De la histogramă la linie frântă: pe scurt

Poligonul frecvențelor este linia frântă care unește punctele $(c_i,n_i)$, unde $c_i$ este centrul fiecărei clase, iar $n_i$ frecvența ei absolută — practic, mijloacele laturilor de sus ale dreptunghiurilor unei histograme. La ambele capete, linia se închide coborând până la axa orizontală, cu ajutorul a două clase fictive de frecvență $0$; astfel, aria de sub poligon rămâne egală cu aria histogramei. Vârful poligonului se află deasupra centrului clasei modale, iar forma lui — simetrică, asimetrică sau cu două vârfuri — spune multe despre distribuția datelor.

Poligonul frecvențelor cumulate schimbă două lucruri: pe verticală trece frecvențele cumulate, iar punctele se marchează la capătul din dreapta al fiecărei clase, nu la centru, pentru că frecvența cumulată a unei clase se realizează abia acolo. Fiindcă fiecare frecvență cumulată se obține adunând la precedenta un număr pozitiv, linia urcă mereu și se termină la efectivul total (sau la $100\%$, pentru frecvențe relative). De pe acest grafic se citesc rapid procente și se estimează mediana — dar rezultatul este o aproximare grafică, nu o valoare exactă.

Cele două poligoane se folosesc și pentru a compara două seturi de date, suprapuse pe aceleași clase și aceeași scară; dacă efectivele diferă, se compară frecvențele relative.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru un tabel de frecvențe grupat pe clase, deasupra cărei valori de pe axa orizontală se marchează punctele poligonului frecvențelor (cel obișnuit, nu cel cumulat)?

   • a) centrul clasei
   • b) capătul din dreapta al clasei
   • c) capătul din stânga al clasei
   • d) mijlocul dintre două clase vecine
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) centrul clasei

   Poligonul frecvențelor unește punctele $(c_i,n_i)$, unde $c_i$ este centrul clasei — mijlocul laturii de sus a dreptunghiului histogramei corespunzător. Capătul din dreapta se folosește la poligonul frecvențelor cumulate, nu la acesta.

2. Care dintre următoarele afirmații despre poligonul frecvențelor cumulate este adevărată?

   • a) poate să coboare dacă o clasă are frecvența $0$
   • b) este întotdeauna crescător (nedescrescător) și se termină la efectivul total
   • c) se construiește unind centrele claselor
   • d) se termină întotdeauna la valoarea $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) este întotdeauna crescător (nedescrescător) și se termină la efectivul total

   Fiecare frecvență cumulată se obține adunând la precedenta o frecvență absolută, care e un număr natural — deci șirul crește sau rămâne constant, niciodată nu scade, iar ultima valoare este chiar efectivul total $n$. Punctele se marchează la capetele din dreapta ale claselor, nu la centre, iar linia se termină la $n$, nu la $0$.

3. Pentru clasele $[0,5)$, $[5,10)$, $[10,15)$, $[15,20)$ cu frecvențele $4$, $9$, $6$, $1$, deasupra cărei valori se află vârful poligonului frecvențelor?

   • a) $2,5$
   • b) $12,5$
   • c) $7,5$
   • d) $17,5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $7,5$

   Frecvența maximă este $9$, atinsă de clasa $[5,10)$, deci vârful poligonului este deasupra centrului acestei clase, $c=\frac{5+10}{2}=7,5$.