Numere complexe: operații și conjugat, la tehnologic

Formulă din tema Numere complexe, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a X-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a X-a; în tema ei stă la finalul paginii „Numere complexe”.

Literele $a$, $b$, $c$, $d$ sunt numere reale, iar $i$ este unitatea imaginară. Primul rând adună și înmulțește, iar semnul $\pm$ înseamnă același semn pe ambele părți. Al doilea dă conjugatul și arată că produsul cu el este suma pătratelor părților. Al treilea dă câtul, după amplificarea cu conjugatul numitorului, care nu poate fi $0$. Ultimul rând, pentru $a\ne 0$, dă cele două soluții complexe ale ecuației $a{z}^2+bz+c=0$, conjugate între ele. Capcană: la $z^2-22z+125=0$, coeficientul $b$ este $-22$, deci în $-b$ ajungi la $+22$. Control: un produs cu conjugatul care mai conține un $i$ este greșit.

Exemplu: Într-un uscător de cherestea, o bobină cu rezistența de 8 ohmi și reactanța de 7 ohmi are impedanța $Z_1=8+7i$, iar un condensator cu pierderi, înseriat cu ea, cu 4 ohmi rezistență și 3 ohmi reactanță capacitivă, $Z_2=4-3i$. Impedanța totală: $Z=Z_1+Z_2=(8+4)+(7-3)i=12+4i$. Conjugatul este $\bar{Z}=12-4i$, iar $Z\cdot \bar{Z}=12^2+4^2=160$. La $230$ V, curentul este $I=\frac{230}{12+4i}=\frac{230\cdot 12-230\cdot 4i}{12^2+4^2}=\frac{2760-920i}{160}=17,25-5,75i$ amperi. Verificare: $(17,25-5,75i)(12+4i)=(17,25\cdot 12+5,75\cdot 4)+(17,25\cdot 4-5,75\cdot 12)i=230$. Pentru două impedanțe conjugate cu suma $22$ și produsul $125$: $z^2-22z+125=0$, $\Delta =(-22{)}^2-4\cdot 125=-16$, iar $z_{1,2}=\frac{22\pm 4i}{2}=11\pm 2i$.