Aria cu integrala la tehnologic: o rigolă

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Pământul pe care un utilaj îl scoate dintr-o rigolă de scurgere se socotește din aria secțiunii ei. Aria de sub un grafic se calculează cu integrala, cu o singură grijă: semnul funcției. Fundul rigolei stă sub nivelul terenului, așa că integrala iese negativă, iar aria e opusul ei. Aceeași regulă servește apoi în alte meserii; o înveți în clasa a XII-a, la profilurile filierei tehnologice. Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) a pus cerința despre arie la Subiectul al III-lea, problema 2.

Situația de pornire

Un fermier lucrează 12 hectare de teren cu culturi de porumb și grâu. După ploile de primăvară apa stă pe marginea parcelei, așa că el sapă, cu un utilaj prins la tractor, o rigolă de scurgere lungă de 150 m. La un capăt, tehnicianul cooperativei măsoară cu o șipcă gradată adâncimea fundului sub nivelul terenului, din 0,2 în 0,2 m, de la un mal la celălalt (valori din exemplu). Fermierul vrea să afle cât pământ scoate utilajul și câte curse face o remorcă.

Distanța de la malul din stânga (m)	Adâncimea sub nivelul terenului (m)
0	0
0,2	0,25
0,4	0,4
0,6	0,45
0,8	0,4
1	0,25
1,2	0

Întrebare: ce arie are secțiunea rigolei, în m²? Câți m³ de pământ se scot din cei 150 m de rigolă și câte curse face o remorcă de 6 m³, dacă pământul săpat se afânează cu 25 %?

De la situație la model

Citește coloana adâncimilor: crește de la mal până la mijlocul rigolei și scade apoi la loc, cu aceleași valori de o parte și de alta, iar punctele se așază pe un arc de parabolă. Tehnicianul nu poate măsura aria direct, dar o poate afla dintr-o formulă a fundului, așa că a ales funcția $f (x) = \frac{5}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x$ , cu $x$ în metri și $x \in [0; 1, 2]$ , unde $f (x)$ este cota fundului față de nivelul terenului, în metri. Verifică un punct: $f (0, 6) = \frac{5}{4} \cdot 0, 36 - \frac{3}{2} \cdot 0, 6 = 0, 45 - 0, 9 = - 0, 45$ , adică 0,45 m sub teren, ca în tabel.

În situație	În matematică
nivelul terenului	axa $O x$ , adică dreapta $y = 0$
cota fundului la distanța $x$ de mal, în m	valoarea $f (x)$ , negativă între maluri
malurile rigolei	dreptele verticale $x = 0$ și $x = 1, 2$
secțiunea rigolei, în m²	aria dintre graficul lui $f$ și axa $O x$ , pentru $x \in [0; 1, 2]$

Aria este numărul $\int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ , pentru suprafața plană delimitată de graficul unei funcții continue $f$ , de axa $O x$ și de dreptele $x = a$ și $x = b$ . Aria se măsoară în unitatea lui $x$ înmulțită cu unitatea lui $f$ , aici metri ori metri, adică m². Valoarea absolută din formulă face ca aria să iasă pozitivă oricum ar sta graficul față de axă, deasupra ei sau dedesubt; de aceea, înainte de orice calcul, te uiți la semnul lui $f$ .

De ce secțiunea rigolei iese cu minus?

Dacă $f (x) \geq 0$ pe $[a; b]$ , graficul stă deasupra axei, iar aria este chiar $\int_{a}^{b} f (x) d x$ . Dacă $f (x) \leq 0$ , graficul stă dedesubt, fiecare produs $f (x) d x$ e negativ, iar integrala iese negativă: aria e opusul ei, $- \int_{a}^{b} f (x) d x$ . Rigola e sub nivelul terenului, deci $f \leq 0$ între maluri și aria secțiunii este $- \int_{0}^{1, 2} f (x) d x$ .

Ce faci când profilul trece de pe o parte pe alta a axei?

Dacă $f$ are o rădăcină $c$ în interiorul intervalului și își schimbă semnul acolo, tai intervalul în $c$ și ia fiecare parte cu semnul ei: $A = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$ . Integrala întreagă $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ar fi diferența dintre cele două arii, nu suma lor.

Ce figuri de la geometrie încadrează secțiunea?

Programa de examen cere și compararea ariei cu formulele cunoscute din geometrie. Pe aceeași lățime ca rigola, dreptunghiul cu înălțimea adâncimii maxime cuprinde toată secțiunea, deci aria nu-l poate depăși. Triunghiul cu vârful în punctul cel mai adânc stă în secțiune numai fiindcă fundul e boltit: orice coardă dintre două puncte ale fundului rămâne între fund și nivelul terenului. La un fund cu o groapă îngustă la mijloc, triunghiul ar ieși din secțiune și n-ar mai fi o margine de jos.

Metoda pas cu pas

Pregătește funcția. Verifică dacă $f$ e continuă pe $[a; b]$ și rezolvă $f (x) = 0$ . Rădăcinile din interiorul intervalului îl taie în părți. Dacă enunțul cere aria lui $g (x) = f (x) e^{x}$ sau a unei funcții reduse, scrie mai întâi $g$ pe care o integrezi.
Stabilește semnul lui $f$ pe fiecare parte, cu o valoare de probă pusă în funcție, fiindcă $f$ nu își schimbă semnul decât în rădăcini. Unde $f \geq 0$ , aria e $\int f$ ; unde $f \leq 0$ , aria e $- \int f$ .
Scrie primitiva, termen cu termen, din tabelul primitivelor uzuale. Dacă ai un produs cu $e^{x}$ , folosește integrarea prin părți; dacă ai o fracție, folosește lecția despre fracții. Derivează primitiva ca să te asiguri că regăsești funcția.
Calculează $F (b) - F (a)$ pe fiecare parte, cu valorile scrise pe rânduri separate, pune semnul de la pasul 2 și adună ariile. Dacă enunțul cere un parametru, egalează aria cu valoarea dată și rezolvă ecuația, apoi verifică dacă soluția e în domeniu.
Verifică: aria nu poate fi negativă, iar unitatea e cea a lui $x$ înmulțită cu cea a lui $f$ . Așază rezultatul între două dreptunghiuri cu lățimea $b - a$ : unul cu înălțimea celei mai mici valori a lui $∣ f ∣$ , altul cu a celei mai mari; la un arc boltit, triunghiul cu vârful în punctul extrem e și el o margine de jos. Un rezultat negativ sau ieșit din încadrare te întoarce la pasul 2.

Lecția despre fracții în integrală te ajută la pasul 3, iar integrarea prin părți la produsele cu $e^{x}$ . Integrala lui $π f^{2}$ dă volumul unui corp de rotație; planul anului e pe pagina clasei a XII-a de la tehnologic.

Fișa de buzunar

$A = \int_{a}^{b} f (x) d x la f \geq 0, A = - \int_{a}^{b} f (x) d x la f \leq 0$

$A = \int_{a}^{c} f (x) d x - \int_{c}^{b} f (x) d x la f \geq 0 pe [a; c] ș i f \leq 0 pe [c; b]$

$A = \frac{f ( a ) + f ( b )}{2} (b - a) la f afin \overset{a}{˘} ș i f \geq 0$

Prima formulă se aplică numai când semnul lui $f$ e același pe tot intervalul. A doua se aplică numai când graficul taie axa o singură dată, în $c$ . A treia dă aria unui trapez. Verificare rapidă: aria nu e negativă și are unitatea lui $x$ înmulțită cu cea a lui $f$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Secțiunea rigolei

Domeniu: agricol.

Enunț. Reluăm rigola din situație: fundul ei urmează graficul funcției $f (x) = \frac{5}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x$ , în metri, între malurile din situație. Aflați aria secțiunii, volumul de pământ din 150 m de rigolă și numărul de curse ale unei remorci de 6 m³, dacă pământul săpat se afânează cu 25 %.

Rezolvare. Pasul 1: $f (x) = x (\frac{5}{4} x - \frac{3}{2})$ se anulează în $x = 0$ și $x = 1, 2$ , adică în capetele intervalului, deci nu taie axa înăuntru. Pasul 2: $f (0, 6) = - 0, 45 < 0$ , deci $f \leq 0$ pe tot intervalul și $A = - \int_{0}^{1, 2} f (x) d x$ . Pasul 3: o primitivă este $F (x) = \frac{5}{12} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2}$ . Pasul 4: $F (1, 2) = \frac{5}{12} \cdot 1, 728 - \frac{3}{4} \cdot 1, 44 = 0, 72 - 1, 08 = - 0, 36$ , iar $F (0) = 0$ , deci $\int_{0}^{1, 2} f (x) d x = - 0, 36$ și aria secțiunii este $A = 0, 36$ m². Volumul din 150 m de rigolă este $0, 36 \cdot 150 = 54$ m³. Pământul afânat ocupă $54 \cdot 1, 25 = 67, 5$ m³, iar $67, 5 : 6 = 11, 25$ , deci remorca face 12 curse, rotunjit în sus.

Capcană. Cine lasă integrala ca atare scrie aria $- 0, 36$ m², apoi un volum de $- 54$ m³, adică pământ care ar intra în rigolă, nu care ar ieși din ea.

Verificare. Din tabel, unind punctele obții șase trapeze cu înălțimea de 0,2 m: $0, 2 \cdot (0, 25 + 0, 4 + 0, 45 + 0, 4 + 0, 25) = 0, 35$ m², puțin sub 0,36, cum se cuvine pentru un poligon înscris. Apoi triunghiul cu baza 1,2 m și înălțimea 0,45 m are $\frac{1}{2} \cdot 1, 2 \cdot 0, 45 = 0, 27$ m², iar dreptunghiul are $1, 2 \cdot 0, 45 = 0, 54$ m², iar $0, 27 < 0, 36 < 0, 54$ .

Exemplul 2 — Raftul de stejar cu marginea curbă

Domeniu: lemn.

Enunț. Un atelier de mobilă taie dintr-un panou de stejar gros de 18 mm un raft cu marginea dinspre perete dreaptă, două laturi drepte, perpendiculare pe ea, și marginea din față curbă. Într-un sistem de axe cu unitatea de 1 cm, raftul e suprafața delimitată de graficul funcției $f (x) = 38 - 0, 03 x^{2}$ , axa $O x$ și dreptele $x = 0$ și $x = 25$ . Aflați aria raftului și masa lui, dacă stejarul are densitatea de 0,7 g/cm³ (valoare din exemplu).

Rezolvare. Pasul 1: $f (x) = 0$ dă $x^{2} \approx 1266, 7$ , deci $x \approx 35, 6$ , în afara lui $[0; 25]$ . Pasul 2: $f (0) = 38 > 0$ și $f (25) = 19, 25 > 0$ , deci $f > 0$ pe interval și $A = \int_{0}^{25} f (x) d x$ . Pasul 3: o primitivă este $F (x) = 38 x - 0, 01 x^{3}$ . Pasul 4: $F (25) = 950 - 156, 25 = 793, 75$ și $F (0) = 0$ , deci $A = 793, 75$ cm². Grosimea de 18 mm e 1,8 cm, deci volumul raftului este $793, 75 \cdot 1, 8 = 1428, 75$ cm³, iar masa $1428, 75 \cdot 0, 7 \approx 1000, 1$ g, adică aproximativ 1 kg.

Capcană. Cine pune grosimea 18 în loc de 1,8 (milimetri în loc de centimetri) obține un volum de zece ori mai mare și o masă de aproximativ 10 kg, cât a unei grinzi, nu a unui raft.

Verificare. Raftul se află sub dreptunghiul de $25 \cdot 38 = 950$ cm² și deasupra trapezului cu bazele 38 și 19,25 cm: $\frac{38 + 19 , 25}{2} \cdot 25 = 715, 625$ cm². Graficul e o curbă care coboară și se curbează în jos, deci stă deasupra coardei, iar $715, 625 < 793, 75 < 950$ .

Exemplul 3 — Vânzările peste plan și sub plan

Domeniu: comert.

Enunț. Un magazin de bricolaj are un plan de vânzări pentru o vopsea de exterior. Abaterea ritmului real de vânzare de la plan, în bidoane pe zi, la $x$ zile de la începutul lunii, este $f (x) = 0, 1 (x - 6) (x - 24)$ , pentru $x \in [0; 30]$ (model din exemplu): unde $f > 0$ , magazinul vinde peste plan, iar unde $f < 0$ , sub plan. Câte bidoane s-au vândut peste plan și câte au lipsit față de plan în această lună? Echipa primește 4 lei pentru fiecare bidon vândut peste plan, fără să se scadă lipsurile: cât e bonusul?

Rezolvare. Pasul 1: $f$ se anulează în $x = 6$ și $x = 24$ , ambele în interior, deci intervalul se taie în $[0; 6]$ , $[6; 24]$ și $[24; 30]$ . Pasul 2: $f (0) = 14, 4 > 0$ , $f (15) = - 8, 1 < 0$ și $f (30) = 14, 4 > 0$ , deci semnele sunt $+$ , $-$ , $+$ . Pasul 3: $f (x) = 0, 1 x^{2} - 3 x + 14, 4$ are primitiva $F (x) = 0, 1 (\frac{x ^{3}}{3} - 15 x^{2} + 144 x)$ . Pasul 4: $F (0) = 0$ , $F (6) = 39, 6$ , $F (24) = - 57, 6$ și $F (30) = - 18$ . Peste plan s-au vândut $(F (6) - F (0)) + (F (30) - F (24)) = 39, 6 + 39, 6 = 79, 2$ , adică aproximativ 79 de bidoane, iar sub plan au lipsit $- (F (24) - F (6)) = 97, 2$ , adică aproximativ 97 de bidoane. Bonusul este $79, 2 \cdot 4 \approx 317$ lei.

Capcană. Cine calculează direct $\int_{0}^{30} f (x) d x = F (30) - F (0) = - 18$ crede că echipa nu primește bonus, fiindcă luna a ieșit sub plan. Rezultatul $- 18$ e doar diferența dintre vânzările peste plan și lipsuri, $79, 2 - 97, 2$ ; bonusul se dă pe cele 79,2 bidoane.

Verificare. Pe $[6; 24]$ lipsa cea mai mare e $f (15) = - 8, 1$ bidoane pe zi, iar partea are lățimea de 18 zile. Triunghiul cu baza 18 și înălțimea 8,1 are $72, 9$ , dreptunghiul are $145, 8$ , iar lipsa, 97,2, se află între ele.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: aria cu schimbare de semn

Domeniu: economic.

Enunț. Acesta e tiparul cerințelor de la Subiectul al III-lea, problema 2, iar funcțiile nu descriu o situație din meserie. Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x^{2} - 14 x + 20$ . a) Arătați că figura plană cuprinsă între graficul lui $f$ , axa $O x$ și dreptele $x = 0$ și $x = 4$ are aria 24. b) Determinați numărul real $a$ , $a > 2$ , pentru care figura delimitată de graficul funcției $g : (- 4, + \infty) \to R$ , $g (x) = \frac{6}{x + 4}$ , axa $O x$ și dreptele $x = 2$ și $x = a$ are aria egală cu $ln 64$ .

Rezolvare. a) Pasul 1: $2 x^{2} - 14 x + 20 = 2 (x - 2) (x - 5)$ are rădăcinile 2 și 5, iar doar $x = 2$ e în $(0; 4)$ , deci tăiem în $[0; 2]$ și $[2; 4]$ . Pasul 2: $f (0) = 20 > 0$ și $f (3) = - 4 < 0$ . Pasul 3: o primitivă este $F (x) = \frac{2 x ^{3}}{3} - 7 x^{2} + 20 x$ . Pasul 4: $F (0) = 0$ , $F (2) = \frac{52}{3}$ și $F (4) = \frac{32}{3}$ , deci $A = \frac{52}{3} + (\frac{52}{3} - \frac{32}{3}) = \frac{52}{3} + \frac{20}{3} = 24$ . b) Pasul 2: $g > 0$ pe $[2; a]$ . Pasul 3: o primitivă este $6 ln (x + 4)$ . Pasul 4: $A = 6 ln (a + 4) - 6 ln 6 = 6 ln \frac{a + 4}{6}$ , iar $6 ln \frac{a + 4}{6} = ln 64 = 6 ln 2$ dă $\frac{a + 4}{6} = 2$ , deci $a = 8$ , valoare care convine, fiindcă $a > 2$ .

Capcană. La punctul a), cine calculează $\int_{0}^{4} f (x) d x = F (4) - F (0) = \frac{32}{3}$ și scrie aria $\frac{32}{3}$ nu ține cont că $f$ schimbă semnul în $x = 2$ . Rezultatul $\frac{32}{3}$ e cu $\frac{40}{3}$ mai mic decât cel corect.

Verificare. Integrala întreagă, $F (4) - F (0) = \frac{32}{3}$ , trebuie să fie diferența celor două părți, iar $\frac{52}{3} - \frac{20}{3} = \frac{32}{3}$ . La b), cu $a = 8$ : $6 ln \frac{8 + 4}{6} = 6 ln 2 = ln 64$ , cât cere enunțul.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției $f (x) = 3 x^{2} + 10 x + 13$ , axa $O x$ și dreptele $x = 1$ și $x = 3$ . Verifică mai întâi semnul lui $f$ .

2. Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției $f (x) = 2 x^{2} - 20 x + 42$ , axa $O x$ și dreptele $x = 4$ și $x = 6$ . Atenție la semnul lui $f$ .

3. Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției $f (x) = 4 e^{x} + 1$ , axa $O x$ și dreptele $x = 0$ și $x = 2$ . Scrie rezultatul exact.

4. Calculează aria suprafeței delimitate de graficul funcției $f (x) = \frac{7}{x + 5}$ , axa $O x$ și dreptele $x = 1$ și $x = 7$ . Scrie rezultatul exact.

Nivelul 2 — situații

5. Panoul publicitar de pe fațada unui supermarket are latura de jos dreaptă, două laturi verticale și marginea de sus arcuită, de ecuație $f (x) = 2, 2 + 0, 3 x - 0, 03 x^{2}$ , cu $x$ și $f (x)$ în metri, pentru $x \in [0; 10]$ . Panoul se acoperă cu o pânză imprimată care costă 45 de lei/m² (valoare din exemplu). Aflați suprafața panoului și costul pânzei.

6. O fabrică de conserve comandă etichete autocolante cu latura de jos dreaptă, două laturi verticale și marginea de sus curbă: o etichetă e suprafața delimitată de graficul funcției $f (x) = 4 + 2 x$ , axa $O x$ și dreptele $x = 0$ și $x = 8$ , cu $x$ și $f (x)$ în cm. Câți m² de hârtie autocolantă trebuie pentru 5000 de etichete, dacă la decupare se pierde 20 % din hârtie, și cât costă hârtia la 18 lei/m²?

7. Într-o noapte de primăvară, temperatura dintr-o livadă în floare, la $t$ ore de la ora 18:00, este $T (t) = 0, 2 (t - 2) (t - 10)$ °C, pentru $t \in [0; 12]$ (model din exemplu). Agronomul socotește gerul în grade-oră: aria dintre grafic și axa $O x$ pe orele cu temperatură negativă, în °C·h. Pentru florile din livadă, pragul de risc e de 15 °C·h de ger (valoare din exemplu). Trece noaptea de acest prag? Câte grade-oră peste 0 °C au fost în cele 12 ore?

8. Un jgheab de adăpat pentru oi, lung de 3 m, are secțiunea transversală în formă de trapez isoscel: 24 cm la fund, 40 cm sus, cu adâncimea de 24 cm. Cu $x$ înălțimea, în cm, de la fund, jumătatea lățimii la înălțimea $x$ este $f (x) = 12 + \frac{x}{3}$ . Aflați aria secțiunii prin integrală și prin formula trapezului, apoi câți litri de apă încap în jgheab.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 10 x$ . Determinați aria figurii plane cuprinse între graficul funcției $g : R \to R$ , $g (x) = \frac{1}{f ( x ) + 41}$ , axa $O x$ și dreptele $x = 5$ și $x = 9$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} + 8 x + 5$ . Determinați numărul natural $n$ pentru care figura plană cuprinsă între graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele $x = 0$ și $x = 3$ are aria egală cu $n^{2} - 3$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 7 x + 8$ . Demonstrați că figura plană dintre graficul funcției $g : R \to R$ , $g (x) = f (x) e^{x}$ , axa $O x$ și dreptele $x = 0$ și $x = 1$ are aria egală cu $8 e - 1$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + \frac{4}{x}$ . Demonstrați că, pentru orice număr real $a > 1$ , figura plană cuprinsă între graficul funcției $f$ , axa $O x$ și dreptele $x = 1$ și $x = a$ are aria mai mare sau egală cu $4 (a - 1)$ .

Răspunsuri și verificări

1. $f (x) = 3 x^{2} + 10 x + 13$ are $Δ = 100 - 156 < 0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci $f > 0$ . Primitiva este $x^{3} + 5 x^{2} + 13 x$ , cu valorile 111 în 3 și 19 în 1, deci aria este 92. Verificare: $f$ crește de la 26 la 70, deci aria e între 52 și 140.

2. $f (x) = 2 (x - 3) (x - 7)$ e negativă pe $(3; 7)$ , deci $A = - \int_{4}^{6} f$ . Primitiva este $\frac{2 x ^{3}}{3} - 10 x^{2} + 42 x$ , cu valorile 36 în 6 și $\frac{152}{3}$ în 4, deci integrala este $- \frac{44}{3}$ și aria este $\frac{44}{3} \approx 14, 67$ . Verificare: pe $[4; 6]$ , $∣ f ∣$ e între 6 și 8, deci aria e între 12 și 16.

3. $f > 0$ peste tot. Primitiva este $4 e^{x} + x$ , cu valorile $4 e^{2} + 2$ în 2 și $4$ în 0, deci aria este $4 e^{2} - 2 \approx 27, 56$ . Verificare: $f$ crește de la 5 la $\approx 30, 56$ , deci aria e între 10 și $61, 1$ .

4. $f > 0$ pe $[1; 7]$ . Primitiva este $7 ln (x + 5)$ , deci aria este $7 ln 12 - 7 ln 6 = 7 ln 2 \approx 4, 85$ . Verificare: $f$ scade de la $\frac{7}{6} \approx 1, 17$ la $\frac{7}{12} \approx 0, 58$ , deci aria e între $\frac{7}{12} \cdot 6 = 3, 5$ și $\frac{7}{6} \cdot 6 = 7$ .

5. $f > 0$ pe $[0; 10]$ . Primitiva este $2, 2 x + 0, 15 x^{2} - 0, 01 x^{3}$ , cu valoarea $22 + 15 - 10 = 27$ în 10, deci panoul are 27 m², iar pânza costă $27 \cdot 45 = 1215$ lei. Verificare: $f$ e între 2,2 și 2,95 m, deci suprafața e între 22 și 29,5 m².

6. $f > 0$ . Primitiva este $4 x + \frac{2}{3} x 2 x$ , cu valoarea $32 + \frac{64}{3} = \frac{160}{3}$ în 8, deci o etichetă are $\frac{160}{3} \approx 53, 33$ cm². Cele 5000 de etichete au aproximativ 266667 cm², adică 26,67 m². Hârtia folosită e 80 % din cea cumpărată, deci trebuie $26, 67 : 0, 8 \approx 33, 33$ m², care costă $\frac{100}{3} \cdot 18 = 600$ lei. Verificare: $f$ e între 4 și 8 cm, deci o etichetă are între 32 și 64 cm².

7. $T (t) = 0, 2 t^{2} - 2, 4 t + 4$ are primitiva $F (t) = 0, 2 (\frac{t ^{3}}{3} - 6 t^{2} + 20 t)$ , cu $F (0) = 0$ , $F (2) = \frac{56}{15}$ , $F (10) = - \frac{40}{3}$ și $F (12) = - \frac{48}{5}$ . Pe $[2; 10]$ , $T \leq 0$ : gerul are $- (F (10) - F (2)) = \frac{256}{15} \approx 17, 07$ °C·h, peste pragul de 15, deci noaptea e periculoasă pentru flori. Peste 0 °C: $\frac{56}{15} + (- \frac{48}{5} + \frac{40}{3}) = \frac{112}{15} \approx 7, 47$ °C·h. Verificare: $F (12) - F (0) = - \frac{48}{5} = \frac{112}{15} - \frac{256}{15}$ .

8. Jumătatea secțiunii are $\int_{0}^{24} (12 + \frac{x}{3}) d x = 288 + 96 = 384$ cm², deci secțiunea are $2 \cdot 384 = 768$ cm². Formula trapezului dă $\frac{40 + 24}{2} \cdot 24 = 768$ cm², la fel. Jgheabul ține $768 \cdot 300 = 230400$ cm³, adică 230,4 L. Verificare: $f (0) = 12$ și $f (24) = 20$ sunt jumătățile lățimilor de la fund și de sus.

9. $f (x) + 41 = (x - 5)^{2} + 16 > 0$ , deci $g > 0$ și aria este $\int_{5}^{9} g (x) d x$ . Primitiva lui $g$ este $\frac{1}{4} arctan \frac{x - 5}{4}$ . Aria este $\frac{1}{4} (arctan 1 - arctan 0) = \frac{π}{16} \approx 0, 20$ . Verificare: $g$ scade pe $[5; 9]$ de la $\frac{1}{16}$ la $\frac{1}{32}$ , deci aria e între $4 \cdot \frac{1}{32} = 0, 125$ și $4 \cdot \frac{1}{16} = 0, 25$ .

10. $f (x) = (3 x + 5) (x + 1) > 0$ pe $[0; 3]$ , deci aria este $\int_{0}^{3} f (x) d x$ . Primitiva este $x^{3} + 4 x^{2} + 5 x$ , cu valoarea $27 + 36 + 15 = 78$ în 3 și 0 în 0. Din $78 = n^{2} - 3$ rezultă $n^{2} = 81$ , deci $n = 9$ , fiindcă $- 9$ nu e număr natural. Verificare: $9^{2} - 3 = 78$ , valoarea ariei.

11. $g (x) = (7 x + 8) e^{x} > 0$ pe $[0; 1]$ , deci $A = \int_{0}^{1} (7 x + 8) e^{x} d x$ . Primitiva, prin părți, este $(7 x + 1) e^{x}$ , fiindcă derivata ei este $7 e^{x} + (7 x + 1) e^{x} = (7 x + 8) e^{x}$ . Aria este $8 e - 1$ . Verificare: $8 e - 1 \approx 20, 75$ , iar $g$ crește de la 8 la 40,77, deci aria e între 8 și 40,77.

12. Pe $(0; + \infty)$ , $f (x) - 4 = \frac{x ^{2} - 4 x + 4}{x} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{x} \geq 0$ , deci $f (x) \geq 4 > 0$ , iar aria este $\int_{1}^{a} f (x) d x$ . Din $f (x) \geq 4$ pe $[1; a]$ și din monotonia integralei, $\int_{1}^{a} f (x) d x \geq \int_{1}^{a} 4 d x = 4 (a - 1)$ . Deci aria este mai mare sau egală cu $4 (a - 1)$ , pentru orice $a > 1$ . Verificare: la $a = 3$ , aria este $\frac{9 - 1}{2} + 4 ln 3 \approx 8, 39$ , peste $4 \cdot 2 = 8$ .

Așa vine la Bac M3

Cerința despre arie a apărut în 21 dintre probele Bacalaureatului M3 (M_tehnologic) din anii 2013–2026. Locul ei a fost mereu Subiectul al III-lea, problema 2, iar subpunctul a fost b) sau c). Iată patru cerințe reale, fiecare din altă probă și cu altă formă:

Iunie 2017, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: se dă un polinom de gradul al treilea, iar cerința este aria suprafeței delimitate de grafic, axa $O x$ și dreptele $x = 1$ și $x = 3$ , cu rezultatul 76; funcția e pozitivă pe interval, deci pasul 2 lasă integrala fără semn schimbat, iar baremul probei dă 3 puncte pentru primitivă, pasul 3, și 2 puncte pentru valorile din capete, pasul 4.
Modelul din 2017, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: funcția e un polinom de gradul al doilea negativ pe $[0; 1]$ , iar cerința este aria, cu rezultatul $\frac{2}{3}$ ; la pasul 2 afli că $f \leq 0$ , deci aria are semnul schimbat, iar baremul probei dă 3 puncte pentru funcția cu semn schimbat și primitiva ei, pașii 2–3, și 2 puncte pentru valoarea din capete, pasul 4.
Proba specială din 2013, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: funcția e $\frac{1}{x}$ , limita de sus a ariei e necunoscuta $a$ , iar aria trebuie să fie $ln 3$ , deci baremul probei dă 2 puncte pentru scrierea ariei ca integrală cu limita $a$ , pasul 1 și pasul 2, și 3 puncte pentru primitivă, ecuația și valoarea $a = 15$ , pașii 3–4.
Iunie 2024, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: funcția $g$ se reduce, prin simplificarea numitorului lui $f$ , la un produs dintre $e^{x}$ și un polinom de gradul întâi, iar cerința e aria pe $[0; 1]$ , cu rezultatul $e + 1$ , deci baremul probei dă 3 puncte pentru funcția redusă și integrarea prin părți, pașii 1 și 3, și 2 puncte pentru valorile din capete, pasul 4.

Exercițiile 9–12 iau alte patru forme ale aceleiași cerințe, toate întâlnite în probe: fracția care dă o arctangentă, parametrul din rezultat, produsul cu $e^{x}$ și o inegalitate pentru aria pe un interval cu un capăt variabil. Fiecare cerință din probe a dat funcția în enunț.

Greșeli care costă puncte

Iei integrala ca arie când $f \leq 0$ → cum o prinzi: aria nu e negativă; la pasul 2 verifici semnul, iar la rigola din situație $\int_{0}^{1, 2} f = - 0, 36$ trebuie să devină 0,36.
Integrezi pe tot intervalul când graficul taie axa → cum o prinzi: rezolvi $f (x) = 0$ și compari rădăcinile cu capetele; la $2 x^{2} - 14 x + 20$ pe $[0; 4]$ rădăcina 2 e în interior, iar integrala întreagă dă $\frac{32}{3}$ , nu 24.
Amesteci unitățile, milimetri cu centimetri → cum o prinzi: unitatea ariei e unitatea lui $x$ înmulțită cu a lui $f$ ; grosimea de 18 mm devine 1,8 cm înainte de volum.
Rotunjești numărul de curse în jos → cum o prinzi: înmulțești înapoi; 11 curse de 6 m³ duc doar 66 m³, mai puțin decât cei 67,5 m³ de pământ afânat.
Calculezi primitiva lui $(7 x + 8) e^{x}$ ca produs de primitive → cum o prinzi: derivezi rezultatul; derivata lui $(\frac{7 x ^{2}}{2} + 8 x) e^{x}$ nu e $(7 x + 8) e^{x}$ .

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Calculul ariei unei suprafețe plane cu integrala definită se cere la Subiectul al III-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 21 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă rigola are 180 m, nu 150 m? Secțiunea rămâne de 0,36 m², deci volumul este $0, 36 \cdot 180 = 64, 8$ m³. Afânat cu 25 %, ocupă $64, 8 \cdot 1, 25 = 81$ m³, iar $81 : 6 = 13, 5$ , deci remorca face 14 curse. Aria nu s-a schimbat, fiindcă ea depinde numai de secțiune; lungimea intră abia la volum.

Ce eroare face fermierul dacă socotește secțiunea ca pe un dreptunghi, 1,2 m pe 0,45 m? Obține $1, 2 \cdot 0, 45 = 0, 54$ m², cu $0, 54 - 0, 36 = 0, 18$ m² prea mult. Pe 150 m ar socoti $0, 18 \cdot 150 = 27$ m³ de pământ în plus. Fundul rigolei e curbat: lângă maluri e mai puțin adânc decât la mijloc, iar dreptunghiul socotește și pământul din colțurile de lângă maluri, care nu se scoate.

Se schimbă numărul de curse dacă pământul se afânează cu 30 %, nu cu 25 %? Pământul afânat ocupă $54 \cdot 1, 3 = 70, 2$ m³, iar $70, 2 : 6 = 11, 7$ , deci tot 12 curse, rotunjit în sus. Concluzia rămâne aceeași, deși volumul e mai mare, fiindcă numărul de curse se schimbă doar la trecerea de un multiplu al capacității remorcii. Ar conta abia peste $12 \cdot 6 = 72$ m³, adică la o afânare de peste $(\frac{72}{54} - 1) \cdot 100 \approx 33$ %.

Câte curse face o remorcă de 8 m³, nu de 6 m³? Pământul afânat e de 67,5 m³, iar $67, 5 : 8 \approx 8, 44$ , deci remorca face 9 curse. Împărțirea nu dă număr întreg, așa că rotunjești în sus: o cursă nu se face pe jumătate, iar pământul rămas trebuie și el dus.

Cât se schimbă verificarea din tabel dacă tehnicianul măsoară din 0,4 în 0,4 m? Aria rămâne 0,36 m², fiindcă vine din formula fundului. Se schimbă doar estimarea din tabel: cu citirile luate doar la fiecare 0,4 m, cele trei trapeze dau $0, 4 \cdot (0, 4 + 0, 4) = 0, 32$ m², mai departe de 0,36 decât cele 0,35 m² de la pasul de 0,2 m. Cu mai puține puncte, poligonul înscris lasă afară mai mult din secțiune.

Pe ce loc din probă a stat aria la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Probele din 2013–2026 care o conțin sunt 21 din 83, fiecare cu un singur loc posibil: Subiectul al III-lea, problema 2, punctul b) sau c). Funcția sau funcțiile sunt date în enunț, iar tu stabilești semnul și primitiva, apoi calculezi cu pașii 3–4.