Un mobil are legea $$x(t)=t^3-9t^2+24t+2$$ (metri, secunde), $$t\in[0,7]$$. Mobilul se deplasează în sens negativ pe intervalul:

mobilul nu se deplasează niciodată în sens negativ

Cum se calculează viteza unei reacții chimice?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Viteza și accelerația

Dacă $P (t)$ este concentrația unui produs de reacție, viteza reacției la momentul $t$ este derivata $P^{'} (t)$ . Pentru un reactant, care se consumă, viteza este $- c^{'} (t)$ , ca să iasă pozitivă. De exemplu, dacă $P (t) = 6 t - 0, 3 t^{2}$ mmol/L pentru $t \in [0, 10]$ minute, atunci $P^{'} (t) = 6 - 0, 6 t$ , iar la $t = 5$ viteza este $3$ mmol/L pe minut. Unitatea este unitatea concentrației împărțită la unitatea timpului.

La proba MAT_P2 din $2030$ modelarea proceselor fizice și chimice cu derivate este scrisă pe nume, cu modelul cinematic dat ca pildă; programa de examen M_șt-nat pentru sesiunile $2027$ – $2029$ nu conține tema, așa că acolo ea rămâne o punte spre fizică și chimie.

Coordonata derivată o dată dă viteza, $v = x^{'}$ , iar viteza derivată o dată dă accelerația, $a = v^{'} = x^{''}$ . Dacă enunțul pornește chiar de la legea vitezei, accelerația cere o singură derivare. Unitățile se citesc după regula ratei: unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei, deci $m/s$ și apoi $m/s^{2}$ .

Semnul vitezei dă sensul deplasării; momentele de oprire sunt soluțiile ecuației $v (t) = 0$ , iar schimbarea semnului vitezei în acel moment arată că mobilul se întoarce. Semnul accelerației, singur, nu spune nimic: mișcarea se iuțește dacă $v$ și $a$ poartă semne la fel și se domolește dacă poartă semne opuse. Accelerație negativă alături de viteză negativă descrie un corp care se deplasează înapoi tot mai iute.

Fiecare model e valabil doar pe un interval, iar ce se afirmă în afara lui rămâne neacoperit: o înălțime ieșită negativă sau o masă care scade fără motiv arată o formulă dusă prea departe. Aceeași derivată dă viteza de reacție în chimie — raportată totdeauna ca număr pozitiv — și ritmul de creștere în biologie.

De reținut

viteza de variație a unei mărimi este derivata ei în raport cu timpul
pentru un reactant, viteza de reacție este $- c^{'} (t)$
unitatea derivatei: unitatea mărimii împărțită la unitatea timpului

Greșeala tipică

Se raportează viteza de consum a unui reactant ca număr negativ, de exemplu $- 4$ mmol/L pe minut; semnul arată doar că se consumă, iar viteza de reacție este $4$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un mobil are legea de mișcare $x (t) = t^{2} - 14 t + 40$ (coordonata în metri, $t$ în secunde), $t \in [0, 10]$ . Momentul în care viteza se anulează este:
- a) $t = 4$ s
- b) $t = 10$ s
- c) $t = 7$ s
- d) $t = 14$ s
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $t = 7$ s

$v (t) = x^{'} (t) = 2 t - 14$ , care se anulează pentru $t = 7$ secunde, valoare aflată în intervalul dat. Variantele a) și b) dau rădăcinile coordonatei, adică momentele în care mobilul trece prin origine, nu cele în care se oprește; d) rezolvă $2 t = 14 \cdot 2$ .
Un mobil are legea $x (t) = t^{3} - 2 t^{2} - 40 t + 6$ (metri, secunde), $t \in [0, 8]$ . La $t = 1$ secundă mișcarea:
- a) se iuțește
- b) se domolește
- c) este uniformă
- d) mobilul își schimbă sensul
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) se domolește

$v (t) = 3 t^{2} - 4 t - 40$ , deci $v (1) = 3 - 4 - 40 = - 41$ metri pe secundă, negativă; $a (t) = 6 t - 4$ , deci $a (1) = 2$ metri pe secundă la pătrat, pozitivă. Semnele fiind contrare, valoarea absolută a vitezei scade: mobilul merge înapoi, dar tot mai încet. Varianta d) cere $v (1) = 0$ , ceea ce nu se întâmplă, iar c) ar cere accelerație nulă.
Un mobil are legea $x (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 2$ (metri, secunde), $t \in [0, 7]$ . Mobilul se deplasează în sens negativ pe intervalul:
- a) $(0, 2)$
- b) $(2, 4)$
- c) $(4, 7)$
- d) mobilul nu se deplasează niciodată în sens negativ
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(2, 4)$

$v (t) = 3 t^{2} - 18 t + 24 = 3 (t - 2) (t - 4)$ , cu zerourile $2$ și $4$ . Coeficientul dominant fiind pozitiv, viteza este negativă exact între rădăcini, deci mobilul merge înapoi pe $(2, 4)$ . Pe $(0, 2)$ și pe $(4, 7)$ viteza este pozitivă, ceea ce respinge a) și c).

Întrebări conexe

Ce este rata de creștere a unei populații?

Este derivata numărului de indivizi în raport cu timpul. Pentru o cultură cu $N (t) = 200 \cdot 2^{t}$ bacterii, $t$ în ore, $N^{'} (t) = 200 \cdot 2^{t} ln 2$ . La $t = 1$ , rata este $400 ln 2 \approx 277$ bacterii pe oră, iar ea crește odată cu populația.

Ce viteză are o reacție când concentrația produsului este maximă?

Viteza este $0$ : în punctul de maxim derivata se anulează. Pentru $P (t) = 6 t - 0, 3 t^{2}$ , $P^{'} (t) = 6 - 0, 6 t$ se anulează la $t = 10$ minute, când concentrația atinge $30$ mmol/L. În acel moment produsul nu se mai acumulează.

Cum aflu intensitatea curentului din sarcina electrică?

Intensitatea este derivata sarcinii care trece prin conductor: $I (t) = q^{'} (t)$ . Dacă $q (t) = 0, 5 t^{2} + 2 t$ coulombi, cu $t$ în secunde, atunci $I (t) = t + 2$ amperi, iar la $t = 3$ s intensitatea este $5$ A.

De ce viteza instantanee a unui mobil este o derivată?

Viteza medie pe $[t, t + h]$ este $\frac{x ( t + h ) - x ( t )}{h}$ , iar viteza la momentul $t$ este limita ei când $h \to 0$ . Pentru $x (t) = 4 t^{2}$ metri, viteza medie pe $[2, 2 + h]$ este $16 + 4 h$ , deci viteza la $t = 2$ s este $16$ m/s.

Cum verific unitatea de măsură a vitezei de reacție?

Împarți unitatea concentrației la unitatea timpului. Dacă concentrația este în mol/L, iar timpul în secunde, viteza se măsoară în mol/L pe secundă, adică mol·L⁻¹·s⁻¹. O unitate greșită în rezultat arată de obicei o derivată calculată față de altă variabilă.

Oamenii mai întreabă și: viteza de reacție cu derivata · viteza unei reacții chimice formula · viteza de reacție chimie derivată · cum aflu viteza de reacție