Asociativitatea pas cu pas, la pedagogic

Când compui trei elemente, poți grupa primele două sau ultimele două; dacă rezultatul nu depinde de grupare, legea este asociativă. În clasa a XI-a, la profilul pedagogic, înveți să verifici asociativitatea pe litere, în cinci pași, și să o respingi cu un contraexemplu. La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), cerința „arătați că legea este asociativă” a apărut în 14 dintre cele 60 de probe din 2013–2026, cu o rezolvare de două rânduri.

Situația de pornire

Un profesor are pentru fiecare elev trei note la portofoliu și vrea o singură notă finală. Regula lui este „media a câte două”: face media a două note, apoi media rezultatului cu a treia. Doi colegi aplică regula diferit: unul grupează primele două note, celălalt ultimele două.

Întrebare: contează cum grupează profesorul notele? De ce trei elevi cu aceeași medie a celor trei note primesc note finale diferite?

De la situație la model

Regula profesorului este o lege de compoziție pe mulțimea notelor, iar cele două coloane din mijloc sunt cele două grupări.

O lege asociativă este o lege de compoziție $\circ$ pe $M$ pentru care $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$, oricare ar fi $x,y,z\in M$. Când legea e asociativă, se poate scrie $x\circ y\circ z$ fără paranteze, fiindcă ambele grupări dau același rezultat.

Cum verifici asociativitatea pe litere?

Calculezi separat cei doi membri. La medie: $(x\circ y)\circ z=\frac{\frac{x+y}{2}+z}{2}=\frac{x+y+2z}{4}$, iar $x\circ (y\circ z)=\frac{2x+y+z}{4}$. Membrii diferă: în primul, nota a treia cântărește dublu, în al doilea, prima. Rezultatele coincid doar când $x=z$, ca la Alexia.

Cum arăți că o lege nu e asociativă?

Dai trei numere pentru care cele două grupări diferă, cu ambele calcule scrise. Pentru medie ajunge Maria: $(6\circ 8)\circ 10=7\circ 10=8,5$, dar $6\circ (8\circ 10)=6\circ 9=7,5$. Un triplet egal pe ambele grupări, ca la Alexia, nu dovedește nimic. Alege numere mici și diferite între ele: la medie, un triplet cu primul număr egal cu ultimul dă mereu același rezultat pe ambele grupări.

Ce faci când legea are o formă cu paranteze?

La o lege dată ca $x\circ y=4(x-3)(y-3)+3$, observi că $x\circ y-3=4(x-3)(y-3)$. Când compui rezultatul cu $z$, scazi 3 și obții un produs de trei paranteze, la fel pe ambele grupări. Exemplul 3 face calculul complet.

Metoda pas cu pas

1. Scrie ce trebuie arătat: $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$, pentru orice $x,y,z\in M$.
2. Membrul stâng: înlocuiești $x\circ y$ cu formula ei, apoi compui rezultatul cu $z$, ca pe un număr pus în locul lui $x$.
3. Membrul drept: înlocuiești $y\circ z$, apoi compui $x$ cu rezultatul, pus în locul lui $y$.
4. Desfaci parantezele, reduci termenii asemenea și compari: expresii identice înseamnă lege asociativă; expresii diferite înseamnă că trebuie căutat un contraexemplu.
5. Verifică pe un triplet de numere: ambele grupări trebuie să dea același număr; la o lege neasociativă, tripletul ales e chiar contraexemplul.

Dacă la pasul 4 nu vezi repede dacă expresiile coincid, ordonează termenii după litere: întâi cei cu $x$, apoi cei cu $y$, cei cu $z$ și, la urmă, termenul liber.

Calculele cu trei elemente sunt cele din calcule cu o lege dată prin formulă. Lecția M3 Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru are alte exemple, iar următoarea proprietate este comutativitatea. Restul clasei e pe pagina clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

$$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z),\forall x,y,z\in M$$

$$x\circ y=x+y+c\Rightarrow (x\circ y)\circ z=x+y+z+2c=x\circ (y\circ z)$$

Al doilea rând arată de ce legile de forma $x+y+c$ sunt asociative, oricare ar fi numărul $c$. Verificare rapidă cu $c=10$: $(1\circ 2)\circ 3=13\circ 3=26$ și $1\circ (2\circ 3)=1\circ 15=26$. Fiecare compunere în plus aduce încă o constantă: patru elemente înseamnă trei compuneri, deci constanta apare de trei ori.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Notele la portofoliu

Domeniu: evaluare școlară.

Enunț. Reia tabelul din situație, cu $x\circ y=\frac{x+y}{2}$. a) Verifică rândul lui Radu. b) Arată pe litere că diferența dintre cele două grupări este $\frac{z-x}{4}$. c) Ce regulă de calcul îi dă fiecărui elev nota 8?

Rezolvare. a) $(9\circ 9)\circ 6=9\circ 6=7,5$ și $9\circ (9\circ 6)=9\circ 7,5=8,25$. b) $\frac{x+y+2z}{4}-\frac{2x+y+z}{4}=\frac{z-x}{4}$. c) Media celor trei note, $\frac{x+y+z}{3}$, care nu depinde de grupare: pentru Maria, $\frac{6+8+10}{3}=8$.

Capcană. Cine verifică asociativitatea pe rândul Alexiei vede 7,75 de ambele părți și conchide că media e asociativă. La Alexia, $x=z=7$, exact cazul în care diferența $\frac{z-x}{4}$ este 0.

Verificare. Cu formula de la b), la Radu: $\frac{6-9}{4}=-0,75$, iar $7,5-8,25=-0,75$. La Maria: $\frac{10-6}{4}=1$, iar $8,5-7,5=1$.

Exemplul 2 — Programul de la grădiniță

Domeniu: organizarea activităților la grădiniță.

Enunț. O educatoare leagă activitățile una de alta, cu o pauză de 10 minute între ele: două activități de $x$ și $y$ minute ocupă $x\circ y=x+y+10$ minute. a) Calculează $(15\circ 20)\circ 25$ și $15\circ (20\circ 25)$. b) Arată că legea este asociativă. c) Câte minute ocupă trei activități oarecare, cu pauzele dintre ele?

Rezolvare. a) $15\circ 20=45$, apoi $45\circ 25=80$; $20\circ 25=55$, apoi $15\circ 55=80$. b) $(x\circ y)\circ z=(x+y+10)+z+10=x+y+z+20$, iar $x\circ (y\circ z)=x+(y+z+10)+10=x+y+z+20$. Membrii sunt egali. c) $x+y+z+20$ minute: trei activități și două pauze.

Capcană. Cine adaugă pauza o singură dată, $15+20+25+10=70$, uită că între trei activități sunt două pauze. Formula asociativă le numără corect, oricum ai grupa. Tot așa, între patru activități sunt trei pauze, nu patru.

Verificare. Pe ceas: activitatea de 15 minute începe la 9:00 și se termină la 9:15, pauza ține până la 9:25, a doua activitate până la 9:45, pauza până la 9:55, a treia până la 10:20, adică 80 de minute.

Exemplul 3 — O lege cu paranteze

Domeniu: calcul algebric.

Enunț. Pe $\mathbb{R}$ se definește $x\circ y=4(x-3)(y-3)+3$. a) Calculează $(4\circ 5)\circ 2$ și $4\circ (5\circ 2)$. b) Arată că legea este asociativă.

Rezolvare. a) $4\circ 5=4\cdot 1\cdot 2+3=11$, apoi $11\circ 2=4\cdot 8\cdot (-1)+3=-29$. Pe cealaltă grupare, $5\circ 2=4\cdot 2\cdot (-1)+3=-5$, apoi $4\circ (-5)=4\cdot 1\cdot (-8)+3=-29$. b) Din $x\circ y-3=4(x-3)(y-3)$: $(x\circ y)\circ z=4((x\circ y)-3)(z-3)+3=16(x-3)(y-3)(z-3)+3$. La fel, $x\circ (y\circ z)=4(x-3)((y\circ z)-3)+3=16(x-3)(y-3)(z-3)+3$. Membrii sunt egali.

Capcană. Cine scrie $(x\circ y)\circ z=4(x\circ y)(z-3)+3$ uită să scadă 3 din primul operand și obține o expresie care nu se mai potrivește cu a doua grupare.

Verificare. Cu formula de la b), tripletul de la a) dă $16\cdot 1\cdot 2\cdot (-1)+3=-29$, același număr ca pe ambele grupări.

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: asociativitate și un calcul cu trei elemente

Domeniu: fără context.

Enunț. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-29$. a) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă. b) Calculați $10\ast 20\ast 30$.

Rezolvare. a) $(x\ast y)\ast z=(x+y-29)+z-29=x+y+z-58$, iar $x\ast (y\ast z)=x+(y+z-29)-29=x+y+z-58$. Cele două grupări dau aceeași expresie pentru orice $x,y,z$ reali, deci legea este asociativă. b) Fiindcă legea e asociativă, scrierea fără paranteze are sens: $10\ast 20\ast 30=10+20+30-58=2$.

Capcană. Cine „demonstrează” asociativitatea calculând doar $(1\ast 2)\ast 3$ și $1\ast (2\ast 3)$ arată un singur caz. Cerința spune „pentru orice”, deci calculul se face cu litere.

Verificare. Pe grupări: $10\ast 20=1$, $1\ast 30=2$; $20\ast 30=21$, $10\ast 21=2$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Arată că legea $x\circ y=x+y+31$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă.

2. Arată că legea $x\circ y=4x+y$, definită pe $\mathbb{R}$, nu este asociativă.

3. Arată, cu un contraexemplu, că scăderea nu este asociativă pe $\mathbb{Z}$.

4. Arată că legea $x\circ y=\frac{xy}{46}$, definită pe $\mathbb{R}$, este asociativă.

Nivelul 2 — situații

5. În jurnalul meteo al clasei a III-a, pentru două zile se trece cea mai mare dintre cele două temperaturi, dar cel puțin 15 °C, fiindcă sub 15 °C pornește încălzirea: $x\circ y=\max (x,y,15)$. Trei zile au avut 12 °C, 13 °C și 14 °C. a) Calculează ambele grupări. b) Explică de ce legea este asociativă.

6. La ora de muzică, trei copii bat din palme o dată la 4, la 10 și la 15 secunde, porniți împreună. Doi copii bat din nou deodată după $x\circ y$ secunde, cel mai mic multiplu comun al lui $x$ și $y$. a) Calculează $(4\circ 10)\circ 15$ și $4\circ (10\circ 15)$. b) După câte secunde bat toți trei deodată?

7. În clasa a II-a, copiii estimează sume rotunjind la zeci: $x\circ y$ este suma $x+y$ rotunjită la cea mai apropiată zece, cu 5 rotunjit în sus. a) Calculează $(23\circ 14)\circ 18$ și $23\circ (14\circ 18)$. b) Este legea asociativă? c) Care e suma exactă, rotunjită la zeci?

8. Pentru excursie, fiecare grupă plătește 150 de lei pe autocar plus intrările. Dacă două grupe merg cu același autocar, plătesc împreună $x\circ y=x+y-150$ lei, unde $x$ și $y$ sunt sumele grupelor pe drumuri separate. Grupele plătesc separat 870, 640 și 910 lei. a) Calculează costul celor trei grupe împreună, pe ambele grupări. b) Arată că legea este asociativă și explică termenul $-300$ din $(x\circ y)\circ z$.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-37$. Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=6(x-13)(y-13)+13$. Verificați dacă legea de compoziție „$\circ$” este asociativă.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=2x+2y-9$. Verificați dacă legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

12. (Sinteză.) Patru elemente se pot grupa în 5 feluri: $((a\circ b)\circ c)\circ d$, $(a\circ (b\circ c))\circ d$, $(a\circ b)\circ (c\circ d)$, $a\circ ((b\circ c)\circ d)$ și $a\circ (b\circ (c\circ d))$. Calculează-le pentru scădere, cu $a=10$, $b=4$, $c=3$, $d=1$. Câte rezultate diferite obții? Ce ai obține la o lege asociativă?

Răspunsuri și verificări

1. $(x\circ y)\circ z=x+y+z+62=x\circ (y\circ z)$. Verificare: $(1\circ 2)\circ 3=34\circ 3=68$ și $1\circ (2\circ 3)=1\circ 36=68$.

2. $(x\circ y)\circ z=4(4x+y)+z=16x+4y+z$, iar $x\circ (y\circ z)=4x+4y+z$; diferă cu $12x$. Contraexemplu: $(1\circ 0)\circ 0=4\circ 0=16$, dar $1\circ (0\circ 0)=1\circ 0=4$. Verificare: $16-4=12=12\cdot 1$.

3. $(9-5)-2=2$, dar $9-(5-2)=6$. Verificare: pe axă, 9 minus 5 lasă 4, apoi minus 2 lasă 2.

4. $(x\circ y)\circ z=\frac{xy}{46}\cdot \frac{z}{46}=\frac{xyz}{2116}$ și $x\circ (y\circ z)=\frac{x}{46}\cdot \frac{yz}{46}=\frac{xyz}{2116}$. Verificare: $(4\circ 23)\circ 46=2\circ 46=2$ și $4\circ (23\circ 46)=4\circ 23=2$.

5. a) $(12\circ 13)\circ 14=15\circ 14=15$ și $12\circ (13\circ 14)=12\circ 15=15$. b) Ambele grupări dau cel mai mare dintre numerele $x$, $y$, $z$ și 15, adică $\max (x,y,z,15)$, oricum le-ai grupa. Verificare: toate trei zilele au avut sub 15 °C, deci în jurnal se trece 15 °C.

6. a) $4\circ 10=20$, $20\circ 15=60$; $10\circ 15=30$, $4\circ 30=60$. b) După 60 de secunde. Verificare: $60=4\cdot 15=10\cdot 6=15\cdot 4$, iar multiplii lui 20 mai mici, 20 și 40, nu se împart la 15.

7. a) $23+14=37\to 40$, apoi $40+18=58\to 60$. Pe cealaltă grupare: $14+18=32\to 30$, apoi $23+30=53\to 50$. b) Nu: 60 și 50 diferă. c) $23+14+18=55\to 60$. Verificare: cele două rotunjiri intermediare au mers în sensuri opuse, $+3$ și $-2$.

8. a) $870\circ 640=1360$, $1360\circ 910=2120$; $640\circ 910=1400$, $870\circ 1400=2120$ de lei. b) $(x\circ y)\circ z=x+y+z-300=x\circ (y\circ z)$: trei grupe pe un singur autocar economisesc două autocare, adică 300 de lei. Verificare: separat ar plăti $870+640+910=2420$, iar $2420-300=2120$.

9. $(x\ast y)\ast z=(x+y-37)+z-37=x+y+z-74$. $x\ast (y\ast z)=x+(y+z-37)-37=x+y+z-74$. Expresiile coincid, deci legea e asociativă. Verificare: $(0\ast 0)\ast 0=(-37)\ast 0=-74$ și $0\ast (0\ast 0)=0\ast (-37)=-74$.

10. Din $x\circ y-13=6(x-13)(y-13)$: $(x\circ y)\circ z=6\cdot 6(x-13)(y-13)(z-13)+13=36(x-13)(y-13)(z-13)+13$. La fel, $x\circ (y\circ z)=36(x-13)(y-13)(z-13)+13$. Legea este asociativă. Verificare: $(14\circ 14)\circ 14=19\circ 14=49$, iar $36\cdot 1+13=49$.

11. $(x\ast y)\ast z=2(2x+2y-9)+2z-9=4x+4y+2z-27$, iar $x\ast (y\ast z)=2x+4y+4z-27$. Expresiile diferă, deci legea nu e asociativă. Contraexemplu: $(1\ast 0)\ast 0=(-7)\ast 0=-23$, dar $1\ast (0\ast 0)=1\ast (-9)=-25$. Verificare: diferența dintre grupări este $2x-2z=2$, iar $-23-(-25)=2$.

12. $((10-4)-3)-1=2$; $(10-(4-3))-1=8$; $(10-4)-(3-1)=4$; $10-((4-3)-1)=10$; $10-(4-(3-1))=8$. Rezultatele sunt 2, 8, 4, 10 și 8, adică 4 valori diferite. La o lege asociativă, toate cele 5 grupări dau același rezultat. Verificare: la adunare, toate dau $10+4+3+1=18$.

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), asociativitatea a fost cerută în 14 dintre cele 60 de probe din 2013–2026, cu verbele „arătați”, „demonstrați” sau „verificați dacă”. Legea era de forma $x+y+c$ în 10 dintre ele și de forma cu un produs de paranteze în 4; în toate 14, legea s-a dovedit asociativă. În alte 22 de probe, enunțul spunea de la început că legea este asociativă, ca să poată fi scrise compuneri fără paranteze.

• Iunie 2014, cerința 2: legea $x+y+11$, ca în Exemplul 4 a). Pagina probei dă 2 puncte pentru prima grupare și 3 puncte pentru a doua grupare și concluzie.
• Simularea din 2018, cerința 3: legea cu forma $(x-4)(y-4)+4$, ca în Exemplul 3. Pagina probei dă 2 puncte pentru prima grupare și 3 puncte pentru a doua și concluzie.
• Simularea din 2014, cerința 2: „verificați dacă legea este asociativă”, adică pașii 1–4 fără să știi dinainte răspunsul. Pagina probei dă 2 puncte pentru prima grupare și 3 puncte pentru a doua și concluzie.

Exercițiile 9–11 urmează aceste trei forme; exercițiul 11 are răspunsul „nu”.

Greșeli care costă puncte

• Demonstrezi pe un singur triplet → la medie, tripletul Alexiei dă 7,75 pe ambele grupări, deși legea nu e asociativă; cum o prinzi: calculezi cu litere, ca în pasul 4.
• Uiți constanta a doua oară → la Exemplul 4 obții $x+y+z-29$ în loc de $-58$; cum o prinzi: fiecare compunere aduce încă o constantă, deci două compuneri aduc două.
• Pui rezultatul în locul greșit → la a doua grupare, $y\circ z$ intră în locul lui $y$, nu al lui $x$; cum o prinzi: scrii formula cu locurile marcate înainte să înlocuiești.
• La forma cu paranteze nu scazi constanta → la Exemplul 3 apare $4(x\circ y)(z-3)$; cum o prinzi: verifici pe tripletul de la a).

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006), la conținutul „Legi de compoziție, proprietăți”. Asociativitatea face parte și din definițiile monoidului și ale grupului, din aceeași programă. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

Ce notă finală ar trebui să primească Maria, cu notele 6, 8 și 10? Media celor trei note, $\frac{6+8+10}{3}=8$. Regula „media a câte două” îi dă 8,5 sau 7,5, după cum se grupează notele, fiindcă nota pusă la urmă cântărește cât celelalte două la un loc. Media celor trei note nu are această problemă: fiecare notă cântărește o treime.

De ce Alexia primește aceeași notă pe ambele grupări? Pentru că prima și ultima ei notă sunt egale, ambele 7. Diferența dintre grupări este $\frac{z-x}{4}$, adică o pătrime din diferența dintre nota a treia și prima, iar la Alexia ea este 0. Coincidența nu face media asociativă; arată doar că tripletul ei nu e un contraexemplu.

Câte minute ocupă patru activități la grădiniță, cu pauzele de 10 minute dintre ele? Patru activități au trei pauze, deci $x+y+z+t+30$ minute. Pentru activități de 15, 20, 25 și 15 minute, programul ține $75+30=105$ minute. Fiindcă legea $x+y+10$ e asociativă, rezultatul nu depinde de felul în care educatoarea grupează legările; nici ordinea activităților nu contează, fiindcă legea e și comutativă.

Ce înseamnă când enunțul spune de la început că legea este asociativă? Înseamnă că poți folosi asociativitatea fără să o mai demonstrezi: scrii $x\circ x\circ x$ sau un șir lung de compuneri fără paranteze și le calculezi în ordinea care îți convine. Dacă proprietatea nu e dată, iar compunerile apar fără paranteze, întâi o demonstrezi.

Cum se cere asociativitatea la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? În probele din 2013–2026 a fost cerută de 14 ori, ca „arătați”, „demonstrați” sau „verificați dacă legea este asociativă”, pe legi de forma $x+y+c$ sau cu un produs de paranteze. În toate cele 14, răspunsul a fost „da”, iar rezolvarea cere ambele grupări calculate cu litere.