Conjugat și cât de numere complexe, tehnologic

Un ventilator de atelier vibrează, iar analizorul dă pentru fiecare măsurătoare două numere, nu unul. Masa de echilibrare se află împărțind un număr de felul acesta la altul, iar împărțirea cere conjugatul. La filiera tehnologică, în clasa a X-a, ambele operații le faci în forma algebrică, pe utilaje de atelier. Un cât de numere complexe a fost cerut la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) o singură dată în probele din 2013–2026, iar tema se găsește în programa de examen.

Situația de pornire

Ventilatorul de extracție din atelierul unei fabrici de mobilă vibrează tare la rulmentul dinspre motor. Mecanicul de întreținere lipește pe arbore un reper reflectorizant și măsoară, la turația de lucru, vibrația cu un analizor portabil. Aparatul afișează pentru fiecare măsurătoare două numere: componenta deplasării pe direcția reperului și componenta la 90° față de ea, amândouă în µm. Butucul rotorului are patru găuri filetate, la 0°, 90°, 180° și 270° față de reper. În fiecare gaură se poate înșuruba o masă de echilibrare, iar mecanicul are piese de câte 1 g. De la ultima revizie, pe palete s-a depus neuniform praf de lemn lipit, iar vibrația a crescut.

După măsurătoarea cu masa de probă, mecanicul o scoate. Masa de corecție nu se așază oriunde, ci doar în cele patru găuri.

Întrebare: ce efect are fiecare gram de masă de probă, ce mase de corecție fixezi și în ce găuri, și ce vibrație ar trebui să rămână, în teorie, după montaj?

De la situație la model

Fiecare măsurătoare are două componente, deci o scrii ca număr complex $V=a+bi$: numărul $a$ e componenta pe direcția reperului, iar $b$ componenta de la 90°. Așa, rotorul de acum are $V_0=-23,4+8,8i$, iar rotorul cu masa de probă are $V_1=2,6+26,8i$. Masa de probă, de 20 g în gaura de la 0°, este numărul real 20. Tabelul traduce restul.

Conjugatul unui număr complex $z=a+bi$ este numărul $\bar{z}=a-bi$, cu aceeași parte reală și cu partea imaginară opusă. Câtul a două numere complexe $z$ și $w\ne 0$ este numărul $q$ pentru care $q\cdot w=z$; îl scrii $q=\frac{z}{w}$. Suma $z+\bar{z}=2a$ e un număr real, iar diferența $z-\bar{z}=2bi$ are partea reală zero. Despre forma $a+bi$ și despre înmulțire vezi forma algebrică și înmulțirea numerelor complexe.

De ce este $z\cdot \bar{z}$ un număr real?

Înmulțești și aplici $i^2=-1$: $(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2{i}^2=a^2+b^2$. Termenii cu $i$ se anulează, deci produsul unui număr cu conjugatul lui este real și nu e negativ. De pildă $(6-i)(6+i)=36+1=37$. Tocmai asta îți trebuie la un numitor: un număr cu care poți împărți ca de obicei.

Cum împarți două numere complexe?

Nu împarți separat părțile reale și cele imaginare, fiindcă relația $q\cdot w=z$ le amestecă. Înmulțești numărătorul și numitorul cu conjugatul numitorului: numitorul devine real, $c^2+d^2$, iar numărătorul e un produs obișnuit. Apoi împarți partea reală și partea imaginară la acel număr real. Pe scurt, $\frac{z}{w}=\frac{z\cdot \bar{w}}{w\cdot \bar{w}}$. Cu o sumă de pătrate la numitor, calculul e mai ușor decât pare.

Ce faci când numitorul e real sau pur imaginar?

La un numitor real, ca 20 în $\frac{26+18i}{20}$, împarți direct fiecare parte: $1,3+0,9i$. La un numitor pur imaginar, ca $20i$, conjugatul lui este $-20i$, iar produsul $20i\cdot (-20i)=400$ e real. Dacă vrei să nu înmulțești numere mari, folosești faptul că $\frac{1}{i}=-i$. Despre rădăcinile unei ecuații care apar în perechi conjugate vezi soluțiile complexe ale ecuației de gradul II.

Metoda pas cu pas

1. Transcrie fiecare mărime ca număr complex $a+bi$, cu unitatea ei. Citește atent semnul fiecărei părți: $-23,4+8,8i$ înseamnă $a=-23,4$ și $b=8,8$. La o mărime reală partea imaginară e 0, iar la una pur imaginară partea reală e 0. Scrie și unitatea, fiindcă $\alpha$ se măsoară în µm pe gram, iar masa de corecție în grame.
2. Dacă împarți la un număr real, ca cei 20 g de masă de probă, împarți fiecare parte și treci la pasul 6. Altfel, pentru un cât $\frac{z}{w}$ scrie conjugatul numitorului: dacă $w=c+di$, atunci $\bar{w}=c-di$, adică schimbi doar semnul părții imaginare.
3. Înmulțește numărătorul și numitorul cu $\bar{w}$. La numitor obții $c^2+d^2$, un număr real pozitiv; notează-l pe un rând separat, pentru pasul 5.
4. Efectuează produsul de la numărător cu distributivitatea și cu $i^2=-1$. Grupează apoi părțile reale, apoi pe cele imaginare, fiecare cu semnul lui.
5. Împarte fiecare parte la numitorul real și scrie rezultatul sub forma $a+bi$, cu unitatea. Dacă partea imaginară iese 0, rezultatul e un număr real. Părțile pot fi fracții sau zecimale; le lași așa cum ies, fără să le rotunjești prea devreme.
6. Verifică pe alt drum: înmulțește câtul cu numitorul inițial, iar produsul trebuie să dea numărătorul. La mase, controlează și semnul: masa de corecție aduce vibrația la zero, nu o dublează. Când datele au zecimale, rotunjești abia la sfârșit.

De pildă, la $\frac{14+5i}{4-i}$ conjugatul numitorului este $4+i$, numitorul devine $16+1=17$, numărătorul este $(14+5i)(4+i)=51+34i$, iar câtul este $\frac{51+34i}{17}=3+2i$. Pașii 2–5 sunt aceiași la orice cât; deosebirea dintre probleme este doar ce înseamnă numerele.

Fișa de buzunar

$$\overline{a+bi}=a-bi,(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$$

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$$

Prima linie dă conjugatul și produsul cu el, care e o sumă de pătrate; a doua e câtul, după amplificarea cu $c-di$. Formulele merg numai dacă $c+di\ne 0$, adică $c$ și $d$ nu sunt ambele 0, iar la un numitor real împarți direct părțile. Verificare rapidă: câtul, înmulțit cu numitorul, dă numărătorul.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Masa de corecție a ventilatorului

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia ventilatorul din situația de pornire: $V_0=-23,4+8,8i$ și $V_1=2,6+26,8i$ (µm), cu masa de probă de 20 g în gaura de la 0°. O parte reală pozitivă a masei de corecție înseamnă gaura de la 0°, una negativă gaura de la 180°; o parte imaginară pozitivă înseamnă gaura de la 90°, una negativă gaura de la 270°. Află coeficientul de influență $\alpha$, masa de corecție $C$, găurile și vibrația care ar rămâne după montaj.

Rezolvare. Efectul masei de probă este $V_1-V_0=(2,6+23,4)+(26,8-8,8)i=26+18i$. Masa de 20 g e un număr real, deci împarți fiecare parte la 20: $\alpha =1,3+0,9i$ µm pe gram. Masa de corecție trebuie să anuleze vibrația inițială, adică $V_0+\alpha C=0$, deci $C=\frac{-V_0}{\alpha }=\frac{23,4-8,8i}{1,3+0,9i}$. Conjugatul numitorului este $1,3-0,9i$, iar $(1,3+0,9i)(1,3-0,9i)=1,69+0,81=2,5$. Numărătorul este $(23,4-8,8i)(1,3-0,9i)=30,42-21,06i-11,44i+7,92i^2=22,5-32,5i$. Rezultă $C=\frac{22,5-32,5i}{2,5}=9-13i$. Partea reală 9 e pozitivă: 9 g în gaura de la 0°. Partea imaginară $-13$ e negativă: 13 g în gaura de la 270°. Cele două mase sunt piese întregi de gram, deci pot fi montate exact așa. Pe hârtie vibrația rămasă este zero.

Capcană. Cine scrie $C=V_0:\alpha$, fără minus, obține $-9+13i$: 9 g la 180° și 13 g la 90°, adică aceleași mase în locurile opuse. Vibrația devine $V_0+\alpha (-C)=V_0+V_0=-46,8+17,6i$ µm, dublul celei de la început.

Verificare. Pe alt drum, prin înmulțire: $\alpha C=(1,3+0,9i)(9-13i)=11,7-16,9i+8,1i-11,7i^2=23,4-8,8i$, iar $V_0+\alpha C=0$. Efectul masei de corecție este opusul vibrației de la început. În practică rămâne o valoare mică, iar acceptarea se face după norma mașinii.

Exemplul 2 — Puterea unui motor din curentul măsurat

Domeniu: electric.

Enunț. Un motor trifazat de 15 kW este alimentat la 400 V, deci tensiunea pe fiecare fază este de 230 V. Pe o fază, analizorul dă componentele curentului față de tensiune: $I=24-18i$ A. Partea reală e curentul care produce lucru mecanic, iar partea imaginară negativă e curentul reactiv al unui motor, în urma tensiunii. a) Ce citire dă un ampermetru cu clește, știind că ea este $\sqrt{I\cdot \bar{I}}$? b) Calculează puterea complexă pe o fază, $S=U\cdot \bar{I}=P+Qi$, cu $U=230$ V, apoi $P$ și $Q$ pentru cele trei faze.

Rezolvare. a) $I\cdot \bar{I}=(24-18i)(24+18i)=576+324=900$, deci cleștele arată $\sqrt{900}=30$ A. b) Conjugatul curentului este $24+18i$, iar $S=230(24+18i)=5520+4140i$ VA pe fază. Pentru trei faze înmulțești cu 3: $S=16560+12420i$ VA, deci $P=16,56$ kW și $Q=12,42$ kvar. Partea imaginară pozitivă arată un consum reactiv, ca la orice motor, iar electricianul o folosește mai departe la dimensionarea condensatoarelor.

Capcană. Cine uită conjugatul calculează $230(24-18i)=5520-4140i$ și obține $Q$ negativ, adică un consum reactiv de semn schimbat, ca la o baterie de condensatoare. Ar concluziona că hala are deja condensatoare și n-ar mai monta niciuna, deși motorul încarcă rețeaua cu 12,42 kvar.

Verificare. Pe alt drum: $\sqrt{5520^2+4140^2}=6900$ VA, iar $230\cdot 30=6900$, deci puterea aparentă corespunde citirii de 30 A. Raportul $\frac{5520}{6900}=0,8$ e o valoare tipică pentru un motor. Puterea activă de 16,56 kW, luată din rețea, depășește cei 15 kW de pe plăcuță cu pierderile motorului.

Exemplul 3 — Curentul compresorului dintr-o cameră frigorifică

Domeniu: alimentar.

Enunț. Electricianul unei brutării alege siguranța pentru compresorul monofazat al camerei frigorifice. Fișa tehnică a compresorului dă $P=3,1$ kW și $Q=2,3$ kvar, la 230 V. Calculează curentul $I$ în forma $a+bi$, cu părțile rotunjite la 0,1 A.

Rezolvare. Formula $S=U\cdot \bar{I}$ cere unitățile de bază, volți, amperi și VA, iar fișa dă puterile în kW și kvar. Treci deci puterile în unități de bază: $S=3100+2300i$ VA. Din $S=U\cdot \bar{I}$ rezultă $\bar{I}=\frac{S}{U}$, iar câtul la un număr real se împarte pe părți: $\bar{I}=\frac{3100}{230}+\frac{2300}{230}i\approx 13,478+10i$. Conjugând, $I\approx 13,478-10i$, adică $I\approx 13,5-10,0i$ A după rotunjire.

Capcană. Dacă rotunjești părțile la întreg, obții $13-10i$. Din ele se recalculează $S=230(13+10i)=2990+2300i$ VA, adică 110 W mai puțin decât cei 3 100 W din fișă. Rotunjești abia la sfârșit, cu o zecime de amper.

Verificare. Din valorile rotunjite: $S=230(13,5+10,0i)=3105+2300i$ VA. Puterea activă diferă cu 5 W de cea din fișă, iar cea reactivă nu diferă deloc, deviații cât permite o zecime de amper.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: numerele din egalitatea cu un cât

Domeniu: constructii.

Enunț. Cerința din probele de examen are forma de mai jos, cu numere proprii: „Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\frac{82}{9+i}=a+ib$, unde $i^2=-1$.” Numerele pot fi, de pildă, componentele vibrației unui planșeu, măsurate pe un șantier.

Rezolvare. Așa scrii pe lucrare. Amplifici fracția cu conjugatul numitorului: $\frac{82}{9+i}=\frac{82(9-i)}{(9+i)(9-i)}=\frac{82(9-i)}{81+1}=9-i$. Din $9-i=a+ib$ citești perechea cerută: $a=9$ și $b=-1$. Numitorul a ieșit 82, exact numărătorul, de aceea câtul are părți întregi. Dacă numărătorul n-ar fi multiplu al numitorului, ai lăsa câtul sub formă de fracții, la fel de corect.

Capcană. Cine amplifică cu $9+i$, nu cu $9-i$, obține la numitor $(9+i{)}^2=80+18i$. Numitorul rămâne complex, deci împărțirea nu s-a încheiat, iar $a$ și $b$ nu se pot citi.

Verificare. $(9+i)(9-i)=82$, exact numărătorul, deci câtul este $9-i$. Înmulțit cu numitorul, rezultatul dă din nou 82.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie conjugatul și calculează produsul cu el pentru fiecare număr, apoi spune ce observi despre cele patru produse: a) $18-11i$; b) $-26+15i$; c) $21$; d) $12i$.

2. Pentru $z=16-13i$ calculează $z+\bar{z}$ și $z-\bar{z}$. Spune ce fel de numere obții: reale, sau cu partea reală egală cu zero.

3. Efectuează și scrie în forma $a+bi$: a) $\frac{19+4i}{3+2i}$; b) $\frac{9+2i}{4}$; c) $\frac{5+9i}{2i}$.

4. Calculează câtul $\frac{1}{4-3i}$ sub forma $a+bi$ și verifică rezultatul prin înmulțire cu numitorul.

Nivelul 2 — situații

5. Flanșa unui polizor de banc din atelier a fost echilibrată cu masele calculate la prima rundă, dar analizorul arată încă $V_2=-7,3-0,1i$ µm pe rulmentul dinspre arbore. Coeficientul de influență al polizorului este $\alpha =1,7-1,1i$ µm pe gram. Ce mase suplimentare fixezi și în ce găuri (la 0°, 90°, 180° sau 270°)?

6. Într-un service auto, tehnicianul verifică amplificatorul sistemului audio al unui autoturism: aplică la intrare un semnal de test cu componentele $2+i$ mV, la frecvența de lucru, și citește la ieșire $17-14i$ mV. Calculează câștigul complex al amplificatorului, adică ieșirea împărțită la intrare, apoi ieșirea pentru un semnal de intrare $3+2i$ mV.

7. Într-o spălătorie, pe aceeași fază de 230 V lucrează două mașini de spălat industriale, cu curenții $I_1=6-8i$ A și $I_2=12-9i$ A. Calculează puterea complexă totală $S=U\cdot \overline{(I_1+I_2)}$ și verifică-o adunând puterile celor două mașini, calculate separat.

8. La ventilatorul din exemplul 1, operatorul a pus masa de probă de 20 g în gaura de la 90°, deci masa de probă este numărul $20i$. Analizorul arată $V_1=-41,4+34,8i$ µm, iar rotorul are $V_0=-23,4+8,8i$. Calculează $\alpha$ prin împărțirea la $20i$ și compară rezultatul cu valoarea din exemplul 1.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\frac{202}{11+9i}=a+ib$, unde $i^2=-1$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\frac{29-13i}{2+i}=a+ib$, unde $i^2=-1$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Arătați că numărul $N=\frac{1}{8+6i}+\frac{1}{8-6i}$ este real, unde $i^2=-1$.

12. (Sinteză.) Pentru ventilatorul din exemplul 1, mecanicul calculează o singură dată $\frac{1}{\alpha }$, cu $\alpha =1,3+0,9i$, ca să afle apoi masa de corecție la fiecare măsurătoare printr-o înmulțire, $C=-V\cdot \frac{1}{\alpha }$. Calculați $\frac{1}{\alpha }$ cu conjugatul și masa de corecție pentru $V=-19+8i$ µm, cu găurile ei.

Răspunsuri și verificări

1. a) $\bar{z}=18+11i$, produsul $324+121=445$; b) $-26-15i$, produsul $676+225=901$; c) $21$, produsul $441$; d) $-12i$, produsul $144$. Verificare: produsul cu conjugatul e suma pătratelor părților, deci pozitiv.

2. $z+\bar{z}=32$, un număr real; $z-\bar{z}=-26i$, un număr cu partea reală zero. Verificare: $32=2\cdot 16$ și $-26i=2\cdot (-13i)$.

3. a) $\frac{(19+4i)(3-2i)}{13}=\frac{65-26i}{13}=5-2i$. b) $2,25+0,5i$, împărțind fiecare parte la 4. c) $\frac{(5+9i)(-2i)}{2i\cdot (-2i)}=\frac{-10i+18}{4}=4,5-2,5i$. Verificare: $(5-2i)(3+2i)=15+10i-6i+4=19+4i$; înmulțind $4,5-2,5i$ cu $2i$, termen cu termen, $2i\cdot 4,5=9i$ și $2i\cdot (-2,5i)=5$, deci produsul e $5+9i$.

4. $\frac{4+3i}{(4-3i)(4+3i)}=\frac{4+3i}{25}=0,16+0,12i$. Verificare: $(0,16+0,12i)(4-3i)=0,64-0,48i+0,48i+0,36=1$.

5. $C_2=\frac{-V_2}{\alpha }=\frac{7,3+0,1i}{1,7-1,1i}=\frac{(7,3+0,1i)(1,7+1,1i)}{4,1}=\frac{12,3+8,2i}{4,1}=3+2i$. Adaugi 3 g în gaura de la 0° și 2 g în gaura de la 90°. Verificare: $\alpha C_2=(1,7-1,1i)(3+2i)=7,3+0,1i$, iar $V_2+\alpha C_2=0$.

6. Câștigul este $\frac{17-14i}{2+i}=\frac{(17-14i)(2-i)}{5}=\frac{20-45i}{5}=4-9i$. Pentru intrarea $3+2i$ mV: $(4-9i)(3+2i)=30-19i$ mV. Verificare: $(4-9i)(2+i)=17-14i$, ieșirea măsurată.

7. $I_1+I_2=18-17i$, conjugatul lui este $18+17i$, deci $S=230(18+17i)=4140+3910i$ VA, adică $P=4,14$ kW și $Q=3,91$ kvar. Separat: $S_1=230(6+8i)=1380+1840i$ și $S_2=230(12+9i)=2760+2070i$. Verificare: suma lor este $4140+3910i$ VA, aceeași valoare.

8. $V_1-V_0=(-41,4+23,4)+(34,8-8,8)i=-18+26i$, iar $\alpha =\frac{-18+26i}{20i}=\frac{(-18+26i)(-20i)}{400}=\frac{520+360i}{400}=1,3+0,9i$ µm pe gram, aceeași valoare ca în exemplul 1. Verificare: $(1,3+0,9i)\cdot 20i=26i-18$, adică $-18+26i$.

9. Amplifici cu conjugatul numitorului: $\frac{202(11-9i)}{121+81}$. Numitorul este 202, deci câtul este $11-9i$. Rezultă $a=11$ și $b=-9$. Verificare: $(11-9i)(11+9i)=202$.

10. Amplifici cu $2-i$: numărătorul este $(29-13i)(2-i)=58-29i-26i+13i^2=45-55i$. Numitorul este $4+1=5$, deci câtul este $9-11i$. Rezultă $a=9$ și $b=-11$. Verificare: $(9-11i)(2+i)=18+9i-22i+11=29-13i$.

11. Aduci fracțiile la numitor comun: $N=\frac{(8-6i)+(8+6i)}{(8+6i)(8-6i)}$. Numitorul este $64+36=100$, iar numărătorul este 16. Deci $N=\frac{16}{100}=0,16$, un număr real. Verificare: $\frac{8-6i}{100}+\frac{8+6i}{100}=\frac{16}{100}$.

12. Amplifici cu conjugatul: $\frac{1}{\alpha }=\frac{1,3-0,9i}{(1,3+0,9i)(1,3-0,9i)}=\frac{1,3-0,9i}{2,5}=0,52-0,36i$. Apoi $C=(19-8i)(0,52-0,36i)=9,88-6,84i-4,16i-2,88=7-11i$: 7 g în gaura de la 0° și 11 g în gaura de la 270°. Împărțirea la $\alpha$ înseamnă înmulțirea cu $\frac{1}{\alpha }$. Verificare: $\alpha C=(1,3+0,9i)(7-11i)=9,1-14,3i+6,3i+9,9=19-8i$, opusul lui $V$.

Așa vine la Bac M3

Trei din cele 83 de probe indexate au o cerință cu numere complexe: două cer pătrate, ca în forma algebrică și înmulțirea numerelor complexe, iar una cere un cât, ca prima cerință din Subiectul I. Cerința cu cât este aceasta:

• Simularea din 2016, Subiectul I, exercițiul 1: se cer numerele reale $a$ și $b$ care scriu câtul dintre numărul real 10 și numărul $3+i$ sub forma $a+ib$, deci un numărător real și un numitor de forma $c+i$; baremul acordă 3 puncte pentru amplificarea cu conjugatul numitorului, care dă $3-i$, și 2 puncte pentru valorile $a=3$ și $b=-1$. Aplici pașii 2–5 din Metodă.

Toate cele trei cerințe cu numere complexe au fost cerința 1 din Subiectul I, în probe din 2016, 2019 și 2021; în probele din 2022–2026 indexul nu are nicio cerință pe această temă. Cu numitorul $c+i$, suma pătratelor este $c^2+1$, deci numerele rămân mici, iar câtul se scrie repede dacă ai pașii la îndemână.

Pe foaia de examen scrii amplificarea cu conjugatul, calculezi numitorul ca sumă de pătrate, simplifici și citești perechea $(a;b)$ din forma $a+ib$. Exercițiile 9–11 repetă acest format, iar exercițiul 11 îl duce într-o sumă de două fracții cu numitori conjugați. Dacă vrei altă temă, alege din lecțiile care urmează în clasa a X-a de la tehnologic, după ce ai terminat exercițiile.

Greșeli care costă puncte

• Uiți să împarți diferența $V_1-V_0=26+18i$ la masa de probă de 20 g → masele de corecție ies de 20 de ori prea mici, 0,45 g și 0,65 g; cum o prinzi: coeficientul de influență se măsoară în µm pe gram, deci $\alpha =1,3+0,9i$, nu $26+18i$.
• Omiți minusul din $C=-V_0:\alpha$ → masele stau în locurile opuse, iar vibrația se dublează; cum o prinzi: verifici că $V_0+\alpha C$ dă zero.
• Pui cei 13 g în gaura de la 90°, nu în cea de la 270° → vibrația crește la $-23,4+33,8i$ µm, mai mare decât cea de acum; cum o prinzi: refaci $V_0+\alpha C$ cu masa așezată, iar rezultatul trebuie să fie zero.
• Iei tensiunea de linie, 400 V, în loc de cea de fază, 230 V → pe fază $S=400(24+18i)=9600+7200i$ VA, iar pe trei faze $P=28,8$ kW pentru un motor de 15 kW; cum o prinzi: puterea activă nu poate fi mult peste cea de pe plăcuță.
• Uiți conjugatul curentului la puterea complexă → $Q$ iese negativ pentru un motor, ca la o baterie de condensatoare; cum o prinzi: un motor consumă putere reactivă, deci $Q$ trebuie să fie pozitiv.

Programa și examenul

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029: noțiunea de conjugat și de cât a două numere complexe face parte din programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a), deși programa nouă a clasei a X-a (OMEC 6930/2025, Anexa 3) nu o conține sau o conține doar în parte. În probele oficiale 2013–2026 a apărut într-o singură probă, la Subiectul I. Pentru Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6) tema nu este în programa de examen.

Întrebări frecvente

Se poate folosi același coeficient de influență la un al doilea ventilator? Doar la unul identic, cu aceeași turație și aceleași găuri de echilibrare; altfel măsori din nou. Dacă ventilatorul identic arată $V=-26,5+10,5i$ µm, masa de corecție este $\frac{26,5-10,5i}{1,3+0,9i}=10-15i$: 10 g în gaura de la 0° și 15 g în gaura de la 270°.

Ce vibrație rămâne dacă mecanicul pune 8 g, nu 9 g, în gaura de la 0°? Cu un gram în minus, masa montată este $C-1$, deci vibrația este $V_0+\alpha (C-1)=0-\alpha =-1,3-0,9i$ µm. Un gram în minus lasă exact efectul unui gram, cu semn schimbat. Rămâne puțin, iar eroarea se poate corecta într-o a doua rundă, cu aceeași împărțire, adăugând un gram în gaura de la 0°.

Ce ar fi trebuit să arate analizorul cu o masă de probă de 25 g? Modelul presupune că efectul crește la fel ca masa, deci analizorul ar fi trebuit să arate $V_0+25\alpha =9,1+31,3i$ µm. O citire mult diferită ar fi însemnat că rotorul nu se comportă așa, că turația s-a schimbat sau că o măsurătoare e greșită; atunci repeți măsurătorile înainte de corecție.

Ce înseamnă dacă măsurătoarea cu masa de probă iese identică cu cea fără ea? Atunci $V_1-V_0=0$ și $\alpha =0$, iar masa de corecție ar cere o împărțire la zero, care nu are sens. Masa de probă n-a schimbat nimic. Verifici dacă ai montat-o bine și dacă turația a rămas aceeași, apoi repeți măsurătoarea cu o masă mai mare.

Cum arată un cât de numere complexe la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Simularea din 2016 a dat la prima cerință din Subiectul I un numărător real împărțit la un numitor $c+i$ și a cerut rezultatul sub forma $a+ib$. O rezolvi amplificând cu conjugatul numitorului, ca la exemplul 4.

Ce masă de corecție cere ventilatorul dacă, după curățarea paletelor, vibrația scade la $V=-10,6+4,2i$ µm? Împarți ca la exemplul 1: $C=-\frac{V}{\alpha }=\frac{10,6-4,2i}{1,3+0,9i}=4-6i$, adică 4 g în gaura de la 0° și 6 g în gaura de la 270°. Masa de corecție scade odată cu dezechilibrul, de la 9 și 13 g la 4 și 6 g, deoarece coeficientul de influență rămâne același.

Cu cât s-a schimbat vibrația față de ultima revizie? Scazi măsurătoarea de la revizie din cea de acum: $(-23,4+8,8i)-(3,2-1,4i)=-26,6+10,2i$ µm. Schimbarea este tot un număr complex: partea reală arată mutarea pe direcția reperului, de $26,6$ µm în sens negativ, iar partea imaginară mutarea la 90°, de $10,2$ µm. Nu spune doar cât s-a stricat echilibrul, ci și în ce direcție.