Cerc circumscris: definiție

Cercul circumscris unui triunghi trece prin toate cele 3 vârfuri; centrul lui e punctul unde se întâlnesc cele 3 mediatoare. Centrul este în interior la triunghiul ascuțitunghic, la mijlocul ipotenuzei la cel dreptunghic (deci $R$ = ipotenuza : 2) și în exterior la cel obtuzunghic.

Exemplu: Orice triunghi are exact un cerc circumscris. Un triunghi dreptunghic cu ipotenuza de 10 cm are raza cercului circumscris $R = 5$ cm. La liceu, pentru orice triunghi cu laturile $a, b, c$ și aria $S$ : $R = \frac{ab c}{4 S}$ .

Vezi și: Mediatoarea unui segment, Cerc înscris

Întrebări frecvente

Unde se află centrul cercului circumscris unui triunghi?

La intersecția mediatoarelor laturilor. La triunghiul ascuțitunghic centrul este în interior, la triunghiul dreptunghic este chiar mijlocul ipotenuzei, iar la triunghiul obtuzunghic este în exteriorul triunghiului.

Cât este raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic?

Raza este jumătate din ipotenuză: dacă unghiul drept este în $A$ , atunci $R = \frac{B C}{2}$ . De exemplu, la catetele 6 și 8, ipotenuza este 10, deci $R = 5$ .

Cât este raza cercului circumscris unui triunghi echilateral?

Pentru latura $ℓ$ , raza este $R = \frac{ℓ 3}{3}$ , adică două treimi din înălțimea $\frac{ℓ 3}{2}$ , fiindcă centrul cercului coincide cu centrul de greutate. De exemplu, pentru $ℓ = 6$ obții $R = 23$ .

Care este formula razei cercului circumscris unui triunghi oarecare?

Pentru un triunghi oarecare, formula (studiată la liceu) este $R = \frac{ab c}{4 S}$ , cu laturile $a$ , $b$ , $c$ și aria $S$ ; de aici $S = \frac{ab c}{4 R}$ . Aceeași rază apare în teorema sinusurilor, $\frac{a}{s i n A} = 2 R$ . La triunghiul cu laturile 6, 8, 10 și aria 24, $R = \frac{480}{96} = 5$ .