Formule: Cercul

Toate formulele cercului: lungime, arie, arce și sectoare, unghiuri la centru și înscrise, coarde, tangente și poligoane regulate înscrise. 14 formule, clasele 6–7.

• Lungimea cercului (circumferința) — clasa 7
• Aria discului — clasa 7
• Lungimea arcului de cerc — clasa 7
• Aria sectorului de cerc — clasa 7
• Unghiul la centru — clasa 6
• Unghiul înscris în cerc — clasa 7
• Unghiul înscris în semicerc — clasa 7
• Coarde și arce — clasa 7
• Diametrul perpendicular pe o coardă — clasa 7
• Tangenta la cerc — clasa 7
• Triunghiul echilateral înscris — clasa 7
• Pătratul înscris — clasa 7
• Hexagonul regulat înscris — clasa 7
• Poligon regulat: unghiul interior — clasa 7

Lungimea cercului (circumferința) — clasa 7

$L$ este lungimea cercului (circumferința), adică distanța pe care o parcurgi dacă ocolești cercul o dată. $r$ este raza, $d=2r$ este diametrul, iar $\pi \approx 3,14$. Capcană: nu confunda lungimea cercului cu aria discului — lungimea se măsoară în cm, aria în cm²!

Exemplu: $r=3$: $L=2\pi \cdot 3=6\pi \approx 6\cdot 3,14=18,84$ • Cu diametrul: $d=10\Rightarrow L=\pi \cdot 10=10\pi \approx 31,4$

Aria discului — clasa 7

$A$ este aria discului — suprafața din interiorul cercului (de exemplu, cât „loc” ocupă o pizza), iar $r$ este raza. Capcană: doar raza se ridică la pătrat, nu și $\pi$; iar dacă în problemă apare diametrul, împarte-l întâi la 2 ca să afli raza.

Exemplu: $r=5$: $A=\pi \cdot 5^2=25\pi \approx 25\cdot 3,14=78,5$ • $d=8\Rightarrow r=8:2=4\Rightarrow A=\pi \cdot 4^2=16\pi$

Lungimea arcului de cerc — clasa 7

$l_{arc}$ este lungimea arcului, $r$ este raza, iar $n^{\circ }$ este măsura arcului (egală cu unghiul la centru corespunzător). Arcul este o „bucată” din cerc: pentru $n=360^{\circ }$ regăsești tot cercul, $2\pi r$. Capcană: la lungimea arcului se împarte la $180^{\circ }$, iar la aria sectorului la $360^{\circ }$ — nu le încurca!

Exemplu: $r=6$, $n=60^{\circ }$: $l_{arc}=\frac{\pi \cdot 6\cdot 60}{180}=\frac{360\pi }{180}=2\pi \approx 6,28$ • Verificare logică: $60^{\circ }$ este a șasea parte din cerc, deci $l_{arc}=\frac{2\pi \cdot 6}{6}=2\pi$. ✓

Aria sectorului de cerc — clasa 7

$A_{sector}$ este aria sectorului de cerc — „felia de tort” cuprinsă între două raze care formează unghiul $n^{\circ }$; $r$ este raza. Pentru $n=360^{\circ }$ obții discul întreg, $\pi r^2$. Capcană: aici raza se ridică la pătrat și se împarte la $360^{\circ }$, nu la $180^{\circ }$ ca la lungimea arcului.

Exemplu: $r=6$, $n=90^{\circ }$: $A_{sector}=\frac{\pi \cdot 6^2\cdot 90}{360}=\frac{36\pi }{4}=9\pi \approx 28,26$ • Verificare logică: $90^{\circ }$ este un sfert din cerc, deci un sfert din aria $36\pi$. ✓

Unghiul la centru — clasa 6

Unghiul la centru are vârful în centrul cercului $O$, iar laturile lui sunt raze. Măsura lui este exact egală cu măsura arcului mic pe care îl „decupează” din cerc. Este puntea dintre unghiuri și arce: așa transformi o informație despre unghi într-una despre arc și invers.

Exemplu: Dacă $m(\angle AOB)=70^{\circ }$, atunci arcul mic $AB$ are tot $70^{\circ }$, iar arcul mare are $360^{\circ }-70^{\circ }=290^{\circ }$. • Un unghi la centru de $90^{\circ }$ decupează exact un sfert de cerc.

Unghiul înscris în cerc — clasa 7

Unghiul înscris are vârful PE cerc, iar laturile lui sunt coarde. Măsura lui este jumătate din măsura arcului cuprins între laturi. Capcană: nu-l confunda cu unghiul la centru, care este egal cu tot arcul — unghiul înscris este mereu jumătate; de aceea toate unghiurile înscrise care „privesc” același arc sunt egale.

Exemplu: Arcul $BC$ are $80^{\circ }$, iar $A$ este pe cerc: $m(\angle BAC)=\frac{80^{\circ }}{2}=40^{\circ }$ • Invers: unghi înscris de $25^{\circ }\Rightarrow$ arcul cuprins are $2\cdot 25^{\circ }=50^{\circ }$.

Unghiul înscris în semicerc — clasa 7

Dacă laturile unui unghi înscris trec prin capetele unui diametru, unghiul este mereu drept. Motivul: arcul cuprins este un semicerc de $180^{\circ }$, iar $180^{\circ }:2=90^{\circ }$. Truc de aur: așa demonstrezi rapid că un triunghi înscris în cerc este dreptunghic!

Exemplu: $BC$ este diametru și $A$ este un punct pe cerc: $m(\angle BAC)=\frac{180^{\circ }}{2}=90^{\circ }$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, oriunde ar fi $A$ pe cerc.

Coarde și arce — clasa 7

O coardă este un segment care unește două puncte de pe cerc, iar arcul este „bucata” de cerc dintre ele. În același cerc (sau în cercuri congruente), coardele egale întind arce egale — și invers. Semnul $⟺$ arată că regula funcționează în ambele sensuri.

Exemplu: În cercul de centru $O$, coardele $AB$ și $CD$ au fiecare $6\text{cm}$ $\Rightarrow$ arcele mici $AB$ și $CD$ sunt congruente. • Invers: dacă arcele $AB$ și $CD$ au fiecare $100^{\circ }$, atunci $AB=CD$.

Diametrul perpendicular pe o coardă — clasa 7

$d$ este diametrul (sau orice dreaptă care trece prin centru), $AB$ este coarda, iar $M$ este punctul lor de intersecție. Dacă diametrul cade perpendicular pe coardă, o taie exact la mijloc ($AM=MB$) și înjumătățește și cele două arce ale ei. Se folosește des împreună cu teorema lui Pitagora pentru a afla distanța de la centru la coardă.

Exemplu: Coarda $AB=8\text{cm}$ într-un cerc cu raza $r=5\text{cm}$: $AM=8:2=4\text{cm}$, iar în triunghiul dreptunghic $OMA$ distanța de la centru la coardă este $OM=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\text{cm}$.

Tangenta la cerc — clasa 7

$d$ este tangenta, $T$ punctul de tangență, iar $OT$ raza dusă în el. Tangenta este dreapta care atinge cercul într-un singur punct, numit punct de tangență, și este mereu perpendiculară pe raza dusă în acel punct. Din orice punct exterior se pot duce două tangente, iar segmentele de tangentă sunt egale. Capcană: perpendicularitatea pe rază creează aproape mereu un triunghi dreptunghic — caută-l în figură!

Exemplu: Din punctul $P$, cu $OP=10\text{cm}$ și raza $r=6\text{cm}$, tangenta atinge cercul în $T$; triunghiul $OTP$ este dreptunghic în $T$, deci $PT=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{cm}$.

Triunghiul echilateral înscris — clasa 7

$l_3$ este latura triunghiului echilateral înscris în cercul de rază $r$, iar $a_3$ este apotema — distanța de la centrul cercului la mijlocul unei laturi. Capcană: $r$ este raza cercului circumscris (de la centru la vârf), nu înălțimea triunghiului; înălțimea este $h=r+a_3$.

Exemplu: $r=4$: $l_3=4\sqrt{3}\approx 6,93$ și $a_3=\frac{4}{2}=2$ • Verificare: $h=r+a_3=4+2=6$, exact cât $\frac{l_3\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{12}{2}=6$. ✓

Pătratul înscris — clasa 7

$l_4$ este latura pătratului înscris în cercul de rază $r$, iar $a_4$ este apotema (jumătate din latură). Formula vine din faptul că diagonala pătratului este chiar diametrul cercului: $l_4\sqrt{2}=2r$. Capcană: nu confunda cu pătratul circumscris, la care latura este $2r$.

Exemplu: $r=4$: $l_4=4\sqrt{2}\approx 5,66$ și $a_4=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ • Verificare: diagonala $=l_4\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=8=2r$. ✓

Hexagonul regulat înscris — clasa 7

$l_6$ este latura hexagonului regulat înscris, iar $a_6$ este apotema. Regulă de aur, ușor de ținut minte: latura hexagonului regulat este egală cu raza cercului! Motivul: razele împart hexagonul în 6 triunghiuri echilaterale, iar apotema este înălțimea unui astfel de triunghi.

Exemplu: $r=4$: $l_6=4$ și $a_6=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\approx 3,46$ • Perimetrul hexagonului: $P=6\cdot 4=24$.

Poligon regulat: unghiul interior — clasa 7

$u$ este măsura unui unghi interior al unui poligon regulat cu $n$ laturi. Formula vine din suma unghiurilor unui poligon convex, $(n-2)\cdot 180^{\circ }$, împărțită în mod egal la cele $n$ unghiuri. Capcană: suma este valabilă în orice poligon convex, dar împărțirea la $n$ merge doar dacă poligonul este regulat (toate unghiurile egale).

Exemplu: Hexagon ($n=6$): $u=\frac{(6-2)\cdot 180^{\circ }}{6}=\frac{720^{\circ }}{6}=120^{\circ }$ • Pătrat ($n=4$): $u=\frac{(4-2)\cdot 180^{\circ }}{4}=\frac{360^{\circ }}{4}=90^{\circ }$. ✓