Care dintre legile definite pe $$\mathbb{R}$$ este asociativă?

$$x \circ y = \dfrac{x + y}{2}$$

Pentru legea $$x \circ y = 5x - y$$, ce dau $$(1 \circ 1) \circ 1$$ și $$1 \circ (1 \circ 1)$$?

$$19$$ și $$1$$, deci legea nu e asociativă

$$4$$ și $$4$$, deci legea e asociativă

$$1$$ și $$19$$, deci legea nu e asociativă

$$19$$ și $$19$$, deci legea e asociativă

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Asociativitatea: cele două grupări

De ce media a două note nu este asociativă?

Pentru că, la regula „media a câte două”, nota compusă ultima cântărește cât celelalte două la un loc. Cu $x \circ y = \frac{x + y}{2}$ , notele $5$ , $7$ și $9$ dau $(5 \circ 7) \circ 9 = 6 \circ 9 = 7, 5$ , dar $5 \circ (7 \circ 9) = 5 \circ 8 = 6, 5$ . Pe litere, cele două grupări dau $\frac{x + y + 2 z}{4}$ și $\frac{2 x + y + z}{4}$ , care sunt egale doar când prima și ultima notă coincid.

O lege $\circ$ pe $M$ este asociativă dacă $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$ pentru orice $x, y, z \in M$ ; atunci $x \circ y \circ z$ se poate scrie fără paranteze.

Verificarea are cinci pași: scrii egalitatea cerută, calculezi membrul stâng punând $x \circ y$ în locul lui $x$ , calculezi membrul drept punând $y \circ z$ în locul lui $y$ , reduci și compari, apoi încerci un triplet de numere. Legile de forma $x + y + c$ sunt asociative: ambele grupări dau $x + y + z + 2 c$ . La o formă cu paranteze, ca $4 (x - 3) (y - 3) + 3$ , scazi constanta din rezultatul intermediar și obții un produs de trei paranteze.

Ca să arăți că o lege nu e asociativă, dai un triplet pentru care grupările diferă. Media a două note, $\frac{x + y}{2}$ , nu e asociativă: notele $6, 8, 10$ dau $8, 5$ și $7, 5$ . Un triplet cu rezultat egal pe ambele grupări nu dovedește nimic.

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), asociativitatea s-a cerut în 14 probe din 60 (2013–2026).

De reținut

asociativă: $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$ pentru orice $x, y, z$
$x + y + c$ e asociativă: ambele grupări dau $x + y + z + 2 c$
un triplet cu grupări diferite ajunge ca să respingi

Greșeala tipică

Se verifică asociativitatea pe un singur triplet care iese egal și se trage concluzia „e asociativă”. Egalitatea pe câteva numere nu înlocuiește calculul cu litere.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre legile definite pe $R$ este asociativă?
- a) $x \circ y = x - y$
- b) $x \circ y = x + y - 41$
- c) $x \circ y = 5 x - y$
- d) $x \circ y = \frac{x + y}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x \circ y = x + y - 41$

Pentru $x + y - 41$ , ambele grupări dau $x + y + z - 82$ . Scăderea cade la $(9 - 5) - 2 = 2 \neq = 9 - (5 - 2) = 6$ , legea $5 x - y$ la tripletul $(1, 1, 1)$ , iar media la notele $6, 8, 10$ .
Pentru legea $x \circ y = x + y + 34$ , cu ce este egal $(x \circ y) \circ z$ ?
- a) $x + y + z + 34$
- b) $x + y + z + 102$
- c) $x + y + z + 68$
- d) $2 x + y + z + 68$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $x + y + z + 68$

$(x + y + 34) + z + 34 = x + y + z + 68$ : două compuneri aduc de două ori constanta. Varianta cu $34$ o adaugă o singură dată, cea cu $102$ de trei ori, iar $2 x$ apare doar dacă $x$ e pus de două ori în formulă.
Pentru legea $x \circ y = 5 x - y$ , ce dau $(1 \circ 1) \circ 1$ și $1 \circ (1 \circ 1)$ ?
- a) $19$ și $1$ , deci legea nu e asociativă
- b) $4$ și $4$ , deci legea e asociativă
- c) $1$ și $19$ , deci legea nu e asociativă
- d) $19$ și $19$ , deci legea e asociativă
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $19$ și $1$ , deci legea nu e asociativă

$1 \circ 1 = 4$ , apoi $4 \circ 1 = 19$ ; pe cealaltă grupare, $1 \circ 4 = 5 - 4 = 1$ . Varianta cu $4$ și $4$ se oprește după paranteză, iar cea cu $1$ și $19$ inversează grupările; un singur triplet cu rezultate diferite arată că legea nu e asociativă.

Întrebări conexe

Cum calculez corect media a trei note?

Aduni toate cele trei note și împarți la $3$ : fiecare notă cântărește o treime, oricum le-ai aranja. Pentru $5$ , $7$ și $9$ , media este $\frac{21}{3} = 7$ , un număr aflat între cele două rezultate date de regula „media a câte două”, $6, 5$ și $7, 5$ .

Pentru ce note dă media a câte două același rezultat pe ambele grupări?

Când prima și ultima notă sunt egale. Diferența dintre grupări este $\frac{z - x}{4}$ , deci notele $8$ , $6$ , $8$ dau $7, 5$ pe ambele grupări. Un asemenea triplet nu poate servi drept contraexemplu, fiindcă grupările coincid tocmai în cazul lui.

De ce o lege de forma x + y + c este asociativă?

Pentru că, oricum grupezi trei elemente, faci două compuneri și aduni de două ori constanta: $(x \circ y) \circ z = x + y + z + 2 c$ și $x \circ (y \circ z) = x + y + z + 2 c$ . De pildă, pentru $c = - 6$ , ambele grupări dau $x + y + z - 12$ .

Ce câștig dacă știu că o lege este asociativă?

Poți scrie compuneri lungi fără paranteze și le poți calcula în ce ordine vrei. Pentru $x \circ y = x + y + 26$ , șirul $1 \circ 2 \circ 3 \circ 4$ are trei compuneri și dă $10 + 78 = 88$ direct, fără rezultatele intermediare.

Cum aleg tripletul pentru un contraexemplu de asociativitate?

Încerci numere mici și diferite, de preferat cu primul și ultimul diferite, ca $(1, 0, 0)$ sau $(1, 2, 3)$ . Calculezi ambele grupări complet; dacă rezultatele diferă, ai contraexemplul. Dacă ies egale, încerci alt triplet sau treci la calculul cu litere.

Cât de des s-a cerut asociativitatea la Bacalaureatul M4?

În probele M_pedagogic din 2013–2026, cerința a venit de 14 ori, câte o dată pe probă, cu „arătați”, „demonstrați” sau „verificați dacă”. Alte 22 de probe au dat proprietatea gata făcută, în fraza care definește legea, pentru compunerile scrise fără paranteze.

Oamenii mai întreabă și: media aritmetică lege neasociativă · contează gruparea la media notelor · media a câte două note la trei note · exemplu de lege care nu este asociativă