Bézout pentru tehnologic: x − a divide polinomul

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Câtă apă primește săptămânal un teren cu tomate, ca rezerva din sol să ajungă la prag abia când vine ploaia? Doza e un coeficient necunoscut al unui polinom, iar teorema lui Bézout o află dintr-o singură condiție: X − a divide polinomul dacă și numai dacă a e rădăcină a lui. La tehnologic, teorema se studiază în clasa a XII-a. Divizibilitatea a avut cerințe la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 17 dintre cele 83 de probe din 2013–2026, la Subiectul al II-lea, problema 2.

Situația de pornire

Un fermier cultivă tomate pe 4 hectare de teren, cu irigare prin picurare. Agronomul fermei urmărește rezerva de apă ușor accesibilă din sol, adică apa aflată peste plafonul minim de umiditate, pragul sub care plantele intră în stres hidric și producția scade. O măsoară în milimetri (un milimetru pe un hectar înseamnă 10 m³ de apă). La începutul sezonului rezerva este de 45 mm. Stația meteo a fermei notează, la sfârșitul fiecărei săptămâni, evapotranspirația cumulată, adică apa pe care solul și plantele au pierdut-o de la începutul sezonului (valori din exemplu). Irigarea adaugă în fiecare săptămână aceeași doză de $p$ milimetri, pe care fermierul nu a ales-o încă. El vrea ca rezerva să ajungă la prag abia la sfârșitul săptămânii 5, când se anunță ploaie.

Săptămâna	Evapotranspirația cumulată (mm)
0	0
1	21
2	56
3	99
4	144
5	185
6	216

Întrebare: ce doză săptămânală $p$ aduce rezerva exact la prag la sfârșitul săptămânii 5 și mai atinge rezerva pragul și în altă săptămână a modelului, care ține șase săptămâni?

De la situație la model

Rezerva de la sfârșitul săptămânii $t$ este rezerva de la început, plus apa adusă de irigare în $t$ săptămâni, minus apa pierdută: $B (t) = 45 + p t - E (t)$ . Datele din tabel se potrivesc cu polinomul $E = - X^{3} + 10 X^{2} + 12 X$ , valabil doar între săptămânile 0 și 6 (model din exemplu). De aceea rezerva este valoarea polinomului $B = X^{3} - 10 X^{2} + (p - 12) X + 45$ .

În situație	În matematică
rezerva peste prag la sfârșitul săptămânii $t$ , în mm	valoarea $B (t)$
doza săptămânală de irigare, în mm	parametrul $p$ , încă necunoscut
rezerva atinge pragul în săptămâna $a$	$B (a) = 0$ : numărul $a$ este rădăcină a lui $B$
rezerva atinge pragul în săptămâna 5	$B$ se împarte exact la $X - 5$
celelalte săptămâni cu rezerva la prag	rădăcinile câtului lui $B$ la $X - 5$

O rădăcină a polinomului $f$ este un număr $a$ cu $f (a) = 0$ . Polinomul $f$ este divizibil cu $g$ când există un polinom $q$ cu $f = g \cdot q$ , adică restul împărțirii e 0. Teorema lui Bézout spune că $f$ este divizibil cu $X - a$ dacă și numai dacă $f (a) = 0$ . Demonstrația ei nu se cere.

De ce ajunge o singură valoare?

Din tabelul lui Horner știi că restul împărțirii lui $f$ la $X - a$ este $f (a)$ . Împărțirea e exactă tocmai când restul e 0, deci tocmai când $f (a) = 0$ . Aritmetica numerelor are scurtături asemănătoare: afli că 4 563 se împarte la 9 din suma cifrelor, 18, fără să faci împărțirea. Câtul vine după, din tabel, și dă un polinom de grad mai mic, mai ușor de cercetat.

Ce condiție dă doza de irigare?

Condiția $f (a) = 0$ devine o ecuație în parametru. La rezerva din situație, ea spune că $B (5) = 0$ și dă pe $p$ . Un parametru cere o condiție de acest fel, iar doi parametri cer două, pe două numere $a$ diferite, adică un sistem de două ecuații.

Trei împărțitori de altă formă

Un produs $(X - a) (X - b)$ cu $a \neq = b$ cere ambele valori nule, $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$ . Tot așa, 60 se împarte la 12 fiindcă se împarte la 3 și la 4, numere prime între ele; 12 se împarte la 4 și la 6, care nu sunt prime între ele, dar nu la 24. Un binom cu coeficientul lui $X$ diferit de 1, ca $u X - v$ , se scrie $u (X - \frac{v}{u})$ și cere $f (\frac{v}{u}) = 0$ . Un polinom de gradul al doilea fără rădăcini reale, ca $X^{2} + 5$ , nu are niciun $a$ de pus: împarți în coloană sau grupezi termenii.

Metoda pas cu pas

Citește împărțitorul și scrie numărul $a$ : iei termenul liber al binomului cu semnul schimbat (la $X - 5$ , $a = 5$ ; la $X + 4$ , $a = - 4$ ), iar la un binom $u X - v$ scoți factorul $u$ și iei $a = \frac{v}{u}$ . Dacă enunțul spune timpul în minute și polinomul e în ore, aduci întâi datele la aceeași unitate.
Calculează $f (a)$ : direct sau cu ultimul număr din tabelul lui Horner pentru $X - a$ . Un parametru rămâne literă până la capăt.
Dacă trebuie să arăți divizibilitatea, $f (a) = 0$ încheie argumentul. Dacă trebuie să afli un parametru, scrii $f (a) = 0$ ca ecuație în parametru și o rezolvi; la doi parametri scrii câte o ecuație pentru fiecare număr $a$ dat și rezolvi sistemul.
Dacă enunțul dă restul, nu rădăcina, adică $f (a) = r$ , tratezi egalitatea ca ecuație în parametru și, cu valoarea găsită, revii la pasul 3.
La un împărțitor produs, $(X - a) (X - b)$ cu $a \neq = b$ , ceri ambele egalități, $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$ . La un împărțitor de gradul 2 fără rădăcini reale, cum e $X^{2} + 5$ , teorema lui Bézout nu se aplică: împarți în coloană și ceri restul 0, sau grupezi termenii.
Verifică pe alt drum: cu parametrul găsit, refaci $f (a)$ grupând altfel termenii, sau completezi tabelul lui Horner și ultimul număr trebuie să fie 0, ori înmulțești câtul cu împărțitorul și obții din nou $f$ . Când enunțul vine dintr-o situație, mai pui valoarea găsită și în datele ei.

Calculul unei valori, cu gruparea termenilor și scurtăturile lui $f (0)$ și $f (1)$ , e în lecția despre forma algebrică a polinoamelor și îți folosește la pasul 2. Rădăcinile unui polinom de gradul 3 și legăturile dintre ele sunt în lecția despre rădăcini și relațiile lui Viète, iar restul parcursului este pe pagina clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$(X - a) ∣ f ⟺ f (a) = 0$

Echivalența cere împărțitorul $X - a$ , cu $a$ din mulțimea coeficienților (un număr real sau, în $Z_{p} [X]$ , o clasă); la $u X - v$ iei $a = \frac{v}{u}$ . La un produs $(X - a) (X - b)$ ceri $f (a) = 0$ și $f (b) = 0$ , cu $a \neq = b$ : dacă numerele coincid, a doua condiție nu aduce nimic nou. La un împărțitor de gradul 2 fără rădăcini reale, ca $X^{2} + 5$ , echivalența nu se aplică. Verificare rapidă: ultimul număr din tabelul lui Horner pentru $X - a$ trebuie să fie 0.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Doza de irigare

Domeniu: agricol.

Enunț. Reia terenul cu tomate din situația de pornire: rezerva este valoarea polinomului $B = X^{3} - 10 X^{2} + (p - 12) X + 45$ , pentru $0 \leq t \leq 6$ . a) Aflați doza $p$ pentru care rezerva ajunge la prag la sfârșitul săptămânii 5. b) Arătați că $B$ se împarte exact la $X - 5$ și scrieți câtul. c) Mai ajunge rezerva la prag în altă săptămână dintre 0 și 6?

Rezolvare. a) Condiția din enunț, rezerva zero la sfârșitul săptămânii 5, înseamnă $B (5) = 0$ . Pasul 1: împărțitorul $X - 5$ dă $a = 5$ . Pasul 2: $B (5) = 125 - 250 + 5 (p - 12) + 45 = 5 p - 140$ . Pasul 3: $5 p - 140 = 0$ , deci $p = 28$ mm pe săptămână. b) Cu $p = 28$ , $B = X^{3} - 10 X^{2} + 16 X + 45$ și $B (5) = 0$ , deci, după teorema lui Bézout, $B$ se împarte exact la $X - 5$ . Tabelul lui Horner pentru $a = 5$ are rândul de jos $1; - 5; - 9; 0$ , deci câtul este $X^{2} - 5 X - 9$ . c) Câtul are discriminantul $25 + 36 = 61$ , pozitiv, iar rădăcinile $\frac{5 \pm 61}{2}$ sunt aproximativ $6, 4$ și $- 1, 4$ . Niciuna nu e între 0 și 6, iar modelul nu spune nimic dincolo de săptămâna 6, așa că pragul e atins o singură dată, la sfârșitul săptămânii 5.

Capcană. Cine uită rezerva de la început și scrie $5 p - 185 = 0$ obține $p = 37$ mm pe săptămână, cu 9 mm peste cât trebuie, iar fermierul ar iriga cu 9 mm pe săptămână mai mult decât are nevoie. Termenul liber 45 din $B$ este chiar această rezervă.

Verificare. Pe alt drum, din tabelul de măsurători: $45 + 5 \cdot 28 - 185 = 0$ . Rezerva rămâne pozitivă până atunci: $45 + 4 \cdot 28 - 144 = 13$ mm la sfârșitul săptămânii 4.

Exemplul 2 — Vântul de la telescaun

Domeniu: turism.

Enunț. Într-o stațiune de munte, telescaunul se oprește când vântul trece de 15 m/s. Din jurnalul anemometrului de pe stâlpul de sus, dispecerul descrie vântul de ieri printr-un model: abaterea vitezei vântului de la acest prag, în zecimi de m/s, la $x$ ore după ora 10:00, a fost $A (x)$ , unde $A = - X^{3} + u X^{2} + v X - 14$ , pentru $0 \leq x \leq 8$ (model din exemplu). Ieri vântul a avut exact 15 m/s la 12:00 și la 17:00. Aflați numerele reale $u$ și $v$ și arătați că $A$ se împarte la $X - 2$ și la $X - 7$ .

Rezolvare. Pasul 1: orele 12:00 și 17:00 înseamnă numerele 2 și 7. Pasul 3, câte o ecuație pentru fiecare număr: $A (2) = 0$ dă $2 u + v = 11$ , iar $A (7) = 0$ dă $7 u + v = 51$ . Scăzând prima ecuație din a doua obții $5 u = 40$ , deci $u = 8$ și $v = 11 - 16 = - 5$ . Atunci $A = - X^{3} + 8 X^{2} - 5 X - 14$ , iar $A (2) = 0$ și $A (7) = 0$ . Numerele 2 și 7 sunt diferite, deci $A$ se împarte și la produsul celor două binoame, iar câtul este $- X - 1$ . Cele două citiri ale anemometrului fixează numerele $u$ și $v$ .

Capcană. Cine scrie doar $A (2) = 0$ rămâne cu $2 u + v = 11$ , o ecuație cu o infinitate de soluții, de pildă $u = 5$ și $v = 1$ . Pentru ele, $A (7) = - 343 + 245 + 7 - 14 = - 105$ zecimi: la 17:00 vântul ar fi avut 4,5 m/s, nu 15 m/s, iar telescaunul ar fi putut reporni mult mai devreme.

Verificare. Înmulțind înapoi, $- (X - 2) (X - 7) (X + 1) = - X^{3} + 8 X^{2} - 5 X - 14$ , adică $A$ . Între cele două ore vântul a trecut de prag și telescaunul a stat oprit: $A (4) = - 64 + 128 - 20 - 14 = 30$ zecimi, adică 18 m/s la 14:00.

Exemplul 3 — Camera de afumare

Domeniu: alimentar.

Enunț. Într-o fabrică de mezeluri, temperatura din camera de afumare trebuie să urmeze fișa de lucru. Abaterea ei de la temperatura din fișă, în zecimi de grad Celsius, la $t$ ore după aprinderea generatorului de fum, este valoarea polinomului $g = 4 X^{3} - 9 X^{2} + m X + 15$ , pentru $0 \leq t \leq 3$ (model din exemplu); numărul $m$ depinde de reglajul clapetei de aer. Operatorul a notat că abaterea a fost zero după 75 de minute. a) Aflați $m$ . b) Aflați câtul împărțirii lui $g$ la $X - \frac{5}{4}$ . c) Cât este abaterea la 100 de minute, în °C, rotunjită la sutimi?

Rezolvare. Pasul 1: polinomul e în ore, deci 75 de minute înseamnă $\frac{75}{60} = 1, 25$ ore, iar $a = \frac{5}{4}$ . Pasul 2: $g (\frac{5}{4}) = \frac{125}{16} - \frac{225}{16} + \frac{5 m}{4} + 15 = \frac{35}{4} + \frac{5 m}{4}$ . Pasul 3: $\frac{35}{4} + \frac{5 m}{4} = 0$ dă $m = - 7$ . b) Tabelul lui Horner pentru $a = \frac{5}{4}$ , cu coeficienții $4; - 9; - 7; 15$ , are rândul de jos $4; - 4; - 12; 0$ , deci câtul este $4 X^{2} - 4 X - 12$ . c) 100 de minute înseamnă $\frac{100}{60} = \frac{5}{3}$ ore, iar $g (\frac{5}{3}) = - \frac{85}{27} \approx - 3, 15$ zecimi, adică aproximativ $- 0, 31$ °C.

Capcană. Cine ia $a = 75$ , fără să treacă minutele în ore, ajunge la $m \approx - 21825$ , un reglaj absurd pentru clapeta de aer. Polinomul e în ore, iar numărul 75 s-ar potrivi doar dacă timpul ar fi în minute.

Verificare. Cu $m = - 7$ , $g (\frac{5}{4}) = 7, 8125 - 14, 0625 - 8, 75 + 15 = 0$ . Înmulțind înapoi, $(X - \frac{5}{4}) (4 X^{2} - 4 X - 12) = 4 X^{3} - 9 X^{2} - 7 X + 15$ , adică $g$ .

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: parametrul și rădăcina

Domeniu: constructii.

Enunț. Enunțul de mai jos urmează formatul Subiectului al II-lea, problema 2, iar polinomul nu modelează nimic. Se consideră polinomul $f = X^{3} + 4 X^{2} - 11 X + m$ , cu $m$ număr real. a) Pentru $m = - 30$ , arătați că $f$ se împarte la $X - 3$ . b) Determinați numărul real $m$ pentru care $f$ se împarte la $X + 4$ .

Rezolvare. a) Pasul 2: $f (3) = 27 + 36 - 33 - 30 = 0$ , deci pasul 3 încheie argumentul: $f$ se împarte la $X - 3$ . b) Pasul 1: $X + 4 = X - (- 4)$ , deci $a = - 4$ . Pasul 2: $f (- 4) = - 64 + 64 + 44 + m = 44 + m$ . Pasul 3: $44 + m = 0$ , de unde $m = - 44$ .

Capcană. Cine ia $a = 4$ pentru $X + 4$ scrie $f (4) = 84 + m = 0$ și obține $m = - 84$ . Împărțitorul $X + 4$ cere $a = - 4$ .

Verificare. Cu $m = - 44$ , tabelul lui Horner pentru $a = - 4$ are rândul de jos $1; 0; - 11; 0$ , deci $f = (X + 4) (X^{2} - 11)$ . Înmulțit înapoi, produsul dă $X^{3} + 4 X^{2} - 11 X - 44$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. a) Verifică dacă $f = 2 X^{3} - 13 X^{2} + 15 X + 18$ se împarte la $X - 3$ . b) Verifică dacă $g = X^{4} + 3 X^{3} - 7 X + 11$ se împarte la $X + 2$ și, dacă nu, spune ce rest dă.

2. Află numărul real $m$ pentru care $f = X^{3} + m X^{2} + 8 X + 8$ se împarte la $X - 2$ și scrie câtul.

3. Se știe că $- 3$ și $- 2$ sunt rădăcini ale polinomului $f = X^{3} + a X^{2} + b X - 54$ . Află numerele reale $a$ și $b$ .

4. Arată că $f = X^{3} + 10 X^{2} + 29 X + 20$ se împarte la $X + 1$ și la $X + 5$ , deci și la produsul lor, și află câtul împărțirii la produs.

Nivelul 2 — situații

5. Consumul unui camion se compară cu norma firmei. Abaterea de la normă, în zecimi de litru la 100 km, la viteza de $v$ zeci de km/h, este valoarea polinomului $c = X^{3} - 12 X^{2} + m X + 36$ , pentru $2 \leq v \leq 9$ (model din exercițiu). La 90 km/h consumul este egal cu norma. Află $m$ și spune dacă și la 40 km/h consumul e egal cu norma.

6. Pe un pârâu de munte, după o ploaie torențială, abaterea nivelului față de cota de atenție, în cm, la $t$ ore după începutul ploii, este valoarea polinomului $h = - X^{3} + a X^{2} + m X - 40$ , pentru $0 \leq t \leq 10$ (model din exercițiu). Hidrologul a notat că nivelul a ajuns la cota de atenție după 4 ore și a coborât iar la ea după 10 ore. Află numerele reale $a$ și $m$ .

7. O fermă de vaci urmărește costul net al rației față de buget, în sute de lei, când lotul consumă $x$ tone de furaj pe lună: valoarea polinomului $c = 4 X^{3} - 7 X^{2} + m X + 6$ , pentru $0 \leq x \leq 2$ (model din exercițiu). Pentru 750 kg de furaj costul net iese exact la buget. Află $m$ , cu pasul 1 făcut în tone.

8. Un atelier de mobilă urmărește abaterea costului de producție față de buget, în sute de lei, când livrează $x$ zeci de seturi: valoarea polinomului $c = X^{3} - 9 X^{2} + 7 X + 66$ , pentru $1 \leq x \leq 8$ (model din exercițiu). Verifică, pe rând, care dintre numerele 2, 3 și 6 este rădăcină a lui $c$ și spune ce înseamnă pentru atelier.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie polinomul $f = X^{3} - 5 X^{2} + m X - 14$ , în care $m$ este un parametru real. Aflați valoarea lui $m$ pentru care $f$ se împarte exact la $X - 2$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Polinomul $f = X^{3} + a X^{2} + 5 X + b$ are coeficienții $a$ și $b$ reali și rădăcinile $x_{1} = 1$ și $x_{2} = - 3$ . Calculați $a$ și $b$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Fie polinomul $f = X^{3} - 4 X^{2} + 7 X + m$ , în care $m$ este real. Restul împărțirii lui $f$ la $X - 2$ este $- 22$ . Arătați că $f$ se împarte exact la $X^{2} + 7$ .

12. (Sinteză.) În $Z_{7} [X]$ se consideră polinomul $f = X^{3} + \hat{6} X^{2} + \hat{3} X + \hat{4}$ . Verifică, pe rând, care dintre clasele $\hat{0}, \hat{1}, \dots, \hat{6}$ sunt rădăcini ale lui $f$ , scrie $f$ ca produs de factori de gradul întâi și verifică produsul prin înmulțire.

Răspunsuri și verificări

1. a) $f (3) = 54 - 117 + 45 + 18 = 0$ , deci $f$ se împarte la $X - 3$ , cu câtul $2 X^{2} - 7 X - 6$ . b) $g (- 2) = 16 - 24 + 14 + 11 = 17$ , nenul, deci $g$ nu se împarte la $X + 2$ și dă restul 17. Verificare: tabelul lui Horner pentru $a = 3$ are rândul de jos $2; - 7; - 6; 0$ , iar pentru $g$ și $a = - 2$ ultimul număr este tot 17.

2. $f (2) = 8 + 4 m + 16 + 8 = 4 m + 32 = 0$ , deci $m = - 8$ . Tabelul lui Horner are rândul de jos $1; - 6; - 4; 0$ , deci câtul este $X^{2} - 6 X - 4$ . Verificare: cu $m = - 8$ , $f (2) = 8 - 32 + 16 + 8 = 0$ .

3. Din $f (- 3) = 0$ obții $3 a - b = 27$ , iar din $f (- 2) = 0$ obții $2 a - b = 31$ . Scăzând a doua ecuație din prima rămâne $a = - 4$ , iar $b = 3 a - 27 = - 39$ . Verificare: pentru $f = X^{3} - 4 X^{2} - 39 X - 54$ , $f (- 3) = - 27 - 36 + 117 - 54 = 0$ și $f (- 2) = 0$ .

4. Pentru $X + 1$ se ia $a = - 1$ și $f (- 1) = - 1 + 10 - 29 + 20 = 0$ . Pentru $X + 5$ se ia $a = - 5$ și $f (- 5) = - 125 + 250 - 145 + 20 = 0$ . Numerele $- 1$ și $- 5$ sunt diferite, deci $f$ se împarte și la produsul celor două binoame. Împărțind întâi la $X + 1$ , rândul de jos al tabelului este $1; 9; 20; 0$ , apoi, la $X + 5$ , rândul este $1; 4; 0$ . Câtul este $X + 4$ . Verificare: $(X + 1) (X + 5) (X + 4)$ înmulțit dă $X^{3} + 10 X^{2} + 29 X + 20$ .

5. Pasul 1: 90 km/h înseamnă $v = 9$ . $c (9) = 9 m - 207 = 0$ , deci $m = 23$ . La 40 km/h, $v = 4$ și $c (4) = 64 - 192 + 92 + 36 = 0$ : da, și la 40 km/h consumul e egal cu norma. Verificare: $c (9) = 729 - 972 + 207 + 36 = 0$ .

6. Din $h (4) = 0$ rezultă $4 a + m = 26$ , iar din $h (10) = 0$ rezultă $10 a + m = 104$ . Scăzând: $6 a = 78$ , deci $a = 13$ și $m = 26 - 52 = - 26$ . Verificare: pentru $h = - X^{3} + 13 X^{2} - 26 X - 40$ , $h (4) = - 64 + 208 - 104 - 40 = 0$ și $h (10) = 0$ .

7. 750 kg înseamnă 0,75 t, deci $a = \frac{3}{4}$ și $c (\frac{3}{4}) = \frac{15}{4} + \frac{3 m}{4} = 0$ , de unde $m = - 5$ . Verificare: $1, 6875 - 3, 9375 - 3, 75 + 6 = 0$ , cu valorile lui $4 a^{3}$ , $7 a^{2}$ și $5 a$ calculate la $a = 0, 75$ .

8. $c (2) = 8 - 36 + 14 + 66 = 52$ , $c (3) = 27 - 81 + 21 + 66 = 33$ , $c (6) = 216 - 324 + 42 + 66 = 0$ . Doar 6 este rădăcină: la 60 de seturi abaterea e de 0 lei, adică costul iese exact la buget, iar $c$ se împarte la $X - 6$ . Verificare: tabelul lui Horner pentru $a = 6$ are rândul de jos $1; - 3; - 11; 0$ .

9. Rezolvarea: $f (2) = 8 - 20 + 2 m - 14 = 2 m - 26$ . Condiția $f (2) = 0$ dă $m = 13$ . Verificare: pentru $m = 13$ , tabelul lui Horner pentru $a = 2$ are rândul de jos $1; - 3; 7; 0$ .

10. Din $f (1) = 0$ obții $1 + a + 5 + b = 0$ , adică $a + b = - 6$ . Din $f (- 3) = 0$ obții $- 27 + 9 a - 15 + b = 0$ , adică $9 a + b = 42$ . Scăzând prima ecuație din a doua: $8 a = 48$ , deci $a = 6$ și $b = - 12$ . Verificare: $f (1) = 1 + 6 + 5 - 12 = 0$ și $f (- 3) = - 27 + 54 - 15 - 12 = 0$ .

11. Restul la $X - 2$ este $f (2) = 8 - 16 + 14 + m = 6 + m$ , deci $6 + m = - 22$ și $m = - 28$ . Atunci $f = X^{2} (X - 4) + 7 (X - 4) = (X - 4) (X^{2} + 7)$ . Polinomul $X^{2} + 7$ nu are rădăcini reale, așa că grupezi termenii, nu aplici Bézout. Verificare: $(X - 4) (X^{2} + 7) = X^{3} + 7 X - 4 X^{2} - 28$ , adică $f$ .

12. Valorile modulo 7 sunt $f (\hat{0}) = \hat{4}$ , $f (\hat{1}) = 14 = \hat{0}$ , $f (\hat{2}) = 42 = \hat{0}$ și $f (\hat{3}) = 94 = \hat{3}$ . Mai departe, $f (\hat{4}) = 176 = \hat{1}$ , $f (\hat{5}) = 294 = \hat{0}$ și $f (\hat{6}) = 454 = \hat{6}$ . Rădăcinile sunt $\hat{1}$ , $\hat{2}$ și $\hat{5}$ , deci $f = (X - \hat{1}) (X - \hat{2}) (X - \hat{5})$ . Verificare: $(X - \hat{1}) (X - \hat{2}) = X^{2} + \hat{4} X + \hat{2}$ , iar $(X^{2} + \hat{4} X + \hat{2}) (X - \hat{5}) = X^{3} + \hat{6} X^{2} + \hat{3} X + \hat{4}$ , cu coeficienții reduși modulo 7.

Așa vine la Bac M3

La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), între 2013 și 2026, divizibilitatea polinoamelor a avut cerințe în 17 probe din cele 83 date, iar toate acele cerințe au stat la Subiectul al II-lea, problema 2. Într-o parte dintre probe, 10 la număr, teorema lui Bézout a fost metoda principală, iar 7 dintre cele 11 cerințe ale lor cereau un parametru real din divizibilitate sau din rădăcină. Formele în care a apărut se văd în patru cerințe reale, din patru probe:

Proba specială din 2024, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: polinomul de gradul al treilea are un parametru și trebuie să se împartă la un binom de gradul întâi cu rădăcina 1, deci pasul 2 din Metodă dă valoarea în 1, iar pasul 3 o egalează cu zero, iar baremul probei dă 2 puncte pentru valoarea în 1 și 3 puncte pentru parametru.
Iunie 2025, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: se dă restul împărțirii la un binom de gradul întâi, nu rădăcina, iar cerința e divizibilitatea cu un polinom de gradul al doilea fără rădăcini reale, deci pasul 4 află parametrul din rest, pasul 5 cere descompunerea prin grupare, iar baremul probei dă 3 puncte pentru parametru și 2 puncte pentru descompunerea în doi factori.
Modelul din 2013, Subiectul al II-lea, exercițiul 2c: două numere sunt rădăcini ale unui polinom cu doi parametri, deci pasul 3 scrie o ecuație pentru fiecare număr, iar baremul probei dă 1 punct pentru prima ecuație, 2 puncte pentru a doua și 2 puncte pentru valorile celor doi parametri.
Iunie 2015, rezervă, Subiectul al II-lea, exercițiul 2b: se cere să arăți că un polinom fără parametru se împarte la binomul cu rădăcina $- 1$ , deci pasul 1 dă $a = - 1$ , pasul 2 calculează valoarea, iar baremul probei dă 3 puncte pentru înlocuirea în polinom și 2 puncte pentru valoarea zero și concluzie.

Exercițiile 9–11 au trei dintre aceste forme: parametrul din divizibilitate, doi parametri din două rădăcini și restul dat urmat de divizibilitatea cu un polinom de gradul al doilea. Forma „arătați că” e în exemplul 4, punctul a).

Greșeli care costă puncte

Uiți termenul liber, adică starea de la început → doza iese 37 mm în loc de 28 mm, ca la capcana exemplului 1; cum o prinzi: la pasul 6 înlocuiești valoarea găsită în datele din tabel și rezerva trebuie să iasă 0.
Iei $a$ cu semnul greșit la $X + 4$ → parametrul iese $- 84$ în loc de $- 44$ , ca la exemplul 4; cum o prinzi: scrii $X + 4 = X - (- 4)$ și verifici cu tabelul lui Horner, unde ultimul număr trebuie să fie 0.
Ceri o singură condiție la un împărțitor produs sau la doi parametri → ecuația are o infinitate de soluții, ca la exemplul 2; cum o prinzi: numeri parametrii și condițiile, iar pentru doi parametri trebuie să ai două ecuații.
Lași datele în unități diferite → $a$ iese 75 în loc de 1,25, ca la exemplul 3; cum o prinzi: scrii pe margine unitatea polinomului înainte de pasul 1.
Încerci Bézout la $X^{2} + 5$ → nu ai ce număr $a$ să alegi; cum o prinzi: dacă împărțitorul nu are forma $X - a$ sau produs de astfel de binoame, treci la împărțirea în coloană sau la grupare.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Divizibilitatea polinoamelor, cu teorema lui Bézout, se cere la Subiectul al II-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 17 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce doză de irigare trebuie dacă rezerva de la începutul sezonului este de 60 mm, nu de 45 mm? Termenul liber al polinomului devine 60, deci $B (5) = 125 - 250 + 5 (p - 12) + 60 = 5 p - 125$ . Din $5 p - 125 = 0$ obții $p = 25$ mm pe săptămână. Cu o rezervă mai mare de la început, fermierul irigă mai puțin, dar tot ca să atingă pragul la sfârșitul săptămânii 5, fiindcă pierderea de apă din tabel nu se schimbă.

Ce doză aduce rezerva la prag abia la sfârșitul săptămânii 6, dacă ploaia întârzie o săptămână? Acum $a = 6$ , iar $B (6) = 216 - 360 + 6 (p - 12) + 45 = 6 p - 171$ . Din $6 p - 171 = 0$ rezultă $p = 28, 5$ mm pe săptămână. Doza crește cu 0,5 mm față de cea pentru săptămâna 5: în săptămâna 6 solul pierde 31 mm, doza de 28 mm acoperă doar o parte, iar cei 3 mm care lipsesc se împart pe 6 săptămâni.

Cât este rezerva la sfârșitul săptămânii 6 cu doza de 28 mm? Tabelul lui Horner pentru $B = X^{3} - 10 X^{2} + 16 X + 45$ și $a = 6$ are rândul de jos $1; - 4; - 8; - 3$ , deci $B (6) = - 3$ mm. Rezerva e cu 3 mm sub prag: dacă ploaia întârzie până la sfârșitul săptămânii 6, plantele ar suferi, chiar dacă la sfârșitul săptămânii 5 rezerva a fost exact 0.

Poate fi rezerva la prag și în săptămâna 2, deși $B (5) = 0$ ? Nu. Câtul $X^{2} - 5 X - 9$ are rădăcinile aproximative $6, 4$ și $- 1, 4$ , iar $B (2) = 45 + 56 - 56 = 45$ mm, deci nu e zero. Divizibilitatea la $X - 5$ arată că 5 e rădăcină, iar celelalte două rădăcini sunt ale câtului și cad în afara săptămânilor 0–6 ale modelului, deci rezerva atinge pragul o singură dată.

Câți metri cubi de apă aduce doza de 28 mm pe tot terenul? Un milimetru pe un hectar înseamnă 10 m³, deci 28 mm înseamnă 280 m³ pe hectar și 1 120 m³ pe cele 4 hectare, în fiecare săptămână. Până la ploaia de la sfârșitul săptămânii 5, irigarea aduce $5 \cdot 1120 = 5600$ m³, adică 140 mm pe fiecare hectar: tocmai termenul $5 p$ din $B (5)$ .

Ce au cerut cele mai multe cerințe de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în care teorema lui Bézout a fost metoda principală? Dintre cele 11 cerințe de acest fel din cele 83 de probe, 7 au cerut un parametru real din divizibilitate sau din rădăcină, 3 au cerut să arăți o divizibilitate sau o rădăcină, iar una a cerut rădăcinile polinomului. Cea mai frecventă formă a fost deci ecuația în parametru, ca la exemplul 4, punctul b).