Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Aria dintre grafic și axa Ox

Cum aflu a dintr-o arie egală cu un logaritm?

Scrii aria ca integrală cu limita $a$ , o calculezi în funcție de $a$ și o egalezi cu valoarea dată. Exemplu: aria sub graficul lui $f (x) = \frac{4}{x}$ , între $x = 1$ și $x = a$ , este $ln 81$ . Funcția e pozitivă pentru $x > 0$ , deci aria este $4 ln a$ . Din $4 ln a = ln 81$ rezultă $ln a = ln 3$ și $a = 3$ . Proba: $\int_{1}^{3} \frac{4}{x} d x = 4 ln 3 = ln 81$ , fiindcă $3^{4} = 81$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Aria dintre graficul unei funcții continue, axa $O x$ și două drepte verticale este $\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ . Valoarea absolută spune că aria nu poate fi negativă, deci semnul lui $f$ hotărăște cum scrii calculul.

Dacă $f \geq 0$ pe tot intervalul, aria este chiar integrala. Dacă $f \leq 0$ , integrala iese negativă, iar aria este opusul ei. Dacă $f$ are o rădăcină înăuntrul intervalului și își schimbă semnul acolo, tai în acea rădăcină și fiecare bucată primește semnul ei, iar integrala pe tot intervalul ar da diferența ariilor, nu suma lor.

Ordinea de lucru: găsești rădăcinile, verifici semnul funcției pe fiecare parte, pe baza unei valori de probă, scrii primitiva termen cu termen, calculezi $F (b) - F (a)$ pe fiecare bucată și aduni ariile. Pentru funcții afine pozitive, formula trapezului dă același rezultat și servește ca verificare.

Mai controlezi unitatea, care este unitatea lui $x$ înmulțită cu a lui $f$ , și încadrarea între două dreptunghiuri. O putere în kW integrată pe ore dă energie în kWh. Dacă rezultatul iese negativ ori în afara încadrării, reiei verificarea semnului funcției.

De reținut

$A = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ ; unde $f \leq 0$ , aria este $- \int f$
la $a$ necunoscut scrii aria ca expresie în $a$ și o egalezi cu valoarea dată
rădăcinile din interiorul intervalului tai integrala în bucăți

Greșeala tipică

Se ia integrala drept arie fără să se verifice semnul: pentru $f (x) = 0, 8 x - 4$ pe $[0; 6]$ , integrala este $- 9, 6$ , dar aria este $10 + 0, 4 = 10, 4$ . Corect: tai în rădăcina $5$ și aduni ariile.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f (x) = 3 x^{2} - 33 x + 72$ . Pe care dintre intervalele de mai jos aria dintre graficul lui $f$ și axa $O x$ este egală cu integrala lui $f$ pe acel interval?
- a) $[2; 6]$
- b) $[0; 3]$
- c) $[4; 7]$
- d) $[5; 10]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[0; 3]$

Rădăcinile lui $f$ sunt $3$ și $8$ , iar $f \geq 0$ pe $(- \infty; 3]$ și $f \leq 0$ pe $[3; 8]$ . Aria coincide cu integrala numai unde $f \geq 0$ , adică pe $[0; 3]$ . Pe $[4; 7]$ funcția este negativă, deci integrala este negativă, iar aria este opusul ei. Intervalele $[2; 6]$ și $[5; 10]$ conțin în interior rădăcinile 3, respectiv 8: acolo graficul trece de pe o parte pe alta a axei.
Funcția $f (x) = 3 x^{2} - 36 x + 105$ are primitiva $F (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 105 x + 2$ . Aria suprafeței cuprinse între graficul lui $f$ , axa $O x$ și dreptele $x = 5$ și $x = 7$ este:
- a) $- 4$
- b) $198$
- c) $4$
- d) $400$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4$

Rădăcinile lui $f$ sunt 5 și 7, iar între ele $f \leq 0$ . Integrala este $F (7) - F (5) = 198 - 202 = - 4$ , iar aria este opusul ei, 4. Varianta $- 4$ lasă integrala negativă drept arie. Varianta 198 ia doar $F (7)$ și uită $F (5)$ , iar varianta 400 adună $F (7) + F (5)$ în loc să le scadă.
Secțiunea rampei de acces a unui șantier este delimitată de graficul funcției $f (x) = 0, 5 x + 1$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = 0$ și $x = 8$ , cu $x$ și $f (x)$ în metri. Care este aria secțiunii, în m²?
- a) 48 m²
- b) 40 m²
- c) 8 m²
- d) 24 m²
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) 24 m²

Funcția este pozitivă, deci aria este $\int_{0}^{8} (0, 5 x + 1) d x = [0, 25 x^{2} + x]_{0}^{8} = 16 + 8 = 24$ m². Același rezultat îl dă formula trapezului, $\frac{1 + 5}{2} \cdot 8 = 24$ . Varianta 48 uită împărțirea la 2 din trapez, varianta 40 ia dreptunghiul cu înălțimea cea mai mare, de 5 m, iar varianta 8 pe cel cu înălțimea cea mai mică, de 1 m.

Întrebări conexe

Ce fac dacă funcția își schimbă semnul înainte de a?

Tai în rădăcină și aduni ariile bucăților. Pentru $f (x) = 0, 8 x - 4$ pe $[0; a]$ , cu $a > 5$ , aria este $10 + 0, 4 (a - 5)^{2}$ : 10 pe $[0; 5]$ , unde graficul stă sub axă, și $0, 4 (a - 5)^{2}$ pe $[5; a]$ . Din $10 + 0, 4 (a - 5)^{2} = 20$ rezultă $a = 10$ , fiindcă $10 + 0, 4 (10 - 5)^{2} = 20$ .

Cum aflu aria sub o fracție cu x² la numitor?

Verifici mai întâi semnul: fracția cu numitor pozitiv și numărător pozitiv este pozitivă, deci aria este chiar integrala. Primitiva este o arctangentă, cu factorul $\frac{1}{k}$ în față. Pentru $f (x) = \frac{20}{x ^{2} + 16}$ pe $[0; 4]$ avem $\int_{0}^{4} \frac{20}{x ^{2} + 16} d x = 5 arctan 1 = \frac{5 π}{4}$ .

Cum aflu aria când f este un polinom ori e la x?

Folosești integrarea prin părți, cu polinomul ca $u$ , după ce te asiguri de semnul funcției. Pentru $f (x) = (7 x + 4) e^{x}$ pe $[0; 1]$ , funcția este pozitivă, iar $\int_{0}^{1} (7 x + 4) e^{x} d x = [(7 x - 3) e^{x}]_{0}^{1} = 4 e + 3$ . Verifici derivând: derivata lui $(7 x - 3) e^{x}$ este $(7 x + 4) e^{x}$ .

Ce unitate are aria dintre un grafic și axa timpului?

Unitatea lui $x$ înmulțită cu unitatea lui $f$ . Dacă graficul arată o putere în kW pe o axă de ore, aria se măsoară în kWh, adică în energie consumată sau produsă. Dacă arată un debit în litri pe minut pe o axă de minute, aria este în litri, adică un volum.

Cum apare calculul ariei în probele oficiale?

Calculul ariei a apărut în 21 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al III-lea. Exemplele reale din lecție au un polinom de gradul al treilea, un polinom negativ pe interval, funcția $\frac{1}{x}$ cu limita de sus necunoscută $a$ și un produs cu $e^{x}$ .

Oamenii mai întreabă și: numărul a dintr-o arie dată · limita de sus necunoscută la o arie · aria sub 1 supra x până la a · arie egală cu logaritm și a necunoscut