Formula lui Moivre

Formulă din tema Numere complexe, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Modulul se ridică la putere, iar argumentul se înmulțește cu exponentul. Pentru $r=1$ formula are forma clasică $(\cos \phi +i\sin \phi {)}^n=\cos n\phi +i\sin n\phi$. Argumentul $n\phi$ se reduce obligatoriu la $[0,2\pi )$. Natura rezultatului se citește din unghi: $z^n$ este real când $n\phi$ este multiplu de $\pi$ și pur imaginar când $n\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$. Capcană: exponenții negativi sunt permiși doar pentru $z\ne 0$.

Exemplu: $(1+i{)}^{10}$: modulul este ${\left(\sqrt{2}\right)}^{10}=32$, iar argumentul $10\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{2}$, care redus dă $\frac{\pi }{2}$; deci $(1+i{)}^{10}=32\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=32i$. • Proba directă: $(1+i{)}^2=2i$, deci $(1+i{)}^{10}=(2i{)}^5=32i$. ✓