Exerciții rezolvate — Relații metrice în triunghiul dreptunghic. Trigonometrie (clasa a VII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Relații metrice în triunghiul dreptunghic. Trigonometrie", clasa a VII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Un triunghi echilateral are latura de $4$ cm. Care este aria lui?

   • a) $4\sqrt{3}$ cm²
   • b) $8\sqrt{3}$ cm²
   • c) $2\sqrt{3}$ cm²
   • d) $16\sqrt{3}$ cm²
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $4\sqrt{3}$ cm²

   $A=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$ cm² $\approx 6,93$ cm².

   Lecția: Aplicații: triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat →

2. Segmentul $[MN]$ este paralel cu dreapta $d$ și are lungimea $MN=12$ cm. Ce lungime are proiecția lui $[MN]$ pe $d$?

   • a) $0$ cm
   • b) $6$ cm
   • c) $12$ cm
   • d) mai mare de $12$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $12$ cm

   Când segmentul este paralel cu dreapta (sau pe ea), proiecția are exact aceeași lungime ca segmentul: $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB=12$ cm.

   Lecția: Proiecții ortogonale pe o dreaptă →

3. Un triunghi are laturile de $18$ cm, $24$ cm și $30$ cm. Ce poți spune despre acest triunghi, aplicând reciproca teoremei lui Pitagora?

   • a) Este dreptunghic, cu ipotenuza de $30$ cm
   • b) Este dreptunghic, cu ipotenuza de $24$ cm
   • c) Este obtuzunghic
   • d) Este ascuțitunghic
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Este dreptunghic, cu ipotenuza de $30$ cm

   Latura cea mai mare este $30$: $30^2=900$, iar $18^2+24^2=324+576=900$. Egalitate ⇒ triunghiul este dreptunghic, iar ipotenuza este latura cea mai mare, $30$ cm (este tripletul $3$-$4$-$5$ înmulțit cu $6$).

   Lecția: Reciproca teoremei lui Pitagora →

4. În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cunoști ipotenuza $BC$ și unghiul ascuțit $\angle B$. Ce relație folosești ca să afli cateta alăturată $AB$?

   • a) $AB=BC\cdot \sin B$
   • b) $AB=BC\cdot \cos B$
   • c) $AB=BC\cdot \mathrm{tg}B$
   • d) $AB=\frac{BC}{\sin B}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $AB=BC\cdot \cos B$

   Cosinusul leagă cateta alăturată de ipotenuză: $\cos B=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB=BC\cdot \cos B$. Sinusul ar da cateta opusă, iar tangenta leagă între ele cele două catete, nu ipotenuza cu o catetă.

   Lecția: Rezolvarea triunghiului dreptunghic →

5. În triunghiul dreptunghic $XYZ$ cu $m(\angle Z)=90°$, avem $XZ=8$ cm și $YZ=15$ cm (deci $XY=17$ cm). Cât este $\sin X$?

   • a) $\frac{15}{17}$
   • b) $\frac{8}{17}$
   • c) $\frac{8}{15}$
   • d) $\frac{17}{15}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{15}{17}$

   Cateta opusă unghiului $X$ este $YZ=15$ (nu trece prin $X$), iar ipotenuza este $XY=17$. Deci $\sin X=\frac{15}{17}$.

   Lecția: Sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit →

6. Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului $\alpha$ are $8$ cm, iar cateta alăturată are $6$ cm. Cât este $\mathrm{tg}\alpha$?

   • a) $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$
   • b) $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$
   • c) $8\cdot 6=48$
   • d) $\frac{8}{10}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

   $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$.

   Lecția: Tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit →

7. În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu înălțimea $AD$ ($D\in BC$), proiecția catetei $AC$ pe ipotenuză este segmentul:

   • a) $BD$
   • b) $DC$
   • c) $AD$
   • d) $BC$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $DC$

   Cateta $AC$ pleacă din vârful $C$, deci proiecția ei pe ipotenuză este segmentul de lângă $C$, adică $DC$. Proiecția catetei $AB$ ar fi $BD$, iar $BC$ este ipotenuza întreagă, nu o proiecție.

   Lecția: Teorema catetei în triunghiul dreptunghic →

8. Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $p_1=6$ și $p_2=10$. Care este formula corectă prin care calculezi înălțimea $h$ din unghiul drept?

   • a) $h=p_1+p_2$
   • b) $h^2=p_1+p_2$
   • c) $h^2=p_1\cdot p_2$
   • d) $h=p_1\cdot p_2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $h^2=p_1\cdot p_2$

   Teorema înălțimii spune că pătratul înălțimii este egal cu produsul proiecțiilor: $h^2=p_1\cdot p_2$. Aici ar da $h^2=6\cdot 10=60$, deci $h=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$. Suma proiecțiilor ($p_1+p_2$) dă ipotenuza, nu pătratul înălțimii.

   Lecția: Teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic →

9. Un triunghi dreptunghic are unghiul drept în vârful $A$, iar celelalte două vârfuri sunt $B$ și $C$. Care afirmație este corectă?

   • a) Ipotenuza este latura $AB$
   • b) Ipotenuza este latura $BC$, opusă unghiului drept
   • c) Catetele sunt $AB$ și $BC$
   • d) Ipotenuza este întotdeauna cea mai scurtă latură
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Ipotenuza este latura $BC$, opusă unghiului drept

   Ipotenuza este latura opusă unghiului drept, adică $BC$ (nu pleacă din $A$). Catetele sunt $AB$ și $AC$, cele care formează unghiul drept, iar ipotenuza este mereu cea mai lungă latură, nu cea mai scurtă.

   Lecția: Teorema lui Pitagora →

10. Cât este $\sin 30°+\cos 60°$?

    • a) $0$
    • b) $1$
    • c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
    • d) $2$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $1$

    $\sin 30°=\frac{1}{2}$ și $\cos 60°=\frac{1}{2}$, deci suma este $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

    Lecția: Valorile trigonometrice ale unghiurilor de 30°, 45° și 60° →

11. Un hexagon regulat are latura de $6$ cm. Care este apotema lui?

    • a) $3\sqrt{3}$ cm
    • b) $3$ cm
    • c) $6$ cm
    • d) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $3\sqrt{3}$ cm

    Apotema hexagonului este înălțimea unui triunghi echilateral de latură $l$: $a=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ cm $\approx 5,20$ cm. Atenție: $6$ cm ar fi raza cercului circumscris ($R=l$), nu apotema.

    Lecția: Aplicații: triunghiul echilateral, pătratul și hexagonul regulat →

12. Segmentul $[PQ]$ este perpendicular pe dreapta $d$ și are lungimea $PQ=15$ cm. Ce lungime are proiecția lui $[PQ]$ pe $d$?

    • a) $0$ cm
    • b) $7,5$ cm
    • c) $15$ cm
    • d) mai mare de $15$ cm
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $0$ cm

    Când segmentul este perpendicular pe dreaptă, ambele lui capete se proiectează în același punct, deci lungimea proiecției este $0$ cm.

    Lecția: Proiecții ortogonale pe o dreaptă →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.