Calculator de integrale cu pași

Scrii funcția, iar calculatorul îi găsește o primitivă pas cu pas, cu metodele din manualul de clasa a XII-a: tabelul primitivelor, liniaritatea, schimbarea de variabilă, integrarea prin părți, descompunerea în fracții simple. La fiecare pas spune ce metodă a folosit și te duce la lecția în care e explicată, iar rezultatul vine cu $+ C$ și cu intervalul pe care e valabil. Pe fila „Definită” calculează integrala pe un interval $[a, b]$ cu formula Leibniz–Newton, cu valoarea exactă și cea aproximativă, și desenează graficul funcției cu zona dintre grafic și axa $O x$ hașurată: ce e deasupra axei se adună, ce e dedesubt se scade. La primitive, graficul arată funcția și primitiva găsită. Fiecare primitivă e derivată și comparată cu funcția de integrat în cel puțin șase puncte, iar fiecare integrală definită e comparată cu un calcul numeric; dacă nu se potrivesc, calculatorul spune că nu poate calcula integrala, în loc să afișeze un rezultat greșit.

Actualizat: 14 octombrie 2026.

∫ f(x) dx, cu f(x) =

Exemple:

Cum se folosește

Scrie doar funcția de integrat; semnul $\int$ și $d x$ se pot pune sau lipsi (dacă îi scrii, calculatorul îi ignoră). Pentru integrala definită apasă „Definită” și completează capetele $a$ și $b$ — pot fi numere, fracții, $π$ , $e$ sau expresii ca pi/2, ln 2, e^2. Se poate lipi și o integrală scrisă în LaTeX, de exemplu \int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\,dx dintr-un subiect de bacalaureat: capetele trec singure în căsuțe.

Ce vrei	Scrii	Observație
puteri	`x^2`, `x^(1/3)`, `1/x^2`	exponentul care nu e un singur număr se pune în paranteză: `e^(2x)`
înmulțire	`2x`, `x sin x`, `x·e^x`, `(x+1)(x−2)`	semnul înmulțirii se poate subînțelege
împărțire	`(2x+1)/(x^2+x+1)`	numărătorul și numitorul cu paranteze
radical	`sqrt(x)` sau `√x`, `cbrt(x)`, `sqrt(4−x^2)`
exponențială	`e^x`, `2^x`, `e^(−x)`
logaritm	`ln x`, `ln(x^2+1)`
trigonometrice	`sin x`, `cos x`, `tg x`, `sin^2 x`	`sin 2x` înseamnă sin(2x)
inverse	`arctg x`, `arcsin x`
modul (doar la integrala definită)	`abs(x−1)` sau `\|x−1\|`	intervalul se împarte unde expresia își schimbă semnul

Deasupra rezultatului apare „Am înțeles”: integrala, așa cum a citit-o calculatorul. Verifică întâi rândul acela — dacă parantezele nu sunt unde voiai, primitiva va fi a altei funcții. Sub rezultat apare intervalul pe care e valabil: o primitivă se dă pe un interval, iar unde domeniul are mai multe bucăți (de exemplu la $\frac{1}{x}$ ), constanta poate fi alta pe fiecare.

Tabelul primitivelor

Cele 16 rânduri sunt cele din manual; pașii calculatorului citează rândul după număr. Constanta $C$ este o constantă reală oarecare, iar $a > 0$ .

Nr.	$f (x)$	$\int f (x) d x$	Interval
1	$x^{n}$ , $n \in N$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$	$R$
2	$x^{r}$ , $r \in R ∖ {- 1}$	$\frac{x ^{r + 1}}{r + 1} + C$	$(0, + \infty)$
3	$\frac{1}{x}$	$ln ∣ x ∣ + C$	$(- \infty, 0)$ sau $(0, + \infty)$
4	$a^{x}$ , $a \neq = 1$	$\frac{a ^{x}}{ln a} + C$	$R$
5	$e^{x}$	$e^{x} + C$	$R$
6	$sin x$	$- cos x + C$	$R$
7	$cos x$	$sin x + C$	$R$
8	$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$tg x + C$	intervale fără $\frac{π}{2} + k π$
9	$\frac{1}{sin ^{2} x}$	$- ctg x + C$	intervale fără $k π$
10	$\frac{1}{x}$	$2 x + C$	$(0, + \infty)$
11	$\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$	$\frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C$	intervale fără $\pm a$
12	$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$	$\frac{1}{a} arctg \frac{x}{a} + C$	$R$
13	$\frac{1}{x ^{2} + a ^{2}}$	$ln (x + x^{2} + a^{2}) + C$	$R$
14	$\frac{1}{x ^{2} - a ^{2}}$	$ln x + x^{2} - a^{2} + C$	$(- \infty, - a)$ sau $(a, + \infty)$
15	$\frac{1}{a ^{2} - x ^{2}}$	$arcsin \frac{x}{a} + C$	$(- a, a)$
16	$tg x$ , $ctg x$	$- ln ∣ cos x ∣ + C$ , $ln ∣ sin x ∣ + C$	intervale fără poli

Rândurile 1–10 sunt deduse în lecția Tabelul primitivelor funcțiilor uzuale, iar rândurile 11–16 în Primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm. La profilul științe ale naturii, același tabel e în Tabelul primitivelor (M2). Orice rând se verifică prin derivare: derivata coloanei a treia trebuie să dea coloana a doua.

Metodele pe care le aplică

Calculatorul alege metoda în ordinea din lecția Cum alegi metoda de integrare: întâi se uită dacă funcția e în tabel (eventual după o prelucrare algebrică), apoi dacă se vede derivata unei funcții din interior, apoi dacă e un produs de tipuri diferite, apoi dacă e o funcție rațională.

Metoda	Formula	Lecția
Liniaritatea	$\int (α f + β g) d x = α \int f d x + β \int g d x$	Integrala nedefinită
Tabelul cu $u = a x + b$	$\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b) + C$	Substituțiile tipice
Schimbarea de variabilă	$\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C$	Schimbarea de variabilă
Derivata supra funcție	$\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$	Substituțiile tipice
Integrarea prin părți	$\int f g^{'} d x = f g - \int f^{'} g d x$	Integrarea prin părți, aplicarea repetată
Fracții simple	$\frac{P}{Q}$ = cât + sumă de fracții simple	Fracții simple, cazuri generale
Trinomul de gradul al doilea	pătratul perfect, numărătorul prin derivata numitorului	Primitive cu trinom
Coborârea puterii	$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ , $cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}$	Primitivele funcțiilor trigonometrice
Formula Leibniz–Newton	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$	Formula Leibniz–Newton

La integrarea prin părți, $f$ este funcția care se derivează, iar $g^{'}$ cea care se integrează, ca în manual. La schimbarea de variabilă, pașii folosesc notația din lecție: $t = u (x)$ , $d t = u^{'} (x) d x$ , iar la sfârșit se revine la $x$ . Ai nevoie de o derivată pe drum? Folosește calculatorul de derivate cu pași.

Zece integrale rezolvate, căutate des

1. Integrala din 1/x

$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ , separat pe $(- \infty, 0)$ și pe $(0, + \infty)$ . Modulul nu e un ornament: funcția $\frac{1}{x}$ e definită și pentru $x < 0$ , unde $ln x$ nu are sens, iar $(ln (- x))^{'} = \frac{1}{x}$ . Pe intervalul $(0, + \infty)$ se poate scrie și $ln x + C$ .

2. Integrala din ln x

Prin părți, cu $f (x) = ln x$ (se derivează) și $g^{'} (x) = 1$ (se integrează): $\int ln x d x = x ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x ln x - x + C$ , pe $(0, + \infty)$ .

3. Integrala din e la x

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ , pe $R$ . Cu o expresie de gradul întâi la exponent se împarte la coeficientul lui $x$ : $\int e^{2 x} d x = \frac{e ^{2 x}}{2} + C$ , iar pentru altă bază, $\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C$ — se împarte la $ln 2$ , nu se înmulțește.

4. Integrala din radical din x și din 1 supra radical din x

$\int x d x = \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{2}{3} x x + C$ și $\int \frac{1}{x} d x = 2 x + C$ , pe $(0, + \infty)$ . Atenție la confuzia frecventă: $\frac{1}{2 x}$ este derivata lui $x$ , nu o primitivă a lui $\frac{1}{x}$ ; derivarea lui $2 x$ dă exact $\frac{1}{x}$ .

5. Integrala din 1/(1 + x²)

$\int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = arctg x + C$ , pe $R$ (rândul 12, cu $a = 1$ ). Pentru alt număr la numitor: $\int \frac{1}{x ^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} arctg \frac{x}{2} + C$ .

6. Integrala din sin² x

Funcția $sin^{2} x$ nu e în tabel; se coboară puterea: $sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$ , deci $\int sin^{2} x d x = \frac{x}{2} - \frac{sin 2 x}{4} + C$ . La fel, $\int cos^{2} x d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$ .

7. Integrala din x · e la x

Prin părți: polinomul se derivează, exponențiala se integrează. Cu $f (x) = x$ și $g^{'} (x) = e^{x}$ : $\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = (x - 1) e^{x} + C$ . Pentru $x^{2} e^{x}$ se aplică de două ori și iese $(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$ .

8. Integrala din x/(x² + 1)

Numărătorul este, până la factorul 2, derivata numitorului, deci se aplică rândul $\int \frac{u ^{'}}{u} d x = ln ∣ u ∣ + C$ din tabelul primitivelor compuse — prescurtarea schimbării de variabilă $t = x^{2} + 1$ , $d t = 2 x d x$ : $\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} \int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$ . Modulul dispare pentru că $x^{2} + 1 > 0$ .

9. Integrala din 1/(x² − 1)

Rândul 11, cu $a = 1$ , sau descompunerea în fracții simple $\frac{1}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})$ : $\int \frac{1}{x ^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} ln \frac{x - 1}{x + 1} + C$ , pe fiecare dintre intervalele $(- \infty, - 1)$ , $(- 1, 1)$ și $(1, + \infty)$ .

10. O integrală definită de la bacalaureat: (x + 2)eˣ pe [0, 1]

La subiectul al III-lea al bacalaureatului M1 din august 2017 s-a cerut $\int_{0}^{1} (x + 2) e^{x} d x$ . Prin părți, o primitivă este $(x + 1) e^{x}$ , iar formula Leibniz–Newton dă $\int_{0}^{1} (x + 2) e^{x} d x = (x + 1) e^{x}_{0}^{1} = 2 e - 1$ .

Ce nu face

Primitive care nu se scriu cu funcțiile uzuale — de exemplu $e^{x^{2}}$ , $\frac{sin x}{x}$ , $\frac{1}{ln x}$ . Ele există (funcțiile sunt continue), dar nicio metodă din manual nu le dă, iar calculatorul spune cinstit că nu le poate calcula.
Integrale improprii — integrala definită din programă cere o funcție continuă pe tot intervalul $[a, b]$ . Pentru $\frac{1}{x ^{2}}$ pe $[- 1, 1]$ sau $\frac{1}{x}$ pe $[0, 1]$ calculatorul refuză și spune în ce punct funcția nu e definită; formula Leibniz–Newton aplicată „orbește” ar da acolo un rezultat fals.
Primitive cu modul — primitiva lui $∣ x - 1 ∣$ se scrie pe ramuri, după lecția despre funcțiile cu modul. Integrala definită cu modul o calculează: împarte intervalul în punctele în care expresia din modul își schimbă semnul, dacă le poate afla exact (de exemplu $1$ , $2$ , $\frac{π}{2}$ , $ln 2$ , $e$ ); altfel spune că nu poate.
Relațiile de recurență ( $I_{n}$ în funcție de $I_{n - 1}$ ) și șirurile de integrale — acolo contează raționamentul, nu doar calculul; le găsești în Șiruri de integrale.
Expresii pe care nu le poate verifica — dacă derivata primitivei găsite nu se potrivește cu funcția, nu afișează nimic. Scrie-ne prin pagina de contact integrala, ca s-o putem adăuga.

Calculul se face direct în telefon sau în calculatorul tău, nu pe un server, așa că rezultatul apare imediat și merge și cu semnal slab, după ce pagina s-a încărcat.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre integrala nedefinită și integrala definită?

Integrala nedefinită $\int f (x) d x$ este mulțimea tuturor primitivelor lui $f$ , adică o familie de funcții $F (x) + C$ . Integrala definită $\int_{a}^{b} f (x) d x$ este un număr: pentru o funcție continuă, este $F (b) - F (a)$ , unde $F$ e oricare primitivă. Calculatorul are câte o filă pentru fiecare.

Care este integrala din 1/x?

$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ , pe fiecare dintre intervalele $(- \infty, 0)$ și $(0, + \infty)$ . Pe $(0, + \infty)$ se poate scrie $ln x + C$ .

Ce înseamnă + C la o integrală nedefinită?

Două primitive ale aceleiași funcții pe un interval diferă printr-o constantă, pentru că au aceeași derivată. De aceea rezultatul se scrie $F (x) + C$ : $F$ e o primitivă, iar $C$ ține locul oricărei constante. La integrala definită constanta se reduce, $(F (b) + c) - (F (a) + c) = F (b) - F (a)$ , așa că nu se mai scrie.

Care sunt regulile de integrare?

Liniaritatea (integrala unei sume e suma integralelor, constantele ies în față), tabelul primitivelor, schimbarea de variabilă $\int f (u (x)) u^{'} (x) d x = F (u (x)) + C$ și integrarea prin părți $\int f g^{'} = f g - \int f^{'} g$ . Pentru funcțiile raționale se adaugă descompunerea în fracții simple. Nu există o regulă pentru produs sau pentru cât, ca la derivate.

Cum se calculează o integrală definită?

Cu formula Leibniz–Newton: găsești o primitivă $F$ a funcției continue $f$ pe $[a, b]$ și calculezi $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ . De exemplu, $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ .

Care este integrala din ln x?

$\int ln x d x = x ln x - x + C$ , pe $(0, + \infty)$ , obținută prin părți cu $f (x) = ln x$ și $g^{'} (x) = 1$ .

Care este primitiva lui e la x și a lui 2 la x?

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ și $\int 2^{x} d x = \frac{2 ^{x}}{ln 2} + C$ , pe $R$ . În general, $\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ , pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ .

De unde știu că rezultatul e corect?

Calculatorul derivează primitiva găsită și compară derivata cu funcția de integrat în cel puțin șase puncte din domeniu; în plus, primitiva trebuie să fie definită peste tot unde e definită funcția. Fiecare pas intermediar e verificat la fel, iar integrala definită e comparată cu un calcul numeric independent. Dacă ceva nu se potrivește, nu afișează rezultatul.