Se consideră funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^3-15x^2+27x+8$$. Punctele de extrem și punctul de inflexiune ale funcției sunt:

maxim în $$1$$, minim în $$9$$, inflexiune în $$5$$

maxim în $$9$$, minim în $$1$$, inflexiune în $$5$$

maxim în $$1$$, minim în $$9$$, inflexiune în $$10$$

maxim în $$5$$, fără punct de inflexiune

Cum citesc un tabel de variație?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Tabelul de variație

Rândul lui $f^{'}$ îți dă monotonia: $+$ înseamnă săgeată în sus, $-$ săgeată în jos. Rândul lui $f^{''}$ , dacă apare, dă forma: $\cup$ sau $\cap$ . Rândul lui $f$ are valorile din punctele marcate și limitele de la capete. De exemplu, dacă $f^{'}$ este negativă pe $(- \infty, 1)$ și pozitivă pe $(1, + \infty)$ , $f (1) = - 3$ , iar la ambele capete limita este $+ \infty$ , atunci $f$ are minimul $- 3$ în $x = 1$ și imaginea $[- 3, + \infty)$ .

Tabelul de variație adună într-un singur tablou tot ce se știe despre o funcție. Programa de examen M_șt-nat îl cuprinde în „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor", iar la proba MAT_P2 din $2030$ el este conținut de sine stătător, împreună cu determinarea imaginii.

Patru rânduri, totdeauna în aceeași ordine: $x$ , $f^{'} (x)$ , $f^{''} (x)$ , $f (x)$ ; rândul lui $f^{''}$ apare numai în tabelul complet. Coloanele alternează punct–interval–punct, iar cu $k$ puncte interioare marcate tabloul are $2 k + 4$ coloane. Numărarea lor e prima probă că nu s-a pierdut niciun punct de pe axă: se trec pe axă zerourile lui $f^{'}$ și ale lui $f^{''}$ , punctele lipsă din domeniu și capetele finite ale lui.

Ce intră în fiecare celulă. În coloanele-interval, derivatele primesc semnul, iar funcția primește săgeata $↗$ ori $↘$ , urmată de simbolul curburii, $\cup$ sau $\cap$ . În coloanele-punct, derivatele primesc valoarea lor, iar funcția valoarea $f (x_{0})$ cu marcajul $M$ , $m$ sau $I$ . La $\pm \infty$ celulele derivatelor rămân goale, iar funcția primește limita. Într-un punct scos din domeniu, derivatele primesc bara $∣$ , iar funcția cele două limite laterale — și se face un singur tabel, fiindcă axa e una singură.

Răspunsul nu e tabelul, ci citirea lui în cuvinte, pe câte un interval.

De reținut

rândul lui $f^{'}$ : săgețile; rândul lui $f^{''}$ : $\cup$ sau $\cap$
valorile din punctele marcate dau extremele, limitele dau capetele
minimul și maximul din tabel dau imaginea și semnul funcției

Greșeala tipică

Se ia valoarea minimă locală drept cea mai mică valoare a funcției, fără să se privească limitele de la capete; dacă o limită este $- \infty$ , funcția nu are minim global.

Exerciții din această mini-lecție

Tabelul de variație complet al unei funcții are $16$ coloane. Câte puncte interioare au fost marcate pe axă?
- a) $4$
- b) $12$
- c) $8$
- d) $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $6$

Cu $k$ puncte interioare, tabelul are $k + 2$ coloane-punct, $k + 1$ coloane-interval și coloana de etichete, adică $2 k + 4$ coloane cu totul. Din $2 k + 4 = 16$ rezultă $k = 6$ . Varianta c) rezolvă $2 k = 16$ , b) scade numai coloana de etichete, iar a) numără coloanele-interval.
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} - 14) e^{x}$ . Marcajul din coloana punctului $2$ , pe rândul $f (x)$ al tabelului de variație complet, este:
- a) $I$
- b) $M$
- c) $m$
- d) niciun marcaj
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $I$

$f^{'} (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} - 14) e^{x} = (x^{2} + 2 x - 14) e^{x}$ , deci $f^{'} (2) = (4 + 4 - 14) e^{2} = - 6 e^{2} \neq = 0$ : punctul $2$ nu este critic, ceea ce respinge $M$ și $m$ . Apoi $f^{''} (x) = (2 x + 2) e^{x} + (x^{2} + 2 x - 14) e^{x} = (x^{2} + 4 x - 12) e^{x} = (x + 6) (x - 2) e^{x}$ , care se anulează în $2$ și își schimbă semnul acolo, deci marcajul este $I$ .
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 27 x + 8$ . Punctele de extrem și punctul de inflexiune ale funcției sunt:
- a) maxim în $9$ , minim în $1$ , inflexiune în $5$
- b) maxim în $1$ , minim în $9$ , inflexiune în $5$
- c) maxim în $1$ , minim în $9$ , inflexiune în $10$
- d) maxim în $5$ , fără punct de inflexiune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) maxim în $1$ , minim în $9$ , inflexiune în $5$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 30 x + 27 = 3 (x - 1) (x - 9)$ , cu semnele $+$ , $-$ , $+$ : în $1$ trecerea e de la plus la minus (maxim), în $9$ de la minus la plus (minim). Apoi $f^{''} (x) = 6 x - 30$ , cu zeroul $5$ , unde semnul se schimbă: acolo e inflexiunea. Varianta a) inversează naturile, c) dublează zeroul lui $f^{''}$ , iar d) confundă cele două rânduri ale tabelului.

Întrebări conexe

Cum aflu din tabel câte soluții are ecuația $f (x) = k$ ?

Numeri de câte ori valoarea $k$ este atinsă pe intervalele de monotonie. Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x$ : maxim $2$ în $- 1$ , minim $- 2$ în $1$ , limite $- \infty$ și $+ \infty$ . Ecuația $f (x) = 1$ are trei soluții, câte una pe fiecare interval, iar $f (x) = 5$ are una singură.

Ce se citește din tabelul de variație despre semnul funcției?

Dacă cea mai mică valoare din tabel este pozitivă, funcția este pozitivă peste tot. Pentru $f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ , minimul este $f (1) = 4 > 0$ , deci $f (x) > 0$ pentru orice $x$ real, iar ecuația $f (x) = 0$ nu are soluții.

Cum verific un tabel de variație cu un punct de probă?

Alegi un $x$ dintr-un interval și verifici că valoarea lui respectă săgeata. Pentru $x^{3} - 3 x$ , pe intervalul $(- 1, 1)$ săgeata e în jos: $f (0) = 0$ se află între $f (- 1) = 2$ și $f (1) = - 2$ , cum trebuie. O valoare în afara lor ar arăta o greșeală.

Ce informație dau limitele din capetele tabelului de variație?

Arată comportarea la capete: o limită finită indică o asimptotă orizontală, una infinită arată că funcția nu e mărginită acolo. Pentru $\frac{2 x + 1}{x - 3}$ , limita $2$ la $\pm \infty$ dă asimptota $y = 2$ , iar limitele laterale infinite în $3$ dau asimptota $x = 3$ .

Cum demonstrez o inegalitate cu ajutorul tabelului de variație?

Arăți că valoarea minimă a funcției pe interval este cel puțin pragul cerut. Pentru $f (x) = x^{3} - 3 x + 3$ pe $[0, + \infty)$ , $f$ scade până în $1$ și crește după, cu minimul $f (1) = 1$ . Deci $x^{3} - 3 x + 3 \geq 1$ pentru orice $x \geq 0$ .

Oamenii mai întreabă și: citirea tabelului de variație · ce arată tabelul de variație · cum interpretez tabelul de variație · ce se citește din tabelul de variație