Exerciții rezolvate — Paralelism (clasa a VI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Paralelism", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Care dintre următoarele patrulatere are exact o singură pereche de laturi paralele?

   • a) paralelogram
   • b) dreptunghi
   • c) trapez
   • d) romb
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) trapez

   Trapezul are, prin definiție, o singură pereche de laturi paralele (bazele). Paralelogramul, dreptunghiul și rombul au fiecare două perechi de laturi opuse paralele; dacă trapezul ar avea și el două perechi, ar deveni paralelogram.

   Lecția: Aplicații ale paralelismului în poligoane →

2. O secantă taie dreptele $m$ și $n$. Unghiurile alterne interne formate au măsurile $m(\hat{1})=47°$ și $m(\hat{2})=47°$. Ce poți afirma despre dreptele $m$ și $n$?

   • a) Sunt paralele, prin criteriul unghiurilor alterne interne congruente.
   • b) Sunt perpendiculare, deoarece unghiurile alterne sunt egale.
   • c) Nu sunt paralele, deoarece unghiurile alterne interne ar trebui să fie suplementare.
   • d) Nu se poate preciza nimic despre paralelismul dreptelor.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Sunt paralele, prin criteriul unghiurilor alterne interne congruente.

   Unghiurile alterne interne sunt congruente ($47°=47°$, deci $\hat{1}\equiv \hat{2}$). Prin Criteriul 1 (al alternelor), rezultă $m\parallel n$. Criteriul internelor de aceeași parte, care cere sumă $180°$, nu se aplică aici, deoarece unghiurile sunt alterne, nu interne de aceeași parte.

   Lecția: Criterii de paralelism →

3. Care dintre următoarele afirmații despre dreptele paralele este corectă?

   • a) Două drepte paralele se intersectează într-un singur punct.
   • b) Două drepte paralele formează întotdeauna un unghi de $90°$.
   • c) Două drepte distincte sunt paralele dacă nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi.
   • d) Două drepte sunt paralele dacă sunt desenate de aceeași lungime pe foaie.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Două drepte distincte sunt paralele dacă nu au niciun punct comun, oricât le-am prelungi.

   Definiția paralelismului cere ca dreptele să nu aibă niciun punct comun, indiferent cât de mult le-am prelungi. Varianta (a) descrie de fapt drepte care se intersectează; (b) descrie perpendicularitatea ($\perp$); (d) nu are legătură cu paralelismul, fiindcă lungimea desenată pe foaie nu spune nimic despre ce se întâmplă când prelungim dreptele.

   Lecția: Drepte paralele. Axioma paralelelor →

4. Dreptele $a$ și $b$ sunt paralele, tăiate de secanta $s$. Unul dintre unghiurile corespondente are $72°$. Ce măsură are perechea sa corespondentă?

   • a) $18°$
   • b) $72°$
   • c) $108°$
   • d) $144°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $72°$

   Când $a\parallel b$, unghiurile corespondente sunt congruente, adică au aceeași măsură. Prin urmare, perechea corespondentă a unghiului de $72°$ are tot $72°$.

   Lecția: Probleme de paralelism →

5. Două drepte $m\parallel n$ sunt tăiate de secanta $p$, formând unghiurile $\angle 1,\angle 2,\angle 3,\angle 4$ la punctul de intersecție cu $m$ și $\angle 5,\angle 6,\angle 7,\angle 8$ la punctul de intersecție cu $n$ (numerotare standard: sus-stânga, sus-dreapta, jos-stânga, jos-dreapta). Care dintre următoarele perechi reprezintă unghiuri alterne externe?

   • a) $(\angle 3,\angle 6)$
   • b) $(\angle 2,\angle 7)$
   • c) $(\angle 4,\angle 6)$
   • d) $(\angle 1,\angle 5)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $(\angle 2,\angle 7)$

   Unghiurile exterioare (în afara benzii dintre drepte) sunt $\angle 1,\angle 2$ (la $m$) și $\angle 7,\angle 8$ (la $n$). Alterne înseamnă pe părți diferite ale secantei: $\angle 2$ este pe dreapta secantei, $\angle 7$ pe stânga, deci $(\angle 2,\angle 7)$ sunt alterne externe. Varianta a) $(\angle 3,\angle 6)$ sunt alterne interne, c) $(\angle 4,\angle 6)$ sunt interne de aceeași parte, d) $(\angle 1,\angle 5)$ sunt corespondente.

   Lecția: Unghiuri formate de două drepte paralele tăiate de o secantă →

6. În paralelogramul $KLMN$, $\hat{K}=96°$. Cât măsoară $\hat{L}$, unghiul alăturat lui $\hat{K}$?

   • a) $96°$
   • b) $84°$
   • c) $180°$
   • d) $264°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $84°$

   Latura $KL$ este secantă pentru paralelele $KN$ și $LM$, deci $\hat{K}$ și $\hat{L}$ sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei, adică suplementare: $\hat{L}=180°-96°=84°$.

   Lecția: Aplicații ale paralelismului în poligoane →

7. Unghiurile interne de aceeași parte a secantei au măsurile $m(\hat{1})=112°$ și $m(\hat{2})=68°$. Ce poți concluziona despre cele două drepte tăiate de secantă?

   • a) Sunt paralele, prin criteriul internelor de aceeași parte suplementare, deoarece $112°+68°=180°$.
   • b) Nu sunt paralele, deoarece unghiurile nu sunt congruente.
   • c) Sunt paralele, deoarece diferența lor este $44°$.
   • d) Nu se poate decide fără să măsurăm și celelalte unghiuri.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Sunt paralele, prin criteriul internelor de aceeași parte suplementare, deoarece $112°+68°=180°$.

   Criteriul internelor de aceeași parte nu cere egalitate, ci sumă $180°$. Aici $112°+68°=180°$, deci unghiurile sunt suplementare. Prin Criteriul 3, dreptele tăiate de secantă sunt paralele; faptul că unghiurile diferă ca măsură ($112°\ne 68°$) nu contează pentru acest criteriu.

   Lecția: Criterii de paralelism →

8. Fie dreapta $e$ și punctul $T$, exterior dreptei $e$. Prin $T$ se pot trasa oricâte drepte dorim. Conform axiomei paralelelor, câte dintre aceste drepte prin $T$ pot fi paralele cu $e$?

   • a) Zero, pentru că printr-un punct exterior nu trece nicio paralelă.
   • b) Exact una.
   • c) Exact două, una de fiecare parte a dreptei $e$.
   • d) O infinitate de drepte paralele.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Exact una.

   Axioma paralelelor spune clar: printr-un punct exterior unei drepte trece o singură dreaptă paralelă cu ea. Nu există zero (există cel puțin una, cea construită cu rigla și echerul) și nu există mai multe (orice altă dreaptă prin $T$, diferită de aceasta, va tăia dreapta $e$ la un moment dat).

   Lecția: Drepte paralele. Axioma paralelelor →

9. Două drepte $c$ și $d$ sunt tăiate de secanta $s$. Se formează două unghiuri interne de aceeași parte a secantei, cu măsurile $118°$ și $62°$. Ce concluzie corectă rezultă?

   • a) $c\parallel d$, deoarece cele două unghiuri sunt suplementare (suma $180°$) — criteriu de paralelism.
   • b) $c\parallel d$, deoarece cele două unghiuri sunt congruente.
   • c) $c$ și $d$ nu pot fi paralele, deoarece unghiurile nu sunt congruente.
   • d) Nu se poate preciza nimic, deoarece lipsește măsura secantei.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $c\parallel d$, deoarece cele două unghiuri sunt suplementare (suma $180°$) — criteriu de paralelism.

   $118°+62°=180°$, deci cele două unghiuri interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare. Conform criteriului de paralelism (dacă unghiurile interne de aceeași parte sunt suplementare, atunci dreptele sunt paralele), rezultă $c\parallel d$.

   Lecția: Probleme de paralelism →

10. Două drepte $m\parallel n$ sunt tăiate de secanta $p$, formând unghiurile $\angle 1,\angle 2,\angle 3,\angle 4$ la punctul de intersecție cu $m$ și $\angle 5,\angle 6,\angle 7,\angle 8$ la punctul de intersecție cu $n$ (numerotare standard: sus-stânga, sus-dreapta, jos-stânga, jos-dreapta). Care dintre următoarele perechi reprezintă unghiuri alterne interne?

    • a) $(\angle 4,\angle 5)$
    • b) $(\angle 3,\angle 5)$
    • c) $(\angle 1,\angle 8)$
    • d) $(\angle 2,\angle 6)$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $(\angle 4,\angle 5)$

    Unghiurile interioare (în banda dintre drepte) sunt $\angle 3,\angle 4$ (la $m$) și $\angle 5,\angle 6$ (la $n$). Alterne înseamnă poziții încrucișate față de secantă: $\angle 4$ este în dreapta secantei, $\angle 5$ în stânga, deci $(\angle 4,\angle 5)$ sunt alterne interne. b) $(\angle 3,\angle 5)$ sunt interne de aceeași parte (ambele în stânga); c) $(\angle 1,\angle 8)$ sunt alterne externe (unghiuri exterioare, poziții încrucișate); d) $(\angle 2,\angle 6)$ sunt corespondente (aceeași poziție, dreapta-dreapta).

    Lecția: Unghiuri formate de două drepte paralele tăiate de o secantă →

11. Într-un paralelogram, ce relație există între unghiurile opuse?

    • a) sunt suplementare
    • b) sunt congruente
    • c) sunt complementare
    • d) nu au nicio relație obligatorie
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) sunt congruente

    Proprietate de bază a paralelogramului: unghiurile opuse sunt congruente (consecință a paralelismului laturilor opuse), în timp ce unghiurile alăturate sunt suplementare.

    Lecția: Aplicații ale paralelismului în poligoane →

12. O secantă taie dreptele $p$ și $q$. Unghiurile alterne externe formate au măsurile $m(\hat{1})=63°$ și $m(\hat{2})=63°$. Ce poți afirma despre dreptele $p$ și $q$?

    • a) Sunt paralele, prin criteriul unghiurilor alterne (externe) congruente.
    • b) Sunt perpendiculare, deoarece unghiurile alterne sunt egale.
    • c) Nu sunt paralele, deoarece unghiurile alterne externe ar trebui să fie suplementare.
    • d) Nu se poate preciza nimic despre paralelismul dreptelor.
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) Sunt paralele, prin criteriul unghiurilor alterne (externe) congruente.

    Unghiurile alterne externe sunt congruente ($63°=63°$, deci $\hat{1}\equiv \hat{2}$). Prin Criteriul 1 (al alternelor), valabil și pentru alternele externe, rezultă $p\parallel q$. Criteriul internelor de aceeași parte, care cere sumă $180°$, nu se aplică aici.

    Lecția: Criterii de paralelism →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.