Pentru ce unghi este aria triunghiului maximă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Aria cu formula sinusului

Când două laturi $a$ și $b$ sunt fixe, aria $\frac{1}{2} ab sin C$ depinde numai de sinusul unghiului dintre ele. Valoarea cea mai mare, $\frac{ab}{2}$ , apare la unghiul drept, iar de o parte și de alta a lui aria este mai mică. Exemplu: cu laturile $6$ și $10$ , aria maximă este $30$ , la $C = \frac{π}{2}$ ; la $C = \frac{π}{6}$ și la $C = \frac{5 π}{6}$ aria este aceeași, $15$ , fiindcă unghiurile suplementare au același sinus.

Aria unui triunghi se poate calcula fără înălțime: înmulțești două laturi cu sinusul unghiului format de ele și iei jumătate din rezultat, $S = \frac{1}{2} ab sin C$ . Formula vine din înălțimea scrisă ca $b sin C$ și rămâne aceeași când unghiul este obtuz, pentru că $sin (18 0^{\circ} - C) = sin C$ .

Cu două laturi fixate, aria se schimbă după unghi exact ca funcția sinus: crește până la unghiul drept, unde atinge $\frac{ab}{2}$ , apoi scade, iar două unghiuri suplementare dau aceeași arie. De aceea, când afli unghiul din arie, $sin C = \frac{2 S}{ab}$ îți dă, în general, două variante, iar alegerea cere o informație în plus. Tot din arie afli înălțimea, $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ .

Un paralelogram cu laturile $x$ și $y$ și unghiul $θ$ are aria $x y sin θ$ . Când datele au altă formă, faci întâi un pas: cu trei laturi treci prin cosinus și apoi prin sinus, luat pozitiv; cu o latură și două unghiuri afli o a doua latură cu teorema sinusurilor. În reper poți compara rezultatul cu metoda dreptunghiului care încadrează triunghiul.

De reținut

$S = \frac{1}{2} ab sin C$
aria maximă, $\frac{ab}{2}$ , se atinge la unghi drept
unghiurile suplementare dau aceeași arie

Greșeala tipică

Se crede că aria crește mereu odată cu unghiul dintre laturi; după unghiul drept ea scade, iar la $\frac{5 π}{6}$ este egală cu cea de la $\frac{π}{6}$ .

Exerciții din această mini-lecție

În formula ariei scrisă cu laturile $a$ și $c$ , ce unghi apare?
- a) unghiul $A$
- b) unghiul $B$
- c) unghiul $C$
- d) oricare dintre ele
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) unghiul $B$

Laturile $a = B C$ și $c = A B$ pleacă amândouă din vârful $B$ , deci formează unghiul $B$ : $S = \frac{1}{2} a c sin B$ .
Laturile de $10$ și $12$ ale unui triunghi formează un unghi de $\frac{5 π}{6}$ . Cât este aria?
- a) $60$
- b) $303$
- c) $15$
- d) $30$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $30$

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 30$ , pentru că $sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}$ .
Un paralelogram are laturile de $6$ și $9$ , iar unul dintre unghiuri are $\frac{3 π}{4}$ . Cât este aria lui?
- a) $272$
- b) $54$
- c) $\frac{27 2}{2}$
- d) $27$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $272$

$S = 6 \cdot 9 \cdot \frac{2}{2} = 272$ ; fără factorul $\frac{1}{2}$ , fiindcă sunt două triunghiuri.

Întrebări conexe

Ce arie are celula elementară a grafenului?

Celula este un romb cu latura de circa $0, 246$ nm și unghiul de $6 0^{\circ}$ . Aria unui paralelogram este produsul laturilor înmulțit cu sinusul unghiului: $0, 24 6^{2} \cdot sin 6 0^{\circ} \approx 0, 0605 \cdot 0, 866 \approx 0, 052$ nm². Formula este dublul ariei triunghiului cu aceleași laturi.

Ce unghi dintre laturile $8$ și $5$ dă un triunghi cu aria $10$ ?

Din $10 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot sin C$ rezultă $sin C = \frac{1}{2}$ . Unghiul poate fi $\frac{π}{6}$ sau $\frac{5 π}{6}$ , iar ambele triunghiuri au aria $10$ . Pentru a alege unul, problema trebuie să mai dea o informație, de exemplu că unghiul este obtuz.

Ce arie are un triunghi echilateral calculată cu formula sinusului?

Două laturi egale cu $a$ formează un unghi de $\frac{π}{3}$ , deci aria este $\frac{1}{2} a^{2} sin \frac{π}{3} = \frac{a ^{2} 3}{4}$ . Pentru $a = 4$ obții $43 \approx 6, 93$ . Formula cunoscută din gimnaziu reiese astfel direct din sinus.

Ce arie are un patrulater dacă știu diagonalele și unghiul dintre ele?

Aria unui patrulater convex este $\frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin θ$ , unde $θ$ este unghiul dintre diagonale. Pentru $d_{1} = 10$ , $d_{2} = 8$ și $θ = \frac{π}{6}$ , aria este $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 20$ . Diagonalele împart figura în patru triunghiuri cu același sinus.

Ce arie are triunghiul cu laturile $5$ și $6$ și unghiul dintre ele de $\frac{2 π}{3}$ ?

Sinusul unghiului obtuz este pozitiv: $sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}$ . Aria este $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15 3}{2} \approx 12, 99$ . Unghiul suplementar, $\frac{π}{3}$ , ar da exact aceeași arie. Înălțimea pe latura $5$ este $6 sin \frac{π}{3} = 33$ , iar $\frac{5 \cdot 3 3}{2}$ confirmă rezultatul.

Oamenii mai întreabă și: aria maximă a triunghiului cu două laturi date · unghiul pentru care aria e cea mai mare · aria în funcție de unghi · aria triunghiului și sinusul unghiului