Fie $$g:(-\infty;\,5) \to \mathbb{R}$$, $$g(x) = \dfrac{7}{5 - x}$$. Care afirmație despre asimptotele graficului este completă și corectă?

$$x = 5$$ este asimptotă verticală, iar $$y = 0$$ este asimptotă orizontală spre $$-\infty$$

$$x = -5$$ este asimptotă verticală, iar $$y = 0$$ este orizontală

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Asimptote: trei feluri de drepte

Cum arăt că nu există asimptotă la plus infinit?

Arăți că nu se potrivește niciuna dintre cele două drepte posibile. Mai întâi $lim f (x)$ : dacă iese infinită, nu există asimptotă orizontală. Apoi $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ : dacă iese $0$ sau infinită, nu există nici oblică. Exemplu: $f (x) = 4 x + \frac{7}{x}$ pe $(0; + \infty)$ are $lim f = + \infty$ și $m = lim (\frac{4}{x} + \frac{7}{x ^{2}}) = 0$ . Proba: la $x = 1 0^{6}$ , $f \approx 4000$ și $\frac{f}{x} \approx 0, 004$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Asimptota este o dreaptă pe care graficul o urmărește tot mai de aproape la un capăt, chiar dacă o taie undeva pe parcurs. Există trei feluri, iar fiecare se găsește cu o limită calculată separat la fiecare capăt al domeniului.

Orizontala $y = L$ apare când $lim f (x) = L$ este un număr. Verticala $x = a$ apare când o limită laterală în $a$ este $\pm \infty$ ; $a$ trebuie să fie un capăt al domeniului sau un zero al numitorului care aparține domeniului, iar un $\frac{0}{0}$ care dispare prin simplificare lasă doar un gol. Oblica $y = m x + n$ se caută când $f \to \pm \infty$ : întâi $m = lim \frac{f ( x )}{x}$ , nenul și finit, apoi $n = lim (f (x) - m x)$ , tot finit.

La un cât de polinoame, gradele aleg drumul: un numărător care nu depășește gradul numitorului dă orizontală, unul cu un grad în plus dă oblică prin împărțire cu rest, iar unul cu mai mult nu dă asimptotă. Greșelile tipice sunt $n = lim f (x)$ fără scăderea lui $m x$ , o verticală pusă într-un punct din afara domeniului și asimptota de la $+ \infty$ dusă și la $- \infty$ .

Verifici cu două valori foarte mari ale lui $x$ : diferența dintre $f (x)$ și dreaptă trebuie să scadă. Notezi fiecare dreaptă cu ecuația și cu capătul ei.

De reținut

fără orizontală: $lim f (x)$ este infinită
fără oblică: $m$ este $0$ sau infinită, ori $n$ este infinită
$\frac{ln x}{x} \to 0$ și $\frac{x}{x} \to 0$ la $+ \infty$

Greșeala tipică

Se încheie după prima verificare. La $f (x) = 4 x + \frac{7}{x}$ nu ajunge să spui că limita este infinită: trebuie arătat și că $m = 0$ , altfel rămâne neexclusă o asimptotă oblică.

Exerciții din această mini-lecție

Costul unei comenzi de $x$ tone de nisip, cu transportul inclus, este $C (x) = 3 x - 5 + \frac{4 , 5}{x + 2}$ sute de lei, pentru $x \geq 2$ . Care este ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ a graficului lui $C$ ?
- a) $y = 3 x - 5$
- b) $y = 3 x - 9, 5$
- c) $x = - 2$
- d) $y = - 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y = 3 x - 5$

Fracția $\frac{4 , 5}{x + 2}$ tinde la $0$ , deci graficul se apropie de dreapta $y = 3 x - 5$ . Varianta $y = 3 x - 9, 5$ scade numărătorul fracției din $- 5$ , $x = - 2$ este dreapta în care se anulează numitorul, verticală și în afara domeniului, nu asimptota oblică, iar $y = - 5$ ignoră termenul $3 x$ , care crește.
Fie $g : (- \infty; 5) \to R$ , $g (x) = \frac{7}{5 - x}$ . Care afirmație despre asimptotele graficului este completă și corectă?
- a) doar $x = 5$ este asimptotă
- b) $x = 5$ este asimptotă verticală, iar $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $- \infty$
- c) $x = - 5$ este asimptotă verticală, iar $y = 0$ este orizontală
- d) doar $y = 0$ este asimptotă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x = 5$ este asimptotă verticală, iar $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $- \infty$

Lângă $5$ , pe stânga, numitorul $5 - x$ tinde la $0^{+}$ , deci $g \to + \infty$ și $x = 5$ este asimptotă verticală. Spre $- \infty$ , $g (x) \to 0$ , deci $y = 0$ este asimptotă orizontală. Prima variantă o uită pe cea orizontală, a patra o uită pe cea verticală, iar a treia citește greșit semnul rădăcinii numitorului.
Se consideră funcția $f : (2; + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{5 x ^{2} - 3 x + 4}{x - 2}$ . Care este ecuația asimptotei oblice spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ ?
- a) $y = 5 x - 3$
- b) $y = 5 x + 4$
- c) $y = 5 x - 13$
- d) $y = 5 x + 7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $y = 5 x + 7$

Panta este $m = lim \frac{f ( x )}{x} = 5$ , apoi $n = lim (f (x) - 5 x) = lim \frac{7 x + 4}{x - 2} = 7$ , deci $y = 5 x + 7$ . Varianta $5 x - 3$ copiază coeficientul lui $x$ din numărător, $5 x + 4$ ia termenul liber, iar $5 x - 13$ vine din împărțirea la $x + 2$ , nu la $x - 2$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă panta iese număr, dar ordonata iese infinită?

Atunci nu există asimptotă oblică, deși $m$ este număr. La $f (x) = 2 x + ln x$ avem $m = 2$ , dar $n = lim ln x = + \infty$ . Diferența $f (x) - 2 x = ln x$ crește fără oprire, deci graficul se depărtează de dreapta $y = 2 x$ în loc să se apropie de ea, iar dreapta nu este asimptotă.

De ce $x$ nu are asimptotă la plus infinit?

Pentru că $x \to + \infty$ , deci nu există orizontală, iar panta $m = lim \frac{x}{x} = lim \frac{1}{x} = 0$ nu dă dreaptă oblică. La $x = 1 0^{6}$ valoarea este $1000$ , iar raportul $\frac{1000}{1 0 ^{6}} = 0, 001$ , tot mai mic pe măsură ce $x$ crește. O curbă care crește mai încet decât orice dreaptă înclinată nu poate urma o dreaptă.

Cum arăt că ln x supra x tinde la zero?

În acest curs rezultatul se admite, iar demonstrația vine cu regula lui l'Hospital. Numeric se vede ușor: la $x = 1 0^{6}$ avem $ln x \approx 13, 8155$ , deci $\frac{ln x}{x} \approx 0, 0000138$ . Numitorul crește mult mai repede decât logaritmul.

Ce asimptotă are graficul la minus infinit, dacă funcția e definită pe R?

Capetele se studiază separat. Pentru $f (x) = 3 - 5 e^{x}$ , spre $- \infty$ avem $e^{x} \to 0$ , deci $y = 3$ este asimptotă orizontală. Spre $+ \infty$ , $f \to - \infty$ și $m = lim \frac{3 - 5 e ^{x}}{x} = - \infty$ , deci acolo nu există asimptotă.

Ce rol are domeniul când cer asimptotele?

Domeniul arată ce capete există. Pentru $f : (0; + \infty) \to R$ nu are sens $- \infty$ , iar capătul $0^{+}$ se studiază separat. La $4 x + \frac{7}{x}$ limita în $0^{+}$ este $+ \infty$ , deci $x = 0$ este asimptotă verticală.

Oamenii mai întreabă și: când nu are graficul asimptotă · cum demonstrez că nu există asimptotă · nici orizontală, nici oblică · graficul fără asimptotă la plus infinit