Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Bézout: X − a divide polinomul

Cum aflu parametrul când timpul e în minute?

Treci mai întâi timpul în unitatea polinomului. Apoi pui rădăcina în $f$ și egalezi rezultatul cu zero, ca la orice parametru din divizibilitate, fără să păstrezi minutele din enunț. Exemplu: $g = 8 X^{3} - 6 X^{2} + m X + 3$ este în ore și se anulează la 30 de minute, adică $a = \frac{1}{2}$ . Din $g (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{3}{2} + \frac{m}{2} + 3 = 0$ rezultă $m = - 5$ . Proba: $1 - 1, 5 - 2, 5 + 3 = 0$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Un polinom $f$ se împarte exact la $X - a$ dacă și numai dacă $a$ este rădăcină a lui $f$ , adică $f (a) = 0$ (teorema lui Bézout). Restul unei împărțiri la $X - a$ este chiar $f (a)$ , deci nu e nevoie să faci împărțirea ca să afli dacă ea iese exact.

Numărul $a$ se ia cu semnul schimbat: la $X + 4$ verifici în $- 4$ . La un binom $u X - v$ scoți factorul $u$ și verifici în $\frac{v}{u}$ . Dacă împărțitorul este $(X - a) (X - b)$ , cu $a \neq = b$ , ceri ambele condiții, $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$ . La un trinom fără rădăcini reale, ca $X^{2} + 5$ , teorema nu se aplică.

Un parametru se află dintr-o ecuație: calculezi $f (a)$ cu parametrul literă și îl egalezi cu zero, sau cu restul dat. Doi parametri cer două ecuații, câte una pentru fiecare rădăcină, adică un sistem. Dacă datele vin dintr-o situație, treci mai întâi timpul și lungimile în unitatea polinomului.

Verifici înlocuind parametrul găsit: ultimul număr din tabelul lui Horner trebuie să fie $0$ . Capcana tipică este semnul lui $a$ la un binom de forma $X + k$ .

De reținut

$X - a$ divide $f$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$
numărul $a$ se exprimă în unitatea variabilei polinomului
la binomul $u X - v$ se verifică în $\frac{v}{u}$

Greșeala tipică

Se pune în polinom $30$ în loc de $\frac{1}{2}$ , fără conversia minutelor în ore: din $g (30) = 210603 + 30 m = 0$ iese $m = - 7020, 1$ în loc de $- 5$ , un reglaj absurd.

Exerciții din această mini-lecție

Abaterea unei piese de strung se modelează cu polinomul $f = X^{3} - 5 X^{2} - 22 X + 56$ . Care dintre binoamele de mai jos divide pe $f$ ?
- a) $X - 4$
- b) $X + 2$
- c) $X + 7$
- d) $X + 4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $X + 4$

Binomul $X + 4 = X - (- 4)$ cere $f (- 4) = - 64 - 80 + 88 + 56 = 0$ , deci îl divide pe $f$ . Celelalte trei au semnul lui $a$ greșit: $f (4) = - 48$ , $f (- 2) = 72$ și $f (- 7) = - 378$ sunt nenule. Rădăcinile lui $f$ sunt $- 4$ , $2$ și $7$ , iar $X - 4$ , $X + 2$ și $X + 7$ ar fi binoame bune doar dacă rădăcinile ar avea semnele inverse.
Eroarea unui dozator de reactiv este, în mL, valoarea polinomului $f = 2 X^{3} - 5 X^{2} + m X - 6$ , unde $m$ este un reglaj. Dozatorul este exact când $f$ se împarte la binomul $2 X - 3$ . Cât este $m$ ?
- a) $7$
- b) $- 1$
- c) $5$
- d) $- 16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7$

Binomul $2 X - 3 = 2 (X - \frac{3}{2})$ cere $f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{45}{4} + \frac{3 m}{2} - 6 = 0$ , adică $\frac{3 m}{2} = \frac{21}{2}$ și $m = 7$ . Valoarea $- 1$ vine din $a = 3$ (se uită factorul $2$ ), $5$ din $a = 2$ (se ia coeficientul lui $X$ ca rădăcină), iar $- 16$ din $a = - \frac{3}{2}$ (semn greșit).
Eroarea turometrului unui camion, în rotații pe minut, la turația de $x$ mii de rotații pe minut, $0 \leq x \leq 4$ , este $f (x)$ , unde $f = X^{3} + 2 X^{2} + m X - 4$ (model). Împărțind $f$ la $X - 3$ se obține restul $26$ , adică exact eroarea la $3000$ de rotații pe minut. Care este $m$ ?
- a) $5$
- b) $- 5$
- c) $- 13$
- d) $- 15$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 5$

Restul la $X - 3$ este $f (3) = 27 + 18 + 3 m - 4 = 41 + 3 m$ , iar condiția este $41 + 3 m = 26$ , deci $3 m = - 15$ și $m = - 5$ . Varianta $5$ mută $41$ cu semn greșit ( $3 m = 41 - 26$ ); $- 15$ uită să împartă la $3$ ; $- 13$ pune $a = - 3$ , adică $- 13 - 3 m = 26$ .

Întrebări conexe

Cum aflu parametrul la un binom cu coeficient la X?

Scoți factorul din binom și verifici în fracția rămasă, nu în coeficient, pentru că numărul care anulează binomul este fracția: $4 X - 3 = 4 (X - \frac{3}{4})$ , deci $a = \frac{3}{4}$ . Pentru $f = 16 X^{3} - 4 X^{2} + m X - 3$ : $f (\frac{3}{4}) = \frac{27}{4} - \frac{9}{4} + \frac{3 m}{4} - 3 = \frac{3}{2} + \frac{3 m}{4} = 0$ , deci $m = - 2$ .

Cum schimb parametrul dacă se schimbă valoarea de început?

Dacă valoarea de început se schimbă, se schimbă termenul liber al polinomului și, odată cu el, ecuația $f (a) = 0$ , iar parametrul trebuie recalculat. Pentru $f = X^{3} - 6 X^{2} + (p - 4) X + R$ și rădăcina $4$ : $f (4) = 4 p + R - 48$ . La $R = 20$ iese $p = 7$ , la $R = 40$ iese $p = 2$ : o valoare de început mai mare cere un $p$ mai mic.

Cum arăt că parametrul găsit este corect?

Pui parametrul în polinom și refaci valoarea în $a$ , sau completezi tabelul lui Horner: ultimul număr trebuie să fie $0$ . Pentru $f = X^{3} + 4 X^{2} + m X - 30$ divizibil cu $X - 3$ iese $m = - 11$ , iar tabelul pentru $a = 3$ are rândul $1; 7; 10; 0$ .

Ce fac dacă parametrul apare în doi coeficienți?

Îl lași literă în ambii coeficienți, fără să-l înlocuiești cu vreun număr, și strângi termenii în $m$ după înlocuirea lui $X$ cu rădăcina. Pentru $f = X^{3} + m X^{2} + (m + 5) X - 30$ , divizibil cu $X - 3$ , avem $f (3) = 27 + 9 m + 3 m + 15 - 30 = 12 m + 12 = 0$ , deci $m = - 1$ .

Cum apare divizibilitatea cu X − a în probele oficiale?

Divizibilitatea cu un binom $X - a$ a apărut în 17 probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al II-lea. Scrii pe un rând condiția $f (a) = 0$ , apoi ecuația în parametru, soluția și proba.

Oamenii mai întreabă și: parametru din divizibilitate cu timpul în minute · rădăcina în minute și polinomul în ore · unitatea numărului a la teorema lui Bézout · convertesc minutele în ore la polinom