Exerciții rezolvate — Probabilități (clasa a X-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Probabilități", clasa a X-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. O urnă conține $6$ bile roșii și $4$ bile albastre. Se extrag simultan $3$ bile. Care este numărul cazurilor posibile?

   • a) $120$
   • b) $720$
   • c) $210$
   • d) $100$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $120$

   Extragerea simultană nu ține cont de ordine, deci se folosesc combinări: $C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3}=120$. Varianta b) ar corespunde aranjamentului $A_{10}^3=720$ (greșit, pentru că ordinea nu contează la o extragere simultană); c) și d) provin din combinări calculate greșit.

   Lecția: Cazuri favorabile și cazuri posibile — numărarea cu combinatorică →

2. Compară fracțiile $\frac{5}{12}$ și $\frac{7}{18}$. Care este mai mare?

   • a) $\frac{5}{12}$
   • b) Sunt egale
   • c) Nu se pot compara
   • d) $\frac{7}{18}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{5}{12}$

   Numitor comun $36$: $\frac{5}{12}=\frac{15}{36}$ și $\frac{7}{18}=\frac{14}{36}$, deci $\frac{5}{12}$ este mai mare (aproximativ $0,417$ față de $0,389$).

   Lecția: Compararea probabilităților și decizii informate →

3. O urnă conține $6$ bile ($4$ albe, $2$ negre). Se extrag două bile, una după alta, fără revenire. Câte cazuri posibile există?

   • a) $30$
   • b) $36$
   • c) $15$
   • d) $12$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $30$

   Fără revenire, prima extragere are $6$ variante, iar a doua doar $5$ (o bilă a rămas afară): $6\cdot 5=30$.

   Lecția: Diagrame arborescente pentru experimente în mai multe etape →

4. La aruncarea unui zar, evenimentul «a apărut un număr mai mic decât $1$» este:

   • a) Imposibil
   • b) Elementar
   • c) Sigur
   • d) Compus
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Imposibil

   Nicio față a zarului nu este mai mică decât $1$, deci mulțimea rezultatelor care îl realizează este $\varnothing$ — evenimentul este imposibil, cu $0$ cazuri favorabile.

   Lecția: Eveniment sigur, imposibil, elementar →

5. Dintr-un pachet de $52$ de cărți se extrage una. $A$=„carte neagră” și $B$=„damă”. Câte cazuri favorabile are $A\cup B$?

   • a) $28$
   • b) $30$
   • c) $26$
   • d) $32$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $28$

   $\mathrm{card}(A)=26$ (cărțile negre), $\mathrm{card}(B)=4$ (damele), iar intersecția este formată din cele $2$ dame negre. Deci $\mathrm{card}(A\cup B)=26+4-2=28$.

   Lecția: Evenimente disjuncte. Diagrame Venn →

6. Se aruncă un zar de două ori. Fie $A$ = „prima aruncare arată $5$” și $B$ = „suma celor două fețe este $9$”. Ce poți spune despre $A$ și $B$?

   • a) Sunt dependente, pentru că $P(A\cap B)=\frac{1}{36}\ne \frac{1}{54}=P(A)\cdot P(B)$
   • b) Sunt independente, pentru că $P(A\cap B)=\frac{1}{36}=P(A)\cdot P(B)$
   • c) Sunt disjuncte, deci independente
   • d) Sunt independente, pentru că ambele provin din același zar
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Sunt dependente, pentru că $P(A\cap B)=\frac{1}{36}\ne \frac{1}{54}=P(A)\cdot P(B)$

   $P(A)=\frac{1}{6}$, iar $B$ e format din perechile $(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)$, deci $P(B)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$. Intersecția cere prima $=5$ și suma $=9$, adică a doua $=4$: un singur caz din $36$, deci $P(A\cap B)=\frac{1}{36}$. Produsul este $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{54}\ne \frac{1}{36}$, deci evenimentele sunt dependente.

   Lecția: Evenimente independente →

7. Se aruncă $4$ monede corecte. Care este probabilitatea de a obține cel puțin o stemă?

   • a) $\frac{15}{16}$
   • b) $\frac{7}{8}$
   • c) $\frac{1}{16}$
   • d) $\frac{1}{2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{15}{16}$

   Cazuri posibile: $2^4=16$. Contrariul «cel puțin o stemă» este «nicio stemă», adică toate patru monede arată pajură — un singur caz. Deci $P(\text{nicio stema˘})=\frac{1}{16}$, iar $P(\text{cel puțin o stema˘})=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.

   Lecția: Evenimentul contrar și probabilitatea lui →

8. Se aruncă un zar, cu $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$. Câte cazuri favorabile are evenimentul «a apărut un număr care nu este multiplu de $3$»?

   • a) $4$
   • b) $2$
   • c) $3$
   • d) $5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $4$

   Numerele care nu sunt multiplu de $3$ dintre $1$ și $6$ sunt $\{1,2,4,5\}$, adică $4$ cazuri favorabile din $6$ posibile.

   Lecția: Experiment aleator. Evenimente →

9. Se alege la întâmplare, cu probabilitatea $\frac{1}{2}$ fiecare, una dintre urnele: $U_1$ ($2$ albe, $3$ negre) sau $U_2$ ($4$ albe, $1$ neagră). Se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca ea să fie albă?

   • a) $\frac{3}{5}$
   • b) $\frac{1}{2}$
   • c) $\frac{2}{5}$
   • d) $\frac{3}{10}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{3}{5}$

   $P(B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$. Amestecarea bilelor ar da tot $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ aici (coincidență, pentru că urnele au același număr de bile), dar rețeta corectă rămâne legea probabilității totale.

   Lecția: Legea probabilității totale →

10. O urnă conține $4$ bile roșii și $6$ bile negre. Se extrag două bile, una după alta, FĂRĂ revenire. Care este probabilitatea ca amândouă să fie roșii?

    • a) $\frac{2}{15}$
    • b) $\frac{4}{25}$
    • c) $\frac{1}{5}$
    • d) $\frac{3}{10}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{2}{15}$

    $P=\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}$. Varianta b) ($\frac{4}{25}$) ar rezulta dacă am folosi greșit formula CU revenire, adică $\frac{4}{10}\cdot \frac{4}{10}$, deși enunțul cere extragere fără revenire.

    Lecția: Probabilitatea intersecției a două evenimente →

11. Într-o clasă de $25$ de elevi, $15$ joacă tenis, $10$ joacă șah, iar $4$ joacă ambele sporturi. Se alege un elev la întâmplare. Care este probabilitatea ca el să joace cel puțin unul dintre cele două sporturi?

    • a) $\frac{21}{25}$
    • b) $1$
    • c) $\frac{11}{25}$
    • d) $\frac{19}{25}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{21}{25}$

    $P=\frac{15}{25}+\frac{10}{25}-\frac{4}{25}=\frac{21}{25}$. Varianta b) ar rezulta dintr-o adunare fără scădere, interpretată greșit ca eveniment sigur; c) și d) provin din scăderi incorecte ale intersecției.

    Lecția: Probabilitatea reuniunii a două evenimente →

12. Se aruncă un zar echilibrat. Care este probabilitatea evenimentului „apare un divizor al lui $6$"?

    • a) $\frac{2}{3}$
    • b) $\frac{1}{2}$
    • c) $\frac{1}{3}$
    • d) $\frac{5}{6}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{2}{3}$

    Divizorii lui $6$ dintre fețele zarului sunt $1$, $2$, $3$ și $6$ — patru cazuri favorabile din cele $6$ posibile, deci $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. Variantele b), c) și d) provin din numărarea greșită sau incompletă a divizorilor lui $6$ printre valorile $1$–$6$.

    Lecția: Probabilitatea unui eveniment: definiția clasică →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.