Asimptote pentru tehnologic: randamentul pompei

Randamentul pompei cu pistoane a unei mașini de stropit urcă odată cu debitul, dar nu trece de un prag pe care graficul îl urmărește fără să-l atingă. Dreptele de care se apropie un grafic se numesc asimptote și se găsesc cu limite; lecția, pentru clasa a XI-a de la filiera tehnologică, le trece pe toate trei: orizontale, verticale și oblice. Asimptotele s-au cerut în 18 dintre cele 83 de probe de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), toate la Subiectul al III-lea.

Situația de pornire

La o podgorie din Dealu Mare, mașina de stropit tractată lucrează pe 120 de hectare de viță de vie. Pompa ei cu pistoane primește puterea de la priza tractorului, iar debitul $Q$, în litri pe minut, crește odată cu turația prizei. Inginerul agronom urmărește randamentul $\eta$ al pompei, adică raportul, în procente, dintre puterea primită de lichid și puterea luată de la tractor. Producătorul a măsurat randamentul pe banc la opt debite, între 1 și 240 L/min, iar inginerul vrea să știe dacă mărirea debitului ridică randamentul oricât sau există un prag.

Întrebare: spre ce randament se îndreaptă pompa când debitul crește, îl atinge vreodată și cum afli dreapta de care se apropie curba, fără să te bazezi doar pe tabel?

De la situație la model

Din fiecare $Q+6$ litri pe minut pe care îi împing pistoanele, 6 se întorc prin jocurile dintre pistoane și cilindri, deci doar $Q$ ajung la duze. Celelalte pierderi, prin frecări, iau aproape aceeași parte din putere și lasă 88%. Fișa producătorului modelează randamentul cu funcția $\eta (Q)=\frac{88Q}{Q+6}$, verificată pe banc între 1 și 240 L/min și scrisă matematic pentru orice $Q>0$.

Ce este o asimptotă?

O asimptotă a graficului este o dreaptă de care graficul se apropie oricât de mult, când $x$ merge spre $+\infty$, spre $-\infty$ sau spre un punct $a$ în care funcția crește ori scade fără oprire. Graficul poate tăia dreapta undeva pe parcurs; contează cum se poartă la capete. Sunt trei feluri de drepte: orizontale, verticale și oblice, iar programa de examen le cere pe toate trei, la graficul funcțiilor studiate.

Asimptota orizontală

Dacă ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=L$, un număr real, dreapta $y=L$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$. Capătul $-\infty$ se studiază separat: poate da altă dreaptă sau nici una. Limita se calculează cu regulile din lecția despre nedeterminări, iar la un cât de polinoame compari gradele. La pompă, ${\lim }_{Q\to +\infty }\frac{88Q}{Q+6}={\lim }_{Q\to +\infty }\frac{88}{1+\frac{6}{Q}}=88$, deci dreapta $\eta =88$ este asimptota orizontală, adică dreapta punctată din figură.

Asimptota verticală

Dacă $f$ are limita $+\infty$ sau $-\infty$ într-un punct $a$, măcar la stânga sau la dreapta, dreapta $x=a$ este asimptotă verticală. Candidații sunt capetele finite ale domeniului și zerourile numitorului în care numărătorul nu se anulează, adică cazul $\frac{c}{0}$ din lecția despre nedeterminări; semnul îl dau limitele laterale, ca în lecția despre limite laterale. Un $\frac{0}{0}$ care dispare după simplificare lasă în grafic doar un „gol”, nu o asimptotă. La pompă, numitorul se anulează în $Q=-6$, dar un debit negativ nu există: graficul definit pentru $Q>0$ nu are asimptotă verticală.

Asimptota oblică

Când ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ este $+\infty$ sau $-\infty$, graficul poate urma o dreaptă înclinată $y=mx+n$. Panta o afli din $m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}$, care trebuie să fie un număr real nenul, apoi $n={\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-mx)$ trebuie să fie și el un număr real. Dacă una dintre aceste limite iese infinită, la acel capăt nu există asimptotă oblică. La un cât de polinoame în care numărătorul are gradul cu 1 mai mare decât numitorul, împărțirea cu rest dă direct dreapta: din $\frac{x^2+11x+5}{x+9}=x+2-\frac{13}{x+9}$, termenul $\frac{13}{x+9}$ tinde la 0, deci asimptota este $y=x+2$. Capătul $-\infty$ se tratează la fel.

Când nu există asimptotă?

Un capăt poate rămâne fără asimptotă. Funcția $x^2$ are $m=\lim x=+\infty$, deci nu urmează nicio dreaptă. Funcția $\ln x$ tinde la $+\infty$, dar $\frac{\ln x}{x}\to 0$: nu are asimptotă orizontală, fiindcă limita ei e infinită, nici oblică, fiindcă panta ar fi 0. Rezultatul $\frac{\ln x}{x}\to 0$ se admite aici; îl demonstrezi în lecția despre regula lui l'Hospital, iar numeric se vede ușor: $\frac{\ln 1000}{1000}\approx 0,0069$. Asimptota orizontală și cea oblică se exclud la același capăt: dacă $f$ se apropie de un număr, nu poate urma o dreaptă înclinată.

Metoda pas cu pas

1. Scrie domeniul și capetele lui: $+\infty$ sau $-\infty$, dacă domeniul merge acolo, și punctele finite de care graficul se poate apropia fără să le atingă, adică capetele deschise ale intervalelor și zerourile numitorului. Fiecare capăt are un calcul al lui, așa că ține o listă a capetelor.
2. La fiecare capăt infinit calculează $\lim f(x)$. Dacă iese un număr $L$, dreapta $y=L$ este asimptotă orizontală la acel capăt și ai terminat cu el.
3. Dacă limita iese $+\infty$ sau $-\infty$, calculează $m=\lim \frac{f(x)}{x}$. Când $m$ este număr real nenul, calculează $n=\lim (f(x)-mx)$; dacă și $n$ este număr, dreapta $y=mx+n$ este asimptotă oblică. În orice alt caz, la acel capăt nu există asimptotă.
4. La fiecare punct finit $a$ de la pasul 1 calculează limitele laterale. Dacă una iese $+\infty$ sau $-\infty$, dreapta $x=a$ este asimptotă verticală; un $\frac{0}{0}$ se simplifică întâi.
5. Verifică pe tabel sau pe grafic: pe măsură ce $x$ se apropie de capăt, diferența dintre $f(x)$ și dreaptă scade spre 0. Scrie fiecare dreaptă cu ecuația ei și cu capătul la care se referă, de exemplu „$y=5x-1$ spre $+\infty$”, ca să nu o folosești pe celălalt capăt.

La un cât de polinoame poți face pașii 2 și 3 din grade: un numărător de grad cel mult egal cu al numitorului dă asimptota orizontală, numărătorul cu un grad mai mare dă asimptota oblică, iar un numărător cu mai mult de un grad în plus nu dă asimptotă la acel capăt. Ordinea contează: cine sare peste pasul 1 caută asimptote verticale în puncte unde graficul nu există, cine calculează $n$ înainte de $m$ nu știe ce să scadă din $f(x)$, iar cine sare peste pasul 5 nu prinde o dreaptă luată de pe celălalt capăt.

Fișa de buzunar

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=L\Rightarrow y=L\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \infty \Rightarrow x=a$$

$$m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}\ne 0,n=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)-mx)\Rightarrow y=mx+n$$

Condiții: capetele $+\infty$ și $-\infty$ se studiază separat. Asimptota verticală cere un punct din domeniu sau un capăt al lui. Orizontala și oblica se exclud la același capăt. La un cât de polinoame cu numărătorul de grad cu 1 mai mare, împărțirea cu rest dă dreapta oblică. Verificare rapidă: ia două valori foarte mari ale lui $x$ și vezi dacă diferența dintre $f(x)$ și dreaptă scade.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Pompa mașinii de stropit: ce randament nu se depășește

Domeniu: agricol.

Enunț. Reia pompa din situație, cu $\eta (Q)=\frac{88Q}{Q+6}$. a) Calculează $\eta (6)$ și $\eta (36)$, rotunjit la două zecimale. b) Ce fel de situație este $Q\to +\infty$ și care este asimptota orizontală? c) Atinge pompa vreodată randamentul de 88%? d) De la ce debit trece randamentul de 80%?

Rezolvare. a) $\eta (6)=\frac{88\cdot 6}{12}=44$ și $\eta (36)=\frac{88\cdot 36}{42}\approx 75,43$. b) Ambii termeni ai câtului cresc fără oprire: cazul $\frac{\infty }{\infty }$. Dau factor comun pe $Q$ și obțin $\frac{88Q}{Q+6}=\frac{88}{1+\frac{6}{Q}}$, iar $\frac{6}{Q}\to 0$, așa că ${\lim }_{Q\to +\infty }\eta (Q)=88$, iar dreapta $\eta =88$ este asimptota orizontală. c) Nu: pentru $Q>0$ avem $88Q<88(Q+6)$, deci $\eta (Q)<88$; curba rămâne sub dreapta $\eta =88$ și doar se apropie de ea. d) Din $\frac{88Q}{Q+6}\ge 80$ rezultă $88Q\ge 80Q+480$, adică $Q\ge 60$: la 60 L/min randamentul este exact 80%, iar mai sus îl depășește, fără să ajungă la 88%. Pragul de 80% se atinge așadar la un debit finit, pe când 88% nu se atinge la niciun debit.

Capcană. Cine ia asimptota drept valoare atinsă scrie că pompa „ajunge” la 88% și face planuri pe un randament pe care formula nu-l dă niciodată. Tabelul arată același lucru: la 240 L/min randamentul este încă 85,85%.

Verificare. La $Q=60$ obții $\eta =\frac{88\cdot 60}{66}=80$, iar la $Q=1000$ obții $\eta =\frac{88000}{1006}\approx 87,48$: sub 88 și mai aproape de dreaptă decât cele 85,85% din tabel.

Exemplul 2 — Prețul de listă la reduceri mari

Domeniu: comert.

Enunț. Un inspector de protecția consumatorului verifică anunțurile unui magazin de unelte. O bormașină se vinde cu 500 lei „după o reducere de $r$ procente” din prețul de listă. Prețul de listă care corespunde anunțului este $P(r)=\frac{50000}{100-r}$ lei, pentru $0\le r<100$. a) Calculează $P(20)$ și $P(80)$. b) Ce fel de situație este $r\to 100$ prin valori mai mici și ce dreaptă obții? c) Ce înseamnă pentru anunțuri? d) Pentru ce reduceri anunțate prețul de listă nu depășește 4000 lei?

Rezolvare. a) $P(20)=\frac{50000}{80}=625$ lei și $P(80)=\frac{50000}{20}=2500$ lei. b) Numărătorul este 50000, nenul, iar $100-r$ se apropie de 0 numai prin valori pozitive, fiindcă $r<100$: urmezi cazul $\frac{c}{0}$, care nu e caz exceptat, și ${\lim }_{r\to 100^{-}}\frac{50000}{100-r}=\frac{50000}{0^{+}}=+\infty$. Dreapta $r=100$ este asimptotă verticală, la capătul deschis al domeniului. c) Cu cât reducerea anunțată se apropie de 100%, cu atât prețul de listă din care ar porni trebuie să fie mai mare, fără limită. La 99% ar trebui 50000 lei pentru o bormașină vândută cu 500 lei, de aceea inspectorul cere atunci prețul practicat înainte de reducere. d) Din $\frac{50000}{100-r}\le 4000$ rezultă $100-r\ge 12,5$, adică $r\le 87,5$.

Capcană. Cine calculează $P(100)$ prin înlocuire împarte la zero și se oprește aici. Limita arată ce se întâmplă de fapt: pe măsură ce $r$ se apropie de 100, prețul de listă crește fără oprire.

Verificare. La $r=87,5$ obții $P=\frac{50000}{12,5}=4000$ lei, iar la $r=99$ obții $P=\frac{50000}{1}=50000$ lei: prețul urcă tot mai abrupt lângă 100.

Exemplul 3 — Ouăle unui lot nou de găini

Domeniu: zootehnie.

Enunț. La o fermă, un lot de 110 găini tinere intră în ouat. Ouatul zilnic crește în primele săptămâni spre 94 de ouă pe zi, iar numărul total de ouă strânse în primele $t$ zile se modelează cu $N(t)=\frac{94t^2}{t+12}$. a) Calculează $N(12)$ și $N(36)$. b) Află asimptota oblică spre $+\infty$. c) Ce arată panta dreptei și ce arată termenul ei liber, socotit în cofraje de câte 30 de ouă? d) După câte zile diferența dintre $N(t)$ și dreaptă scade sub 94 de ouă, adică sub ouatul unei zile?

Rezolvare. a) $N(12)=\frac{94\cdot 144}{24}=564$ și $N(36)=\frac{94\cdot 1296}{48}=2538$ de ouă. b) $N$ tinde la $+\infty$, deci calculez $m={\lim }_{t\to +\infty }\frac{N(t)}{t}={\lim }_{t\to +\infty }\frac{94t}{t+12}=94$ și apoi $n={\lim }_{t\to +\infty }(N(t)-94t)={\lim }_{t\to +\infty }\frac{94t^2-94t(t+12)}{t+12}={\lim }_{t\to +\infty }\frac{-1128t}{t+12}=-1128$. Dreapta $y=94t-1128$ este asimptota oblică. c) Panta, 94 de ouă pe zi, este ouatul plin al lotului. Termenul liber spune cât a pierdut lotul față de un ouat plin din prima zi: 1 128 de ouă, adică 37,6 cofraje sau 12 zile de ouat plin. d) $N(t)-(94t-1128)=\frac{13536}{t+12}$, iar $\frac{13536}{t+12}<94$ dă $t+12>144$, adică $t>132$: după 132 de zile.

Capcană. Cine pierde semnul lui $n$ și scrie $y=94t+1128$ estimează la 108 zile 11 280 de ouă, cu aproximativ 2 143 mai mult decât $N(108)$. Termenul liber se află după ce scazi $94t$ din $N(t)$.

Verificare. La $t=108$, $N(108)=\frac{94\cdot 11664}{120}=9136,8$, iar dreapta dă $94\cdot 108-1128=9024$: diferența este 112,8, adică $\frac{13536}{120}$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: asimptota oblică a unui cât

Domeniu: mecanica.

Enunț. Cerința urmează tiparul uneia din probe, cu date proprii: „Se consideră funcția $f:(1;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x^2+x-6}{x-1}$. a) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$. b) Are graficul asimptotă verticală?”

Rezolvare. a) Gradul numărătorului este cu 1 mai mare decât al numitorului, deci $f(x)\to +\infty$ și caut dreapta $y=mx+n$. Calculez $m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x^2+x-6}{x(x-1)}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{3+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}=3$. Apoi $n={\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-3x)={\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x^2+x-6-3x(x-1)}{x-1}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{4x-6}{x-1}=4$. Asimptota oblică este $y=3x+4$. b) În $x=1$, capătul deschis al domeniului, numărătorul tinde la $3+1-6=-2$, iar numitorul la $0^{+}$, deci ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=-\infty$ și dreapta $x=1$ este asimptotă verticală. Graficul are deci două asimptote, una verticală și una oblică, drepte diferite.

Capcană. Cine scade $m$ în loc de $mx$ și scrie $n=\lim (f(x)-3)$ obține o limită infinită și conchide, greșit, că nu există asimptotă oblică. Din $f(x)$ se scade termenul $3x$.

Verificare. Împărțirea cu rest dă $3x^2+x-6=(x-1)(3x+4)-2$, deci $f(x)=3x+4-\frac{2}{x-1}$. La $x=1000$ obții $f\approx 3003,998$, iar dreapta dă 3004.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Determină ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul fiecărei funcții: a) $f(x)=\frac{5x+1}{x+7}$; b) $f(x)=\frac{3x^2+2}{x^2+4}$; c) $f(x)=\frac{x^2-1}{2x^2+x}$; d) $f(x)=\frac{11}{x^2+6}$.

2. Spune dacă graficul fiecărei funcții are asimptotă verticală și, dacă da, scrie ecuația ei: a) $f:(8;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{9}{x-8}$; b) $g:(-6;+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{2x+1}{x+6}$; c) $h:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $h(x)=\frac{2x^2-7x+3}{x-3}$.

3. Determină ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$: a) $f:(1;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4x+7}{x-1}$; b) $g:(3;+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{2x^2-5}{x-3}$; c) $h:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $h(x)=3x+1+\frac{4}{x}$.

4. Spune ce asimptote are graficul fiecărei funcții la capătul indicat: a) $f:[0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, spre $+\infty$; b) $g:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+\ln x$, spre $+\infty$; c) $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=5+3e^x$, spre $-\infty$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) La placarea unei pardoseli cu gresie, timpul după care se pot umple rosturile depinde de temperatura din încăpere. Fișa adezivului dă $t(T)=4+\frac{312}{T-5}$ ore, pentru $T>5$ °C; sub 5 °C adezivul nu se întărește. Tabelul dă, pentru $T=8;9;13;18;29$ °C, timpii $108;82;43;28;17$ ore. a) Verifică pe formulă două valori din tabel. b) Ce asimptote are graficul lui $t$? c) Ce înseamnă fiecare pentru faianțar? d) La ce temperatură, cel puțin, se pot umple rosturile după 24 de ore?

6. (Problemă aplicată.) Un tren de metrou pleacă din stație și accelerează spre viteza de mers de 18 m/s. Distanța parcursă după $t$ secunde este $d(t)=\frac{18t^2}{t+40}$ metri. Tabelul dă, pentru $t=24;56;88;136$ s, distanțele $162;588;1089;1891,6$ m. a) Verifică pe formulă două valori din tabel. b) Află asimptota oblică spre $+\infty$. c) Dispecerul estimează cu dreapta, în locul curbei, momentul în care trenul ajunge la zona de frânare, aflată la 2 600 m de plecare. Ce timp obține și cu câți metri greșește distanța?

7. (Problemă aplicată.) La rețeaua de apă a unui cartier nou, diametrul interior al unei conducte se alege după debit, ca apa să curgă cu 1,5 m/s: $D(Q)=29\sqrt{Q}$ milimetri, la un debit de $Q$ litri pe secundă. Tabelul dă, pentru $Q=1;4;9;16;25$ L/s, diametrele $29;58;87;116;145$ mm. a) Verifică pe formulă două valori din tabel. b) Are graficul lui $D$ asimptotă spre $+\infty$? c) Ce debit duce, la aceeași viteză, o conductă cu diametrul interior de 100 mm?

8. (Problemă aplicată.) Capacitatea portantă a unui stâlp de lemn, în kN, depinde de înălțimea lui $L$, în metri: $P(L)=\frac{540}{L^2}$. Tabelul dă pentru $L=1,5;3;4,5;6;9$ valorile $240;60;26,67;15;6,67$. a) Verifică pe formulă două valori din tabel. b) Ce asimptote are graficul funcției $P:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$? c) Ce înseamnă fiecare pentru stâlpii folosiți între 1,5 și 9 m? d) Pentru ce înălțimi capacitatea nu coboară sub 60 kN?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(-5;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6x-1}{x+5}$. Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(2;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x^2-9x+3}{x-2}$. Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x-3+\frac{5}{e^x}$. Determinați numerele reale $m$ și $n$, știind că dreapta de ecuație $y=mx+n$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6}{x}+2\ln x-7$. Arătați că nu există asimptotă spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

Răspunsuri și verificări

1. a) $\frac{5+\frac{1}{x}}{1+\frac{7}{x}}\to 5$, deci $y=5$. b) $\frac{3+\frac{2}{x^2}}{1+\frac{4}{x^2}}\to 3$, deci $y=3$. c) $\frac{1-\frac{1}{x^2}}{2+\frac{1}{x}}\to \frac{1}{2}$, deci $y=\frac{1}{2}$. d) Numărătorul e constant, numitorul tinde la $+\infty$: $y=0$. Verificare: la $x=1000$, a) $\approx 4,966$ și c) $\approx 0,4997$.

2. a) $\frac{9}{0^{+}}=+\infty$, deci $x=8$ este asimptotă verticală. b) Numărătorul tinde la $-11$, numitorul la $0^{+}$: limita este $-\infty$, deci $x=-6$. c) În 3 apare $\frac{0}{0}$, iar $h(x)=2x-1\to 5$ pentru $x\ne 3$: nu există asimptotă, ci un gol. Verificare: la $x=8,001$, $f=9000$, iar la $x=3,001$, $h=5,002$.

3. a) $m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2-4x+7}{x(x-1)}=1$ și $n={\lim }_{x\to +\infty }\frac{-3x+7}{x-1}=-3$, deci $y=x-3$. b) $m=2$ și $n={\lim }_{x\to +\infty }\frac{6x-5}{x-3}=6$, deci $y=2x+6$. c) $m={\lim }_{x\to +\infty }\left(3+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}\right)=3$ și $n={\lim }_{x\to +\infty }\left(1+\frac{4}{x}\right)=1$, deci $y=3x+1$. Verificare: la $x=1000$, a) $f\approx 997,004$ și b) $g\approx 2006,013$.

4. a) $\sqrt{x}\to +\infty$ și $m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sqrt{x}}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{\sqrt{x}}=0$: nici orizontală, nici oblică. b) $m={\lim }_{x\to +\infty }\left(1+\frac{\ln x}{x}\right)=1$, dar $n={\lim }_{x\to +\infty }\ln x=+\infty$: nici oblică, nici orizontală. c) Spre $-\infty$, $e^x\to 0$, deci $y=5$. Verificare: la $x=10^6$, $\frac{\sqrt{x}}{x}=0,001$, iar $h(-10)\approx 5,0001$.

5. a) $t(8)=4+\frac{312}{3}=108$ ore și $t(18)=4+\frac{312}{13}=28$ de ore. b) Verticala $T=5$, fiindcă ${\lim }_{T\to 5^{+}}t(T)=4+\frac{312}{0^{+}}=+\infty$, și orizontala $t=4$ spre $+\infty$, fiindcă $\frac{312}{T-5}\to 0$. c) Lângă 5 °C așteptarea crește fără limită, iar la căldură nu coboară sub 4 ore. d) Din $4+\frac{312}{T-5}\le 24$ rezultă $T-5\ge 15,6$, adică $T\ge 20,6$ °C. Verificare: $t(20,6)=4+20=24$ de ore.

6. a) $d(24)=\frac{10368}{64}=162$ m și $d(88)=\frac{139392}{128}=1089$ m. b) $m={\lim }_{t\to +\infty }\frac{18t}{t+40}=18$ și $n={\lim }_{t\to +\infty }\frac{18t^2-18t(t+40)}{t+40}={\lim }_{t\to +\infty }\frac{-720t}{t+40}=-720$, deci $y=18t-720$. c) Din $18t-720=2600$ rezultă $t\approx 184,4$ s. Atunci $d(t)-(18t-720)=\frac{28800}{t+40}\approx 128$ m: trenul e cu 128 m mai departe. Verificare: $d(184,4)=\frac{18\cdot 184,4^2}{224,4}\approx 2728$ m.

7. a) $D(4)=29\cdot 2=58$ mm și $D(16)=29\cdot 4=116$ mm. b) $D\to +\infty$, deci nu are orizontală, iar $m={\lim }_{Q\to +\infty }\frac{29\sqrt{Q}}{Q}={\lim }_{Q\to +\infty }\frac{29}{\sqrt{Q}}=0$, deci nici oblică: graficul nu are asimptotă spre $+\infty$. c) Din $29\sqrt{Q}=100$ rezultă $\sqrt{Q}\approx 3,448$, adică $Q\approx 11,9$ L/s. Verificare: $29\cdot \sqrt{11,9}\approx 100,04$ mm.

8. a) $P(1,5)=\frac{540}{2,25}=240$ kN și $P(6)=\frac{540}{36}=15$ kN. b) Verticala $L=0$ m și orizontala $P=0$ kN. c) Verticala e în afara înălțimilor reale; orizontala: stâlpii mai înalți rezistă tot mai puțin. d) Din $\frac{540}{L^2}\ge 60$ rezultă $L\le 3$ metri. Verificare: $P(3)=60$ kN.

9. Numărătorul și numitorul tind la $+\infty$, cu gradele egale. Scoți factor $x$: $\frac{x\left(6-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1+\frac{5}{x}\right)}=\frac{6-\frac{1}{x}}{1+\frac{5}{x}}$. Cum $\frac{1}{x}$ și $\frac{5}{x}$ tind la 0, limita este $\frac{6-0}{1+0}=6$: $y=6$. Verificare: la $x=1000$, $f(1000)=\frac{5999}{1005}\approx 5,969$.

10. Numărătorul are gradul cu 1 mai mare, deci caut $y=mx+n$. $m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{4x^2-9x+3}{x(x-2)}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{4-\frac{9}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}=4$. $n={\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-4x)={\lim }_{x\to +\infty }\frac{4x^2-9x+3-4x(x-2)}{x-2}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{-x+3}{x-2}=-1$, deci $y=4x-1$. Verificare: la $x=1000$, $f(1000)=\frac{3991003}{998}\approx 3999,001$, iar dreapta dă 3999.

11. $m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\left(4-\frac{3}{x}+\frac{5}{x{e}^x}\right)=4$, fiindcă $e^x\to +\infty$. $n={\lim }_{x\to +\infty }(f(x)-4x)={\lim }_{x\to +\infty }\left(-3+\frac{5}{e^x}\right)=-3$. Așadar $m=4$ și $n=-3$. Verificare: la $x=10$, $f(10)=37+5e^{-10}\approx 37,0002$, iar dreapta dă 37.

12. $m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\left(\frac{6}{x^2}+\frac{2\ln x}{x}-\frac{7}{x}\right)=0$, fiindcă $\frac{\ln x}{x}\to 0$. Cum $m=0$, oblica e exclusă; rămâne limita lui $f$: ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\frac{6}{x}+2\ln x-7\right)=0+\infty -7=+\infty$. Deci nici orizontală: nu există asimptotă spre $+\infty$. Verificare: la $x=1000$, $f\approx 6,8215$, iar la $x=10^6$, $f\approx 20,631$.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, tema a apărut în 18 din cele 83 de probe, câte o cerință în fiecare, toate la Subiectul al III-lea, problema 1, la subpunctul b) sau c): în 11 se cere asimptota orizontală (în două, spre $-\infty$), în 6 cea oblică, iar într-una trebuie arătat că nu există asimptotă. Asimptota verticală nu a fost cerută direct în nicio probă, dar este în programă și apare lângă capetele deschise ale domeniilor, ca $(4;+\infty )$. Patru forme:

• Modelul din 2024, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: funcția este un cât de două polinoame de gradul I, definit pe $(4;+\infty )$, iar cerința este asimptota orizontală spre $+\infty$; baremul probei dă 3 puncte pentru limita calculată cu factor forțat (pasul 2 din Metodă) și 2 puncte pentru ecuația dreptei (tot pasul 2).
• August 2026, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția este un cât cu numărătorul de gradul al doilea și numitorul de gradul I, iar cerința este asimptota oblică; baremul probei dă 2 puncte pentru panta $m$ și 3 puncte pentru $n$ și ecuația dreptei (pasul 3 din Metodă).
• August 2023, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția are un termen liniar, o constantă și un termen cu $e^x$ la numitor, iar cerința este să găsești numerele $m$ și $n$ ale asimptotei oblice; baremul probei dă 3 puncte pentru $m$ și 2 puncte pentru $n$ (pasul 3 din Metodă).
• Iunie 2021, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția are un termen $\frac{4}{x}$ și un termen cu $\ln x$, iar cerința este să arăți că nu există asimptotă spre $+\infty$; baremul probei dă 3 puncte pentru limita raportului $\frac{f(x)}{x}$, care iese 0, și 2 puncte pentru limita lui $f$, infinită (pasul 3 din Metodă).

Exercițiile 9–12 exersează aceleași patru forme. Mai departe, continuitatea unei funcții folosește aceleași limite, iar celelalte teme ale anului le găsești pe traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Crezi că o dreaptă nu e asimptotă fiindcă graficul o taie → cum o prinzi: la $f(x)=\frac{7x}{x^2+10}$ curba trece prin $y=0$ în origine, dar ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$; definiția privește capetele, nu tot graficul.
• Scrii $n=\lim f(x)$, fără să scazi $mx$ → cum o prinzi: la $4x+7+\frac{1}{x}$ limita lui $f$ este infinită; $n$ se calculează după ce scazi $4x$ și iese 7.
• Pui asimptotă verticală unde apare $\frac{0}{0}$ → cum o prinzi: la $\frac{3x^2-5x-2}{x-2}$ limita în 2 este 7, număr real; graficul are un gol, nu o asimptotă.
• Pui asimptotă verticală într-un punct din afara domeniului → cum o prinzi: la pompă numitorul se anulează în $Q=-6$, dar debitul e pozitiv; verifici dacă punctul este în domeniu sau capăt al lui.
• Duci asimptota de la $+\infty$ și la $-\infty$ → cum o prinzi: la $e^x$ dreapta $y=0$ merge spre $-\infty$, dar spre $+\infty$ funcția crește fără limită; calculezi limita separat la fiecare capăt.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Determinarea asimptotelor orizontale și oblice ale graficului se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 18 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă jocurile pistoanelor se uzează și scurgerile cresc la 9 L/min?

Formula devine $\eta (Q)=\frac{88Q}{Q+9}$, iar asimptota rămâne $\eta =88$: plafonul îl dau pierderile prin frecări, nu scurgerile. Se schimbă drumul spre el: pragul de 80% se atinge abia la 90 L/min, nu la 60 L/min, fiindcă $88Q\ge 80(Q+9)$ dă $Q\ge 90$.

Ce debit i-ar trebui pompei ca să ajungă la 87%?

Din $\frac{88Q}{Q+6}\ge 87$ rezultă $88Q\ge 87Q+522$, adică $Q\ge 522$ L/min, de peste două ori debitul cel mai mare măsurat, 240 L/min, unde randamentul este 85,85%. Curba se apropie tot mai încet de asimptotă: fiecare procent în plus cere un debit tot mai mare.

Cum folosește fermierul dreapta oblică a ouălor când planifică vânzările?

Pentru 200 de zile, dreapta dă $94\cdot 200-1128=17672$ de ouă, iar formula dă $N(200)=\frac{94\cdot 40000}{212}\approx 17736$. Diferența, de aproximativ 64 de ouă, este $\frac{13536}{212}$ și scade în timp, așa că pe perioade lungi dreapta e o estimare bună și ușor de calculat.

De ce nu este $Q=-6$ asimptotă verticală pentru pompă?

Numitorul $Q+6$ se anulează în $Q=-6$, dar debitul pompei este pozitiv, iar graficul se studiază pentru $Q>0$. Dreapta $Q=-6$ ar fi asimptotă verticală a formulei considerate pe toată axa, nu a graficului din situație. La Bacalaureatul M3 domeniul este dat în enunț: asimptota verticală cere un punct din domeniu sau un capăt al lui.

Ce fel de asimptotă cere enunțul la Bacalaureatul M3?

Cerința spune ce fel de asimptotă cauți: în 11 probe orizontală, dintre care două spre $-\infty$, în 6 oblică și într-una că nu există asimptotă. Funcția e un cât de polinoame sau are un termen cu exponențială ori logaritm, iar pasul de pornire este limita la unul dintre capetele $+\infty$ sau $-\infty$.