sunt fixați de substanță, necunoscut fiind numărul scris în față.

La capăt, răspunsul se întoarce în text: masele, volumele și concentrațiile nu coboară sub zero, obiectele se numără cu numere naturale, iar amestecul are concentrația cuprinsă între cele ale părților lui. Lipsa soluțiilor arată date care nu se împacă între ele.

De reținut

o ecuație pentru fiecare mărime care se conservă: masă totală, masă de component, atomi ai unui element
echilibrarea unei reacții dă un sistem omogen; se aleg cei mai mici întregi pozitivi
soluția se verifică în enunț: fără mase negative, concentrația între ale componentelor

Greșeala tipică

La echilibrare se schimbă indicii din formule, de exemplu $O_{2}$ în $O_{3}$ , ca să iasă numărul de atomi; indicii sunt fixați de substanță, iar necunoscutele sunt doar coeficienții din față.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un amestec, $x$ și $y$ sunt masele luate din două componente, în kilograme, iar prima componentă conține $150$ g de proteină la kilogram. Ce mărime reprezintă produsul $150 x$ ?
- a) masa primei componente, în kilograme
- b) masa totală a amestecului, în grame
- c) masa de proteină adusă de prima componentă, în grame
- d) conținutul de proteină al amestecului, în grame pe kilogram
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) masa de proteină adusă de prima componentă, în grame

Unitățile se înmulțesc odată cu numerele: grame pe kilogram înmulțite cu kilograme dau grame, iar mărimea obținută este cantitatea de proteină adusă de prima componentă. Varianta a) ar fi chiar $x$ ; b) ar cere suma tuturor contribuțiilor, nu una singură; d) ar fi un raport, nu un produs. Proba unităților se face pe fiecare termen înainte de calcul.
Echilibrând reacția $P + O_{2} ⟶ P_{2} O_{5}$ , cei mai mici coeficienți întregi pozitivi sunt, în ordinea substanțelor:
- a) $(2, 5, 1)$
- b) $(4, 5, 2)$
- c) $(2, 3, 1)$
- d) $(1, 1, 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(4, 5, 2)$

Cu $x$ , $y$ , $z$ coeficienții, fosforul dă $x = 2 z$ , iar oxigenul $2 y = 5 z$ ; sistemul omogen $x - 2 z = 0$ , $2 y - 5 z = 0$ are trei necunoscute și gradul de nedeterminare $1$ . Luând $z = 2 α$ , ca să evităm fracțiile, obținem $x = 4 α$ și $y = 5 α$ , deci $S = {(4 α, 5 α, 2 α) ∣ α \in R}$ ; pentru $α = 1$ iese $4 P + 5 O_{2} ⟶ 2 P_{2} O_{5}$ , cu $4$ atomi de fosfor și $10$ de oxigen de fiecare parte. Varianta a) potrivește fosforul, dar lasă $10$ atomi de oxigen în stânga și $5$ în dreapta; c) dă $6$ atomi de oxigen în stânga și $5$ în dreapta; d) nu potrivește niciun element.
Se diluează cu apă distilată o soluție care conține $80$ g de sare la litru, ca să se obțină $15$ litri de soluție cu $32$ g de sare la litru. Ce volum de soluție inițială se folosește?
- a) $9$ litri
- b) $12$ litri
- c) $7, 5$ litri
- d) $6$ litri
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $6$ litri

Fie $x$ volumul de soluție inițială și $y$ volumul de apă, în litri. Se conservă volumul total, $x + y = 15$ , și masa de sare, $80 x = 32 \cdot 15 = 480$ , fiindcă apa distilată nu aduce sare. De aici $x = 6$ litri, iar $y = 9$ litri. Verificare: $80 \cdot 6 = 480$ g de sare în $15$ litri, adică $32$ g la litru. Varianta a) dă volumul de apă; b) tratează concentrația finală ca medie aritmetică între $80$ și $0$ , adică $40$ g/L, și obține $480 : 40$ ; c) înjumătățește volumul final.

Întrebări conexe

Câte ecuații dă o reacție chimică la echilibrare?

Câte una pentru fiecare element. Arderea propanului, $a C_{3} H_{8} + b O_{2} \to c C O_{2} + d H_{2} O$ , are trei elemente și patru coeficienți: $3 a = c$ , $8 a = 2 d$ , $2 b = 2 c + d$ . Rezultă $(a, b, c, d) = (1, 5, 3, 4)$ , cu $10$ atomi de oxigen de fiecare parte.

De ce aleg cei mai mici coeficienți întregi la o reacție?

Sistemul omogen dă o familie de soluții proporționale: $(2, 1, 2)$ , $(4, 2, 4)$ , $(6, 3, 6)$ descriu aceeași reacție. Convenția chimiștilor este să se scrie varianta cu întregi pozitivi fără divizor comun, iar orice multiplu al ei ar fi la fel de corect matematic.

Cum modelez diluarea unei soluții cu un sistem liniar?

Se conservă volumul total și cantitatea de substanță dizolvată. Pentru $10$ L de soluție de $12%$ obținută din soluție de $40%$ și apă: $x + y = 10$ și $0, 4 x = 1, 2$ . Rezultă $x = 3$ L de soluție și $y = 7$ L de apă; proba: $0, 4 \cdot 3 = 0, 12 \cdot 10$ .

Cum modelez o rație de hrană pentru animale cu un sistem?

Două nutrețuri cu $10%$ și $25%$ proteină, pentru $60$ kg de amestec cu $18%$ : $x + y = 60$ și $0, 10 x + 0, 25 y = 10, 8$ . Înlocuind $y = 60 - x$ se obține $0, 15 x = 4, 2$ , deci $x = 28$ kg și $y = 32$ kg; proteina: $2, 8 + 8 = 10, 8$ kg.

Ce arată o soluție negativă într-o problemă de amestec?

Că datele cer ceva imposibil. Din aliaje cu $20%$ și $50%$ nu poți obține unul cu $60%$ : sistemul $x + y = 10$ , $0, 2 x + 0, 5 y = 6$ dă $x = - \frac{10}{3}$ . Concentrația amestecului trebuie să stea între concentrațiile componentelor.

Cum verific unitățile într-o ecuație de bilanț de masă?

Fiecare termen trebuie să aibă aceeași unitate. Un conținut dat în g/kg, înmulțit cu o masă în kg, produce o masă în g, deci $150 x + 80 y = 3000$ e corectă dacă $x$ , $y$ sunt în kilograme și $3000$ în grame. Dacă o parte ar ieși în kilograme și cealaltă în grame, modelul e greșit.

Oamenii mai întreabă și: echilibrarea reacțiilor chimice cu sisteme · coeficienții unei reacții prin sistem de ecuații · sistem omogen la reacții chimice · cum aflu coeficienții stoechiometrici cu matematica