Exerciții rezolvate — Divizibilitatea numerelor naturale (clasa a VI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Divizibilitatea numerelor naturale", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Adu fracția $\frac{42}{56}$ la forma ireductibilă, folosind c.m.m.d.c.-ul numărătorului și numitorului.

   • a) $\frac{3}{4}$
   • b) $\frac{6}{8}$
   • c) $\frac{21}{28}$
   • d) $\frac{7}{8}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{3}{4}$

   Descompunem: $42=2\cdot 3\cdot 7$ și $56=2^3\cdot 7$. C.m.m.d.c. ia factorii comuni la puterea cea mai mică: $(42,56)=2\cdot 7=14$. Împărțim: $\frac{42:14}{56:14}=\frac{3}{4}$. Verificăm: $(3,4)=1$, deci $\frac{3}{4}$ este ireductibilă. Variantele b și c reprezintă aceeași valoare, dar nu sunt forma ireductibilă cerută.

   Lecția: Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile →

2. Determină, prin descompunere în factori primi, $c.m.m.d.c.(54,90)$.

   • a) $6$
   • b) $9$
   • c) $18$
   • d) $27$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $18$

   $54=2\times 3^3$ și $90=2\times 3^2\times 5$. Factorii comuni sunt $2$ (puterea cea mai mică $2^1$) și $3$ (puterea cea mai mică $3^2$). Deci $c.m.m.d.c.(54,90)=2\times 3^2=2\times 9=18$. Factorul $5$ apare doar la $90$, deci nu intră în calcul.

   Lecția: Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) prin descompunere →

3. Determină $[20,28]$.

   • a) $140$
   • b) $560$
   • c) $70$
   • d) $196$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $140$

   Descompunem: $20=2^2\cdot 5$ și $28=2^2\cdot 7$. Factorii primi care apar sunt $2$, $5$ și $7$; puterea cea mai mare a lui $2$ este $2^2$ (egală la amândouă). Deci $[20,28]=2^2\cdot 5\cdot 7=4\cdot 5\cdot 7=140$. Varianta $560$ ar rezulta greșit dacă am aduna exponenții lui $2$ în loc să-i comparăm (adică $2^{2+2}\cdot 5\cdot 7=16\cdot 35=560$), iar $70$ s-ar obține luând factorul $2$ la puterea $1$ în loc de $2^2$ (adică $140:2$).

   Lecția: Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) prin descompunere →

4. Care dintre numerele $645$, $730$, $812$, $925$ se divide simultan cu $2$ și cu $5$?

   • a) $645$
   • b) $730$
   • c) $812$
   • d) $925$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $730$

   Un număr divizibil simultan cu $2$ și cu $5$ trebuie să se termine în $0$ (singura cifră pară din mulțimea $\{0,5\}$). Dintre variante, doar $730$ se termină în $0$. $645$ și $925$ se termină în $5$ (nu sunt pare), iar $812$ se termină în $2$ (nu e $0$ sau $5$).

   Lecția: Criteriile de divizibilitate cu 2, 5, 10ⁿ, 3 și 9 — consolidare și aplicații →

5. Descompunerea în factori primi a numărului $108$, scrisă sub formă de puteri de numere prime, este:

   • a) $2\cdot 3^3$
   • b) $2^2\cdot 3^2$
   • c) $2^2\cdot 3^3$
   • d) $2^3\cdot 3^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $2^2\cdot 3^3$

   Prin împărțiri succesive: $108:2=54$, $54:2=27$, $27:3=9$, $9:3=3$, $3:3=1$. Factorii primi obținuți sunt doi de $2$ și trei de $3$, deci $108=2^2\cdot 3^3$. Verificare: $4\cdot 27=108$ ✓.

   Lecția: Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime →

6. Câți divizori are numărul $98=2\cdot 7^2$?

   • a) $4$
   • b) $5$
   • c) $6$
   • d) $8$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $6$

   Exponenții sunt $1$ (la $2$) și $2$ (la $7$), deci $N=(1+1)(2+1)=2\cdot 3=6$. Verificare: $D_{98}=\{1,2,7,14,49,98\}$, exact $6$ divizori.

   Lecția: Numărul divizorilor și mulțimea divizorilor unui număr →

7. Care dintre următoarele perechi de numere este formată din numere prime între ele?

   • a) $33$ și $55$
   • b) $28$ și $45$
   • c) $36$ și $48$
   • d) $50$ și $75$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $28$ și $45$

   Descompunem: $33=3\cdot 11$, $55=5\cdot 11$ (comun $11$); $28=2^2\cdot 7$, $45=3^2\cdot 5$ (niciun factor comun); $36=2^2\cdot 3^2$, $48=2^4\cdot 3$ (comun $2^2\cdot 3$); $50=2\cdot 5^2$, $75=3\cdot 5^2$ (comun $5^2$). Singura pereche fără factor prim comun este $28$ și $45$, deci $(28,45)=1$.

   Lecția: Numere prime între ele. Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. →

8. Este numărul $39$ prim sau compus?

   • a) Prim, pentru că are exact doi divizori.
   • b) Compus, pentru că $39=3\cdot 13$.
   • c) Nici prim, nici compus.
   • d) Prim, pentru că este impar.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Compus, pentru că $39=3\cdot 13$.

   $39$ este impar, deci nu se împarte la $2$. Suma cifrelor este $3+9=12$, care se împarte la $3$, deci $39$ se împarte la $3$: $39=3\cdot 13$. Numărul $39$ are cel puțin patru divizori ($1,3,13,39$), adică mai mult de doi, deci este compus.

   Lecția: Numere prime și numere compuse. Ciurul lui Eratostene →

9. O florăreasă are 35 de trandafiri și 56 de crini. Vrea să facă buchete identice, folosind toate florile, astfel încât numărul de buchete să fie cât mai mare. Ce metodă se folosește și câte buchete rezultă?

   • a) $\text{c.m.m.m.c.}(35,56)$, deci 280 de buchete
   • b) $\text{c.m.m.d.c.}(35,56)$, deci 7 buchete
   • c) $\text{c.m.m.d.c.}(35,56)$, deci 5 buchete
   • d) $\text{c.m.m.m.c.}(35,56)$, deci 91 de buchete
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\text{c.m.m.d.c.}(35,56)$, deci 7 buchete

   Buchete identice, cât mai multe, folosind toate florile = împărțire în grupe egale → $\text{c.m.m.d.c.}$. Descompunem: $35=5\cdot 7$, $56=2^3\cdot 7$. Factorul comun este $7^1$, deci $\text{c.m.m.d.c.}(35,56)=7$. Rezultă 7 buchete, fiecare cu $35:7=5$ trandafiri și $56:7=8$ crini. Verificare: $7\cdot 5=35$ ✔, $7\cdot 8=56$ ✔.

   Lecția: Probleme de divizibilitate din viața cotidiană →

10. Știind că $9\mid 27$ și $27\mid 108$, ce proprietate folosești pentru a deduce direct $9\mid 108$, fără să faci împărțirea?

    • a) Reflexivitatea
    • b) Tranzitivitatea
    • c) Regula sumei
    • d) Regula produsului cu factor prim între
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Tranzitivitatea

    Avem un „lanț” de divizibilitate: $9\mid 27$ și $27\mid 108$, iar numărul $27$ apare în ambele relații, la mijloc. Aceasta este exact situația tranzitivității: dacă $a\mid b$ și $b\mid c$, atunci $a\mid c$. Verificare cu factori: $27=9\cdot 3$ și $108=27\cdot 4$, deci $108=(9\cdot 3)\cdot 4=9\cdot 12$, adică $9\mid 108$.

    Lecția: Proprietățile relației de divizibilitate în ℕ →

11. Pentru ca propoziția $6\mid 42$ să fie adevărată, conform definiției, trebuie să existe un număr natural $c$ astfel încât $42=6\cdot c$. Care este valoarea lui $c$?

    • a) $c=6$
    • b) $c=7$
    • c) $c=8$
    • d) $c=9$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $c=7$

    Căutăm $c$ natural cu $42=6\cdot c$. Cum $6\cdot 7=42$, obținem $c=7$. Astfel $6\mid 42$ este adevărat, 6 este divizor al lui 42, iar 42 este multiplu al lui 6.

    Lecția: Relația de divizibilitate. Divizori și multipli →

12. Care dintre fracțiile de mai jos este deja ireductibilă?

    • a) $\frac{16}{24}$
    • b) $\frac{9}{16}$
    • c) $\frac{20}{30}$
    • d) $\frac{14}{21}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $\frac{9}{16}$

    Pentru $\frac{9}{16}$: $9=3^2$ și $16=2^4$, nu au niciun factor comun, deci $(9,16)=1$ → ireductibilă. La celelalte: $(16,24)=8$, $(20,30)=10$, $(14,21)=7$, toate mai mari decât 1, deci se mai pot simplifica.

    Lecția: Aplicații ale c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. Fracții ireductibile →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.