Urma unei matrice: definiție

Urma unei matrice pătratice $A$ , notată $tr (A)$ , este suma elementelor de pe diagonala principală. Ea se comportă frumos la adunare, $tr (A + B) = tr (A) + tr (B)$ , dar nu și la înmulțire: în general $tr (A B) \neq = tr (A) tr (B)$ .

Exemplu: $tr (25 - 1 3) = 2 + 3 = 5$ .

Vezi și: Matrice pătratică, Ecuația Hamilton-Cayley, Determinant

Întrebări frecvente

Cum se calculează urma unei matrice de ordinul 3?

Aduni cele trei elemente de pe diagonala principală: $tr (A) = a_{11} + a_{22} + a_{33}$ . Pentru $A = 147 2 - 3 1 056$ obții $tr (A) = 1 + (- 3) + 6 = 4$ . Elementele din afara diagonalei principale nu contează.

Se poate calcula urma unei matrice care nu este pătratică?

Nu, urma este definită doar pentru matrice pătratice, adică cu același număr de linii și coloane. Doar la ele diagonala principală pornește dintr-un colț și se termină în colțul opus, iar suma $a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}$ are sens.

Este adevărat că $tr (A B) = tr (B A)$ ?

Da, pentru orice matrice pătratice $A$ și $B$ de același ordin, $tr (A B) = tr (B A)$ , chiar dacă în general $A B \neq = B A$ . De aici rezultă $tr (A B - B A) = 0$ , deci egalitatea $A B - B A = I_{n}$ este imposibilă, pentru că $tr (I_{n}) = n \neq = 0$ .

Ce legătură are urma cu ecuația Hamilton–Cayley?

Pentru o matrice $A$ de ordinul 2, ecuația Hamilton–Cayley este $A^{2} - tr (A) \cdot A + det (A) \cdot I_{2} = O_{2}$ . Urma și determinantul sunt deci singurele numere de care ai nevoie ca să scrii $A^{2}$ în funcție de $A$ și $I_{2}$ .

Ce alte proprietăți are urma unei matrice?

Factorul real iese în fața urmei: $tr (k A) = k tr (A)$ . Folosită împreună cu urma sumei, regula dă, de exemplu, $tr (2 A - 3 B) = 2 tr (A) - 3 tr (B)$ . În plus, $tr (^{t} A) = tr (A)$ , deoarece transpusa are aceeași diagonală principală.